Trong việc học toán ở chương trình THCS và THPT việc hệ thống và nắm được các kiến thức một cách có hệ thống và tự phân thành các dạng kiến thức cho bản thân học sinh là rất khó.[r]
(1)CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
A- Đặt vấn đề :
Trong việc học tốn chương trình THCS THPT việc hệ thống nắm kiến thức cách có hệ thống tự phân thành dạng kiến thức cho thân học sinh khó Chính cần hệ thống hố lại tồn dạng phương pháp giải phương trình vơ tỉ, giúp em hiểu sâu có cách nhìn sâu phương trình vơ tỉ từ biết cách làm tương tự dạng toán khác
B - Nội dung :
I) Phương pháp biến đổi tương đương A) Lí thuyết
√a=√b⇔a=b ≥0
√a=b⇔ b a = b2
√a+√b=√c⇔ a , b
a + b + √ab = c *) Thí dụ áp dụng
+) Giải phương trình sau
a) x - 2x3=
Ta có : x = 2x3 ⇔ x2x ≥0
=2x+3 ⇔
x ≥0
x2−2x −3=0 ⇔ x ≥0
x=−1, x=3 ⇔ x =
b) x 4 1 x 2 x √x −4=√1− x+√1−2x
⇔
2
1
1
4 1
x x
x x x
⇔
x ≤1
2x+1=√2x2−3x+1
⇔
x ≤1 2x+1≥0 (2x+1)2=2x2−3x+1
⇔ − 2≤ x ≤
1 2x2+7x=0
⇔ −1
2≤ x ≤ x=0, x=−7
2
⇔
x =
c) √x −1=√x2−3x −1 ⇔ x −1≥0
x −1=x2−3x −1 ⇔
x ≥1
x2−4x=0 ⇔ x ≥1
x=0, x=4
(2)d) √4x+1−√3x −2=x+3
5 ⇔
4x+1≥0 3x −2≥0 x+3
√4x+1+√3x −2= x+3
5
⇔ x ≥
2
√4x+1+√3x −2=5
⇔ x ≥
2
(√4x+1+√3x −2)2=25
⇔
x ≥2
2√12x2−5x −2=26−7x
⇔
x ≥2 26−7x ≥0
4(12x2−5x −2)=(26−7x)2
⇔
x ≥2 x ≤26
x2−344x+684=0 ⇔
2 3≤ x ≤
26 x=2, x=342
⇔ x =
II) Phương pháp đổi biến
*) Phương trình dạng : af(x) + b √f(x) + c = 0
*) Phương pháp
Đặt √f(x) = t ( t ) phương trình tương đương với
at2 + bt + c = Tìm t cách giải phương trình bậc II *)Thí dụ áp dụng
+) Giải phương trình sau
a) x(x + 1) - √x2
+x+4+2=0
⇔x2
+x+4−√x2+x+4−2=0 Đặt √x2+x+4 = t ( t )
Phương trình ⇔ t2 - t - = ⇔ t = -1 (Loại) , t = (Nhận) Với t = ⇔ √x2
+x+4 = ⇔ x2 + x = ⇔ x = , x = -1 b) √5x2+10x+1=7− x2−2x
Đặt √5x2+10x+1=t (t )
⇔ 5x2 + 10x + = t2
⇔ x2 + 2x = t2−1 pt ⇔ t = - t2−1
5 ⇔ t
2 + 5t - 36 = ⇔ t = (nhận), t = -9(loại) Với t = ⇔ x2 + 2x - = ⇔ x = , x = -3
*) Dạng √a+cx+√b −cx+d√(a+cx) (b−cx)=n (1) a, b, c, d, n số, c > 0, d
*) Phương pháp
(3)Đặt √a+cx+√b −cx = t ( t )
⇔ 2√(a+cx)(b −cx)=t2− a− b phương trình cho có dạng
2t + d( t2- a - b) = 2n "Tìm t cách giải phương trình bậc hai" +)Thí dụ áp dụng
+) Giải phương trình sau
a) √x+1+√3− x −√(x+1) (3− x)=2 Điều kiện : x+1≥0
3− x ≥0 ⇔ -1 x 3 Đặt t=√x+1+√3− x , ( t )
⇔ 2√(x+1)(3− x)=t2−4 pt ⇔ t2 - 2t = ⇔ t = 0, t = 2
+) Với t = không tồn x +) Với t = ⇔ x=-1, x =
b) √2x+3+√x+1=3x+2√2x2+5x+3−16 ( ) Điều kiện : 2x+1x+3≥≥00 ⇔ x ≥ −
3 x ≥ −1
⇔ x -1 Đặt : √2x+3+√x+1=t , ( t )
⇔ 3x + √2x2+5x+3 = t2 -
pt ( ) ⇔ t2 - t - 20 = ⇔ t = ( nhận ), t = - ( loại ) Với t = ⇔ √2x2+5x+3 = 21 - 3x
21−3x ≥0
4(2x2+5x+3)=441−216x+9x2 ⇔
x ≤21 x2−236x
+429=0
⇔
x=upload.123doc.net−√1345 *) Phương trình dạng
√x+a2− b+2a√x −b+√x+a2− b −2a√x −b=cx+m
Trong a, b, c, m số, a *) Phương pháp
Đặt : t = √x −b , ( t )
⇔ x = t2 + b
pt ⇔ |t+a|+|t −a|=c(t2+b)+m - Xét hai trường hợp :
+) t a , phương trình trở thành 2t = ct2 + bc + m ⇔ ct2 - 2t + bc + m = 0 +) t a phương trình trở thành , ct2 - 2a + bc + m = 0
*) Thí dụ áp dụng +) Giải phương trình sau
√x+6√x −9+√x −6√x −9=x+23
Đặt : √x −9=t , ( t ) Khi x = t2 +9
Phương trình trở thành : (√(t+3)2+√(t −3)2)=t2+32
⇔ (|t+3|+|t −3|)=t2+32
TH1 : Với t pt ⇔ t2 - 12t + 32 = ⇔ t = , t = t = ⇔ x = 25
(4)TH2 : Với t pt ⇔ t2 = ⇔ t = Khi t = ⇔ x = 13
Vậy phương trình cho có n0 : x1 = 25 , x2 = 73 , x3 = 13 III) Phương pháp đưa hệ
*) Nhận dạng tổng ( hiệu ) biểu thức dấu không phụ thuộc vào biến *) Phương pháp : đổi biến để đưa hệ phương trình
+) Thí dụ áp dụng +) Giải phương trình sau a) √25− x2−√10− x2=3
TXĐ : −√10≤ x ≤√10 Đặt : √25− x
2
=u √10− x2
=v (u, v )
Ta có hệ phương trình u− v=3
u2− v2=15 ⇔ u − v=3u+v=5 ⇔ u=4v=1 ⇒ x =
±3 b)
√2− x+√x −1=1 TXĐ : x
Đặt
√2− x=a √x −1=b ( b ) Ta có hệ phương trình
a+b=1
a3+b2=1 Giải hệ phương trình ta có a=0
b=1 ; a=1 b=0 ;
a=−2 b=3 Từ ta có nghiệm : x1= ; x2= 1; x3 = 10
*) Phương trình dạng : x2 +
√x+a=a Với a 0 *) Phương pháp
Đặt y = √x+a ( y )
⇔ y2= x + a
+) Kết hợp với đầu ta có hệ phương trình x2
+y=a
y2− x=a ⇔ x
2 - y2 + y + x = ⇔ ( x + y )( x - y + ) = 0
⇔
1
x y
x y
TH1: x = - y Suy phương trình có dạng
y2+ y - a = " Tìm y cách giải phương trình bậc hai" TH2 : x = y - Suy phương trình có dạng
y2 - y + - a = "Tìm y cách giải phương trình bậc hai" IV) Phương pháp đánh giá
+)Phương đánh giá thường sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hai vế để tìm nghiệm
(5)a) √x −2+√4− x = x2 - 6x + 11 +) Xét (VT)2 = (
√x −2+√4− x )2 ( 12 + 12)( x - + - x ) = 4 VT , VT = ⇔ x =
+) Xét VP = ( x - )2 + , VP = ⇔ x = 3 Vậy phương trình có nghiệm x =
b) √3x2+6x+7+√5x2+10x+14=4−2x − x2
Ta có VT =
x+1¿2+4 ¿ x+1¿2+9
¿ 5¿ 3¿
√¿ VT = ⇔ x = -1
Ta có VP = - 2x - x2 = - (x + 1)2 5 VP = ⇔ x = -1
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 c) x
√4x −1+
√4x −1 x =2 ĐK : x > 14
áp dụng bất đẳng cosi cho VT ta x
√4x −1+
√4x −1 x ≥2√
x √4x −1⋅
√4x −1
x =2 dấu = xẩy ⇔ x = √4x −1
⇔ x2 - 4x + = ⇔ x = ±√3 , thỏa mãn V) Phương pháp sử dụng nghiệm nhất
+) Nhận dạng: VT tăng giảm, vế phải tăng ln giảm +) Phương pháp: Đốn nghiệm sau chứng minh nghiệm nghiệm *) Các ví dụ áp dụng
+) Giải phương trình sau
3
√x −2+√x+1=3 ĐK : x -
Ta thấy x = nghiệm phương trình +) Xét x >
√x −2>1 ; √x+1>2 VT > phương trình khơng có nghiệm x >
+) Xét -1 x <
√x −2<1 ; √x+1<2 VT < phương trình khơng có nghiệm -1 x <
Bài tập tự luyện
Giải phương trình sau
1) √3x2−9x+1+x −2=0 2) √x+1+√x −1=4
3) √3x+4+√x −3=√4x+9 4) √x2−6x+6=2x −1 5) x2 + 3x + = (x + 3)
√x2
(6)9) x+√x+1 2+√x+
1 4=2
10) ( x - )( x + ) + 4( x - ) √ x+1 x −3=−3 11) √3+x+√6− x −√(3+x) (6− x)=3 12) x x 1 x x 2 x x 3
13) x 1 2x1 x 1 x3 1 x2 14)
2
8 2 1
x
x x
x
15)
3
1 2 x x x
16) x 94 96 x x2190x9027
17)
1
2 1995 1996
2
x y z x y z 18)x y z 4 x 4 y 6 z 19)3x22x2 x2 x x
20)
2 2 3
3
x x
x x
21)
14
5
3
x x
x
23) 3 x4 49 3 x312 3x 24) 2x28x 6 x21 2 x2
25)x2 4x8 x1
26) √x+√2x −1+√x −√2x −1=√2 27) 1+2
3√x − x
2
=√x+√1− x
28) √x −2−√x+2=2√x2−4−2x+2 29) 3x2 + 2x = 2
√x+x2+1− x
30) √x+2−4√x −2+√x+7−6√x −2=1 31) √10−2x −√2x+3=1
32) √48− x3
+√35− x3=13 33)
√x −1+3=4
√82− x
34) x+√17− x2+x√17− x2 = 35) x3 + = 2
√2x −1 36) x2 +
√x+7=7 37) x2 +
√x+5=5
38)
3
(7)39)x2 4x 5 2x3 40)x2 x 6 3x
41) 3x26x12 5x410x29 4 x 2x2
42)
3
1
2
x x
x x x
43) x2 x 5 x2 x x2 3x4 44) x 2 10 x x212x40
45)
3
2
2 1
6
x x y
y x
46)
3
1
2 xy x y y x
47)
2 2 4 1 2 2 3 4 2
x y x y x x y y 48) 4x 1 x3 1 2x32x 1