Đang tải... (xem toàn văn)
Trong trêng hîp tæng qu¸t cho hai d©y AB vµ DE vu«ng gãc víi nhau t¹i P... Trªn cung nhá BC lÊy ®iÓm D.[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái líp năm học 2000-2001 Câu1: Cho hàm số y = mx2 +2(m-2)x- 3m + 2
CMR đồ thị hàm số qua hai điểm cố định với giỏ tr ca m
Câu2: Giả sử a,b,c,x,y,z số khác thỏa mÃn:
0
a b c
x y z vµ x y z a b c
Chøng minh r»ng:
2 2
2 2
x y z
a b c Câu3: Cho x > y xy = CMR:
2 2
2
( )
8
( )
x y x y
Câu4: Tìm nghiệm nguyªn cđa hƯ bpt:
2
25 18
4
x y y x y x x
Câu5: Cho đờng tròn (O) đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) hai điểm A B Từ điểm M d nằm miền đờng tròn (O) kẻ đờng tiếp tuyến MP MN(P N tiếp điểm)
a) CMR: M di động d đờng trịn ngoại tiếp MNP qua hai điểm cố định.
b) Tìm tập hợp tâm đờng trịn ngoại tiếp MNP M di động d.
c) Xác định vị trí M để MNP u.
Bài làm Câu1:
Gi s thị hàm số y = mx2 +2(m-2)x- 3m + qua điểm M(x0;y0) với giá trị m mx02 + 2(m- 2)x0 – 3m + = y0 với giá trị m
m(x02 + 2x0- 3) + 2- 4x0- y0= với giá trị m
0
2
0
0
0
0 0
0
0
1
2
2
3
2
2
14
x x
y
x x
x
x y x
y x
y
Vậy đồ thị hàm số y = mx2 +2(m- 2)x- 3m + qua hai điểm cố định (1;-2) và (-3; 14) với giá trị m
C©u2
Ta cã:
0
a b c
x y z ayz + bxz + cxy = 0
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2( )
x y z x y z xy xz yz x y z xyc xzb yza
a b c a b c ab ac bc a b c abc
12 =
2 2
2 2
x y z
a b c
2 2
2 2
x y z
a b c C©u3: Cho x > y vµ xy = CMR:
2 2
2
( )
8
( )
x y x y
Ta cã:
2 2
2 2 2 2
2
( )
8 ( ) 8( ) ( ) 8( )
( )
x y
x y x y x y x y
x y
2 2 2( ) 2 2 2( ) 0
x y x y x y x y
2 2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0
x y x y x y x y
2 2
2 2( ) 2 2( )
x xy y x y x xy y x y
(2)
2
2
x y x y
Luôn đúng
C©u5
a) Gọi H hình chiếu O lên đờng thẳng d Vì O d cố định nên H cố định
Ta cã: ONM 900(gt) OPM 900(gt)
OPMN nội tiếp đờng tròn
Ta lại có: OHM OPM 900 OHPM nội tiếp đờng trịn Năm điểm O, H, P, M, N nằm đờng tròn
M di động d đờng trịn ngoại tiếp MNP qua hai điểm cố định O
vµ H
b) Vì đờng trịn ngoại tiếp MNP qua hai điểm O H nên tâm đờng tròn ngoại
tiếp MNP nằm đờng trung trực OH.
Vậy M di động d tâm đờng trịn ngoại tiếp MNP nằm đờng trung trực của
đoạn thẳng OH
c) Khi MNP u NMP= 600 OMN OMP = 300 OP =
1
2OM OM = 2.OP = 2R.
Vậy M cách O khoảng 2R MNP đều
§Ị thi häc sinh giái líp năm học 2002-2003 Câu1: Giải pt: ( x 1)( 1 x1) 2 x
Cho pt: x2- 2mx + 2m – = 0
a) Chøng tá r»ng pt cã nghiÖm x1, x2 với m b) Đặt A = 2(x12 + x22)- 5x1x2.
CM: A = 8m2- 18m + 9
Câu2: a) Tìm nghiệm nguyên dơng pt:
1 1
x yz
b) Cho ba sè d¬ng a,b,c tháa m·n: a2 + b2 + c2 =
5 CM:
1 1
a b c a b c Câu3: Giải hệ pt:
2
7 12
x y xy xy x y
Câu4: Cho hbh ABCD I trung điểm CD Đờng thẳng BI cắt tia AD t¹i E a) CMR: BIC = EID.
b) Tia EC cắt AB F CMR: FC//BD
c) Xác định vị trí điểm C đoạn thẳng EF
Câu5: Từ điểm S bên ngồi đờng trịn (O) kẻ hai cát tuyến SAB, SCD đến đờng tròn CMR: AB = CD thỡ SA = SC
Bài làm Câu1: Giải pt: ( 1 x 1)( 1 x1) 2 x
§iỊu kiƯn: -1x1
Ta cã: ( 1 x 1)( 1 x1) 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x12x 1 x 1 x x 1 2x x 1 x x 1 2 x 1
0
1 2(*)
x
x x
(3)
2
4
4
24
5
25
16 16 25 40 16 25 24 24
25
x
x x
x x
x x x x x
x
x2- 2mx + 2m – = (1)
a) Ta cã: /= (-m)2- 1.(2m- 1) = m2- 2m + = (m- 1)2
V× (m- 1)2 0 với m nên pt (1) cã nghiƯm x1, x2 víi mäi m. b) Ta cã: A = 2(x12 + x22)- 5x1x2 = 2(x1 + x2)2 – 9x1x2
Theo vi-et ta cã: x1 + x2 = 2m x1.x2 = 2m-
A = 2(2m)2- 9(2m- 1) = 8m2- 18m + _đpcm.
Câu2: a) Ta có:
1 1
x yz x,y,z >
Gi¶ sö xyz
1 1
xyz
3
z
3
z 1 z3
Vì z nguyên dơng z = 2;3 * NÕu z = ta cã:
1 1
x y = 1
1
x y=
1
2 x,y > 2
V× xy
1
x y
2
y
1
2
y y4
Vì y nguyên dơng y = 3;4 + NÕu y = 3
1
x =
1
2 x = 6
+ NÕu y = 4 1
4
x =
1
2 x = 4
* NÕu z = ta cã:
1 1
x y = 1
1
x y=
2
3 x,y>
3 V× xy
1
x y
2
y
2
2
y y3
Vì y nguyên dơng y = 2;3 + NÕu y = 2
1
x =
2
3 x = 6
+ NÕu y = 3
1
x =
2
3 x = 3
Vậy nghiệm nguyên dơng pt là: (3;3;3); (6; 2; 3); (6; 3; 2); (3; 2; 6); (3; 6; 2); (2; 3; 6); (2; 6; 3); (2; 4; 4); (4; 2; 4); (4; 4; 2)
b) Ta cã
1 1 1
0 1
bc ac ab
bc ac ab ab ac bc
a b c a b c abc abc abc abc
2 2
7 3
2 2 2 2 2
5 5
ab ac bc ab ac bc a b c ab ac bc
2
( )
5
a b c
(4)C©u3: Ta cã:
2
3 ( )
7
( ) 12
12
( )
x y I xy
x y xy x y xy
xy x y
xy x y x y
II xy
HƯ pt (I) v« nghiƯm HƯ pt(II) cã nghiÖm
1
x y
hc
3
x y
Vậy hệ pt cho có nghiệm
3
x y
hc
3
x y
Câu4:
a) Xét BIC EID cã:
BCI EDI (so le trong)
IC = ID (gt)
BIC EID (đối đỉnh) BIC = EID (g.c.g)
b) Ta cã: BIC = EID (c©u a)
BC = ED
Mµ BC = AD AD = ED
CD đờng trung bình AEF CD = AB = BF BFCD hình bình hành
FC // BD
c) Vì CD đờng trung bình AEF (c/m trên) C trung điểm đoạn thẳng EF.
C©u5: Gäi H K lần lợt hình chiếu O lên AB CD Vì AB = CD OH = OK
XÐt SOH vµ SOK cã:
SO cạnh chung OH = OK (c/m trên)
SOH = SOK (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
SH = SK (1)
Mặt khác AB = CD AH = CK (2) Tõ (1) vµ (2) SA = SC
§Ị thi häc sinh giái lớp năm học 2003-2004 Câu1: a) Tìm xN biết:
1 1 2002
1
3 10 x x( 1) 2004
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q =
6 6
3 3 3
x y z
x y y z z x
Trong x,y,z số dơng thỏa mãn: xy xyyz yz zx zx 1
C©u2: a) Cho x- y = 4; x2 + y2 = 36 TÝnh x3- y3.
b) Cho c¸c sè thùc a, b, x, y tháa m·n ®iỊu kiƯn: a + b = 3; ax + by = 5; ax2 + by2 = 12; ax3 + by3 = 31 TÝnh ax4 + by4
Câu3:a) Giải pt:
3
1
78( )
y y
y y
víi ®iỊu kiƯn y0.
b) Gi¶i hƯ pt:
2 2
2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y x xy y x y
(5)Câu4: Giả sử x,y,z số nguyên không âm thỏa mÃn diều kiện sau:
36 72
x by x z
Trong b > cho trớc CMR: a) Nếu b3 (x+y+z)max= 36
b) NÕu b<3 th× (x+y+z)max= 24 + 36
b
Câu5: Cho đờng tròn (O;R) điểm A với OA = R Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN a) CM AMON hình vng
B) Gäi H trung điểm MN CMR: A, H, O thẳng hàng
c) Mt ng thng (m) quay quanh A cắt đờng tròn (O) P Q Gọi S trung điểm dây PQ Tìm quỹ tích điểm S
d) Tìm vị trí đờng thẳng (m) để AP + AQ max
e) Tính theo R độ dài HI I giao điểm AO với cung nhỏ MN
Bài làm Câu1: a) Ta có:
1 1 2 2 2
1
3 10 x x( 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 x x( 1)
1 1 1
2
1.2 2.3 3.4 4.5 x x( 1)
Ta l¹i cã:
1 1 1 1 1 1 1
1 ; ; ; ; ;
1.2 2.3 2 3.4 3 4.5 4 x x( 1) x x1
1 1 1 1 1 1 1
1
3 10 ( 1) 2 3 4 1
x
x x x x x x
Do
1 1 2002 2002 4006
1 1
3 10 ( 1) 2004 2004 2004
x x
x x x x
4008x4006x4006 2x4006 x2003 VËy víi x = 2003 th×
1 1 2002
1
3 10 x x( 1) 2004
b) *Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số
6
3
x
x y vµ
3
4
x y
ta cã:
6 3 3
3
3 4 3 4
x x y x x y
x
x y x y
T¬ng tù ta cã:
6 3 3
3
3 4 3 4
y y z y y z
y
y z y z
6 3 3
3
3 4 3 4
z z x z z x
z
z x z x
6 6 3 3 3
3 3
3 3 3 4 4 4
x y z x y y z z x
x y z
x y y z z x
6 6
3 3 3
x y z
x y y z z x
3 3
2
x y z
(1)
Mặt khác:
2 2
3 3 3
0
x y y z z x
víi mäi x, y, z d¬ng
x3- 2
3
(6) 2(x3 + y3 + z3) 2(
3
x y + y z3
+ z x3 ) x3 + y3 + z3
3
x y + y z3
+ z x3 x3 + y3 + z3 xy xy yz yz zx zx 1 (2)
Tõ (1) vµ (2)
6 6
3 3 3
x y z
x y y z z x
1 VËy giá trị nhỏ biểu thức Q =
1
DÊu “ = “ x¶y vµ chØ x = y = z =
3
*C¸ch 2: Ta chøng minh B§T:
2
2
1
1
1 2
n n
n n
a a a
a a a
b b b b b b
(*)
¸p dơng B§T bunhiacopxki ta cã:
2
2
2
1 2
1 2
1
1
n n
n n
n n
a a
a a a a
b b b b b b
b b b
b b b
2
2
2 1 2
1 2
1
n
n n
n a a a
a a a b b b
b b b
2
2 1 2
1
1 2
n n
n n
a a a
a a a
b b b b b b
đpcm
áp dụng B§T (*) ta cã:
6 6
3 3 3
x y z
x y y z z x
3 3 3
3 3
3 3
2( )
x y z x y z
x y z
(1)
Mặt khác:
2 2
3 3 3 0
x y y z z x
víi mäi x, y, z d¬ng
x3- 2
3
x y + y3 + y3- + z3 + z3- 2 z x3 + x3 0 2(x3 + y3 + z3) 2(
3
x y + y z3
+ z x3 ) x3 + y3 + z3
3
x y + y z3
+ z x3 x3 + y3 + z3 xy xy yz yz zx zx 1 (2)
Tõ (1) vµ (2)
6 6
3 3 3
x y z
x y y z z x
1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc Q =
1 Dấu = xảy chØ x = y = z =
1
C©u2: a) Ta cã: (x- y)2 = x2 + y2- 2xy 2xy = x2 + y2- (x- y)2 = 36- 16 = 20 xy = 10 x3- y3 = (x- y)(x2 + xy + y2) = 4.(36 + 10) = 184
b) Ta cã: ax2 + by2 = (ax + by)(x + y)- (a + b)xy (1) ax3 + by3 = (ax2 + by2)(x + y)- (ax + by)xy (2) ax4 + by4 = (ax3 + by3)(x + y)- (ax2 + by2)xy (3) Tõ (1) vµ (2) ta cã
5( ) 12 25( ) 15 60 11( ) 33
12( ) 31 36( ) 15 93 5( ) 12
x y xy x y xy x y x y
x y xy x y xy x y xy xy
(7) ax4 + by4 = 31.3- 12.1= 81
Câu3:a) Giải pt:
3 1 78( ) y y y y
víi ®iỊu kiƯn y0.
Ta cã:
3 2
3 2
1 1 1 1
78( ) 78 79
y y y y y y y
y y y y y y y
2
1 1 1 1
2 81 81 9
y y y y y y y
y y y y y y y
0( )
9 0( )
9 0( )
y I y y II y y III y
(I) y2 1 0_ v« nghiƯm
(II) y2- 9y + = 0 y =
9 77
(III) y2 + 9y + = 0 y =
9 77
Vậy pt cho có nghiệm y =
9 77
; y =
9 77
b) Gi¶i hƯ pt:
2 2
2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y x xy y x y
(I) Đặt 2
t x y (t0) ta cã hÖ:
2 3
2 3
( ) 185 185 250
( ) 65 65 65
t xy t t xyt t
t xy t t xyt t xyt
3
125 5
5 60 12
65
t t t
xy xy t xyt
Ta cã (1)
2 2
2
12 12 12 12
25 ( ) 25 ( ) 24 25
5
xy xy xy xy
x y x y xy x y
x y 12 12 12
( ) 49 12
7 xy xy x y xy x y
x y xy
x y x y x y hc x y hc x y hc x y
Vậy hệ pt cho có nghiệm x y hoặc x y hoặc x y hoặc x y
Câu4: Giả sử x,y,z số nguyên không âm thỏa mÃn diều kiện sau:
36 72
x by x z
Trong b > cho trớc CMR:
(8) 3(x + y + z) 108 x + y + z36 (x+y+z)max= 36
b) Nếu b<3 (x+y+z)max= 24 + 36
b Câu5:
a) áp dụng định lí pitago vào tam giác vng OAM ta có: AM = OA2 OM2 2R2 R2 R
Ta cã: AM = AN(T/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau) OM = MA = AN = ON AMON hình thoi Mà OMA = 900 AMON hình vu«ng.
b) Vì AMON hình vng (câu a) nên hai đờng chéo OA MN cắt trung điểm đờng A, H, O thẳng hàng
c) Vì S trung điểm PQ OS PQ S thuộc đờng trịn đờng kính OA.
Vậy quỹ tích điểm S đờng trịn đờng kính OA
d) Ta cã: AP + AQ = AP + AS + SQ = AS + AP + PS = 2AS
Mà S thuộc đờng trịn đờng kính OA AS AO AP + AQ2AO (AP + AQ)max=2AO
Vậy đờng thẳng (m) qua O AP + AQ max e) Ta có: OH =
2 2 2
2 2
OA OM AM R R R
; OI = R HI = OI- OH = R-
2
R
=
(2 2)
R
§Ị thi häc sinh giỏi lớp năm học 2004-2005 Câu1:(3,5đ) Giải pt sau:
a)
2
3
1 10 21
1 1
y y y
y y y y y y y y
b)
3
1
78
y y
y y
Câu2:(4,5đ) Gọi d đờng thẳng y = 2x + cắt trục hoành M trục tung N a)Viết pt đờng thẳng d1//d qua điểm P(1;0)
b) d1 cắt trục tung Q, tứ giác MNPQ hình gì? c) Viết pt đờng thẳng d2 qua N vng góc với d
d) d1 d2 cắt A Tìm tọa độ A tớnh khong cỏch AN
Câu3:(2đ) Giải hệ pt:
2
xy x y
yz y z
zx z x
Câu4:(2đ) Tìm giá trị x cho thơng phép chia 2004x + 1053 cho x2 + đạt giá trị bé đợc
Câu5:(8đ) Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB M điểm nằm nửa đờng trịn Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lợt C D
a) CMR: CD = AC + BD COD vuông
b) OC v OD cắt AM BM theo thứ tự E F Xác định tâm P đờng tròn đI qua bốn điểm O, E, M, F
(9)Bài làm Câu1:(3,5đ) Giải pt sau:
a) Điều kiÖn y 1.
Ta cã:
2
3
1 10 21
1 1
y y y
y y y y y y y y
2
2 2
1 10 21
0
1 1 1 1
y y y
y y y y y y y y y
b)
3
1
78
y y
y y
§iỊu kiƯn y 0
Ta cã:
3 2
3 2
1 1 1 1
78( ) 78 79
y y y y y y y
y y y y y y y
2
2
1 1 1 1
2 81 81 9
y y y y y y y
y y y y y y y
1 0( )
9 0( )
9 0( )
y I
y
y II
y
y III
y
(I) y2 1 0_ v« nghiƯm (II) y2- 9y + = 0 y =
9 77
(III) y2 + 9y + = 0 y =
9 77
Vậy pt cho có nghiệm y =
9 77
; y =
9 77
§Ị thi häc sinh giái lớp năm học 2005-2006 Câu1:(4d) Cho biểu thức: A =
2
5
x x x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A <
c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tng ng ca A cng l s nguyờn
Câu2:(3đ)
a) Tìm nghiệm nguyên pt: (x+5)2 = 64(x-2)3 b) Số 2100 có chữ số.
Câu3:(4đ) Giải pt bpt sau: a)
3 1
(10)b)
2
1 ( 1)
2
2
x x
x x
C©u4:(2d) Cho a, b, c > vµ a + b + c =1 Chøng minh r»ng:
1 1
1 1 64
a b c
Câu5:(4đ) Cho đều ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Qua điểm M cung nhỏ AB vẽ đờng
tròn tâm O'tiếp xúc với đờng tròn (O) cắt MA, MC lần lợt N P Chứng minh: a)NP//AC
b) MA + MB = MC
Câu6:(3đ) Cho MNP có đỉnh M, N, P lần lợt di động ba cạnh BC, AB, AC
nhọn ABC cho trớc Xác định vị trí M, N, P để chu vi MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
§Ị thi häc sinh giái líp năm học 2006-2007 Câu1:(4đ) Trên hệ trục Oxy
a) Viết pt đờng thẳng qua A(-2; 3) B(1; -3)
b) Đờng thẳng AB cắt trục hoành C trục tung D Xác định tọa độ C D Tính SOCD
c) Tính khoảng cách CD
Câu2:(4đ) Giải hÖ pt
4
1
2
20
1
2
x y x y
x y x y
Câu3:(4đ) Cho biểu thức: B =
1
1
1 :
1
x
x x x x
x
x x x x
a) Rót gän B
b) Víi x = ? th× B =
Câu4:(8đ) Trong (O;R) cho hai dây AB CD vuông góc với nhau(R 3AB2R) a) CMR: AB2 + AC2 = 4R2
b) Cho AB = R tính AC khoảng cách từ tâm O đến hai dây AB AC Kẻ hai dây AD BE hợp với AB góc 450 DE cắt AB P
a) CMR: DEAB
b) Gọi OF khoảng cách từ O đến DE Tính khoảng cách từ O đến DE độ dài đoạn thẳng PA, PB, PD, PE AB = R
Nối CE Hỏi ADEC tứ giác gì?
Trong trờng hợp tổng quát cho hai dây AB DE vuông góc với P CMR: PA2 + PB2 + PD2 + PE2 = 4R2.
§Ị thi häc sinh giái líp năm học 2007-2008 Câu1:(4đ) Cho hệ pt
2
ax y a x ay a
a Gi¶i hƯ pt a =
b Với (x;y) nghiệm hệ pt cho, tỡm a x>y
Câu2: (4đ) Cho biểu thøc:
1 1
2 3 4 2007 2008
A
a Rót gän A
b H·y chøng tỏ giá trị biểu thức A số vô tỉ
(11)Câu4: (3đ) Cho ba số dơng a,b,c thoả mÃn điều kiện: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: Q
2 2
a b c
b c c a a b
Câu5 (5đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Trên cung nhỏ BC lấy điểm D Gọi giao điểm A BC E
a CM: AE.ED = BE.EC b CM: BD + CD = AD c CM:
1 1