so do tu duy gd công dân 9 mai thi năm thư viện tư liệu giáo dục

Cho neân ñeå coù theå kích thích, giaùo duïc toát hôn nöõa cho hoïc sinh, toâi ñaõ phaân loaïi töøng chuû ñeà ñeå hoïc sinh naém chaéc töøng vaán ñeà cuûa lyù thuyeát, [r]

sở giáo dục và đào tạo hà nội

Tr-êng ThPt ngun gia thiỊu

-

S¸ng kiÕn kinh nghiƯm:

Một vàI kinh nghiệm giảng dạy hàm số lớp 12 trung học phổ thông

Giáo viên : quyền văn ch-ơng Tổ : To¸n

Một số kinh nghiệm giảng dạy hàm số lớp 12 Trung học phổ thông

Đặt vấn đề:

A.Vấn đề tính đơn điệu hàm số

I Vấn đề lý thuyết Dùng định lý:

Nếu y  f(x) có đạo hàm  a;b

Giả sử f(x)0 số hữu hạn điểm  a;b :

– f(x)đồng biến  a;b  f(x)0 x a;b

– f(x)nghịch biến  a;b  f(x)0 x a;b

Chú ý:

Bài tốn tìm tham số để hàm số tăng giảm khoảng cho trước thường dẫn đến toán so sánh số  ( hay số a,b ) với nghiệm x1,x2

của tam thức bậc hai:

c bx ax x

f( )   (a  0)

II Bài tập áp dụng Bài 1:

Cho hàm số :y x33mx232m1x1

Tìm m để hàm số đồng biến tập xác định

Bài giải :

Hàm số đồng biến R  y3x26mx32m10 xR

3m2 92m10

 m = Bài :

Cho hàm số :  1  3

1     



 x k x k x y

Tìm k để hàm số đồng biến  0;3

Bài giải :

 TXÑ : D = R

 yg x x22k1xk3

k12 k3k2 k40 k

 y có nghiệm phân biệt x1,x2

Bảng xét daáu y :

x - x1 x2 +

Hàm số đồng biến 0 ;3 x103x2  12 12 ) ( ) ( ) ( ) (                  k k k g g

Baøi :

Cho hàm số y

m x m mx x 2   

a Tìm m để hàm số cho đồng biến khoảng xác định

b Tìm m để hàm số cho đồng biến khoảng 1; Bài giải :

TXÑ : D = R \  2m a, 2

) ( m x m mx x y    

 Đặt 2

)

(x x mx m

g   

Hàm số cho đồng biến khoảng ;2m 2m;

4 )

(  2  

g x x mx m x2m

0

0

2  

         m m a

Vậy m0 hàm số đồng biến khoảng ;2m 2m;

b, Tìm m để hàm số đồng biến 1;

 Khi m0: hàm số đồng biến ;0 0;  thoả mãn điều kiện

đồng biến 0; (1)  Khi m0: 3m2 0

y0x2mm

Bảng xét dấu

x - (2– 3)m m (2+ 3)m +

y’ + -  - +

Hàm số cho đồng biến 1;  

              3 m m m m (2) Từ (1) (2) có y đồng biến 0; m2

III Bài tập áp dụng tương tự

1 Bài : Cho hàm số : y x33x2 m1x4m

a Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng 1;1

b Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m1

Baøi : Cho hàm số :   2      x x k x y

Tìm k để hàm số đồng biến khoảng 0;

Kết : k 0

B. Vấn đề cực trị hàm số

I Phaàn lý thuyết

1 Dấu hiệu : Cho f(x) có đạo hàm  a;b x0  a;b

Nếu x0: f(x)0 không xác định

thì : –) Nếu f(x) đổi dấu từ (–) sang (+) x qua x0 f(x) đạt cực

tiểu x0

–) Nếu f(x) đổi dấu từ (+) sang (–) x qua x0 f(x) đạt cực đại

2 Dấu hiệu : Cho f(x) có đạo hàm  a;b f(x)0

Giả sử f(x) có y x0 :

–) Nếu f (x0)0 f(x) đạt cực tiểu x0

–) Nếu f (x0)0 f(x) đạt cực đại x0

II Phần tập Bài : Cho hàm số

1 2       m x m x x y

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) m1

b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu Viết phương trình đườngthẳng

qua điểm cực đại cực tiểu

Baøi giải :  TXĐ : D = R \ 1m

  2

1        m x m x m x y

Hàm số có cực đại cực tiểu  y0 có nghiệm phân biệt y đổi

dấu liên tiếp qua nghiệm

m x m x

x

g( ) 22( 1) 3

 có hai nghiệm phân biệt  1m                            m m m m m m m m m g m m , ) )( ( ) ( , ) ( ) ( 2

 Phương trình đường thẳng qua cực trị :

  2

2 Baøi : Cho haøm số y x33mx2(m22m3)x4

Tìm m để hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu phía trục

tung

Bài giải :  TXÑ : D = R

 y g(x)3x26mxm22m3

Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu điểm phía trục tung

) (x g

 có nghiệm thoả mãn x1 0 x2

1 m

0 ) m m ( ) ( g

a

   

   



Baøi : Cho haøm số yx3 kx2 (k tham số) (Ck)

Tìm giá trị k để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Bài giải :

 TXÑ : D = R

 y3x2 k TH :

Nếu k 0 y0 xR  hàm số đồng biến R

(Ck) cắt Ox điểm TH 2:

Nếu k 0

3

0 x k

y   

(Ck) cắt Ox điểm yCD.yCT0 ( 27)

27

4     

 k k

Vậy k 3 đồ thị hàm số cho cắt Ox điểm

C. Bài toán tiếp tuyến của đường cong y = f(x)

I Phần lý thuyết

Học sinh nắm cách viết phương trình tiếp tuyến đường cong

) ( :

)

(C y f x trường hợp sau:

1 Phương trình tiếp tuyến M0(x0;y0)(C):y f(x)(xx0)y

0

2 Cho biết hệ số góc k  xét phương trình f(x)k

Từ suy toạ độ tiếp điểm

Lý luận xét hệ         k x f y x x k x f ) ( ) ( ) ( 0 0

II Phần tập áp dụng Bài : Cho hàm số

2    x x

y (C)

a.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm thuộc (C) có hồnh độ

 x

b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua ) ; ( M

Baøi giaûi :

a, Học sinh tự làm

b, d đường thẳng qua M(6;5) có hệ số góc k d có phương trình :

) (   k x y

d laø tiếp tuyến

               k x x k x x C ) ( ) ( 2 )

( có nghiệm x2

1  k ,

4  k

Khi k1 1 (d1):yx1 x y : ) d (

k2   2   Bài : Cho hàm số y x3 3x (C)

Tìm đường thẳng y 2 điểm từ kẻ tiếp tuyến

đến (C)

Bài giải :

Gọi M(m;2)():y2

Phương trình đường thẳng (d) qua M :yk(xm)2 )

(d tiếp tuyến (C)            k x m x k x x ) ( ) ( 3 có nghiệm

 phương trình hồnh độ tiếp điểm: x33x3(x21)(xm)2

(x1)2x2(3m2)x3m20 (*)

Phương trình (*) có nghiệm phân biệt g(x)2x2(3m2)x3m2 có

                            2 6 ) ( ) ( ) ( m m m m g m m

3 Baøi : Cho hàm số y2x33(m3)x218mx8 (Cm)

Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hồnh Bài giải :

TXĐ : D = R

m x m x

y6 6( 3) 18

0 



 x

y xm

)

(Cm tiếp xúc với 0x  hµm số cho cĩ cực trị

yCĐ  yG 0

                                    27 35 18 ) ( 54 ) ( 27 54 2 m m m m m m m m m m

D.Vấn đề Tập hợp điểm - Điểm cố định

I. Phần lý thuyết

1, Tìm tập hợp điểm M di động thoả mãn điều kiện cho, ta

thường làm sau:

a Tìm toạ độ M có chứa tham biến

b Khử tham biến m ta hệ thức độc lập x,y (F(x,y)0)

c Giới hạn theo điều kiện, ta tập hợp phải tìm 2, Điểm cố định

Cho họ đường cong (Cm) có phương trình y f(x;m) m

II Bài tập áp dụng Bài : Cho hàm số

1     x x

y (C)

Biện luận theo m số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng

2m ym

Trong trường hợp có giao điểm A,B, tìm tập hợp trung điểm

Bài giải :  Biện luận số giao điểm đồ thị  I(xI;yI) trung điểm AB

   

 

   

m x y

m x

I I I

2 4

 yI 2xI 4

Tập hợp I đường thẳng y 2x4

loại bỏ đoạn AB : A(2;0) B(0;4)

2 Baøi : Cho haøm số yx4 2mx2 2m1 (Cm)

CMR : (Cm) ln qua điểm cố định A,B m thay đổi

Bài giải : )

; ( 0 x y

M điểm cố định cuûa (Cm)

2 02

0   

 

 yo x mx m m

) (

1 02

4

0    

 y x m x m )

(

1 0

m

C y

x

 

 

  

 qua điểm cố định M(1;0) N(1;0)

E. Vấn đề dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm phương trình - Tìm GTLN GTNN

1 Baøi : Cho y x3 3x (C)

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

Dùng đồ thị (C) để tìm GTLN GTNN hàm y 3sin3 xsin3x

ysin3 x3sinx

Đặt t sinx

Xét F(t) = t3 3t , t 1;1

Xét đồ thị ta có: max F(t) =      k2

2 x

1 t

3;1

Nên y = -2     k2

2 x t

t 1;1

2 Bài : Cho hàm số y  m2x4 2x2 m (với tham số m0,mR)

Khảo sát biến thiên hàm số m 0

mét số toán tổng hợp

Bài 1

Cho hµm sè y =

1 2

  

x x x

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

2 Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ điểm đến trục hồnh lần khoảng cách từ điểm đến trục tung

Gi¶i:

1 Häc sinh tù gi¶i

2 Gäi M (x0, y0)  (C) d(M, Ox) = 2d(M, Oy)

y0 = x0

 y0 = 2x0

* Ph-ơng trình hồnh độ giao điểm (C) đ-ờng thẳng y = 2x 2x =

1 2

  

x x x

(x  -1)

 2x2 + 2x = x2 + 2x +

 x2 =

 x =  VËy y = 2

* Ph-ơng trình hồnh độ giao điểm (C) đ-ờng thẳng: y = –2x –2x =

1 2

  

x x x

(x  –1)

 –2x2 - 2x = x2 + 2x +

3x2 + 4x + = Ph-ơng trình vô nghiệm Vậy ycbt M1( 2, 2)

Bµi 2

Cho hàm số y = 2mx3 – (4m2 + 1) x2 + 4m2 với m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị m =

2 Tìm m cho đồ thị hàm số tiếp xúc trục hồnh

Gi¶i

1 Häc sinh tù gi¶i 2

NÕu m = y = x2 (P)

Dĩ nhiên (P) tiếp xúc trục hoành O (0,0)

Nu m  hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ ph-ơng trình 2mx3 – (4m2 + 1) x2 + 4m2 = (1)

k = f’(x) = 6mx2 – (4m2 + 1) x = (2) Tõ (2)  x = v x =

m m

3 2 Tõ (1) víi x = => m = (lo¹i)

x =

1 4m2 

=> 2m

2 2

3

3 ) (

1

   

   

    



  m

m m

m

+ 4m2 =

=> 2

3

2

9 ) ( ) ( 27

2

m m m

m

 

 + 4m2=

=> (4m2 + 1)3 - 108m4 = (*) Đặt t = m2 >

(*)  (4t + 1)3 – 108(t2) =

 64t3 – 60t2 + 12t + =

 

  

         

16

1

t

t =

 t =

1 v t = – 16

1

m2 =

1 

m =

2

Đáp sè: ycbt  m = v m = 

2

Bµi 3

Cho hµm sè y = 1   x x

(C)

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

2 Tìm điểm trục tung mà từ điểm kẻ đ-ợc tiếp tuyến đến (C)

Gi¶i: 1 Häc sinh tù gi¶i

2

Gäi A (0 , a)  Oy

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) qua A: y = kx + a

Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ ph-ơng trình: k = f’ (x) = – 2

) (

2  x

1   x x

= kx + a

Ph-ơng trình hồnh độ tiếp điểm (d) (C)

1   x x

= 2 ) (

2   x

x

= a (®k: x 1)

 (a – 1)x2 – 2(a + 1) x + a + = (*) NÕu a = (*) thµnh –4x + =

 x =

(nhËn so ycbt)

NÕu a  th× ’ = (a + 1)2 – (a2 – 1) = 2a +

 (*) cã nghiƯm kÐp  hc (*) cã nghiƯm x1 = vµ x2 



     

   

   

      

    

   

1 a

1 a P

0 a ) a ( a

1 a

1 a x x

0 a '

2

 a = –1

VËy cã ®iĨm A(0 ; 1) v A’(0 , –1)

Bµi 4

Cho hµm sè y = x3 – 3x

Khảo sỏt biết thiờn vẽ đồ thị (C)

Tìm điểm đ-ờng thẳng y = điểm từ kẻ đ-ợc tiếp tuyến đến (C)

Gi¶i:

a Häc sinh tù lµm b

Gọi M (m , 2) đ-ờng thẳng y = Ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) qua M:

y = k (x – m) +

Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ ph-ơng trình: k = f’ (x) = (x2 – 1)

x3 – 3x = 3(x2 – 1)(x – m) +

Ph-ơng trình hồnh độ tiếp điểm (d) (C) x3 – 3x = 3x3 – 3mx2 – 3x + 3m +

 2x3 – 3mx2 + 3m + =

 (x + 1)(2x2 – (3m + 2) x + 3m + 2) = (*) Gäi  (x) = 2x2 – (3m + 2) x + 3m + Yêu cầu toán

Bµi 5

Cho hµm sè y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m

1 Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (–1 , 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = –1

Gi¶i:

1 D = R

y’ =  (x) = 3x2 + 6x + m +

’ = – 3(m + 1) = –3m + * ’ 

 –3m + 

 m 

Lúc y’  x R (vì dấu a = > 0) Vậy hàm số đồng biến R (loại so yêu cầu)

* Nếu m < ’ > gọi x1, x2 nghiệm phân biệt (x) Lúc đó:

x – x1 x2 +

y’ + 0 – 0 +

y

Hàm số giảm khoảng (1 , 1)

 x1  –1 <  x2



  

  

     

0 ] 10 [ ) (

0 ]

3 [ ) (

m a

m a

 



  

  

10

m m

 m  –10

Bài 6

Cho hàm số y = 4x³ + mx

1 Tùy theo m xét biến thiên hàm số

2 Tìm m để y ≤ |x| ≤

Giải

1

D = R

y = 12x² + m

 Nếu m ≥ y’ ≥ x  R

Vậy hàm số đồng biến R

 Nếu m < y =

 x² = –

12

m

 x =  3m

6



Lúc đó:

x – –

6 3m



6 3m



+ 

y' + – +

y CĐ + 

 CT

2 Giả sử |f(x) | ≤ │x│ ≤

 f(1)  m4 1



2

1

   



 m

f

 –1  m + 4

–2  m + 1

 –5≤ m ≤ –3

–3 ≤ m ≤1

 m = –3

Thử lại: Lúc m = –3 y = 4x³ – 3x

 y = sin³t – sint = –3sint

Hiển nhiên y –1 ; 1

Vậy yêu cầu toán thỏa  m = –3

Bài

Giải

1

- Nếu m = y = x đồng biến R (nhận so ycbt) (1)

- Nếu m  : D = R \ –

m

1

y' = 2

2

2

) (

1

   

mx

m mx

x m

Hàm số (1) đồng biến ( ; +)

 g(x) = m2 x2 + 2mx + – m2 x >

Ta có: ' = m2– m2 ( – m2) = m4 > m 

Vậy g ( x ) = ln có nghịêm phân biệt:

x1 = –

1  m

x2 = –

1  m

x – – 1

m m

1

 m

m

 +

y' + - - +

y – + +

 –

Ta thấy (1) đồng biến ( 0, +)

 x2 = –

1  

m

Cho hàm số y = (1)

1 mx

m x mx2

 

 với m tham số

1 Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (0; + )

2 Khảo sát biến thiên vẽ (C) m =

 10

m m

 < m  (2)

Vậy hàm số (1) đồng biến ( 0, + )

 m  0 ;1

2 Học sinh tự giải

3 Gọi M(x0, y0)  (C) (x0 -1)

=> y0 =

1 1 0 0       x x x x x

Pt đường thẳng (d) qua M:

y = k (x - x0) + y0

Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ phương trình

                2 0 ) ( ) ( ' ) ( 1 x x x x f k y x x k x x x

=> Pt hoành độ tiếp điểm:

  

 1 ( 1)

2 1 2           x y x x x x x x x x

 (x2 + x + 1) (x + 1) = (x2 + 2x) (x - x0) + y0 (x + 1)

2

 x3 + 2x2 + 2x + = x3 - x0x

2

+ 2x2 -2x0x + y0x

2

+ 2y0x + y0

 (y0 - x0)x

2

+ 2(y0 - x0 -1) x + y0 - =



1 1 1 1 0 0                 x x x x x x x

(vì M  (C))



1 1 0       x x x x x x x

 x2 - 2x0x + x02 = (*)

Phương trình (*) có nghiệm kép:

x = x0

Chỉ có tiếp điểm

Vậy điểm (C) có tiếp tuyến

Bài

Cho hàm số y =

b Tìm m để (1) có cực đại cực tiểu

c Giả sử hµm sè có giá trị cực đại, cực tiểu yCĐ, yCT Chứng minh

2

2  

CT

CD y

y

Giải

a Học sinh tự giải

b D = R \ -1

y' =

 2

1 2

  

x

m x x

(1) có cực đại cực tiểu

y' = có nghiệm phân biệt  -1

 ' = + 2m >

 m >

-2

c Gọi x1, nghiệm y' =

Do định lý Viét:

S = x1 + x2 = -

P = x1x2 = -2m

Ta có:

1 2

'

' xm v

u

Vậy: (yCĐ)2 + (yCT)

2

= (2x1 + m + 2)

2

+ (2x2 + m + 2)

2

= 4 2

2 x

x  + 4(m+2) (x1 + x2) + 2(m + 2)

2 = [4 + 4m] - (m+2) + 2(m+2)

2

=> (yCĐ)2 + (yCT)

2

= (m) = 2m2 + 16m +

Mxđ: D = 

  



 

,

Bài

Cho hàm số :



  



    



  

 

4 m

0 m m

mx

4 m ) x x )( m ( y

2

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị m =

b Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc đường thẳng y = 1?

c Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu? Với giá trị m giá trị cực đại cực tiểu dấu

Giải: a Học sinh tự giải

b Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (Cm)

(m - 1) (x2 - 2x) + m + = (mx + m) (đk: x  -1)

 (m - 1)x2 - (3m - 2)x + = (*)

Đường thẳng y = tiếp xúc (Cm)

 (*) có nghiệm kép  -

m - 

  = (3m - 2)2 - 16(m - 1) =

x =

) m (

2 m

 

 -1

m 

 9m2 - 28m + 20 =

m 

 m = v m =

9 10

m 

5

 m = v m =

9 10

c D = R \ -1 (v× m  0)

y’ =

2

2

) m mx (

m m x ) m ( m x ) m ( m



 

 



y có cực trị

 y’ = có nghiệm phân biệt  -

m(m - 1) 

’ = m2

(m - 1)2 + m2 (m -1) (3m + 2) >

m 0 ^ m 

m2 (m -1) [(m - 1) + 3m + 2] >

m1 ^ m 

(m - 1) (4m + 1) > m < -

4

v m >

Ta có:

' '

v u

=

m

) x )( m

(  

Gọi x1, x2 nghiệm phân biệt y’ =

Ta có: S = x1 + x2 =

) m ( m

) m ( m

  

P = x1x2 =

) m ( m

) m ( m

  

=

-1 m

2 m

 

Vậy yCĐ.yCT >



m ) m (

2 

(x1 - 1)

m ) m (

2 

(x2 - 1) >

 (x1 - 1)(x2 - 1) >

 P - S + >

 -

1 m

2 m

 

+ >



1 m

5  

>

 m - <

 m <

So điều kiện (1) để có cực trị

ycbt  m < -

4

Bài 10

Cho hàm số

1 x

m mx x

y

2

    

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = -1

b Viết phương trình parabol qua điểm cực đại, cực tiểu (C) tiếp xúc đường thẳng 2x – y – 10 =

c Trong trường hợp tổng quát xác định tất giá trị tham số m để điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số phía đường thẳng:

9x – 7y – =

Giải

a Học sinh tự giải

b Gọi (P) y = ax2

+bx + c (a  0)

M(4 , 7)  (P)

N( -2, - 5)  (P)

=> - = 4a - 2b + c (2)

Phương trình hồnh độ giao điểm (P) vµ (d): y=2x – 10 lµ

ax2 + bx + c = 2x - 10

 ax2 + (b - 2)x + c + 10 =

(d) tiếp xúc (P)

a0

(b - 2)2 - 4a(c+ 10) =

(1) (2) (3)

=> a = ^ b = ^ c = -

Vậy (P): y = x2 –

c D = R \  1

y’ =

2

) x (

8 x x

  

y’ =

 x = -2 v x =

Vậy điểm cực đại S(-2 , - 4+m) cực tiểu R(4 , 8+m)

Điểm cực đại cực tiểu nằm phía (d): 9x - 7y - =

 t1.t2 <



2

7

1 ys xs

  

2

R R

7

1 y x

  

<

 (-7m + 9)( - 7m - 21) <

 - < m <

7

i 11

Cho hàm số y = x3

– 3mx2 (m2 2m  3x 

b Viết phương trình parabol qua điểm cực đại, cực tiểu C tiếp

xúc đường thẳng y 2x 

c Trong trường hợp tổng quát xác định tất tham số m để hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu phía tr c tung

Giải

a Học sinh tự làm

b Gọi P y  ax2 bx  c a ≠ 0

Phương trình hồnh độ giao điểm P d

ax2 bx  c 2x 

 ax2b 2x  c – 

d tiếp xúc P

 b 22 4ac2 1

Cực đại 0;4P

  c 2

Cực tiểu 2;0P

 4a  2b  c 0 3

T 1, 2, 3

 a  2, b 6, c 

Vậy P: y2x2  6x 

c D R

y gx 3x26mx  m2 2m 

Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu điểm phía y’0y

 gx có nghiệm x1,x2 cho x1   x2

 ag0 2m2 + 2m  3

 3  m 

i 12

Cho hàm số:

y  x3 3mx2 3m2  1x  m3 Cm

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị m 2

2 Tìm để Cm c t tr c hoành điểm phân biệt có

điểm có hồnh độ âm

Gỉải

1 Học sinh tự làm

2 y 3x2 6mx  3m2  1

y 

 gxx2 2mx  m2 

 x1 m 1 x2  m 1 x1  x2

Lấy fx chia cho gx ta được:

y  fx x  mgx 2x  m

 gx1  gx20

Vậy yCĐ fm  12m 1 m  3m

yCT  fm 12m 1m 2 3m

Yêu cầu toán

y’ có nghiệm phân biệt x1,x2 với x1 x2 x1

 yCĐ.yCT 

f0

x1  m 1 0

 23m23m

m3

m 

 

3 

m 

3

m 

  m 

3

Keát:

Trên số kinh nghiệm thân tơi áp dụng thấy có tác dụng tốt Rất mong thầy đồng nghiệp góp ý, giúp đỡ để tơi

đạt kết tốt Xin chân thành cảm ơn!

Long Biªn, ngày 09 tháng 05 năm 2007

Người viết