giai toan hinh khong gian bang vecto

Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ.. Bước 2.[r]

GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”

Quy trình chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ

Bước 1.Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận tốn hình học khơng gian cho “ngôn ngữ” véctơ

Bước Thực u cầu tốn thơng qua việc tiến hành phép biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ sở.

Bước Chuyển kết luận vectơ sang tình chất hình học khơng gian tương ứng Một số dạng tốn

Dạng Phần quan hệ song song

Bài toán Hai đường thẳng phân biệt AB CD song song với AB kCD

.

Bài toán Cho hai a b,

 

không phương thuộc mặt phẳng (P), AB khơng thuộc (P) Khi đó :AB//(P)  AB xa yb 

                                         

.

Bài toán Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) (MNP).

Khi đó:

 

1

(ABC) / / MNP AB xMN yMP AC x MN y MP

  

  

 

 

                                            

.

Ví dụ 1

Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F trọng tâm tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF

Lời giải:

Bước1:Chọn hệ véc tơ sở

 AA1 a AB b AC c,  ,  

                                                                                    Theo ra:

+M trọng tâm tam giác AA1B1: 1

1

( )

3

AM  AA AB   

(1) +N trọng tâm tam giác A1B1C1: 1

1

( )

3

AN  AA AB AC    

(2) +E trọng tâm tam giác ABC:

1

( )

3

AE AB AC   

(3) +F trọng tâm tam giác BCC1:

1

( )

3

AF  AB AC AC     

(4) + MN/ /EF  MN  k EF

B1

A1 C1

A C

B

E

F M

N

Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ

Từ (1), (2):   MN AN AM  a c     

                                                                

Từ (3), (4):   EFAF AE  a c     

                                                                

(6) Từ (5), (6): MN EF

 

(7)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian

Từ (7) : MN // EF Ví dụ 2

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N trung điểm cạnh AA1, B1C1 Chứng

minh: MN // (DA1C1)

L i gi i:ờ ả

Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở

DA a DC c DD ,  , 1b

     

+ M trung điểm AA1:  

1

2

DM  DA DA   

(1) + N trung điểm B1C1:  

1

1

DN DB DC   

(2) +MN / / DA C  1  MNxDC1yDA1

                                         

(3)

Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ

Từ (1), (2):  

1

2

MN DN DM  a c b      

 

2 c a c b       

A1

B1 C1

D1

A D

C B

N

M

Suy ra: 1 MN DC  DA   

(4)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian

Từ (4) : MN // (DA1C1)

Ví dụ 3

Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N trung điểm cạnh AA1, CC1 G

trọng tâm tam giác A1B1C1

Chứng minh: (MGC1) // (AB1N)

L i gi i:ờ ả

Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở  AA1a AB b AC c,  ,  

     

+ M trung điểm AA1:

1 AM  AA  

(1) + N trung điểm CC1:  

1

2

AN  AC AC   

(2) + G trọng tâm tam giác A1B1C1:

1 1

( )

3

AG AA AB AC    

(3)

+

 

1

1 1

(MGC ) / / ABN MG x AB y AN MC x AB y AN

  

  

 

 

                                            

(4)

G

A C1

A

B

B

C N M

Ta có:

1 1

(5) 3

1

( ) (6)

MG AG AM a b c

MG x AG y AM x y a xb yc

    

     

                                                                                   

     

Từ (5) (6) , , ,a b c   

khơng đồng phẳng nên ta có:

1

2

1 3

x y

x y 

  

 

   

 



1 1

(7)

3 3

x y MG AB AN

     

   Ta có:

 

1

1

(8) 2

1

(9)

MC AC AM a c a a c

AN AC CN a c

      

   

     

 

    

Từ (8) (9): MC1AN (10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học không gian

Từ (7) : 1

1

MG//mp(AB )

3

MG AB  AN  N

                                         

(11) Từ (10) :MC1AN  MC1/ /mp AB N( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12)

Từ (11) (12) :mp MGC( 1) / /mp AB N ( )

Bài tập vận dung

Bài Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử E tâm mặt ABB1A1; N, I trung điểm CC1 CD Chứng minh : EN//AI.

Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N lần trọng tâm tam giác ABA1 và ABC Chứng minh : MN//(AA1C1).

Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E trung điểm BB1, CC1, AA1. G trọng tâm tam giác A1B1C1.

Chứng minh:

1 (MGC1)//(BA1N) 2 (A1GN)//(B1CE).

Dạng Phần góc khoảng cách

Bài tốn Góc hai đường thẳng AB CD tính theo cơng thức:

os

AB CD c

AB CD  

   

Bài toán Khoảng cách hai điểm A B :

2 A ABAB  B

 

Bài toán Cho điểm M đường thẳng l có véc tơ phương a



, điểm A thuộc l Tính khoảng cách từ M đến l.

Phương pháp giải:

Đặt AM m

 

, gọi N hình chiếu M lên l.

Khi đó: MNAN AM xa m

    

MN a xa m a  0

Khoảng cách cần tìm :  

2 MN  xa m                                          

Bài tốn Cho (ABC), điểm M khơng thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) góc giữa MA (ABC).

Phương pháp giải:

Đặt AM  m,AB a AC b , 

   

, gọi N hình chiếu M lên (ABC). Khi :MNAN AM xa yb m 

     

Do MN (ABC) nên

  

( )

( )

xa yb m a xa yb m b

   

 

  

 

       

Khi cho biết x,y ta tìm khoảng cách từ M đến (ABC) bằng  

2 xa yb m 

.Nếu

0 xa yb 

  

góc AM (ABC) góc m xa yb

 

, xa yb 0

  

AM

 (ABC).

Bài tốn Cho đường thẳng chéo nhau, d1 qua A1 có véc tơ phương a1



; đường thẳng d2 qua A2 có véc tơ phương a2



Tính khoảng cách góc hai đường thẳng trên. Phương pháp giải:

+ Góc hai đường thẳng :

1

1 os

a a c

a a  

   

+Đoạn vng góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), đó:P P1 xa1m ya

   

Do

1 1 2

, PP a

x y PP a

 



 

 

    

Khoảng cách cần tìm:

2

1 ( 2)

PP  xa m ya

   

Ví dụ 4

Cạnh đáy lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 a, điểm O O1 tương ứng trọng tâm

của dáy ABC A1B1C1.Độ dài hình chiếu đoạn thẳng AO1 đường thẳng B1O

5

a

.Hãy tính đường cao lăng trụ Lời giải:

Chọn hệ véc tơ sở

AA1m AB n AC,  , p

     

Giả sử hm

 Ta có:

   

 

1 1

1

1

AA

3

1

3

AO AB AC m n p

B O AO AB m n p

     

     

                                                                                                       

Suy ra:

A1

A

B1

C1

B

C O1

 

 

2

1

2 2

1 2

1

9 3

1

, os

6

AO B O h a

h a

AO B O h a c

h a



  



  

  

 

Vì:

5 os =

4 a AO c  

nên

2 2

2

9 (6 )

6(3 )

h a h a a a

h

h a

 

   

Ví dụ 5

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=4.Điểm D nằm cạnh SC, CD=3, khoảng cách từ A đến đường thẳng BD Tính thể tích hình chóp

Lời giải:

Chọn hệ véc tơ sở SA a SB b SC c ,  ,         Đặt  góc phẳng đỉnh hình chóp N hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng BD

) (1 ) AN DN DA xDB DA   a xb   x c        

Do ANDB

 

(1 ) ( )

(17 1) 8( 1) os (1)

AN DB a xb x c b c

x x c 

        

    

     



S

A

B

C D

N

Mặt khác:

2

2

2 17 13 8( 1) cos (2) AN   AN   x  x  x  Từ (1) (2) ta

7 x 

.Vì :

55 os

64 c   Ta tính độ dàiđường cao hình chóp SO Vì O trọng tâm tam giác ABC nên

   

 2

2

1

4

3

1 1

4 48 96 os 58

3

9

SO SA SB SC a b c

SO a b c c

AB b a



     

      

  

      

   

  

Vậy:

2

3

1 174

3 16

S ABC

AB

V  SO 





Ví dụ 6

Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC cạnh 2, cạnh bên SC vng góc với đáy có độ dài M,N trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo góc khoảng cách SM CN

Ta chọn hệ véc tơ sở

CA a CB b CS c                ,                ,  

+Ta tìm góc  SM CN? Ta có:

1

( )

1

( )

SM CM CS b c

CN a b

   

 

       

Khi đó:

0

os 45

2

SM CN c

SM CN

    

   

A

S

B

C

M N

Q

P

+Tính khoảng cách SM CN? Gọi P thuộc SM Q thuộc CN Khi đó:

   

1

2 2

PQ xSM yCN SC  ya x y b  x c

 

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

Do PQ đoạn vng góc chung SM CN nên:

   2

2

3 3

2

3

1

2

6

x

PQ SM x y

x y

PQ CN y

PQ a b c PQ a b c

  

    

 

 

  

 

 

 

 

 

        

     

       

Ví dụ 7

Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC với cạnh 1, cạnh SA vuông góc vng góc với đáy, SA  Mặt phẳng   song song với đường thẳng SB AC, mặt phẳng   song song với đường thẳng SC AB Tính giá trị góc hai mặt phẳng     Lời giải:

Chon hệ véc tơ sở

 AS a AB b AC c ,  ,  

     

Giả sử m n,

 

véc tơ khác

0,

tương ứng vng góc hai mặt phẳng

    ,

cịn  góc hai mặt phẳng    

Thế thì:

os

m n c

m n  

   

Đặt m xa yb zc      

A

S

B

C

Ta có:

     

( ) 0

b c xa yb zc SB m

m

AC m c xa yb zc





     

 

    



    

 

      



23

6

1

2 y

x y z

y z x z

    

 



 

  

 



Số phương trình bé số ẩn, điều chứng tỏ m  

không xác định Chọn z 1 x1,y4 nên m a   4b 2c véc tơ vng góc với  

Tương tự :

 

1

2

2

SC n o t u

n ta ub vc

AB n v u





  

 

       



 

  

                               

 

Chọn :u 2 v4,t 1 n a  2b4c

Khi :

1 os

5 m n c

m n

  

   

Bài tập vân dụng.

Bài Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin góc cạnh đối diện.

Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h Tính cosin

góc:

1.Giữa AB1 BC1.

2.Giữa AB B1C.

Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ CD’.

Bài Cho tứ diện SABC cạnh BD đường cao tam giác ABC Tam giác BDE nằm mặt phẳng tạo với cạnh AC góc, biết điểm S E nằm phía đối với mặt phẳng (ABC) Tính SE.

Dạng Phần quan hệ vng góc

Bài tốn Hai đường thẳng phân biệt AB CD vuông góc với AB CD 

 

.

Bài toán 10 Cho hai a b,

 

không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) Khi

đó :AB(P)

AB a AB b

 

  

 

    

.

Ví dụ 8

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M N điểm thuộc đường chéo BA1 CB1

sao cho: 1

1

,

2

BM CN

Chọn hệ véc tơ sở  BA a BB , 1b BC c,        

Khi đó: a b c a a b c b a c;   0          Theo :

 

 

1

1

1 1

2 3

2 2

1 3

BM

BM BA a b

MA CN

CN CB b c

NB

    

    

   

   

A1

D1 C1

B1

A

B

C D

M

N

Mặt khác:

 

 

1

1

BN BC CN b c

MN BN MN a b c

   

          

      Do đó:

   

   

1

1

1

3

3

MN BA a b c a b MN BA

MN CB a b c b c MN CB

                     



      

Ví dụ 9

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có mặt hình thoi nhau.Các góc phẳng góc

tam diện đỉnh A1

Chứng minh rằng: A C1 (AB D1 1) Lời giải:

Chọn hệ véc tơ sở

 A A a A B1  , 1 b A D, 1c

                                                                                   

Theo giả thiết :AA D1 1D A B1 1AA B1  Gọi m độ dài cạch hình hộp

Ta có:

 

1 1

1

( )

(1)

A C a b c A C AB a b c b a A C AB

        

 

                                                                                                                                                         

 

 

1

1

( )

(2)

A C AD a b c c a A C AD

    

 

      

 

Từ (1) (2) suy A C1 (AB D1 1)

O1 A1

D1 C1

B1

A

B C D

Bài tập vân dụng.

Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N trung điểm cạnh AD BB’

Chứng minh : MNA’C.

Bài Cho hình chóp S.ABC, SA(ABC), SA=a 3, AC=2a, AB=a, ABC 900 Gọi M N là

hai điếm cho:

3

4

MB MS

NS NC

 

 

     

Bài Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC tam giác cân A Vẽ SO(ABC), D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC.