Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

Trang | PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM MIN, MAX LIÊN QUAN

ĐẾN SỐ PHỨC 1 Kiến thức cần nhớ

- Mô đun số phức z = a + bi z  a2b2 0 - Bất đẳng thức Cô-si: x y xy với x y, 0

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: a2b2c2d2ac bd 2

- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: z1  z2  z1z2  z1  z2 2 Một số dạng toán thƣờng gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mơ đun nhỏ nhất, lớn Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Gọi số phức z x yi x y , R

- Bƣớc 2: Thay z biểu thức cho tìm mối quan hệ x,y

- Bƣớc 3: Đánh giá biểu thức có để tìm max, min, từ suy x y, z

Ví dụ: Cho z z1; 2 thỏa mãn z1z2 1; z1z2 3 Tính maxT  z1  z2 A

B 10 C D 10

Giải

Đặt z1 x1 y i z1; x2y i2 ( ,x y x y1 1, 2, 2R) Điều kiện cho trở thành

+) z1z2 1 x1y i1  x2 y i2  1 (x1x2)2(y1y2)2 1

2 2

1 2 2 2

x x y y x x y y

       (1)

+) z1z2  3 x1y i1  x2 y i2 3

2 2

1 2 2 2

x x y y x x y y

       (2)

Cộng vế với vế (1) (2) ta x12x22y12y22 5 +) T  z1  z2  x12y12  x22y22

Trang |

   

1 2 2

1 1

T  x y  x y   x x y y

2.5 10

   maxT  10 Đáp án D

Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải tập dạng

Phƣơng pháp:

Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Có tập hợp điểm thường gặp +) Đường thẳng

+) Đường tròn +) Đường elip +) Parabol

Bƣớc 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn số phức Từ tìm max, mô đun

Số phức z x yi x y( , R) có điểm biểu diễn M x y( , ) Mô đun số phức z độ dài đoạn thẳng OM với O gốc tọa độ

Ví dụ: Cho số phức z x yi thỏa mãn z 2 4i  z 2i đồng thời có mơ đun nhỏ Tính

2

N x y

A N = B N = 10 C N = 16 D N = 26

Giải

Gọi M x y( , ) điểm biểu diễn số phức z x yi

+) z 2 4i  z 2i  (x 2)2(y4)2x2(y2)2   4x 8y16  4y

4x 4y 16 x y

      

Suy tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng x  y +) N x2y2  z2

N

Trang | (2, 2)

M

 N2222 8 Đáp án A

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trƣớc Phƣơng pháp:

- Sử dụng bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki bất đẳng thức tam giác

Ví dụ: Cho z thỏa mãn z 2 4i  Tìm max z A

B C D 13

Giải

Dấu hiệu: Đề yêu cầu tính max mơ đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi Ta có: z   2 4i   z 4i  z 20  5 z 20 53

 max z 3 Đáp án A 3 Bài tập

Bài 1: Tìm số phức z có z 1

max:

z i

A 1 B 1 C i D i

Trang | Đặt z a bi  z  a b ; z i  a  b 1

Khi ta có: 2  2 2

1 1; 2 2

z  a b   b z i  a  b  a  b b  b  Do giá trị lớn đạt a0;b1;zi

Chọn C

Bài 2: Trong số phức z thỏa mãn z 1 Tìm số phức z để 1 z 1z đạt giá trị lớn

A ,

5 5

z   i z   i B ,

5

z  i z i

C ,

5 5

z  i z  i D ,

5 5

z  i z   i

Lời giải

Giả sử z x yi x y, ,  

Vì z  1 x2 y2  1 x2y2 1 Khi đó:

   

     

2 2

2 2

1 1

1 1

z z x y x y

x x x x x x

        

           

Xét hàm số f x  2 1 x 1x đoạn 1;1 ta có:

   

' ; '

5

2

f x f x x

x x

 

       

 

 

Ta có:  1 6; 10

f   f  

 

Vậy max

2

4

4 ;

4 5

2 10

4 ; 5 x y x f f x y y x                            

Vậy ,

5 5

z   i z   i

Chọn A

Bài 3: Số phức z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện 1  13

Z   i i  là:

A z 1 3i B

2

z  i C

2

z  i D 15

4

Trang | Lời giải

+ Gọi z x yi

Từ giả thiết ta có:  3 2 22 13

x y  x y 

+ Đồng thời 2

z  x y lớn Kiểm tra đáp án so sánh

Chọn D

Bài 4: Cho số phức z thảo mãn z  4i Tìm giá trị nhỏ z

A 1 B C D

Lời giải

Giả sử z a bi, ta có: a bi  3 4i  4 a3 2 b 42 16

Đặt 4sin 4sin

4 cos cos

a a

b b

 

 

   

 



     

 

2 2 2 2

9 16sin 24sin 16 32 cos

3

41 24sin 32 cos 41 40 sin cos

5

z a b   

   

       

 

       

 

Đặt 2 2  

cos = ,sin 41 40sin

5 z a b

         

Dấu "" xảy 2

2 k k

 

            

Vậy z 1

Chọn A

Bài 5: Trong sô phức thỏa điều kiện z  4i 2iz , mô đun nhỏ số phức z bằng:

A 2 B 2 C 1 D

Lời giải

Giả sử số phức z x yi

Theo đề   2 2 2  2  

4 2 4

z  i i z x  y  x  y       x y y x

Mà z  x2y2  x2 4 x2 (thay  1 vào)  2

2 x 2

   

Trang |

Bài 6: Tìm số phức Z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện 1 

Z   i i 

A 15

4

z  i B

4

z  i C 15

4

z   i D

4

z  i

Lời giải

Gọi z x yi x y , R  z x yi

  13 2 39

1

2

z   i i  x y  x y 

(Thay số phức z vào mô đun lớn ta chọn) So với đáp án ta chọn đáp án A

Chọn A

Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z 1 Tính giá trị lớn biểu thức

T     z i z i

A maxT 8 2 B maxT8 C maxT 4 2 D maxT4 Lời giải

Đặt z x yi x y, , ta có:

1 2

z x yi

2 2 2 2

1 2 *

x y x y x

Lại có: T       z i z i x y1i   x y1i

2 2

2 1 2 1

x y x y

2 2 1 2 4 2 5

x y y x y x y

Kết hợp với * , ta được:

2 2 2

T x y x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta

2

2

1 2 2

T x y x y

Trang |

Bài 8: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ P z i z 

 với z số phức

0 thỏa mãn z 2 Tính 2Mm

A 2

M  m B 2

2

M  m C 2M m 10 D 2M m

Lời giải

Ta có Mặt khác:

Vậy, giá trị nhỏ , xảy giá trị lớn xảy

5

2

2

M  m

Chọn B

1

1

| | i

P

z z

     1 1

| | i

z z

   

P

2 z 2 ; i P

3

2 z2 i

Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia