DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC NHIỀU NHỊP CÓ VẾT NỨT. TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỖ NAM DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM LIÊN TỤC NHIỀU NHỊP CÓ VẾT NỨT Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - 2020 Công trình hồn thành tại: Tr n Đ i ọ C n n Đ i ọ Qu i Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: 1/ GS.TSKH Nguyễn Tiến Khiêm 2/ PGS.TS Phạm Mạnh Thắng Phản biện: Phản biện: Phản biện: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp vào hồi ………………… ngày tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin – Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỞ ĐẦU Sự đời loại vật liệu FGM đặt nhiều tốn cho nhà học, ví dụ, toán dao động kết cấu dầm, hay vỏ làm FGM Ở vấn đề dao động riêng, dao động cưỡng bức, chí dao động phi tuyến dầm FGM giải trọn vẹn Gần đây, mơ hình vết nứt dầm FGM dao động dầm FGM chứa vết nứt quan tâm nghiên cứu lý thuyết lẫn ứng dụng [3] Các phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Rayleigh-Ritz hay phương pháp độ cứng động phát triển để nghiên cứu kết cấu dầm FGM Nhưng toán dao động dầm FGM liên tục nhiều nhịp chứa vết nứt chưa quan tâm nghiên cứu, toán dao động dầm đồng liên tục đa nhịp nghiên cứu chi tiết Vì vậy, vấn đề đặt nghiên cứu dao động dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt Mục tiêu luận án phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu dao động dầm Timoshenko liên tục, nhiều nhịp có vết nứt làm từ vật liệu lý tính biến đổi liên tục, làm sở để chẩn đoán vết nứt dầm phương pháp rung động Đối tượng phạm vi nghiên cứu dầm Timoshenko có nhiều gối cứng chứa vết nứt Dầm giả thiết có tiết diện đều, làm từ vật liệu FGM với quy luật biến đổi theo hàm lũy thừa Vết nứt giả thiết mở (vết nứt cạnh), khơng phát triển mơ tả hai lị xo dọc trục xoắn với độ cứng tính từ độ sâu vết nứt theo lý thuyết học phá hủy Phương pháp nghiên cứu phương pháp ma trận truyền (giải tích) minh họa kết số nhận nhờ Matlab Nội dung bố cục luận án bao gồm: Chương I, tổng quan vật liệu FGM, dao động dầm liên tục đồng chất có gối cứng; dầm đồng chất có vết nứt; mơ hình dầm FGM dao động dầm đơn FGM có vết nứt để từ rút vấn đề nghiên cứu cho luận án Ở trình bày phương pháp ma trận truyền cổ điển áp dụng cho dầm đồng chất liên tục đa nhịp Chương II trình bày việc xây dựng mơ hình dầm FGM có vết nứt chứa dầm đồng chất trường hợp riêng Ở thiết lập phương trình dầm FGM, lời giải tổng qt tốn dao động dầm FGM có vết nứt miền tần số làm sở để ứng dụng phương pháp ma trận truyền Chương III trình bày phát triển phương pháp ma trận truyền cho dầm liên tục nhiều nhịp đồng chất có vết nứt nghiên cứu ảnh hưởng gối cứng vết nứt đến tần số riêng dầm đồng chất liên tục nhiều nhịp Chương IV áp dụng phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu ảnh hưởng gối cứng trung gian đến tần số dầm FGM có vết nứt Kết luận trình bày kết luận án sau: (a) Đã phát triển phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu dao động FGM liên tục, nhiều nhịp có vết nứt tránh thuật toán xác định phản lực gối trung gian phương pháp ma trận truyền cổ điển; (b) Đã nghiên cứu ảnh hưởng gối trung gian đến tần số riêng dầm đồng chất có vết nứt phát gối cứng trung gian làm xuất số tần số không phụ thuộc vào điều kiện biên, gọi tần số gối; (c) Đã nghiên cứu ảnh hưởng gối trung gian, vị trí độ sâu vết nứt, tham số vật liệu FGM đến tần số riêng dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt Các kết luận án cơng bố cơng trình nghiên cứu, 01 tạp chí ISI, 01 Tạp chí Cơ học; 01 tuyển tập Hội nghị khoa học quốc tế 02 Tuyển tập Hội nghị khoa học quốc gia CHƯƠNG TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Vật li u FGM ứn dụn Vật liệu FGM E = E(z), G = G(z),  = (z) x h/2 h/2 y z Hình 1.1 Sơ đồ hình học vật liệu FGM đặc trưng thay đổi theo chiều dày Hàm đặc trưng cho đặc trưng vật liệu biểu diễn sau: V ( z)  Vb  (Vt  Vb ) g ( z) (1.1) V(z) biểu diễn đại lượng E, G,  số b t ký hiệu pha vật liệu khác (b – vật liệu mặt t – vật liệu mặt trên) Hàm g(z) mô tả tỷ lệ thể tích pha vật liệu khác Vật liệu FGM ứng dụng hầu hết lĩnh vực vật liệu Ví dụ hệ thống giao thông, hệ thống biến đổi lượng, dụng cụ cắt, phận máy móc, chất bán dẫn, quang học hệ thống sinh học Các ứng dụng ngành hàng không vũ trụ, lượng hạt nhân yêu cầu độ tin cậy cao trong ứng dụng khác dụng cụ cắt, trục cán nhiệt độ cao chi tiết máy lại yêu cầu độ mài mòn, nhiệt, va chạm, độ ăn mòn 1.2 D o độn ủ dầm đồn ất ó i trun i n (dầm liên tụ n iều n ịp) 1.2.1 Tổng quan Dầm liên tục nhiều nhịp mô hình kết cấu sử dụng nhiều kỹ thuật cầu khí chế tạo Phân tích động lực học kết cấu dạng quan trọng quan tâm nghiên cứu từ lâu Bài toán động lực học dầm liên tục nhiều nhịp tốn tính tốn tần số dạng dao động riêng Việc nghiên cứu ảnh hưởng vị trí số lượng gối trung gian đến tầng số dao động riêng dầm liên tục nhiều nhịp đóng vai trị quan trọng việc thiết kế tối kết cấu dầm liên tục nhiều nhịp 1.2.2 Phương pháp ma trận truyền cổ điển Cơ sở khoa học phương pháp sau:  Trước tiên ta đưa vào véc tơ trạng thái mô tả trạng thái làm việc đối tượng vị trí kết cấu thời điểm cụ thể  Sau lý thuyết có đối tượng, xây dựng mối liên hệ hai trạng thái khác đối tượng, nói chung mơ tả phương trình đại số tuyến tính (1.6) ma trận  Sử dụng mối quan hệ trạng thái đầu cuối, ví dụ , thiết lập mối liên hệ (1.7) 1.2.3 Áp dụng phương pháp ma trận truyền cổ điển cho dầm liên tục nhiều nhịp Phương trình tần số cho dầm liên tục nhiều nhịp tựa đơn hai đầu: ̂ ̂ (1.24) Chính vậy, để tránh thuật toán phức tạp xác định phản lực gối trung gian toán dao động dầm liên tục nhiều nhịp, cần thiết phải có cách tiếp cận phương pháp ma trận truyền áp dụng cho dầm liên tục nhiều nhịp Đó nhiệm vụ đặt luận án Trong cơng trình [38] ý tưởng đề xuất phát triển cho dầm có vết nứt Tuy nhiên, ý tưởng phát triển đầy đủ chi tiết công bố Nguyễn Tiến Khiêm cộng 1.3 D o độn ủ dầm đồn ất ó vết nứt 1.3.1 Tổng quan Hư hỏng kết cấu hiểu thay đổi tính chất vật lý (vật liệu, liên kết, …) hình học (kích thước, hình dáng, …) kết cấu so với trạng thái ban đầu gọi kết cấu nguyên vẹn Hư hỏng kết cấu nói chung mơ tả hai tham số: vị trí mức độ hư hỏng Ví dụ, vết nứt dạng hư hỏng điển hình kết cấu, đặc trưng hai tham số vị trí kích thước Nguyễn Tiến Khiêm công [27, 68] xây dựng biểu thức nghiệm tổng quát cho toán dao động riêng dầm đàn hồi có nhiều vết nứt, đơn giản thuận tiện nhiều lời giải Cademi Calio Đặc biệt sử dụng hàm dạng để áp dụng phương pháp ma trận truyền hay phương pháp phần tử liên tục 1.3.2 Mơ hình dầm có vết nứt Vết nứt vật rắn hiểu xuất hiên mặt phân cách lịng vật rắn, tính chất lý vật liệu trạng thái ứng suất biến dạng bị gián đoạn (mất tính liên tục) Mặt phân cách gọi mặt vết nứt; kích thước mặt vết nứt đồng thời kích thước vết nứt Kích thước (size) vết nứt phát triển người ta gọi lan truyền (propogation) vết nứt Vết nứt có kích thước thay đổi tăng giảm cách đặn gọi vế nứt thở (breathing) Vết nứt xuất phát từ mặt biên vật rắn phát triển sâu vào lịng vật rắn Khi người ta gọi vết nứt mở (open) vết nứt cạnh (edge) khoảng cách lớn từ biên đến điểm xa (giới hạn) mặt vết nứt gọi độ sâu vết nứt Điểm giới hạn mặt vết nứt lòng vật rắn gọi mũi vết nứt Ở xét vết nứt mở dầm có mặt vết nứt vng góc với trục dầm (vết nứt thẳng) Lúc vết nứt hiểu thay đổi mặt cắt ngang dầm giả thiết độ sâu vết nứt không thay đổi (vết nứt dừng – stationary) l ho h Hình 1.2 Mơ hình vết cưa (saw cut) d h I z=0 Hình 1.3 Mơ hình vết nứt đelta 1.3.3 Dao động riêng dầm đồng chất có vết nứt ét dầm Euler-Bernoulli chiều dai chứa n vết nứt vị trí e j , j  1, , n mơ tả lị xo xoắn tương đương có độ cứng K j Trong m i đoạn dầm (e j , e j 1 ), j  0, , n , e0  0, en1  dao động dầm mô tả phương trình: EI  w j ( x, t ) / x   A w j ( x, t ) / x  0, j  0, , n với điều kiện tương thích vị trí vết nứt e j , j  1, , n w j 1 (e j , t )  w j (e j , t ); wj 1 (e j , t )  wj (e j , t )   j wj (e j , t ); (1.28) wj 1 (e j , t )  wj (e j , t ); wj 1 (e j , t )  wj (e j , t );  j  EI / K j 1 j e1 e j-1 n ej en Hình 1.4 Mơ hình dầm có nhiều vết nứt Trong miền tần số ta có phương trình d 4W j ( x) / dx   4W j ( x)  0, j  0, , n,   (  A / EI )1/4 1.4 Đặt vấn đề n (1.29) iên ứu Cơ sở khoa học cho việc mơ phỏng, tính tốn kết cấu FGM trình bày [6, 19] Các phương pháp phân tích động lực học kết cấu FGM phát triển công bố [8, 9, 14, 31, 32, 51, 52, 53, 54, 64] Gần đây, nhu cầu thực tế, vấn đề vết nứt kết cấu composite nói chung kết cấu FGM nói riêng quan tâm nghiên cứu Cơ sở khoa học cho nghiên cứu trình bày tài liệu [15, 17, 22] Những kết nghiên cứu vết nứt cạnh, mở phần tử dầm FGM mơ tả lò xo tương đương với độ cứng theo lý thuyết phá hủy FGM mặt cắt chứa vết nứt CHƯƠNG MƠ HÌNH DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM CÓ VẾT NỨT 2.1 P n tr n d o độn ủ dầm FGM ét dầm FGM chiều dài L, tiết diện ngang hình chữ nhật có diện tích A=b×h (Hình 2.1) giả thiết vật liệu dầm biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa (2.1) ( z ) đại điện cho tham số vật liệu E, G,– ρ (mô đun đàn hồi, mô đun trượt mật độ khối lượng), z tọa độ theo chiều dầy dầm kể từ mặt iuwax dầm với (2.2) z Et Gt t t Trục trung hịa h x Eb Gb b b b Hình 2.1 Mơ hình dầm FGM liên tục nhiều nhịp có vết nứt Sử dụng lý thuyết dầm biến dạng trượt bậc nhất, trường chuyển vị dầm mặt cắt x biểu diễn sau (2.3) với u( x, t ) , w( x, t ) chuyển vị dọc trục uốn mặt trung hòa nằm độ cao h0 so với mặt dầm;  góc xoay mặt cắt xét Do đó, phương trình dầm viết dạng (2.4)  x  E( z) x ; xz  G( z) xz (2.5) p dụng nguyên lý Haminton [71] cho đoạn dầm ta thiết lập phương trình chuyển động tổng qt dầm FGM dạng ̈ ̈ ; ̈ ̈ (2.6) ̈ , Trong trường hợp này, rõ ràng phương trình dao động riêng (2.6) rút gọn thành ̈ ̈ ; ̈ ̈ ̈ (2.8) Thực phép biến đổi Fourier, phương trình (2.8) chuyển miền tần số có dạng: (2.9) 2.2 M n vết nứt tron dầm FGM Giả sử đoạn dầm FGM ( xa , xb ) chứa vết nứt hở có độ sâu a vị trí e  ( xa , xb ) , mô tả hai lị xo Hình 2.2, độ cứng lò xo xoay lò xo tịnh tiến ký hiệu K z , K x a ) h K a b ) Hình 2.2 Mơ hình vết nứt dầm FGM Kx Với mơ hình vết nứt ta nhận điều kiện tương thích vị trí vết nứt dạng ; (2.17) N, Q M lực dọc, lực cắt mô men uons tính theo cơng thức (2.18) Thay (2.18) vào (2.17), ta nhận (2.19) 2.3 D o độn ủ dầm FGM ó vết nứt (n i m tổn qu t) Trước hết ta tìm nghiệm riêng z s ( x) phương trình (2.9) thảo mãn điều kiện (2.26) có dạng (2.27) Ta viết nghiệm dạng { (2.31) với (2.32) Mặt khác, dễ dàng chứng minh nghiệm (2.31) thỏa mãn điều kiện tương thích vị trí vết nứt (2.19) Do vậy, nghiệm tổng quát phương trình (2.9) thỏa mãn điều kiện (2.19) viết dạng (2.33) với (2.24) { { (2.35) Đây lời giải tổng quát phương trình dao động dầm FGM có vết nứt Nếu dầm có nhiều vết nứt vị trí ek , k  1, 2, , n tương tự ta biểu diễn nghiệm tổng quát dầm FGM có nhiều vết nứt dạng (2.33) ∑ (2.36) ma trận Ωk , k  1, 2, , n tính theo cơng thức truy hồi [34-35] ∑ (2.37) Như vậy, tìm biểu thức hiển nghiệm tổng quát dầm FGM chứa nhiều vết nứt, sử dụng sau để xây dựng phương pháp ma trận truyền để nghiên cứu dầm liên tục nhiều nhịp làm từ vật liệu FGM 2.4 Một s đặ tín d o độn ủ dầm FGM (Kết s ) a) Trục trung hòa dầm FGM Trên Hình 2.3 – 2.4 trình bày vị trí thực trục trung hịa tính từ trục giữa, phụ thuộc vào số tỷ lệ thể tích n tỷ số mô đun đàn hồi Re (top-to-bottom) n 0.25 The shift of central axes 0.2 10 0.15 ho/h Et/Eb=3 0.1 Et/Eb=2 0.05 Et/Eb=1 0 10 n 12 14 16 18 20 Hình 2.3 Vị trí trục trung hồ phụ thuộc vào số mũ n với giá trị tỷ số mơ đun đàn hồi khác Hình 2.4 Vị trí trục trung hịa (tính từ trục dầm) phụ thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi với giá trị khác số n a) Re1 b) Tương tác dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM Trong Hình 2.5 biểu diễn phụ thuộc hệ số tương tác dao động dầm FGM phụ thuộc vào tham số vật liệu Đồ thị hình vẽ cho thấy tỷ số mô đun đàn hồi nhỏ (tức mô đun đàn hồi vật liệu mặt nhỏ mô đun đàn hồi vật liệu mặt đáy dầm) hệ số tương tác dương giảm dần mô đun đàn hồi vật liệu mặt tăng dần đến mô đun đàn hồi vật liệu mặt đáy Hệ số tương tác âm mô đun đàn hồi mặt lớn mô đun đàn hồi mặt giá trị tuyệt dối hệ số tăng mô đun đàn hồi mặt tăng Chỉ số phân bố thể tích n làm giảm giá trị tuyệt đối hệ số tương tác tăng giá trị √ (3.2) điều kiện (3.3) Giả sử đoạn dầm có vết nứt vị trí độ sâu Khi chứng minh phần trên, nghiệm tổng quát phương trình (3.2) thỏa mãn điều kiện vết nứt ( ) ( ; ( ) ) ( ); ( ( ) ) ( ); ( ) ( ) (3.4) Có thể biểu diễn dạng ( ) ( ) ( ) ( ) (3.5) Khi biểu thức (3.5) viết lại thành ( ) ( 3.2 X y d n m trận truyền ) (3.7) o dầm liên tụ n iều n ịp ó vết nứt Để xây dựng ma trận truyền cho dầm liên tục nhiều nhịp, ta sử dụng điều kiện liên tục góc xoay mô men uốn gối ( ) ( ) ( ) ( ) (3.8) Hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Từ ta nhận biểu diễn { } [ ]{ } [ ( )] { } (3.9) ]{ } (3.10) { } Sử dụng biểu thức (3.9) ta có { } { } [ ( ) ( ) { } (3.11) Cuối ta (3.12a) ̂ ̂ (3.12b) 11 p điều kiên biên tổng quát vào hàm (3.12) ta ̂ ̂ (3.13) Từ ta nhận phương trình tần số ̂ ̂ (3.14) 3.3 Két tín to n s Ở trình bày việc áp dụng phương pháp ma trận truyền để tính tốn tần số riêng dầm đồng chất có vết nứt trường hợp riêng dầm FGM (khi hay ) Nội dung nghiên cứu bao gồm việc khảo sát ảnh hưởng vị trí gối cứng vết nứt đến tần số riêng dầm đồng chất a) Ảnh hưởng gối trung gian đến tần số riêng dầm liên tục nhiều nhịp (a) (b) Hình 3.1 Ảnh hưởng vị trí gối trung gian đến tần số riêng dầm hai nhịp hai trường hợp điều kiện biên (a) SS-beam and (b) CF-beam 12 Bản 3.1 Tần s ủ dầm i n ịp (01 i ứn trun i n) k i vị trí i ứn t Vị trí gối cứng(tỷ số độ dài hai nhịp) L1/L2 y đổi Tham số tần số,   (  A / EI )1/4 1 2 3 4 5 6 Dầm tựa đơn hai đầu (L=2) Xs=0.5 (1/3) 2.4290 4.4199 6.2832 7.2565 8.7417 10.7049 Xs=0.75 (3/5) 2.8048 4.5586 5.5315 7.7393 8.9482 10.4292 Xs=1.0 (ELS) 3.1416 3.9266 6.2832 7.0686 9.4248 10.2102 Ichikawa et al [6] π 2π 3π 3.92660 7.06858 10.2101 2 Xs=1.25 (5/3) 2.8048 4.5586 5.5315 7.7393 8.9482 10.4292 Xs=1.5 (3/1) 2.4290 4.4199 6.2832 7.2565 8.7417 10.7049 Dầm ngàm hai đầu (L=2) Xs=0.5 (1/3) 2.9745 4.9772 6.9593 8.4652 9.4338 11.2874 Xs=0.75 (3/5) 3.4605 5.4632 6.2918 8.4209 9.9007 11.1101 Xs=1.0 (ELS) 3.9266 4.7300 7.0686 7.8532 10.2102 10.9956 Xs=1.25 (5/3) 3.4605 5.4632 6.2918 8.4209 9.9007 11.1101 Xs=1.5 (3/1) 2.9745 4.9772 6.9593 8.4652 9.4338 11.2874 Dầm công xôn (L=2) Xs=0.5 (1/3) 1.1627 2.9534 4.9780 6.9593 8.4652 9.4338 Xs=0.75 (3/5) 1.3320 3.4393 5.4627 6.2925 8.4208 9.9007 Xs=1.0 (ELS) 1.5708 3.9266 4.7124 7.0686 7.8540 10.2102 Xs=1.25 (5/3) 1.9232 3.5119 5.4514 6.2738 8.4198 9.9019 Xs=1.5 (3/1) 2.3198 3.3515 5.0297 6.9730 8.4360 9.4158 Bản 3.2 Tần s ủ dầm b n ịp (02 i ứn trun i n) k i vị trí i ứn t y đổi Vị trí gối X1 X2 1 1.25 1.0 0.75 0.5 0.5 0.75 1.25 1.5 1.75 2.0 2.25 2.5 2.0 2.0 2.0 2.0 2.8220 3.1416 2.6177 2.1079 2.6029 2.9206 2.8194 2.4376 1.25 1.0 0.75 0.5 0.5 0.75 1.25 1.5 1.75 2.0 2.25 2.5 2.0 2.0 2.0 2.0 3.4223 3.5564 2.7060 2.1546 2.7073 3.1041 3.4075 2.9487 Tham số tầng số,   (  A / EI )1/4 2 3 4 5 Dầm tựa đơn hai đầu (L=3) 2.9838 5.1738 5.4154 7.2104 3.5564 4.2975 6.2832 6.7076 4.1888 4.7124 5.2355 6.8068 3.5564 5.0021 6.2832 6.9659 3.5651 4.7111 6.2832 6.8067 3.6847 4.6569 5.7073 6.7198 3.4926 4.9118 5.6484 6.7504 3.5805 4.4556 6.2832 6.6398 Dầm ngàm hai đầu (L=3) 3.6011 5.7411 6.0193 7.5635 4.2975 4.7300 6.7076 7.4295 4.5243 5.5964 5.9511 6.9854 3.6195 5.1026 6.5608 7.8537 4.1808 4.8968 6.6237 7.5051 4.3305 5.3487 6.1078 7.3669 4.1887 5.2465 6.1296 7.4393 4.3250 4.9649 6.7682 7.2774 Dầm công xôn (L=3) 13 6 7.8495 7.4295 8.3776 7.4295 7.4297 8.0243 7.8145 7.8648 8.4584 7.8532 8.7272 8.5558 8.3885 8.2585 8.3779 8.2037 1.25 1.75 1.7090 3.5148 5.8280 6.6665 8.0064 1.0 2.0 1.5414 3.5685 4.2845 4.7185 6.7071 0.75 2.25 2.3196 3.0799 4.6202 5.7452 6.5278 0.5 2.5 1.9946 3.3385 4.1643 5.2258 6.6363 0.5 2.0 1.6929 2.8227 4.5709 5.3023 6.7174 0.75 2.0 1.5483 3.1686 4.8048 5.4529 6.1584 1.25 2.0 1.6451 3.4169 4.5080 5.4031 6.1671 1.5 2.0 1.9116 2.9577 4.9391 6.4516 7.0733 b) Ảnh hưởng vết nứt đến tần số dầm liên tục nhiều nhịp 8.8420 7.4301 7.2035 7.9767 8.0679 7.8796 8.2517 8.2689 Hình 3.2 Ảnh hưởng vết nứt đến ba tần số dầm đồng chất hai nhịp tựa đơn hai đầu Hình 3.3 Ảnh hưởng vết nứt đến ba tần số dầm đồng chất hai nhịp ngàm hai đầu c) Ảnh hưởng đồng thời vị trí vết nứt vị trí gối trung gian Hình 3.5 Ảnh hưởng vị trí gối trung gian vết nứt đến ba tần số dầm hai nhịp tựa đơn hai đầu 14 Hình 3.6 Ảnh hưởng vết nứt vị trí gối trung gian dầm hai nhịp ngàm hai đầu Hình 3.7 Ảnh hưởng vết nứt vị trí gối trung gian dầm cơng xơn hai nhịp d Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng dầm ba nhịp đồng Hình 3.8 Ảnh hưởng vết nứt đến ba tần số riêng dầm ba nhịp tựa đơn hai đầu Hình 3.9 Ảnh hưởng vết nứt đến ba tần số riêng dầm ba nhịp ngàm hai đầu Hình 3.10 Ảnh hưởng vết nứt đến ba tần số riêng dầm công xôn ba nhịp 15 CHƯƠNG 4: DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM NHIỀU NHỊP CÓ VẾT NỨT 4.1 M trận truyền o p ần tử dầm FGM i ứn i đầu ét nhịp dầm nằm hai gối liên tiếp thỏa mãn điều kiện (4.1) Sử dụng biểu thức (2.33) cho nghiệm phương trình (2.9) ta viết (4.2) p điều kiện (4.1) cho chuyển vị ngang W ( x,  ) công thức (4.2) ta phương trình Γ04 ( )C4  Γ02 ( )C2  0, (4.4) 31 ( x j 1 ) 32 ( x j 1 ) 33 ( x j 1 ) 34 ( x j 1 )  35 ( x j 1 ) 36 ( x j 1 )  Γ04   ; Γ02    ,  31 ( x j ) 32 ( x j ) 33 ( x j ) 34 ( x j )   35 ( x j ) 36 ( x j )  (4.5) Phương trình cuối cho phép ta biểu diễn véc tơ C2 qua véc tơ C4 sau C2  Γ24 ( )C4 , với Do ta có ̄ (4.6) ̄ Đây nghiệm tổng quát phương trình (2.9) nhịp ( x j 1 , x j ) chứa số C1 , ,C thay hàng số ban đầu Điều đơn giản hóa tính tốn phần xây dựng ma trận truyền dầm liên tục nhiều nhịp qua gối, trình bày mục 4.2 y d n m trận truyền o dầm FGM liên tụ n iều n ịp ó vết nứt ét dầm liên tục, nhiều nhịp có gối cứng vị trí Dễ dàng nhận thấy chuyển vị ngang (độ võng) dầm tất gối 0, ta có phương trình W (0)  W ( x1 )   W ( xn )  W ( L)  (4.7) Sử dụng biểu diễn (4.6) ta có U j ( x,  )  g11j ( x)C j1  g12j ( x)C j  g13j ( x)C j  g14j ( x)C j ;  j ( x,  )  g21j ( x)C j1  g22j ( x)C j  g23j ( x)C j  g24j ( x)C j ; N j ( x,  )  A11[ g11j  ( x)C j1  g12j  ( x)C j  g13j  ( x)C j  g14j  ( x)C j ]; 16 (4.8) M j ( x,  )  A22 [ g21j  ( x)C j1  g22j  ( x)C j  g 23j  ( x)C j  g 24j  ( x)C j ], gikj , gikj  , i, k  1, 2,3, phần tử ma trận G j ( x,  ), Gj ( x,  ) xác định (4.6) Thiết lập véc tơ trạng thái dầm bao gồm {Vj ( x)}  {U j ( x),  j ( x), N j ( x), M j ( x)}T , Và sử dụng (4.8) ta biểu diễn {Vj ( x)}  {U j ( x),  j ( x), N j ( x), M j ( x)}T  [H j ( x)] {C4j } (4.9) với  g11j ( x)  j  g 21 ( x) H j ( x)   j  A11 g11 ( x)  A g j  ( x)  22 21 g12j ( x) g13j ( x) g 22j ( x) g 23j ( x) A11 g12j  ( x) A11 g13j  ( x) A22 g 22j  ( x) A22 g 23j  ( x) g14j ( x)   g 24j ( x)   A11 g14j  ( x)  A22 g 24j  ( x)  (4.10) Mặt khác, véc tơ trạng thái nêu nhịp cần thỏa mãn điều kiện liên tục gối trung gian U j ( x j )  U j 1 ( x j );  j ( x j )   j 1 ( x j ); N j ( x j )  N j 1 ( x j ); M j ( x j )  M j 1 ( x j ) (4.11) Do đó, ta có [H j ( x j )]C4j  [H j 1 ( x j )]C4j 1 hay C4j 1  [Hj 11 ( x j )H j ( x j )]C4j  [S j ]C4j (4.12) Công thức truy hồi nêu cho phép ta tính véc tơ số nhịp qua véc tơ số nhịp thứ {C4j 1}  [S j S j 1  S1 ]{C14 }  [Tj ]{C14} (4.13) Cuối cùng, ta {C4n1}  [SnSn1  S1 ]{C14 }  [Tn ]{C14 } (4.14) (4.15) Theo (4.7), điều kiện biên W (0)  W ( L)  tính đến xây dựng ma trận truyền, ta có điều kiện biên khác cho dầm tựa đơn hai đầu (a) ngàm hai đầu (b) sau (a) U (0)  (0)  U ( L)  ( L)  0; (b) U (0)  (0)  U ( L)  ( L)  17 (4.16) Dưới sử dụng điều kiện biên để xây dựng phương trình tần số cho hai loại dầm tựa đơn ngàm hai đầu Đối với dầm tựa đơn hai đầu, điều kiện (4.16a) với biểu thức (4.8) cho ta 1 1 g11 (0)C11  g12 (0)C21  g13 (0)C31  g14 (0)C41  0; g121 (0)C11  g122 (0)C21  g123 (0)C31  g124 (0)C41  0;  ( L)C11  h22  ( L)C21  h23  ( L)C31  h24  ( L)C41  0, h11 ( L)C11  h12 ( L)C21  h13 ( L)C31  h14 ( L)C41  0; h21 h jk , hjk phần tử ma trận tương ứng [Hn1 ( x)Tn ],[Hn1 ( x)Tn ] Như vậy, phương trình cuối viết lại dạng ma trận [D( )] {C14 }  (4.17) với C14  {C11 , C21 , C31 , C41}T 1 1  g11 (0) g12 (0) g13 (0) g14 (0)    g 121 (0) g 122 (0) g 123 (0) g 124 (0)   D( )  Dss ( )    h ( L ) h ( L ) h ( L ) h ( L ) 12 13 14  11   h21  ( L) h22  ( L) h23  ( L) h24  ( L)  (4.18) Trong trường hợp dầm ngàm hai đầu, ta thiết lập phương trình (4.17) với ma trận D( )  g11 (0)  g (0) D( )  Dcc ( )   21  h11 ( L)   h21 ( L) g12 (0) g 22 (0) h12 ( L) h22 ( L) g13 (0) g 23 (0) h13 ( L) h23 ( L) g14 (0)   g 24 (0)  h14 ( L)   h24 ( L)  (4.19) Đối với dầm có điều kiện biên nêu phương trình tần số có dạng F ()  det[D()]  0, 18 (4.20) 4.3 Kết tín to n s 4.3.1 iểm chứng phương pháp thuật tốn chương trình Bản 4.1 So s n tần s tín b n p p n p p độ ứn độn (DSM) [54] tron n L/h 10 10 n 0.1 0.2 9.5 1.0 2.0 5.0 10 0.1 0.2 9.5 1.0 2.0 5.0 10 0.1 0.2 9.5 1.0 2.0 5.0 10 0.1 0.2 9.5 1.0 2.0 5.0 10 tr u ủ p m trận truyền (TMM) p n p L/h =5;10 s n Mode Mode DSM TMM DSM TMM [55] [55] Dầm tựa đơn hai đầu 4.784 16.652 16.6660 4.7834 4.5296 15.770 15.7565 4.5219 4.0590 14.128 14.0318 4.0279 3.6890 12.818 12.6470 3.6355 3.3906 11.740 11.5589 3.3328 3.1088 10.721 10.6300 3.0772 2.9513 10.176 10.1467 2.9387 5.001 19.135 19.1228 4.9977 4.7348 18.118 18.0863 4.7267 4.2432 16.235 16.1021 4.2086 3.8586 14.755 14.5331 3.8004 3.5510 13.561 13.3229 3.4878 3.2608 12.434 12.3013 3.2251 3.0959 11.805 11.7476 3.0805 Dầm ngàm hai đầu 9.3380 21.455 21.4415 9.3334 8.8467 20.331 20.2909 8.8320 7.9241 18.206 18.0842 7.8762 7.1772 16.459 16.2684 7.0980 6.5543 14.974 14.7812 6.4707 5.9699 13.585 13.4826 5.9244 5.6680 12.896 12.8530 5.6484 10.827 10.8205 27.809 27.7924 10.253 10.2371 26.337 26.2986 9.1864 23.594 23.4254 9.1182 8.3437 21.404 21.1256 8.2292 7.6610 19.608 19.3119 7.5376 7.0184 17.909 17.7560 6.9493 6.6638 17.014 16.9432 6.6339 19 i trị k Mode DSM TMM [55] 28.189 26.780 24.002 21.621 19.479 17.526 16.686 40.385 38.240 34.261 31.110 28.544 26.112 24.799 28.3189 26.8944 24.0579 21.6145 19.4718 17.5625 16.7487 40.3570 38.1718 33.9801 30.6491 28.0555 25.8533 24.6834 28.189 26.780 24.022 21.621 19.479 17.526 16.686 50.364 47.704 42.727 38.721 35.398 32.297 30.647 28.1787 26.8887 23.9547 21.5294 19.3954 17.4850 16.6691 50.3343 47.6357 42.4315 38.2389 34.8940 32.0050 30.5295 n a) : (a) (b) Hình 4.1 So sánh tần số dầm FGM có vết nứt tính phương pháp TMM, DSM p-FEM; a – dầm tựa đơn hai đầu; b – dầm ngàm hai đầu 4.3.2 Ảnh hưởng gối trung gian đến tần số riêng dầm FGM liên tục nhiều nhịp Bản 4.2 Tần s riên ủ dầm FGM i b n ịp p ụ t uộ vào s p n b vật li u n Số TS nhịp 0.01 11.5145 29.5673 53.5374 81.4231 111.9562 0.1 10.8205 27.7924 50.3343 76.5667 Chỉ số phân bố thể tích vật liệu, n 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10 100 Dầm ngàm hai đầu 10.2319 9.1182 8.2292 7.5376 6.9493 6.6339 6.1346 26.2854 23.4254 21.1256 19.3119 17.7560 16.9432 15.7049 47.6118 42.4315 38.2389 34.8940 32.0050 30.5295 28.3581 72.4358 48.0050 43.1884 38.9091 35.0282 46.2376 43.0257 99.5801 64.5588 58.1469 52.9791 48.4886 63.3190 59.0426 105.2785 29.5673 27.7924 26.2854 53.8214 35.3282 59.6626 37.3334 53.5455 81.4231 56.3731 72.4358 111.9510 76.5667 102.7235 47.8421 59.6656 3 69.8397 102.3087 119.3964 110.0951 47.8913 56.3649 62.5498 93.6781 116.6928 1 5.3204 20.3566 42.9562 70.8363 102.1854 4.9977 19.1228 40.3570 66.5611 96.0345 23.4254 21.1256 31.5046 28.3919 48.0050 43.1884 64.5588 58.1469 72.3369 65.0735 19.3119 17.7560 16.9432 15.7049 25.8829 23.6975 22.5935 21.0038 38.9091 35.0282 33.3620 28.4799 52.9791 48.4886 46.2376 31.6260 59.1247 53.9305 51.4120 43.0257 40.3632 36.3784 47.9435 43.1067 52.8711 47.6401 59.5739 53.6201 85.9819 105.6788 Dầm tựa đơn hai đầu 4.7243 4.2086 3.8004 18.0772 16.1021 14.5331 38.1525 33.9801 30.6491 62.9317 48.0050 43.1884 90.8045 56.0479 50.5213 33.2108 30.4827 29.0819 27.0007 38.8406 34.9980 33.3498 31.6319 43.3252 39.5027 37.6230 36.7929 48.6735 44.2877 42.1763 53.8746 77.4631 69.8852 71.5469 63.3897 45.2966 53.5222 59.2241 66.7551 77.2032 20 3.4878 3.2251 3.0805 2.8424 13.3229 12.3013 11.7476 10.8549 28.0555 25.8533 24.6834 22.8502 38.9090 35.0281 40.5218 37.5854 46.1729 42.4555 58.2010 54.0890 20.3566 29.5673 34.0693 42.9560 59.6626 42.9561 58.6664 59.6465 86.1579 119.3565 19.1228 27.7926 56.3731 66.5611 96.8673 40.3570 47.8894 56.3766 62.5400 67.1257 18.0772 26.2861 53.5455 62.9317 72.4246 38.1525 45.2915 53.5548 59.1967 16.1021 14.5331 23.4271 21.1279 48.0050 43.1884 56.0479 50.5213 64.5306 58.1088 33.9801 30.6491 40.3509 36.3617 48.0280 43.2196 52.7990 47.5441 103.2356 85.9819 13.3229 12.3013 11.7476 10.8549 19.3141 17.7571 16.9437 15.7049 38.9090 35.0281 33.3619 31.6260 46.1729 42.4555 40.5218 37.5854 52.9434 48.4705 46.2303 54.1172 28.0555 25.8533 24.6834 22.8502 33.1935 30.4724 29.0777 27.0007 38.9392 35.0446 33.3686 28.2362 43.2438 39.4663 37.6084 31.0315 77.4629 69.8848 69.8669 45.6449 112.0550 Et=390GPa, t=3960kg/m , t=0.25; Eb=210GPa, b=7800kg/m3, b=0.31; L=1, b = 0.1, h = 0.1 4.3.3 Ảnh hưởng vết nứt đến tần số riêng dầm FGM liên tục nhiều nhịp a) Dầm FGM hai nhịp (a) (b) Hình 4.2 Tần số (uốn) dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt tương ứng với giá trị khác độ sâu vết nứt (a/h) (a) (b) Hình 4.3 Tần số (uốn) dầm FGM hai nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt tương ứng với giá trị khác số phân bố vật liệu (n) 21 b Dầm FGM ba nhịp (a) (b) Hình 4.4 Tần số (uốn) dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt tương ứng với giá trị khác độ sâu vết nứt (a/h) (a) (b) Hình 4.5 Tần số (uốn) dầm FGM ba nhịp (a – SSB, b – CCB) phụ thuộc vào vị trí vết nứt tương ứng với giá trị khác số phân bố vật liệu (n) (a) (b) Hình 4.6 Tần số dao động dọc trục dầm FGM liên tục ba nhịp phụ thuộc vào độ sâu vết nứt (a) số phân bố vật liệu n (b) 22 Bản 4.3 Ản TS No ủ s l 3.1173 3.6882 4.3266 4.8049 8.6070 n p n b vết nứt đến tần s riên Số lượng vết nứt (a/h=30%) Một Khơng Vị trí vết nứt ởn 1/6 2.8933 3.5327 4.1894 4.7589 8.5196 1/2 5/6 1/6 -1/2 Dầm tựa đơn hai đầu 2.9376 2.8933 2.7486 3.6882 3.5327 3.5104 4.3266 4.1894 4.1888 4.5923 4.7589 4.5317 8.2420 8.5196 8.1492 ủ dầm b n ịp Hai 1/2 -5/6 2.7486 3.5104 4.1888 4.5317 8.1492 Ba 1/6-5/6 2.7794 3.2741 4.0554 4.7058 8.4273 1/61/25/6 2.6336 3.2741 4.0554 4.4553 8.0509 3.6901 4.3156 4.8139 5.4082 8.6070 3.6042 4.1779 4.6265 5.3252 8.5196 3.3995 4.3156 4.8139 5.3095 8.2421 Dầm ngàm hai đầu 3.6042 3.3331 4.1779 4.1771 4.6265 4.6123 5.3252 5.2209 8.5196 8.1495 3.3331 4.1771 4.6123 5.2209 8.1495 Et=390GPa, t=3960kg/m , t=0.25; Eb=210GPa, b=7800kg/m3, b=0.31; L=1, b = 0.1, h = 0.1; 23 3.5354 4.0427 4.4668 5.1982 8.4274 3.2754 4.0427 4.4668 5.0673 8.0512 KẾT LUẬN CHUNG Tổng kết lại, kết đạt tóm lược sau: Đã xây dựng nghiệm tổng quát dao động dầm FGM có nhiều vết nứt, sử dụng mơ hình vết nứt biểu diễn hai lò xo dọc trục lò xoắn, dựa lý thuyết dầm Timosshenko quy luật biến đổi vật liệu theo hàm lũy thừa Đặc biệt có kể đến vị trí thực trục trung hòa dầm FGM; Đã phát triển phương pháp ma trận truyền cho dầm FGM đa nhịp có nhiều vết nứt, cho phép đơn giản hóa việc tính tốn tần số riêng dầm đa nhịp (khơng cần tính phản lực gối trung gian dầm đa nhịp) Đã nghiên cứu chi tiết dao động riêng dầm đồng chất nhiều nhịp có vết nứt trường hợp riêng dầm FGM Ở phân tích chi tiết ảnh hưởng gối trung gian lên tần số dầm cho thấy gối trung gian ảnh hưởng nhiều đến phân bố tần số riêng dầm Đặc biệt gối trung gian làm xuất tần số giống cho điều kiện biên khác Các tần số gọi tần số gối Đã nghiên cứu ảnh hưởng vết nứt tham số vật liệu có lý tính biến thiên liên tục đến tần số riêng dầm đa nhịp Đặc biệt dầm đa nhịp tồn vị trí mà vết nứt xuất khơng làm thay đổi tần số đó, gọi điểm nút tần số Đã vết nứt xuất gối khơng ảnh hưởng đến tần số này, lại làm thay đổi đáng kể tần số khác Tất nhận xét thơng tin quan trọng để chẩn đốn vết nứt dầm FGM tần số riêng 24 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN (1) Nguyen Tien Khiem, Do Nam (2016) Vibration of continuous multispan Timoshenko beam made of functionally graded material Proceedings of 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), Hanoi, August 25-26, 2016 (2) Nguyen Tien Khiem, Pham Manh Thang, Do Nam, Pham Thi Ba Lien (2018) Free vibration of cracked multispan continuous beam Proceedings of Xth National Conference on Mechanics, Hanoi, December 8-9, 2017, pp.303-311 (3) Do Nam, Nguyen Tien Khiem, Le Khanh Toan, Nguyen Thi Thao, Pham Thi Ba Lien (2018) Effect of intermediate support location on natural frequencies of multiple cracked continuous beams Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 40, No (2018), pp 181 – 198 (4) Nguyen Tien Khiem, Le Khanh Toan, Nguyen Thi Thao, Do Nam (2019) An application of the dynamic stiffness approach to free vibration of continuous multispan beam with cracks Tuyển tập báo cáo Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc kỷ niệm 40 năm Viện Cơ học, 9-4-2019 (5) Nguyen Tien Khiem, Hai Thanh Tran and Do Nam (2020) Modal analysis of cracked continuous Timoshenko beam made of functionally graded material Mechanics Based Design of Structures 10.1080/15397734.2019.1639518 and Machines 48(4) 459-479 DOI: