Tuyển Tập Đề Thi Thử Đại Học 2009

DongPhD Problems Book Series Tuyển Tập Đề Thi Thử Đại Học 2009 Đại số Giải tích vnMath.com Dịch vụ Tốn học Giáo án (Free) Sách dichvutoanhoc@gmail.com Hình học Các loại khác Bài báo Thơng tin bổ ích (Free) Tốn học vui Kiếm tiền mạng Bản điện tử thức có http://www.vnmath.com Tr ng i h c H ng c Khoa Khoa h c T nhiên THI TH TUY N SINH I H C - CAO NG 2009 Mơn thi: TỐN, kh i A Th i gian làm bài: 180 phút I PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 m) Câu I (2,0 m) Kh o sát v đ th hàm s Tìm s ti p n c a đ f ( x ) = −2 x + x − ng cong y = x ln x qua m A(1; 2) Câu II (2,0 m) Gi i ph 2 ng trình: xln x−5ln x +7 = 1 − x + −1 x +1 +1 Tính: cos12o + cos18o − cos15o cos 21o cos 24o Câu III (1,0 m) Trên parabol y = x l y ba m A, B, C khác cho ti p n t i C song song v i đ ng th ng AB Ký hi u S di n tích tam giác ABC, S’ di n tích hình ph ng gi i h n b i parabol đ ng th ng AB Tìm t s gi a S S’ Câu IV (1,0 m) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD M t ph ng α qua A vng góc v i SC c t SB, SC l n l t t i B’, C’ Bi t r ng C’ trung m c a SC, tính t s gi a SB’ B’B Câu V (1,0 m) V i x s d ng, y s th c tu ý, tìm t p h p m i giá tr c a bi u th c A= xy ( ⎛ ⎞ x + y ⎜⎜ x + x + 12 y ⎟⎟⎟ ⎝ ⎠ ) II PH N RIÊNG (3,0 m) Thí sinh ch đ c làm m t hai ph n: theo ch ng trình Chu n ho c Nâng cao Theo ch ng trình Chu n Câu VIa (2 m) Tìm to đ đ nh B C c a tam giác ABC, bi t đ nh A(−1; −3) , tr ng tâm G (4; −2) trung tr c c nh AB có ph ng trình 3x + y − = Tìm t p h p tâm m t c u qua g c to đ ti p xúc v i hai m t ph ng: P : x + y − = Q : x + y + = Câu VIIa (1 m) M t h p đ ng bi có 12 viên, có viên tr ng, viên đ , viên xanh Ký hi u A t ng s cách l y 12 viên đó, B s cách l y viên cho s bi đ b ng s bi xanh Tính t s B : A Theo ch ng trình Nâng cao Câu VIb (2 m) Trong m t ph ng to đ , cho hai đ ng th ng d1 : kx − y + k = ( ) d : 1− k x + 2ky −1− k = Khi k thay đ i giao m c a hai đ ng th ng di chuy n m t đ ng cong Xác đ nh đ ng cong M t c u S qua m A (0;0;1) , B (1;0;0) , C (1;1;1) , D (0;1;0) ; m t c u S’ qua ⎛1 ⎞ ⎛ 1⎞ m A '⎜⎜ ;0;0⎟⎟⎟ , B '⎜⎜0; ; ⎟⎟⎟ , C '(1;1;0) , D '(0;1;1) Tìm đ dài bán kính đ ⎝⎜ ⎠ ⎝⎜ 2 ⎠ ng tròn giao n c a hai m t c u Câu VIIb (1 m) Tính c n b c hai c a s ph c 15 + 112i GHI CHÚ thi đ c so n theo M U quy đ nh v n b n “C u trúc đ thi t t nghi p THPT & n sinh H-C 2009” C c Kh o thí & Ki m đ nh ch t l ng giáo d c, B Giáo d c & t o, ban hành tháng 11 n m 2008 Cán b coi thi khơng đ c gi i thích v đ thi! ÁP ÁN TOÁN KH I A Câu I.1.(1đ) T p xác đ nh: Gi i h n t i vô c c: L i gi i lim x→±∞ i m f ( x ) = ∓∞ 0,25 f '( x) = −6 x + 6; f '( x) = ⇔ x = ±1 f (−1) = −9; f (1) = B ng bi n thiên: x f ’(x) −1 −∞ +∞ − − + +∞ f(x) 0,5 −8 −∞ Nh n xét: Hàm s ngh ch bi n hai kho ng (−∞; −1), (1; +∞); đ t c c ti u t i -1, c c đ i t i fCT = −8; fCD = Giao m v i tr c tung: (0;-4); v i tr c hoành: (-2;0) (1;0) (đi m c c đ i) th nh hình v x y -2 -1 0,25 -2 x y = -2 -4 + 6x - -6 -8 I.2.(1đ) Ta có ( x ln x ) ' = + ln x Ph ng trình ti p n t i m có hồnh đ a (a > 0) y = (1 + ln a)( x − a) + a ln a ti p n qua A, ph i có = (1 + ln a )(1− a ) + a ln a ⇔ = 1− a + ln a ⇔ ln a − a −1 = 0, (1) 0,25 -0,25 S ti p n qua A ph thu c vào s nghi m c a ph ng trình (1) Xét hàm s f (a ) = ln a − a −1 Ta có: f '(a ) = −1; a f '(a ) = ⇔ a = B ng bi n thiên c a f (a ) : II.1.(1đ) a f ’(a) f(a) −∞ +∞ −2 + 0,5 − −∞ T b ng ta th y giá tr l n nh t c a f(a) -2 nên ph ng trình (1) vơ nghi m V y khơng có ti p n qua A V trái có ngh a ch x > Khi v ph i c ng có ngh a D th y v ph i đ n gi n b ng x -Nh v y ta có ph ng trình 0,25 xln x−5ln x +7 = x ⇔ ⎡x =1 xln x−5ln x +6 = ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣ln x − 5ln x + = 0, (1) -⎡ ln x = ⎢⎡ x = e2 M t khác: (1) ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ln x = ⎢⎢ ⎣ ⎣x = e II.2.(1đ) V y ph Ta có: 0,5 0,25 ng trình cho có nghi m x1 = 1, x2 = e , x3 = e3 cos12o + cos18o − cos15o cos 21o cos 24o = cos12o + cos18o − 2(cos 36o + cos 6o ) cos 24o = cos12o + cos18o − cos 36o cos 24o − cos 24o cos 6o = cos12o + cos18o − cos 600 − cos12o − cos 300 − cos18o = − cos 60o − cos 30o = − III(1đ) ( 1+ ) ( ) ( ) Gi s m parabol A a, a , B b, b , C c, c , (a < b) H s góc c a đ ng th ng AB b2 − a = a + b , h s góc c a ti p b−a 1,0 n t i C hi n nhiên 2c V y c = ( a +b ) 2 dài AB = (b − a ) + b − a = (b − a ) + (a + b) ng trình đ Ph ng th ng AB: x−a y − a2 = ⇔ (a + b)( x − a ) = y − a b − a b2 − a 0,5 ⇔ (a + b) x − y − ab = ⇔ y = ( a + b) x − ab Kho ng cách t C đ n AB: h= a + b ⎛⎜ a + b ⎞⎟ + − a b ( ) ⎟ − ab ⎜⎜⎝ 2 ⎠⎟ ( a + b) + (a + b)2 = − ab ( a + b) + = (b − a)2 ( a + b) + Di n tích tam giác ABC: (b − a) (b − a ) 1 S = AB.h = (b − a ) + (a + b) = 2 (a + b) + -Di n tích gi i h n b i parabol đ ng th ng AB: b ( S ' = ∫ (a + b) x − ab − x a = ( a + b) ) b ⎛ x2 x3 ⎞⎟⎟ ⎜⎜ dx = ⎜( a + b) − abx − ⎟ ⎜⎝ ⎠⎟⎟ a b2 − a b3 − a − ab (b − a ) − = 0,5 (b − a) b−a 3(a + b) − 6ab − a + ab + b = 6 S = Suy ra: S' ( ( )) S IV(1đ) S C’ D′ D C I C’ B’ A B A H C (Hình có th không v ) 0,25  x =  5  Gi i ta đư c:  y = ⇒ H (3; ;− ) 2    z = − Vì H trung m c a AB ⇒ B(4;2;−2) n Câu VIa (1đ) Ta có: ∑C k n 0,25đ 0,25đ n n k =0 k =0 (2 x − 1) k = ∑ C nk (2 x − 1) k 1n − k = ∑ C nk (2 x) k = (2 x) n k =0 n k C (2 x − 1) k = x n n ∑ n k =0 Vì đư ng trịn (C ) ti p xúc v i 0x 0y nên có phương trình: V y: ( x − a ) + ( y + a) = a  2 ( x − a ) + ( y − a ) = a CâuVb.1 (1đ) TH1: N u (C ) có phương trình: ( x − a ) + ( y + a ) = a a = Vì (C ) qua A(2;−1) ⇒ (2 − a ) + (−1 + a ) = a ⇔ a − 6a + = ⇔  a = TH2: N u (C ) có phương trình: ( x − a ) + ( y − a ) = a Vì (C ) qua A(2;−1) ⇒ (2 − a ) + (−1 − a) = a ⇔ a − 2a + = phương trình vơ nghi m V y có hai đư ng trịn thỗ mãn là: ( x − 1) + ( y + 1) = 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ( x − 5) + ( y + 5) = 25 CâuVb.2 (1đ) → → → → Ta có u d = (2;1;3) n P = (1;−1;−1) ⇒ u d ; n P  = (2;5;−3)   Vì đư ng th ng ∆ song song v i đư ng th ng d ∆ vuông góc v i (P) nên đư ng → th ng ∆ nh n u = (2;5;−3) làm vectơ ch phương x −1 y −1 z + V y đư ng th ng ∆ có phương trình: = = −3 2 mx + 2m x − 3m Ta có y ' = ; y '= ⇔ mx + 2m x − 3m = ( x + m) 0,5đ 0,25đ 0,25đ Đ đ th hàm s có c c tr ⇔ phương trình mx + 2m x − 3m = có hai Câu VIb (1đ) a ≠ m ≠ nghi m phân bi t ⇔  ' ⇔  ⇔ m≠0 ∆ > 4 m >  y1 = 3m +  x1 = m Khi  ⇒   y = −5m +  x = −3m To đ m c c tr l n lư t là: A(m;3m + 1) B(−3m;−5m + 1) Vì y1 > nên đ m t c c tr c a (C m ) thu c góc ph n tư th I, m t c c tr m >  c a (C m ) thu c góc ph n tư th III c a h to đ 0xy − 3m < − 5m + <  0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ m >  m > 1 V y m> giá tr c n tìm ⇔  ⇔ m>  5   m < −  N u thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà đư c đ m t ng ph n đáp án quy đ nh ……………H t…………… NG THPT B C YÊN THÀNH Đ THI TH Đ I H C L N I NĂM 2009 Mơn: Tốn - Kh i A Th i gian làm bài: 180 phút A Ph n dành chung cho t t c thí sinh: Câu Cho hàm s y = x3 − (m + 1)x + − m2 1) Kh o sát hàm s m = 2; 2) Tìm m đ đ th hàm s có m c c đ i m c c ti u, đ ng th i m c c đ i, c c ti u m I(0 ; 4) th ng hàng Câu 1) Gi i ph ng trình: tan x = cos x cos x − 2) Gi i h ph ng trình: Câu 1) Tính tích phân: I = π x y + + y x + = 25 x + y = 11 2+ x dx + 2x 2) Cho x, y, z s không âm thay đ i tho mãn u ki n x + y + z = Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u th c: A = xy + yz + zx − 27xyz Câu Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD hình thoi c nh a, AA ' = a 3 BAD = BAA ' = DAA ' = 600 Tính th tích hình h p theo a B Ph n dành riêng cho t ng ban: Câu 5a (Dành cho thí sinh thi theo ch 1) Gi i ph ng trình chu n) ng trình: log log ( x + + x) = log log ( x + − x) 2) Trong không gian Oxyz cho m A(−1 ; 2; 2), B(3 ; 2; 0) m t ph ng (α) có ph ng trình 2x − 2y − z + = a) Vi t ph ng trình m t ph ng (β) qua m A, B vuông góc v i (α); b) G i d giao n c a (α) (β) Vi t ph Câu 5b (Dành cho thí sinh thi theo ch 1) Gi i ph ng trình m t c u có tâm thu c d qua m A, B ng trình nâng cao) ng trình: log (4 x + 1) = log (22 x +3 − 6) + x 2) Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.OACB có S(0; 0; 2), đáy OACB hình vng A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) G i A’, B’, C’ l n l a) Vi t ph t hình chi u c a O SA, SB, SC ng trình m t ph ng qua m A’, B’, C’; b) Ch ng minh m O, A, B, C, A’, B’, C’ thu c m t m t c u Vi t ph .H t ng trình m t c u H tên thí sinh: S báo danh: ĐÁP ÁN Đ THI TH Đ I H C L N NĂM 2008− −2009.KH I A A Ph n dành chung cho t t c thí sinh: Câu 1(2đ) ý 1(1đ) N i dung Kh o sát hàm s m = Khi m = 2, hàm s tr thành: y = x3 − 3x + 1) TXĐ: R 2) SBT •Gi i h n: lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ Đi m 0,25 x →+∞ •BBT: Có y’ = 3x2 − = ⇔ x = ±1 x −1 −∞ y’ + − + y −1 −∞ Hàm s ĐB (−∞ ; −1) (1 ; +∞), ngh ch bi n (−1 ; 1) Hàm s đ t c c đ i t i x = −1, yCĐ = y(−1) = 3; Hàm s đ t c c ti u t i x = 1, yCT = y(1) = −1 3) Đ th : Giao v i Oy: (0 ; 1) Đi qua: (2 ; 3), (−2 ; −1) Tâm đ i x ng: (0 ; 1) +∞ 0,25 +∞ 0,25 y -2 -1 O 0,25 x -1 -2 2(1đ) 2(2đ) 1(1đ) Tìm m Có y’ = 3x2 − (m + 1) Hàm s có CĐ, CT ⇔ y’ = có nghi m phân bi t ⇔ 3(m + 1) > ⇔ m > −1 (*) y” = 6x = ⇔ x = Đ th có tâm đ i x ng U(0 ; − m2) CĐ, CT c a đ th U th ng hàng T gi thi t suy I trùng U ⇔ − m2 = ⇔ m = (do (*)) Gi i ph ng trình ĐK: x ≠ lπ (l ∈ ) PT ⇔ tanx = cosx(sinx + cosx) ⇔ sinx = cos2x(sinx + cosx) ⇔ sinx(sin2x + cos2x) = cos2x(sinx + cosx) ⇔ sin3x = cos3x ⇔ sinx = cosx ⇔ x = 2(1đ) π + kπ (k ∈ ) (Tho mãn) Gi i h PT Đ t x + = u ≥ 0; y + = v ≥ Ta có h m i: (v − 1)u + (u − 1)v = 25 u − + v − = 11 ⇔ (uv − 1)(u + v) = 25 ⇔ (S − 5)(S2 + 5S + 10) = ⇔ S = P = T tìm đ c: u = 2, v = ho c u = 3, v = x =3 x =8 ho c Suy nghi m h cho là: y =8 y =3 1(1đ) Tính tích phân Đ t + 2x = u 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (u + v )2 − 2uv = 13 Đ t u + v = S, uv = P, ta có: S ( P − 1) = 25 S − 13 − = 25 ⇔ S3 − 15S − 50 = S 2 S − P = 13 (2đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 dx = (u − 1)du; u(0) = 1, u(2) = 0,25 0,25 0,25 0,25 u −1 (u − 1)du = (u + 1)(u − 1) du u u 21 2+ I= = 2(1đ) u− 0,25 u2 − ln u du = u 2 = 1 (4 − ln 3) Tìm giá nh nh t giá tr l n nh t 1 +) V i x, y, z > ta có ( x + y + z ) + + ≥9 x y z 0,5 1 + + ≥9 x y z xy + yz + zx ≥ 9xyz BĐT c ng xyz = Do đó: ∀x, y, z ≥ 0, A ≥ −18xyz M t khác, x + y + z = nên xyz ≤ 27 18 T suy ra: A ≥ − =− 27 H n n a x = y = z = 1/3 A = −2/3 V y A = −2/3 +) Ta có: x2 ≥ x2 - (y - z)2 = (x + y - z)(x - y + z) = (1 - 2y)(1 - 2z) (1) T ng t : y2 ≥ (1 − 2z)(1 − 2x) (2) ; z2 ≥ (1 − 2x)(1 − 2y) (3) T (1), (2), (3) suy xyz ≤ (1 − 2x)(1 − 2y)(1 − 2z) ⇔ xyz ≥ − 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx) − xyz + xyz ⇔ 4(xy + yz + zx) ≤ + 9xyz ⇔ xy + yz + zx ≤ 99 xyz A≤ − ≤ 4 M t khác x = 0, y = z = ½ A = ¼ V y max A = ¼ D' Tính th tích hình h p H đ ng cao A’H G i E, F l n l t A' hình chi u c a H AB, AD Theo đ nh lý đ ng vng góc suy A’E ⊥ AB, A’F ⊥ AD ∆ vuông A’AE b ng ∆ vng A’AF (A’A chung góc A’AE b ng góc F A’AF) HE = HF H thu c đ ng phân H A E giác góc BAD H ∈ AC 4(1đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 C' B' 0,25 C B T ∆A’AE T ∆AHE a a , A' E = AE = HE = AE.tan300 = Di n tích ABCD a A' H = a2 a2 a − = 36 a2 a3 Suy th tích h p: V = 0,25 0,25 B Ph n dành riêng cho t ng ban: Câu 5a(3đ) ý 1(1đ) N i dung Đi m Gi i PT Đ t log ( x + + x ) = t log ( x + − x) = t 0,25 Ta có PT: log t = log t ⇔ log t = − log t ⇔ log t = ⇔ t = 0,25 0,25 V y: log ( x + + x) = ⇔ x + + x = x2 + = − x ⇔ 2(2đ) 3− x ≥ x + = (3 − x) ⇔ x= a) Vi t ph ng trình mp(β) mp(α) có vect pháp n nα = (2; −2; −1) ; AB = (4;0; −2) 0,25 0,25 0,75 mp(β) có vect pháp n nβ = nα ∧ AB = (4;0;8) ph ng trình mp(β): x + 2z − = b) Vi t ph ng trình m t c u G i (γ) mp trung tr c c a AB (γ)đi qua trung m M(1 ; ; 1) c a AB có vect pháp n AB = (4;0; −2) PT mp(γ): 2x − z − = G i I tâm m t c u I giao m c a m t ph ng (α), (β), (γ) to đ I nghi m c a h : 2x − y − z + = x + 2z − = I(1 ; ; 1) 2x − z −1 = 5b(3đ) 1(1đ) 2(2đ) Bán kính m t c u R = IA = PT m t c u: 2 (x − 1) + (y − 1) + (z − 1) = Gi i ph ng trình PT ⇔ log (4 x + 1) = log 2 x (22 x+3 − 6) ⇔ x + = x (22 x+ − 6) Đ t 2x = t > 0, ta có PT: t2 + = t(8t2 − 6) = ⇔ 8t3 − t2 − 6t − = ⇔ (t − 1)(8t2 + 7t + 1) = ⇔ t = V y 2x = ⇔ x = a) Vi t ph ng trình m t ph ng Có AC ⊥ OA, AC ⊥ SO AC ⊥ (SOA) AC ⊥ OA’, S l i OA’ ⊥ SA nên OA’ ⊥ (SAC) OA’ ⊥ SC T ng t OB’ ⊥ SC V y OA’, OB’, OC’ vng góc v i SC chúng A’, B’, thu c m t ph ng qua O vng góc v i SC C’ thu c m t ph ng qua O vng góc v i SC 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 C’ B’ 0,5 A’ B C I O Vì OABC hình vng nên C(1 ; 1; 0) SC = (1;1; −2) PT m t ph ng c n tìm: x + y − 2z = b) Ch ng minh Vi t PT m t c u Vì OA’ ⊥ (SAC) nên OA’ ⊥ A’C T ng t : OB’ ⊥ B’C Nh v y: m A, B, A’, B’, C’ nhìn đo n AC d i m t góc vng B’, C’ thu c m t c u (S) đ ng kính OC Tâm I c a m t c u (S) trung m OC I ng trình m t c u (S): x − 0,5 O, A, B, C, A’, 0,5 1 ; ;0 2 Bán kính c a (S): R = OC = 2 V y ph A 0,5 2 + y− 2 + z2 = TR NG THPT NAM ÔNG THI L N I N M 2009 L P D ÁN P.H.E Mơn: Tốn, kh i A (Ơn thi đ i h c, cao đ ng) Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát đ ) I PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 m) Câu I (2 m): Cho hàm s y = x3 - x2 + m2 x + m (m tham s ) (1) 1) Kh o sát s bi n thiên v đ th ( C ) c a hàm s m = 2) Tìm m đ đ th hàm s (1) có c c đ i c c ti u đ ng th i hai m đ i x ng qua đ ng th ng ( d ) : x - y - = Câu II (2 m): ìï x2 y + xy2 = 1) Gi i h ph ng trình í 2 x + y = ïỵ 2) Gi i ph ng trình: sin x (1 + tan x) = 3sin x ( cos x - sin x) + Câu III (1 m): p Tính tích phân: I = ò p sin x - cos x dx + sin x Câu IV (1 m): Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a L y m M c nh AD cho AM = 3MD Tính th tích kh i chóp M.AB’C kho ng cách t M đ n mp(AB’C) Câu V (1 m): Cho x, y ,z s th c tho mãn u ki n sau: x + y + z = ; x + > ; y + > ; z + > Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : Q = x y z + + x +1 y +1 z +1 II PH N RIÊNG (3 m) Thí sinh ch đ c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo ch ng trình Chu n Câu VI.a (2 m) Cho đ ng tròn x2 + y2 + x - y + = m M ( -2;2 ) Vi t ph ng trình đ ng th ng qua M c t đ ng tròn t i m A, B cho M trung m c a đo n AB Trong không gian Oxyz cho A(6; – 2;3), B(0;1;6), C(2;0; –1), D(4,1,0) Ch ng minh b n m A, B, C, D không đ ng ph ng Tính chi u cao DH c a t di n ABCD Câu VII.a (1 m) Gi i ph ng trình 3x.2 x = 3x + x + TR THI L N I N M 2009 NG THPT NAM ÔNG L P D ÁN P.H.E Mơn: Tốn, kh i A (Ơn thi đ i h c, cao đ ng) Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát đ ) I PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 m) Câu I (2 m): Cho hàm s y = x3 - x2 + m2 x + m (m tham s ) (1) 1) Kh o sát s bi n thiên v đ th ( C ) c a hàm s m = 2) Tìm m đ đ th hàm s (1) có c c đ i c c ti u đ ng th i hai m đ i x ng qua đ th ng ( d ) : x - y - = Câu II (2 m): ng ìï x2 y + xy2 = 1) Gi i h ph ng trình í 2 ïỵ x + y = 2) Gi i ph ng trình: sin x (1 + tan x) = 3sin x ( cos x - sin x) + Câu III (1 m): Tính tích phân: I = p ị p sin x - cos x dx + sin x Câu IV (1 m): Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a L y m M c nh AD cho AM = 3MD Tính th tích kh i chóp M.AB’C kho ng cách t M đ n mp(AB’C) Câu V (1 m): Cho x, y, z ba s th c tho mãn u ki n sau: x + y + z = ; x + > ; y + > ; z + > Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : Q = x y z + + x +1 y +1 z +1 II PH N RIÊNG (3 m) Thí sinh ch đ c làm m t hai ph n (ph n ho c 2) Theo ch ng trình Chu n Câu VI.a (2 m) Trong m t ph ng Oxy cho đ ng tròn x2 + y2 + x - y + = m M ( -2;2 ) Vi t ph ng trình đ ng th ng qua M c t đ ng tròn t i m A, B cho M trung m c a đo n AB Trong không gian Oxyz cho A(6; – 2;3), B(0;1;6), C(2;0; –1), D(4,1,0) Ch ng minh b n m A, B, C, D khơng đ ng ph ng Tính chi u cao DH c a t di n ABCD Câu VII.a (1 m) Gi i ph ng trình 3x.2 x = 3x + x + Theo ch ng trình Nâng cao Câu VI.b (2 m) Cho đ ng th ng ( d ) : x - y - = hai m A( 0;1) , B ( 3;4 ) Hãy tìm to đ m M (d) cho 2MA2 + MB2 có giá tr nh nh t Cho hai m t ph ng (P): 2x – y – 2z + = (Q): 2x – 6y + 3z – = Vi t ph ng trình m t c u (S) có tâm n m đ ng th ng D : Câu VII.b (1 m) x y+3 z = = đ ng th i ti p xúc v i c hai m t ph ng (P) (Q) -1 n Tìm s h ng ch a x2 khai tri n bi u th c ổỗ - x2 + x3 ö÷ , bi t n s t nhiên th a mãn h th c èx ø Cnn 46 + nAn2 = 454 -H T - Câu I ÁP ÁN – BI U I M N i dung l i gi i v n t t Ý i m 1 · V i m = ta có hàm s : y = x3 - x2 · T p xác đ nh: ¡ y¢ = x2 - x = 3x ( x - ) y¢ = Û x = 0; x = ( ) 0.25 ( ) · Gi i h n : lim x3 - 3x2 = +¥ ; lim x3 - x2 = -Ơ xđ+Ơ à B ng bi n thiờn x -Ơ y + y 0 x đ- Ơ - -4 +Ơ + 0.5 +¥ -¥ · th : - Giao v i tr c Ox t i: O ( 0;0 ) , A( 3;0 ) 0.25 -2 -4 Cách 1: y¢ = x2 - x + m2 , D¢ = - 3m2 · i u ki n c n đ đ hàm s có c c đ i c c ti u D¢ > Û - 3m2 > Û - < m < · ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s có ph ỉ 2m2 m2 - 2ữ x + + m ( d Â) : y = ỗ 3 ố ứ 0.25 ng trỡnh tìm ( d ¢ ) ta chia y cho y¢ vi t y v d ng: y ( x) = y¢ ( x) q ( x) + r ( x) G i x1 , x2 hoành đ c c tr ta có: y¢ ( x1 ) = y¢ ( x2 ) = Nên tung đ c c tr th a: y1 = y ( x1 ) = y¢ ( x1 ) q ( x1 ) + r ( x1 ) Û y1 = r ( x1 ) ; y2 = y ( x2 ) = y¢ ( x2 ) q ( x2 ) + r ( x2 ) Û y2 = r ( x2 ) T c t a đ m c c tr th a mãn p/trình y = r ( x) , p/trình đ/th ng qua c c tr (Vì r ( x) bi u th c b c nh t theo x) 0.25 · i u ki n c n đ hai m c c đ i, c c ti u đ i x ng qua ỉ 2m2 1  - ữ = -1 Û m2 = Û m = ( d ) : y = x - ( d ) ^ ( d ) ỗ 2 ố ø · i u ki n đ (th l i xem ( d ) có qua trung m c a hai m c c tr hay khơng): V i m = ta có hàm s : y = x3 - x2 có m c c đ i O ( 0;0 ) , m c c ti u B ( 2; -4 ) 0.25 0.25 Trung m c a OB I (1; -2 ) thu c ( d ) · V y O B đ i x ng qua ( d ) Do giá tr c a m th a mãn ycbt m= Cách 2: G i ( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) l n l t t a đ m c c tr ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s có ph ng trình ỉ 2m2 m2 - 2÷ x + + m ( d Â) : y = ỗ 3 è ø ỉ 2m2 ỉ 2m2 m2 m2 Nờn ta cú y1 = ỗ - ữ x1 + + m ; y2 = ỗ - ữ x2 + + m 3 è ø è ø ö x + x m2 y + y2 ổ 2m2 Suy =ỗ - 2ữ + + m 3 è ø Vì x1 , x2 hai nghi m c a p/trình y¢ = x2 - x + m2 = nên theo đ/lý b -6 Viet ta có x1 + x2 = - = = a T a đ trung m c a hai m c c tr x1 + x2 ì ïx = = = ï Ií 2 ỉ ỉ ï y = y1 + y2 = ỗ 2m - ữ x1 + x2 + m + m = ỗ 2m - ữ + m + m ïỵ 3 è ø è ø ìï x = Ií ïỵ y = m + m - · i u ki n c n đ hai m c c đ i, c c ti u đ i x ng qua ( d ) : x - y - = I Ỵ ( d ) Û - m2 + m - - = ( ) ém = Û m2 + m = Û ê ë m = -1 · i u ki n đ (th l i xem đ/th ng n i c c tr có vng góc v i ( d ¢ ) ): - V i m = : th a mãn (theo cách 1) - V i m = -1 ta có hàm s y = x3 - 3x2 + x - Hàm s có hai c c tr đ ng th ng qua m c c tr c a đ th hàm æ 2m2 m2 s cú p/trỡnh y = ỗ - 2÷ x + + m = - x - /th ng có h s 3 è ø góc k¢ = - ; đ/th ng ( d ) : y = x - có h s góc k = 2 Ta có k¢.k = - = - ¹ -1 nên đ ng th ng n i hai c c tr không vuông 3 góc v i ( d ) Do hai m c c tr khơng đ i x ng qua ( d ) V y tr ng h p m = -1 không th a mãn ycbt · Tóm l i: m = · Cách 3: Dùng m u n (tâm đ/x ng c a đ th ) cịn có th gi i theo cách khác II 1 ìï x2 y + xy2 = ìï xy ( x + y ) = í í 2 ïỵ x + y = ïỵ( x + y ) - xy = ìï P S = (1) t S = x + y; P = xy H tr thành í ïỵ S - P = ( ) S2 - T (2) suy P = thay vào (1) đ c: S2 - S = Û S - 5S - 12 = Û S = Suy P = 2 ìx + y = ìx = ìx = · V y ta có h í H có hai nghi m í ;í ỵ xy = ỵy = ỵy =1 · 0.5 0.5 p + kp ( k ẻ  ) ổ sin x + cos x ö Pt cho Û sin x ỗ ữ = 3sin x cos x - 3sin x + cos x è ø æ sin x + cos x ö Û sin x ỗ ữ = 3sin x cos x + 3cos x cos x è ø Û sin x ( sin x + cos x) = 3cos x ( sin x + cos x) · i u ki n: cos x ¹ Û x ¹ ( 0.25 ) Û ( sin x + cos x) sin x - 3cos x = ésin x + cos x = ésin x = - cos x Ûê Û ê ësin x - 3cos x = ësin x = ± cos x p é x = - + lp ê tan x = ộ ờ , (l, n ẻ  ) p tan x = ± ê x = ± + np ë êë · Các nghi m th a mãn u ki n (*) V y P/trình cho có nghi m: p p x = - + lp ; x = ± + np ( l , n ẻ  ) à H c sinh có th gi i theo cách khác (bi n đ i theo sin x,cos x r i quy đ ng đ a v d ng a sin x + b.sin x.cos x + c.sin x.cos x + d cos3 x = 0.5 0.25 Sau đ a v d ng tích nh cách 1) III 1 + sin x = ( sin x + cos x)2 = sin x + cos x ép p ù Trên đo n ê ; ú ta có sin x > 0;cos x > ë4 2û Do + sin x = sin x + cos x = sin x + cos x p Nên I = ò p 0.5 p d ( sin x + cos x) sin x - cos x dx = - ò dx sin x + cos x sin x + cos x p p · I = - ln ( sin x + cos x) p = - ln (1) + ln ( ) = ln = ln 2 0.5 · Cách khác: H c sinh có th đ t n ph t = sin x + cos x đ bi n đ i -1 I = ò dt = t IV ò dt = ln ( t ) = ln t ( 2) Cách 1: Ph ng pháp t a đ t hình h p vào h t a đ Oxyz cho B º O ( 0;0;0 ) , Aẻ Ox, C ẻ Oy, B ẻ Oz Khi ta có t a đ đ nh hình h p: A( a ;0;0 ) z C ( 0;2a ;0 ) B¢ ( 0;0; a ) B' D ( a ;2a ;0 ) A¢ ( a ;0; a ) D' C ¢ ( 0;2a ; a ) D¢ ( a ;2a ; a ) B C x 0.25 C' A' A M y D uuuur uuuur Vì M thu c c nh AD AM = 3MD nên ta có AM = 3MD uuuur uuur uuur Û OM = OD + OA 4 ì ï x = a + a = a ï 3a ï Suy t a đ c a M í y = 2a + = 4 ï ï ï z = + = ợ ổ 3a V y M ỗ a ; ;0 ÷ è ø P/trình m t ph ng ( AB¢C ) vi t theo đo n ch n: x y z + + = Û x + y + z - 2a = a 2a a 0.25 0.25 (Nên ý cách ch n t a đ đ mp(AB’C) có th vi t theo đo n ch n) Kho ng cách t M đ n mp ( AB¢C ) b ng: 2.a + h= 3a + 2.0 - 2a 2 +1 + 2 2 = 3a a = · V = SAB¢C h (xem cách 2) Cách 2: Ph ng pháp hình h c B' C' D' A' I B C A M D Xem kh i chóp M.AB’C nh kh i t di n áy tam giác MAC đ ng cao BB¢ = a Chú ý tam giác MAC có đ ng cao CD = a , đáy 3 3a AM = AD = 2a = 4 1 3a 3a · Di n tích tam giác MAC: SMAC = AM CD = a = 2 · Th tích kh i chóp M AB¢C : 1 3a a3 ¢ V = SAMC BB = a = 3 4 G i I trung m c a AB¢ Tam giác AB¢C có CA = CB¢ = a , AB¢ = a nên cân t i C ng cao a 3a CI = CA - IA = 5a = 2 1 3a 3a Di n tích tam giác AB¢C : SAB¢C = CI AB¢ = a = 2 2 ¢ · G i h kho ng cách t M đ n mp ( AB C ) ta có: 2 a3 3V a V = SAB¢C h Suy h = = 42 = SAB¢C 3a · Nh n xét: T t nhiên tốn có nhi u cách nhìn nh ng u quan tr ng dùng PP c ng c n ý đ n tính ch t ch , d tính tốn u quan tr ng PP t a đ , cách ch n h tr c cho ba đ nh A, B’, C n m ba tr c t a đ s có l i r t nhi u so v i cách ch n khác CỊn v i PP hình h c, vi c ch n đáy phù h p đ khai thác t i đa gi thi t s giúp nhanh chóng tìm đáp s tính toán b t ph c t p 0.25 Chúc em thành công ! V V i s d ng a, , c ta có: a b b c a c + ³ 2, + ³ 2, + ³ b a c b c a D u “=” x y ch a = b = c C ng b t đ ng th c theo v ta đ c a b b c a c + + + + + ³6 b a c b c a ỉa c ổb a ổb c ỗ + + 1ữ + ỗ + + 1ữ + ỗ + + ÷ ³ èb b ø èc c ø èa a ø a +b+c a +b+c a +b+c Û + + ³9 b c a ỉ1 1ư Û (a + b + c)ỗ + + ữ èa b cø 1 Û + + ³ (*) a b c a +b+c D u “=” x y ch a = b = c ỉ 1 x y z à Q= + + = 3-ỗ + + ữ x +1 y +1 z +1 è x +1 y +1 z +1ø Áp d ng k t qu (*) cho ba s d ng a = x + 1; b = y + ; c = z + ta có 1 9 + + ³ = = =3 x +1 y +1 z +1 x +1+ y +1+ z +1 x + y + z + + 0.25 0.5 ỉ 1 Do Q = - ỗ + + ữ Ê 3-3 = ố x +1 y +1 z +1ø ìx +1 = y +1 = z +1 Q=0Ûí Û x= y= z=0 ỵx + y + z = · V y {Q} = đ t đ c x = y = z = 0.25 VI.a P/tr đ/trịn vi t d ng t c ( x + 1) + ( y - 3) = Suy đ/trịn có tâm 2 I ( -1;3) , bán kính R = = · Ta có IM = ( -2 + 1) + ( - 3) = < R m M ( -2;2 ) n m 0.25 đ/tròn · M trung m c a dây cung AB ch IM ^ AB Ngh a đ ng th ng qua M c t đ ng tròn t i m A, B cho M uuur trung m c a đo n AB s nh n vecto IM = ( -1;1) làm vecto pháp n 0.75 PTTQ c a đ/th ng: -1( x + ) + 1( y - ) = Û x - y + = Hai vecto không ph ng mp(ABC): uuur uuur AB = ( -6;3;3) , AC = ( -4; 2; -4 ) r uuur uuur Vecto pháp n c a mpABC): n = AB, AC = ( -18; -36;0 ) 0.25 ur r Suy n¢ = - n = (1; 2;0 ) vtpt c a mp(ABC) 18 PTTQ c a mp(ABC): 1( x - ) + ( y + ) + ( z - 3) = Û x+ 2y - = Thay t a đ m D(4,1,0) vào v trái P/trình mp(ABC) ta đ + 2.1 - = ¹ Ch ng t D Ï ( ABC ) V y m A, B, C, D không đ ng ph ng ng cao DH b ng kho ng cách t đ nh D đ n mp(ABC) + 2.1 - 4 DH = = = 5 12 + 22 + 02 c 0.25 0.5 VII.a Ta có x = + x + Û ( x - 1) = x + x · V i x= x= x x , thay vào (1) ta đ c = Không đ (1) c th a mãn Nên không nghi m (1) 2x + · V i x ¹ ta có (1) Û 3x = (2) 2x -1 2x + -4 Xét hàm s y = f ( x) = , ta có y¢ = < nên hàm s liên t c 2x -1 ( x - 1)2 0.25 1ư ỉ1 ỉ ngh ch bi n trờn cỏc kho ng ỗ -Ơ; ữ , ỗ ; +Ơ ữ 2ứ ố2 ố ứ x Cũn hàm s y = g ( x) = liên t c đ ng bi n ¡ · Ta có f (1) = g (1) = nên x = m t nghi m c a (2) Và f ( -1) = g ( -1) = 0.25 nên x = -1 m t nghi m c a (2) · V i m i x > ta có g ( x) > g (1) Û 3x > f ( x) < f (1) Û nên (2) khơng có nghi m kho ng (1;+¥ ) 2x + f (1) Û > nên (2) khơng có nghi m trờn kho ng ỗ ;1ữ 2x -1 ố2 ø 1ư ỉ · T ng t , kho ng ( -Ơ; -1) , ỗ -1; ữ ph ng trình (2) vơ nghi m 2ø è · Tóm l i (1) có hai nghi m x = ±1 ·V im i 0.25 0.25