Để khảo sát kết quả thi môn toán trong kỳ tuyển thi đại học vừa qua của trường A người điều tra chọn một mẫu gồm 60 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh đó... TÍCH VÔ HƯỜNG CỦA HAI VECTƠ [r]
(1)A ĐẠI SỐ:
I BẤT ĐẲNG THỨC:
Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân( BĐT Cơ – si): Cho a, b hai số thực:
a b
ab
a,b0 Đẳng thức: xảy a=b
Bài tập:
1 CMR: a a
a
2 Cho a, b, c >0 CMR: a) a b c
b c a b)
1 1
(a b c)( )
a b c
CMR: a b a b,
b a
4 CMR: (a b)(1 1) a b,
b a
CMR: a b2 2a a b,
b
CMR: (a b b c a c )( )( ) 8 abc a b c, , 0 CMR: a b c 1 a b c, ,
bc ac ab a b c
8 CMR: (a 1)(b 1)(c 1) a b c, ,
a b c
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
1) Nhị thức bậc nhất:
x – –b/a +
ax + b Trái dấu a dấu a 2) Tam thức bậc hai:
* f(x) = ax2 bx c
dấu với a ax2bx c 0 vơ nghiệm có nghiệm kép
* ax2 bx c 0
có hai nhiệm phân biệt x1 x2
x – x1 x2 +
2
ax bx c dấu a Trái dấu a dấu a Bài tập:
1 Giải bất phương trình sau: a) x2 x 1 0
ĐS: T = (–; +)
b) x2 4 4x
ĐS: T=
c) 5x2 2x 7 0
ĐS: T = (–; -1] [7/5; +) d) (3x – 1)( x2 3x 10
)>0 ĐS: T = (–5; 1/3) (2; +) e)
2
(3 )( 2)
0
5
x x x
x x
ĐS: T = (–3/5; 1) [3; +)
f) 1
3x x
HD: Bpt
2
3
0
3
x x
x
…ĐS: T = (2/3; +) g) x – >
2
x x
HD: Bpt
2 4 4
x x
x
… ĐS: T = (2; +
)
h)
(2)2 Tìm tập xác định hàm số sau: a) y =
8 15
x x HD: hs xác định x2 8x150… ĐS: D = (–; 3] [5; +) b) y = 23
6
x
x x
HD: hs xác định
6
x x
> 0… ĐS: D = (–2; 3)
III THỐNG KÊ
1. Thời gian hồn thành sản phẩm mơt nhóm cơng nhân: Thời gian
(phút)
42 44 45 48 50 54 Cộng
Tần số 20 10 50
Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn bảng phân bố tần số ĐS: x46,6; Me = 45; Mo = 45; Độ lệch chuẩn : Sx 3; Phương sai: Sx2 8,9
2. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp điểm thi toán lớp 10A: Lớp điểm thi Tần số
[0 , 2)
[2 , 4)
[4 , 6) 12
[6 , 8) 28
[8 , 10]
Cộng 50
a)Tìm số trung bình; phương sai; độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,1) ĐS: x6,1; Sx2 3,2; Sx 1,8 b) Lập bảng phân bố tần suất
c)Vẽ biểu đồ hình cột, hình quạt đường gấp khúc mô tả tần suất
3 Để khảo sát kết thi mơn tốn kỳ tuyển thi đại học vừa qua trường A người điều tra chọn mẫu gồm 60 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh Điểm mơn tốn thang điểm 10 học sinh cho bảng phân bố tần số sau:
Điểm 10
Tần số 13 19 24 14 10 N= 100
a/ Tìm mốt
b/ Tìm số trung bình ( xác đến hàng phần trăm) c/ Tìm số trung vị
d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( xác đến hàng phần nghìn) 4.Cho bảng tần số, tần suất ghép lớp sau:
Lớp Tần Số Tần Suất
[160;162] 16,7%
[163;165] 12 33,3%
[166; * ] ** 27,8%
[169;171] ***
[172;174] 8,3%
N =36 100%
a/ Hãy điền số thích hợp vào dấu * b/ tìm giá trị đại diện lớp
c/ Tìm số trung bình ( xác đến hàng phần trăm)
d/ Tìm phương sai độ lệch chuẩn ( xác đến hàng phần nghìn) 5. Cho số liệu thống kê:
111 112 112 113 114 114 115 114 115 116
112 113 113 114 115 114 116 117 113 115
a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất; b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt
(3)1 Các công thức lượng giác bản:
2
2
2
sin os
sin os
os sin
x c x
x c x
c x x
cot t anx t anx.cotx
1 tan cot x x x 2 2 2 tan 1 os
1 tan (cos 0)
1 os os tan x c x x x c x c x x 2 2 2 cot 1 sin
1 cot (sinx 0)
1 sin sin cot x x x x x x 2 Chú ý:
1) sin( +k2 )=sincos( +k2 )=cos
2) 1 cos 1, 1 sin 1, 3 Công thức cộng:
*cos( ) =cos cos sinsin *sin( ) =sin cos sin cos
* tan( + ) =
tan tan tan tan
* tan( - ) =
tan tan tan tan 4 CT nhân đôi :
*cos2= cos2-sin2 =2cos2 -1. =1 - 2sin2
* sin2= 2sin cos * tan2 =
tan tan
(Với tan2; tan ) có nghĩa 5 cơng thức hạ bậc:
2 cos sin
2
x
x ; os2 cos
2
x
c x ; tan2 cos
1 os2 x x c x 6 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
*cos cos=
2[cos( +) + cos( -) ] *sin sin=
2[cos( +) - cos( -)] *sin cos=
2[sin( +) + sin( -)] 7 Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos cos cos cos ; sin sin sin cos
2 2
cos cos sin sin ; sin sin cos sin
2 2
x y x y x y x y
x y x y
x y x y x y x y
x y x y
Bài tập:
1.Cho sin =
0 2 Tính cos, tan, cot, sin2
ĐS: cos = 4/5, tan = ¾, cot = 4/3, sin2 = 24/25 2.Cho cos =
5
2
Tính sin , cot , cos2 .
ĐS: sin = 4/5, cot = –3/4, cos2 = –7/25 3.Cho tan =
2
Tính cot , sin
(4)4 Cho cot = –3 2
Tính tan , cos
ĐS: tan = –1/3, cos = 3 10
10
5 Tính GTLG góc biết :
2 17
8 cos
6* Tính : A 4.1cos5x cosx sinx
; B= 4sinx sin2x sin3x; C =
4 cos 24
sin
7* Biến đơi thành tích : M = sin 2x – sin 4x + sin 6x 8* Chứng minh rằng:
1
2 sin sin
10 10
9* Chứng minh đẳng thức : a) cos(cos( )) cotcot ..cotcot 11
b a
b a b
a b a
*HD: +BĐ vế phải
+Đưa cot sin ; cos
b) sin(a+b).sin(a-b)= sin2a sin2bcos2b cos2a
*HD: +BĐVT theo CT cộng +sử dụng hđt (a-b).(a+b)
10 Tính sin 2a ; cos 2a ; tan 2a biết : a) sina = -0,6 &
2 3
a ; b)sina + cosa = -5/9 & a
3 *HD:a) + Tính cosa
+ Tính sin 2a ; tan 2a theo CT nhân đơi
b) + Bình phương vế đẳng thức cho +Tìm sin 2a ; cos 2a ; tan 2a
11* Rút gọn biểu thức : A=
x x
x
x x
x
5 cos
cos cos
5 sin sin sin
Từ kết tìm tính giá trị A biết cot 3x = -5/7 *HD: +BĐ tử & mẩu thành tích
+Đưa tan 3x + Tính A theo cot 3x
12 *Chứng minh rằng:
tan
cos
sin
2 cos
sin
( Khi biếu thức có nghĩa)
B HÌNH HỌC:
I TÍCH VƠ HƯỜNG CỦA HAI VECTƠ VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC - GIẢI TAM GIÁC:
1.Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ : a b a bcos
với = ( a;b)
2.Bình phương vô hướng hai vectơ: a.a= a2 = ( a)2 = | a|2
3.Biểu thức tọa độ : Cho a =(a1, a2) ; b=(b1,b2) Khi đĩ: a b= a1.b1+ a2.b2 4.Độ dài vectơ: | a |= a12a22
5 Góc tạo hai vectơ: 12 22
1 2
cos( , )
a b a b
a b
a b a b
(a o , b o) * a b <=> a1.b1+ a2.b2 =
6 Khoảng cách hai điểm: Cho A( xA; yA) ; B(xB;yB) Khi AB =
2
( B A) ( B A)
ABAB x x y y
(5)c b
a
A
B H C
a2 = b2 + c2 - bc.cosA b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
8 Hệ quả: *
bc a c b A
2 cos
2 2
; *
ac b c a B
2 cos
2 2
; *
ab c b a C
2 cos
2 2
9 Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến:
4
2 2
2 b c a
ma ;
4
2 2
2 a c b
mb ;
4
2 2
2 a b c
mc 10.Định lý sin tam giác:
C c B b A a
sin sin
sin = 2R (R: bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) 11.Cơng thức tính diện tích tam giác:
1 1
S
2a ha 2b hb 2c hc
1 1
S sin sin sin
2ab C 2ac B 2bc A
S =
R abc
4 S = pr
S = p(p a)(p b)(p c) (CT: Hê-rông)
Bài tập:
1.Cho ABC vng cân có AB=AC =a Tính tích vơ hướn AB AC ;AC CB Trên mặt phẳng Oxy tính góc hai a và b biết:
a.) a =(2;-3).; b= (6;4) b) a.=(3;2) ; b=(5;-1)
3 Cho ABC có AB = 5; AC = 8, A 600 Tính BC
4 ABC a = 7; b = 24; c = 23 Tính góc A , B, C tam giác ABC, tính độ dài trung tuyến ma Cho tam giác ABC có Bˆ 20 ;0 Cˆ 310
b= 210 Tính góc A , cạnh cịn lại bán kính R
đường trịn ngoại tiếp tam giác
6.Cho ABC có a=13 , b= 14 ; c=15 Tính SABC, R, r
7 ChoABC biết a =17,4 B = 44030’, C =640 Tính góc A cạnh b , c
ĐS: A = 71031’ b= sin
sin
a B
A 12.9 ; c=
sin sin
a C A 16.5
8 Cho ABC biết a =49.4, b = 26.4 , C =470 20’ Tính góc A , B cạnh c *HD: Theo định lí cosin ta có :
c2 = a2 +b2 -2abcosC 1369.58 c 37.0; cosA =
2 2
2
b c a bc
-0.1913 A 10102’ ; B 1800 –(10102’ +470 20’) 31038’
9 Cho ABC có a=24 b= 13 c=15 Tính góc A,B,C
*HD: Theo hệ định lí cosin tacó cosA =
2 2
2
b c a bc
-0.4667 A 117049’ Vì
sin
a A=sin
b
B nên sinB =
sin
b A
a 0.4791vì AC ngắn nên B nhọn B 28038’
10 Giải ABC vuông A, biết a= 72, B= 580 Tính đường cao ha,
*HD: C = 900 -
B= 320 ; b = asinB = 72 sịn580 ; c = a isnC = 72.sin320 38,15; h
a =
32,36
b c
a ; C 33
033’
11 Cho ABC, biết a= 50,1; b= 85 ; c = 5442, Tính góc A, B,C
*HD: Theo đl cơsin ta có
2 2 7225 2916 2714, 41
cos
2 2.85.54
b c a A
bc
0,8090 A = 360
CosB =
2 2
2
b c a bc
-0,2834 B 1060 28’ ;
(6)12 Giải ABC Biết A=1200 b= 8, c =5 Tính góc B,C cạnh a
*HD: Theo đl cơsin ta có
a2 = b2 +c2 -2bc cosA= 126 a 11,36
CosB =
2 2
2
b c a bc
0,79 B 370 48’ & C 220 12’
13 Cho ABC có b=7cm, c = 5cm cos
A Tính a, sinA SABC, ha, R
(ĐS: ; sin 4; sin 14 2; 2;
5 2
S
a cm A S ABC bc A cm ha R a
)
14 Cho ABC Biết A=600, b = 8cm, c = 5cm Tính a, sinA SABC, ha, R
(ĐS: ; 10 2; 10 ;
7
a cm SABC cm ha cm R )
15 Cho ABC, biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm Tính SABC, ha, r, ma (ĐS: SABC 84cm2;ha8cm r; 3, 5cm ma; 9,18cm)
16 Cho ABC, biết b = 14cm, c = 10cm, A= 1450 Tính a, B C;
0
(HD a: 23;B20 ;C 14 )
17.Cho ABC, biết a = 4cm, b = 5cm, c = 7cm Tính A B C; ;
0 0
(HD A: 34 ;B 44 ;C101 )
II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRỊN, ELIP, KHOẢNG CÁCH… VÀ GĨC…, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI…
qua M(x0; y0) có VTCP u= (u1; u2), PTTS :
0
x x u t y y u t
qua M(x0; y0) có VTPT n= (a; b), PTTQ là: a(x – x0) + b(y – y0) = Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R, PTCT: (x – a)2 + (y – b)2 = R2
Dạng khai triển(PTTQ) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0 có tâm I(a; b), bán kính R = a2 b2 c
Phương trình tiếp tuyến đường trịn tâm I(a; b), bán kính R điểm M(x0; y0)là: (x0 -a)(x-x0)+(y0-b)(x-y0) Đường elip:
2 2 2
2 2
2 1, 2
a b c
x y
b a c
a b c a b
Có trục lớn A1A2 = 2a, trục nhỏ B1B2 = 2b, tiêu cự F1F2 = 2c, tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0); Các đỉnh A1(– a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b), tâm sai: e c
a
Khoảng cách từ M(x0; y0) đến : ax + by + c = là: d M( , ) |ax by0 2 2 c|
a b
Góc 1:a x b y c1 10 2:a x b y c2 0 là:
1 2 2 2 1 2
| |
cos
a a b b a b a b
Hệ 1 1
2 2
0 ( ) ( )
a x b y c a x b y c
+ Có nghiệm ( 1 2
a b
a b ) (x0; y0) 1 cắt 2 (x0; y0) +Vô nghiệm ( 1
2 2
a b c
a b c ) 1 // 2 +Vô số nghiệm ( 1
2 2
a b c
a b c ) 1 trùng với 2
(7)+ d(I,) = R tiếp xúc với (C) điểm M(x0; y0) + d(I,) > R nằm ngồi (C)
Bài tập:
1.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;3) , B(-3;1) C(2;-1)
a)Viết PTTQ đường thẳng AB ĐS: x y40 b) Viết PT TQ đường cao CH ĐS: xy 10 c) Viết PT TS đường thẳng BC ĐS: x = –3+5t, y = 1–2t
d) Viết PT TS đường cao AK ĐS: x = –1+2t, y = 3+5t
c) Viết phương trình trịn đương kính AB ĐS: (x + 2)2 + (y –2)2 = 2
d)Viết phương trình đường trịn tâm B qua C ĐS: (x +3)2 + (y –1)2 = 29
2.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng :3x 4y 10
a)Tính khoảng cách từ I(2;5) đến đường thẳng ĐS:d(I;)3
b)Viết phương trình đường trịn tâm I tiếp xúc với đường thẳng ĐS:x 22y 52 9 3.Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua N(2;-1) có vectơ phương u ( 3;2)
4 Tính góc hai đường thẳng sau: d1:2x 5y10 d2 :3xy 50 ĐS: 86038’
5 Cho đường thẳng : 1: 2x 5y 1 2: 3x 4y 2
a) Chứng minh rằng: 1và 2cắt nhau.Tìm toạ độ giao điểm 1và 2 ĐS: (–6/7; –1/7) b)Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm M(1;-3) song song 1 ĐS: 2x–5y–17= 0 a)Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(3;-2) bán kính R= ĐS: x32y2225
b)Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) điểm M(0;2) ĐS: 3x 4y80
7.Cho đường tròn ( ) :C x2 y2 4x 2y 5 0
Tìm tâm bán kính đường tròn (C) ĐS: I(–2; 1), R = 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm, điểm A 1; và 2;
2
B : a) Chứng minh OAB vng O;
b) Tính độ dài viết phương trình đường cao OH OAB; c) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp OAB
9 Cho elip có phương trình:
2
y
x
Hãy xác định độ dài trục, tiêu cự, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, tâm sai
10 Viết phương trình tắc (E) có đỉnh (-3,0) tiêu điểm (1 , 0) ĐS: 2
9
x y
11 Viết phương trình tắc (E) có trục lớn 10 tiêu điểm ( , 0) ĐS:
2
1 25 16
x y