Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Câu 4: Trên đồ thị của hàm số có điểm sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2... Phương trình tiếp tuyến tại điểm là:.[r]

Trang | PHƢƠNG PHÁP VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA

ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số y f x  có đạo hàm điểm x0 Khi đó:

- Hệ số góc tiếp tuyến điểm x0 là:

 0

k f x

- Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0x0; f x 0  là:

 0 0  0

y f x xx  f x

2 Một số dạng toán thƣờng gặp

Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số

Cho hàm số  C :y f x  điểm M x y 0; 0   C Viết phương trình tiếp tuyến với  C M

Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Tính đạo hàm f x tìm hệ số góc tiếp tuyến k f x0

- Bƣớc 2: Viết phương trình tiếp tuyến M: y f x0 xx0y0

Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trƣớc Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Gọi   tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Bƣớc 2: Giả sử M x y 0; 0 tiếp điểm Khi x0 thỏa mãn f x0 k

- Bƣớc 3: Giải phương trình tìm x0 y0  f x 0

- Bƣớc 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: yk x x0y0

Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm

Cho đồ thị hàm số  C :y f x  điểm A a b ; Viết phương trình tiếp tuyến với  C biết tiếp tuyến qua A

Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Gọi  đường thẳng qua A có hệ số góc k Khi :yk x a   b

- Bƣớc 2: Để  tiếp tuyến      

 

f x k x a b

C

f x k

   



    có nghiệm

Trang | - Hệ số góc tiếp tuyến với  C điểm M x y 0; 0   C k  f x0

- Cho đường thẳng d y: k x ad 

+) d 1

d

d k k k

k

 

       

+) / /dkkd +)  ,  tan

1

d d

k k

d

k k

  





   

 +) ,Ox  k tan 3 Bài tập

Câu 1: Biết tiếp tuyến hàm số vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ Phương trình là:

A

B

C

D

Hƣớng dẫn giải

Tập xác định:

Đường phân giác góc phần tư thứ có phương trình có hệ số góc

Phương trình tiếp tuyến cần tìm

Chọn C

Câu 2: Cho hàm số Có cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến song song với nhau:

 d

2

yx  x

 d

1 18 18

,

9

3

y  x   y  x  

,

yx y x

1 18 18

,

9

3

y  x   y  x  

2,

y x y x

D

2

y  x 

:x y

 

 d

 1

 

1

3

o o o

y x    x    x  

  18 18

: ,

9

3

d y  x   y  x  

1 (C) x y

x

 

Trang |

A B C D Vô số

Hƣớng dẫn giải

Ta có:

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng Lấy điểm tùy ý

Gọi điểm đối xứng với qua suy Ta có: Hệ số góc tiếp tuyến điểm là:

Hệ số góc tiếp tuyến điểm là:

Ta thấy nên có vơ số cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến song song với

Chọn D

Câu 3: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi hoành độ điểm , mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Khi bằng:

A B C D

Hƣớng dẫn giải

Ta có:

Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Hồnh độ điểm nghiệm phương trình

Suy

Chọn A

Câu 4: Trên đồ thị hàm số có điểm cho tiếp tuyến với trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Tọa độ là:

A B C D

Hƣớng dẫn giải

0

 2

'

1 y

x

 



1 x y

x

 

 I 1 1;

 0  

A x ; y  C

B A I B2x ;0 2y0   C

A  

 

0

0

2 A

k y' x .

x



 



B  

 

0

0

2

1 B

k y' x .

x



  



A B

k k A, B  C

3

2

yx  x  x x1,x2 M , N  C

 C y  x 2017 x1x2

4

4



3 1

2

'

y  x  x

M , N  C y  x 2017 x1,x2

M , N 3x24x 1

1

4 x x 

1 y

x



 M

M

 2;1 4;1

     

3

;

4

  

 

 

3 ;

  

 

Trang |

Ta có: Lấy điểm

Phương trình tiếp tuyến điểm là:

Giao với trục hoành:

Giao với trục tung:

Vậy

Chọn D

Câu 5: Tiếp tuyến parabol điểm tạo với hai trục tọa độ tam giác vng Diện tích tam giác vng là:

A B C D

Hƣớng dẫn giải

+

+PTTT điểm có tọa độ là:

+ Ta có giao , giao tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông vuông

Diện tích tam giác vng là:

Chọn D

Câu 6: Biết với điểm M tùy ý thuộc  C :

2 3 3

2

x x

y x

  

 , tiếp tuyến M cắt  C hai điểm A,Btạo với I 2; 1 tam giác có diện tích khơng đổi, diện tích tam giác là?

A 2(đvdt ) B 4(đvdt ) C 5(đvdt ) D 7 (đvdt )

Hƣớng dẫn giải ChọnA

2

3

1

2

x x

y x

x x

 

   

  Ta có:  2

1 '

2 y

x

 

  2

1 '

1 y

x

 

 M x ; y 0   C

M

 2  0  

0

1

1

y x x

x x



   

 

  Ox=A2x01 0; 

 

 2

0

2

0

1

x

Oy=B ;

x

    

  

 

2

0

2

1

4

2

OAB

x

S OA.OB x

x

  

     



 

3 ; M  

 

2

y x (1;3)

25

5

5

25

2 (1)

y  x y  

(1;3) y 2(x     1) y 2x ( )d

( )d Ox 5;

2 A 

  Oy B(0;5) ( )d

OAB O

OAB .5 25

2 2

Trang |

Gọi  0 0  

0

; ( )

2

M x y C y x

x

     

 Tiếp tuyến với ( )C M

 2  0

0

1

: 1

2

y x x x

x x

 

       

 

 

 

Nếu    x điểm A, 0

A

x y

x

 

 2; 0

x A

x

 

   



 

Nếu  cắt tiệm cận xiện điểm B

 2  0 0

0

1

1 1 2

2

2 xB x x x xB xB x yB xB x

x

 

              

 

 

 

 

2 2; 3

B x x

  

Nếu I giao hai tiệm cận, I có tọa độ I 2; 

Gọi H hình chiếu vng góc B tiệm cận đứng x 2 suy H( 2; 2 x03)

Diện tích tam giác

0

1 1

AIB : 2

2 A I B H 2

x

S AI BH y y x x x

x

        



Hay 0

0

.2 2

2

S x

x

  

 ( đvdt )

Chứng tỏ S số, khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

Câu 7: Cho hàm số y  x3 3x2 có đồ thị  C Tìm điểm trục hồnh cho từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số có hai tiếp tuyến vng góc với

A ; 27

M 

  B

28 ;

M 

  C

8 ;

M 

  D

28 ; 27

M 

 

Hƣớng dẫn giải Chọn B

Xét điểm M m( ;0)Ox

Cách1: Đường thẳng d qua M , hệ số góc k có phương trình: yk x m(  )

d tiếp tuyến  C hệ

2

3 ( )

3

x x k x m

x k

    

 

  

 có nghiệm x

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được:

2

3(x 1)(x m ) ( x 3x 2)

2

(x 1)(3x 3(1 m x) ) (m x 1)(x x 2)

Trang |

(x 1)[2x (3m 2)x 3m 2]

        1

1

x

   2x2(3m2)x3m 2 2 

Để từ M kẻ ba tiếp tuyến  1 phải có nghiệm x, đồng thời phải có giá trị k khác nhau,  2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, đồng thời phải có giá trị k khác khác

 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi:

(3 2)(3 6) ,

3

3

1

m m m m

m

m



       

 

   

     3

Với điều kiện  3 , gọi x x1, 2 hai nghiệm  2 , hệ số góc ba tiếp tuyến

2

1 3, 3,

k   x  k   x  k 

Để hai ba tiếp tuyến vng góc với k k1 2  1 k1 k2

1

k k   2 2

1 2 2

9(x 1)(x 1) 9x x 9(x x ) 18x x 10 ( )i

          

Mặt khác theo Định lí Viet 1 2 2; 1 2

2

m m

x x   x x   Do ( ) 9(3 2) 10 28

27

i  m     m thỏa điều kiện  3 , kiểm tra lại ta thấy k1 k2

Vậy, 28; 27

M 

  điểm cần tìm

Cách2: Gọi N x y( ;0 0)( )C Tiếp tuyến   C N có phương trình:  

0 0

3 ( )

y  x  xx y

 qua  

0 0

0 3 ( )

M    x  mx y

0 0 0

3(x 1)(x 1)(x m) (x 1) (x 2)

       

2

0 0

(x 1) 2 x (3m 2)x 3m 2

       

2

0

1

2 (3 2) (a)

x

x m x m

    

    



Từ M vẽ đến  C ba tiếp tuyến ( )a có hai nghiệm phân biệt khác 1, có hai giá trị k  3x023khác khác điều xảy khi:

2 (3 2)(3 6) 0

(3 2) 8(3 2)

3

2 2(3 2)

m m

m m

m m

  

      



   

   



1

,

3 m

m m

   

    

Trang | Vì tiếp tuyến điểm có hồnh độ x 1 có hệ số góc nên u cầu tốn

2

( 3p 3)( 3q 3)

       (trong p q, hai nghiệm phương trình ( )a )

2 2

9p q 9(p q ) 10

     2

9p q 9(p q) 18pq 10

     

2

9(3 2) 9(3 2)

9(3 2) 10

4

m m

m

 

      28

27 m

   Vậy 28; 27

M 

 

Câu 8: Cho hàm số y 1 x x

 

 có đồ thị  C Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị  C cho tiếp

tuyến cắt trục O , Ox y điểm A,B thoả mãn OA4OB

A 4 13 4 y x y x           

B

1 4 13 4 y x y x            C 4 13 4 y x y x            D 4 13 4 y x y x           

Hƣớng dẫn giải Chọn A

Giả sử tiếp tuyến  d  C M x y( ;0 0)( )C cắt Ox A, Oy B cho 4O

OA B

Do OAB vuông O nên tan OB A

OA

   Hệ số góc  d

4



Hệ số góc  d 2

0

1 1

( )

( 1) ( 1)

y x x x           0 0 x y x y                      

Khi có tiếp tuyến thoả mãn là:

1

( 1)

4 4

1 13

( 3)

4 4

y x y x

y x y x

                          

Câu 9: Cho hàm số 2 3

y x  x  x có đồ thị 4;

A 

Trang | tiếp tuyến

:

4

:

3

5 128

:

9 81

y x

y x

y x

   

  

 

    

giao điểm với trục tung tạo với hai trục tọa độ tam

giác có diện tích

A 1 B 2 C 3 D 4 Hƣớng dẫn giải

Chọn D

Ta có

:

4 :

3

5 128

:

9 81

y x

y

y x

       

    

giao điểm (Cm) với trục tung

2

' '(0)

y  x  m y  m

Phương trình tiếp tuyến với (Cm) điểm m y mx 1 m

Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với trục hoanh trục tung, ta có tọa độ

1 ;

m A

m



 

 

  (0;1B m)

Nếu m0 tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả Nếu m0 ta có

 2

9

1 1

8 8 16

2 7 3

OAB

m m

m

S OA OB m

m m m

   



         

   

Vậy có giá trị cần tìm

Câu 10: Cho hàm số

2

x y

x

 

 Tìm giá trị nhỏ m cho tồn điểm M   C mà tiếp

tuyến  C M tạo với hai trục toạ độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng

:

d y m

A 1

3 B

3

3 C

2

3 D

2

Hƣớng dẫn giải Chọn A

Gọi M x y( ;0 0)( )C Phương trình tiếp tuyến M : 2 0 0

0

( )

(2 1)

y x x y

x



  

Trang | Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với trục hoành trục tung

 02

2

2

(2 1)

B

x x

y

x

 





Từ trọng tâm G OAB có: y 3x-1



Vì Gd nên

0

2

2

2 3(2 1)

x x

m x

   

 Mặt khác:

2 2

0 0 0

2 2

0 0

2 (2 1)

1

(2 1) (2 1) (2 1)

x x x x x

x x x

        

  

Do để tồn điểm M thỏa tốn 1

3

m    m

Trang | 10 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia