Các dạng bài toán điển hình về Phương trình đường thẳng Toán 10

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]

Trang | CÁC DẠNG BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VỀ PHƢƠNG TRÌNH

ĐƢỜNG THẲNG TỐN 10 1 Một số tốn giải tam giác

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có A2;3, phương trình đường trung tuyến từ B, C d : 2x 7y 301   0 d : 7x 5y 142   0 Phương trình đường thẳng AB có dạng

axby c 0 Khi giá trị biểu thức Q a bc bằng:

A 34 B –32 C. – 22 D. 44

Lời giải

+ A2;3d ;d1 2

+ Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC nghiệm hệ

x

2x 7y 30 14

G ;

7x 5y 14 14 3

y

   

 

    

     

  



+ B d1 B b; 2b 30 ; C d2 C 14 5c;c

7

  

   

       

   

+ Ta có:    

14 5c

2 b

b

B 1; ; C 3;

2b 30 c

3 c 14



    

  

   

   



   



+ AB:  

 

qua A 2;3 x 2 y 3

AB : x 3y 11

3

qua B 1;



  

      





Khi đó: a1; b 3; c 11    Q  3 11 32

Đáp án B Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có M 2; 1   trung điểm AB Đường trung tuyến

đường cao qua A là: d : x1   y d : 5x 3y 292   0 Điểm sau không thuộc

Trang |

A. P 3;   B. Q 2; 7   C. R 2018; 2017   D. S 1056;1055  

Lời giải

+ A d1 d2A 4;3 

+ M2;1 trung điểm AB B 8; 1 + BCd2BC : 3x 5y c   0

Mà B  8; 1 BC   C 19 BC : 3x 5y 19   0 + I d1 BCI 2;5  trung điểm BC C 12;11 

+  

 

qua A 4;3 x 4 y 3

AC AC : x y

8

qua C 12;11

  

      





Đáp án B Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có C2;1 Đường phân giác góc A đường trunh tuyến AM d : 2x1   y d : x2   y Tìm tọa độ điểm B

A. B 7; 3

 

 

  B.

1 B ;

3

 

 

  C.

7 B ;

3

 

 

  D.

4 13

B ;

3



 

 

  Lời giải

+ A d1 d2A1;3 + C’ đối xứng với C qua d 1

+  

1

qua C 2;1

CC ' CC ' : x 2y

d : 2x y

 

     



   



+

2

H d CC ' H ;

5



 

    

  trung điểm CC’

6 13 C ' ;

3

 

  

 

+

 

qua A 1;3

AB : 6 13

qua C ' ; AB : 2x 11y 31 5

 



      

 

  



Trang | + B AB B 31 11b; b

2           

Md M m; m

+ M trung điểm BC

7

31 11b b

2 2m

B ;

1 3

b 2m m

3                          

Đáp án A Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có A1; 2 Đường trung tuyến BM phân giác CI có phương trình d : x1   y d : 2x2   y Tìm tọa độ điểm B a; b   Tính

P a b

A. 31

6 B –2 C.

31

 D.

Lời giải

+ A’ đối xứng với A qua d , AA ' d2  2 K

+  

2

qua A 1;

AA ' AA ' : x 2y

d : 2x y

 

     



   



+ K AA ' d2 K 13; A ' 16;

5 5

   

      

   

+ M d1 M a;a 2

 

2

Cd C b;3 2b

M trung điểm AC có:

1 11

M ;

a

2a b 6 6

2a 2b 2

b C ;

3

                                       + 16 qua A ' ;

5

BC BC : 23x 11y

2 qua C ;

Trang | + B BC d1 B 19 43; a 19; b 43 P

12 12 12 12



 

         

 

Đáp án B Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, có A 2; 1   Đường phân giác góc B C có phương trình d : x1 2y 0  d : x2   y Phương trình đường thẳng qua B song song với AC

là đường thẳng:

A. 4x y

    B 4x y

7

   

C. 7x 28y 9  0 D. x 4y 9  0

Lời giải

+ D đối xứng với A qua d : F1 ADd1 + E đối xứng với A qua d : I2 AEd2

+  

1

qua A 2; AD

d : x 2y AD : 2x y

 

 

       



 

1

FAD d P 1;1 trung điểm AD D 0;3 

+  

2

qua A 2;

AE AE : x y

d : x y

 

     



   



 

2

IAEd I 0; 3 trung điểm AE E 2; 5

+  

 

qua D 0;3

BC BC : 4x y

qua E 2;

    



 



1

5

B BC d B ; ; C d BC C ;

7 5

  

   

         

   

+

 

qua A 2;

AC 6 9 AC : x 4y

qua C ; 5

 

    

   

 

  



Trang |

 

5

B ; c t / m : 7x 28y

7 7



        

 

 

Đáp án C Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có Ad : 2x 5y 7  0; BC / /d, đường cao BH có phương trình d : x1 2y 0  M2;1 trung điểm AC Tìm tọa độ trọng tâm G ABC

A. 13;11  B 50 11;

 

 

  C.

11 13;

3

 

 

  D.

13 11 ; 3

 

 

  Lời giải

+

 

BH

AC AC : 2x y

qua M 2;1



    

 



+ A AC d A 11 2;

6



 

    

 

+ M trung điểm AC C 13 4;

6



 

  

+

/ / d : 2x 5y

BC 13 4 BC : 2x 5y 11

qua C ;

6

  



    



  

 

  



+ BBCBHB 17;9 

Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC G 13 11; 3

 

 

 

Đáp án D Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có phương trình cạnh AB, AC

1

d : 8x 5y 15  0; d : 2x 5y 3  0 Trung điểm BC M 6;1  Đỉnh C đỉnh B thuộc cung phần tư thứ mấy?

A I IV B I II C. IV I D. II III

Lời giải

+ A d1 d2 A 3; 25

 

    

Trang | + A d1 d2 A 3;

5 25

 

    

 

+ Gọi P trung điểm AB Ta có:

  / / AC

MP MP : 2x 5y

qua M 6;1

    





+ P MP d1 P 11; 13 B 13; 29 C 47 79;

5 25 25 25

 

     

        

     

 B thuộc cung phần tư thứ IV C thuộc cung phần tư thứ

Đáp án A Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có phương trình cạnh AB, AC, BC

2x 3y 0; x     y x  y H chân đường cao hạ từ C Điểm H thuộc cung phần tư thứ mấy?

A IV B III C. II D. I

Lời giải

+ C AC BC C 7;



 

    

 

+

1

qua C ; 11

CH 2 CH : 3x 2y

2 AB : 2x 3y

  

      



   



+ H CH AB H 29 14; H

26 13

 

    

  thuộc cung phần tư thứ I

Đáp án D Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có trọng tâm G 4; 2, phương trình cạnh AB : 2x  y 0; phương trình cạnh AC : 4x  y Tìm tung độ lớn điểm A, B, C

A –2 B C. –13 D.

+ AABACA2;1

Trang | + G 4; 2 trọng tâm tam giác ABC

9 b

2 b c 12 2

1 2b 4c 11

c

        

 

 

      

  



9 11

B ; ; C ; 13

2

 

   

     

   

Đáp án D

2 Một số tốn sử dụng tính chất hình học phẳng

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có đỉnh A 1; ; H 1; 1    I 2; 2   trực tâm tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Tìm phát biểu sai?

A. Tọa độ trung điểm BC M 3; 1  

B. Chân đường cao ABC hạ từ A K 2;0  

C. Tọa độ trọng tâm G ABC G 2; 3

  

 

  D. Tọa độ trọng tâm G ABC G 5;

3

  

 

 

Lời giải

+ Gọi M x; y mà    

   

2 x x

AH 2IM M 3;

y

2 y

 

  



       

  

 A

+ Gọi D giao điểm thứ AH với đường tròn (C) ngoại tiếp ABC (C) có tâm I 2; 2  , bán kính IA 10  C : x2 2 y 2 2 10

AH : x  y

Xét hệ        

2

x y

x y 10

D 3;1 A 1;

x

x y

y

   

     

    

 

     

 

   

Trang | + Ta có:

 

 

G G

G G

2

x x

2 3 5

HG HI G ;

2

3 3

y y

3

     

 

   

      

 

       

 

 

D

Đáp án C Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có đỉnh A 3; 7  , trực tâm H 3; 1  , tâm đường tròn

ngoại tiếp I2;0, biết C a; b với a > Khi giá trị   ab là:

A. 1 65 B. 1 65 C. 5 65 D. 5 65

Lời giải

+ Ta có AH2IM với M x; y trung điểm BC  

   

0 x x

M 2;3

y 2y

 

   



    



 



+ BC qua M2;3 vng góc với MI  vecto pháp tuyến MI0; 3  BC : y

 

+ Gọi CBCC t;3  (t0 tham số) Mà CIAICI 74 1 2232 74

 

   

t 65 tm

C 65;3 a b 65 t 65 loai

    

       

    

Đáp án A Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   C : x 1  2 y 1 2 25 ngoại tiếp ABC có tọa độ chân đường cao hạ từ B C E 0;   F 1; 2  Khi tọa độ đỉnh A a; b với   b0

2

a 2b là:

A. – B. C. –11 D. 11

Lời giải

Trang | Vì AIEF AI qua I 1;1 có vecto pháp tuyến   EF 1;0 AI : x1

Mà A C AI tạo độ A ngiệm hệ:

  2 2

x

x y 25

  

   



 

   

2

x ktm y

A 1; a 2b x

tm

y

    

 

       

      

Đáp án B Bài 4: Cho ABC, D 3; ; E 3; ; F     1; 2 chân đường cao hạ từ A, B, C Khi

đường thẳng AC có phương trình là:

A. x  y B. x  y C. x  y D. x  y

Lời giải

+ Ta có BE phân giác góc DEF (tính chất) ED : x 3 0

EF : y 2 0

 đường phân giác tạo ED EF là:  

 

1

x y x y

x y

    

    

   



+ Xét vị trí tương đối D F với 1 được:

   

3  1      1 12

 

 

 D, F nằm hai phía   1 1 đường BE

Mà ACBE AC đường 2: x  y

Đáp án D Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có A3; 4, đường phân giác góc A

Trang | 10

A. k

 B. k

  C. k

4

  D. k

3

 Lời giải

Đường trịn (C) ngoại tiếp ABC có tâm I 1; bán kính   RAI5     2 2

C : x y

    

Gọi D giao điểm thứ hai d : x  y (C)

 tọa độ điểm D thỏa mãn hệ

  2 2  

x

x y y

D 2;3

x

x y

y

       

 

   

 

 

    

 

  

Tọa độ D3; 4A (loại)

     

I 1;7 , D 2;3 DI 3; BCDI Vecto pháp tuyến BC DI 3;

 Vecto phương BC u4; 3 

 Hệ số góc k

 

Đáp án C Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có A 2;3 ; I 6;6 ; J 4;5 tâm đường tròn ngoại       tiếp nội tiếp ABC Khi phương trình đường thẳng BC là:

A. 3x4y 42 0 B. 3x 4y 42  0

C. 3x4y 42 0 D. 3x4y 42 0

Lời giải

Đường tròn  C ngoại tiếp ABC có

      2 2

1

I 6;6

C : x y 25

R IA

     



 



 

AJ : x  y qua A, J

Trang | 11

   

   

   

2

x

D 2;3 A ktm

x y y

x

x y 25

D 9;10 tm y 10

 

 

    

 

 

 



    

  

   

Mà DJBDDC (tính chất)

 BC nằm đường trịn  C2 có tâm D 9;10 bán kính R  DJ5     2 2

2

C : x y 10 50

    

 Tọa độ B, C thỏa mãn hệ:      

     

2

2

x y 25

x y 10 50

    

 

   



Lấy (1) trừ (2) 3x4y 42 0

 phương trình đường thẳng BC: 3x4y 42 0

Đáp án A Bài 7: Cho ABC vuông A, H chân đường cao hạ từ A ABC F trung điểm HC,

biết A1; ; H 3; ; F 3; 5       Khi đường trung tuyến hạ từ đỉnh B ABH có phương trình là: axby 11 0  ab

A. – B. C. 11 D. – 11

Lời giải

Gọi E trung điểm AH E 1; 1   đường cần tìm BE

Dựa vào tính chất BEAF BE qua E 1; 1   có vecto pháp tuyến

 

AF 4; 7 BE : x y 11 0         a b

Đáp án B Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có M trung điểm AB, N điểm

thuộc AC cho AN3NC Tính diện tích tam giác AMN biết M 1; , N 2; 1    

A. 10 B. C. 10

2 D.

Trang | 12 Theo tính chất MNDN tứ giác AMND nội tiếp

DAN DMN

  (cùng chắn cung DN)

Mà 0

ADN45 DMN45  DMN vuông cân N

 2

2 DMN

1 1

S DN.MN MN 10

2 2



    

Đáp án D Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có H 7;

5

 

 

  chân đường cao hạ từ A lên

BD, trung điểm BC M1;0 Phương trình đường trung tuyến kẻ từ A ADH 7x  y Tọa độ đỉnh D a; b  Khi

A. a b B. a  b C. a b D. a  b

Lời giải

Gọi N trung điểm HD AN : 7x  y

Theo tính chất ANMN MN qua M1;0 vng góc với AN MN : x 7y

   

Mà N MN AN N 1; 5

 

    

 

N trung điểm HD D 2; 1     a b

Đáp án C Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang ABCD vng A, B; AD2BC Gọi H hình chiếu vng góc A lên BD E trung điểm HD Giả sử H1;3, AE : 4x  y C 5;

2

 

 

 

Khi phương trình đường thẳng AB là:

A. x2y 3 0 B. x2y 3 0 C. x2y 3 0 D. x2y 3 0

Lời giải

Trang | 13 CE qua C 5; 4.4 c c 27 CE : 2x 8y 27

2 2

           

 

 

3

E AE CE E ;3

2

 

    

 

E trung điểm HD D2;3BD : y 3  0 AH : x 0 

 

AAEAHA 1;1  AB qua A1;1 vecto pháp tuyến AD  1; 2

   

AB : x y x 2y

         

Đáp án C Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD có A 1;5 điểm   Cd : x 3y 7  0 M điểm nằm tia đối tia BC, N hình chiếu B lên MD Biết N 1;

2



 

 

  tọa độ điểm C a; b Tính   ab

A. – B. C. D. –

Lời giải

Hình chữ nhật ABCD có NBNDNANC (bài tốn 5)

NC

 qua N có vecto pháp tuyến NA 9; NC : 7x 9y 13 2

 

    

 

Do CNC d C 2; 3      a b

Đáp án A

3 Một số toán cực trị

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   C : x 1  2 y 1 2 13 điểm M 5; 3 Tìm (C) điểm N a; b cho khoảng cách từ N đến M lớn Khi   ab là:

A. B. –3 C. D. –7

Lời giải

Đường trịn (C) có tâm I 1;1 , bán kính   R  13

2

Trang | 14 Đường thẳng d qua I 1;1   M 5; 3 có phương trình x 3t

y 2t

     



Tọa độ giao điểm d (C) nghiệm hệ:

  2 2 2

x

x 3t x 3t

y

y 2t y 2t

x

9t 4t 13

x y 13

y

 

      

 

      

  

  

    

    

   

 

d C

  điểm N 4;3 1  N2 2; 1

Ta có: MN1 MN2  N  C MN2 MNMN1

 MN đạt giá trị lớn  N N 4;31   a b

Đáp án C Lƣu ý: Với điểm N2 2; 1 điểm thuộc (C) cho khoảng cách đến M nhỏ

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x  y điểm A 2;1 , B 1;3 Tìm     điểm Md cho MA MB đạt giá trị nhỏ Khi đường trịn tâm O qua M có bán kính là:

A. R  B. R 10 11

 C. R 130 D. R 244

121



Lời giải

Ta có: 2 2      0 A, B phía với đường thẳng d Gọi A’ đối xứng với A qua đường thẳng d MAMA '

MA MB MA ' MB A 'B

     (không đổi)

MA MB

  đạt giá trị nhỏ A 'BMA 'Bd Đường thẳng  qua A vuông góc với d  : x  y

Xét hệ

1 x

x y

I ;

x y 2

y

      

     

      

   



Trang | 15 A’ đối xứng với A qua d I trung điểm AA’ A ' 3; 4

A ' B : 7x 4y

   

Xét hệ

13 x

7x 4y 11 13 10

M ; OM R

x y 11 11 11

x 11

      

       

      

   



Đáp án B Lƣu ý: Nếu A, B khơng phía với đường thẳng d

MA MB AB

   (không đổi) MA MB

  đạt giá trị nhỏ AB MABd

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x y 3  0 hai điểm A 2; , B 0; 2     Khi điểm M thuộc d cho MA MB đạt giá trị lớn có khoảng cách đến đường thẳng

: 3x 4y

    là:

A. 39

7 B. 39

35 C. 10

9 D.

39

Lời giải

Xét 2.2   1 32.0 3    A, B nằm phía với đường thẳng d Với đường thẳng d  MA MB AB MA MB max ABMABd Đường thẳng AB có phương trình:

x y

3x 2y 3c 2y 0 2

 

         

 

Xét hệ M; 

2 x

3x 2y 17 39

M ; d

2x y 17 7 35

y

   



  

     

      

  



Đáp án B Lƣu ý: Nếu A, B khác phía đối xứng với đường thẳng d, lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d

MA MB MA ' MB A 'B

Trang | 16

max

MA MB A ' BMA ' Bd

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   C : x2 2 y 3 2 8 Đường thẳng d qua  

M 3; cắt (C) theo dây cung có độ dài nhỏ là:

A. x  y B. x  y C. x  y D. x2y 0 

Lời giải

Giả sử AB dây cung có M trung điểm Khi dI;ABIMIH (I tâm (C) H trung điểm dây cung tùy ý qua M)

 AB dây cung có độ dài nhỏ

 d qua M 2;3 vng góc với IM    Vecto pháp tuyến IM1; 1 

 phương tình đường thẳng d : x  y

 C có tâm I 2;3 , bán kính   R2 : IM 2 R M nằm (C)

 Đường thẳng d : x  y thỏa mãn cắt (C) theo dây cung

Đáp án A Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho A2;3 , B 2; 2   đường thẳng d : x 0  Tìm M a; b d   cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ Tính ab?

A.

2 B.

 C.

2 D.

5



Lời giải

d : x1 mà M d M 1; m 

    2 2

2 2

MA MB 3  m 3  1  m 2 2m 10m 23

m

2

2

2m 10m 23

Trang | 17

2 21 2

MA MB MA MB

2

    đạt giá trị nhỏ 21

5

m M 1; a b

2 2

 

       

 

Đáp án B Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng qua M1;3 cắt trục Ox, Oy A B cho 22 12

OA OB đạt giá trị nhỏ có phương trình:

A. x6y 19 0 B. x6y 19 0 C. x y

1919 D. x 6y 19  0

Lời giải

Giả sử A a;0 , B 0; b ; a, b    AB :x y

a b

   

AB qua M 1;3  1 a b



   

Ta có: 2 12 22 12  2 OA OB a b

Từ    

2

2

1 3

a b a b

 

 

        

   

2

1

9

2 a b

  

    

   (bđt Bunhiacopxki) 2

2

a b 19

  

Đẳng thức xảy

1 a b

a 19

19

3 b

2

6

2 b a

   

 

 

 

  

  

 

 Phương trình AB: x y x 6y 19 19

19

     



Trang | 18

Lƣu ý:

+ Với Bài ta phải khéo léo tách (1) biểu thức (3) để sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ta biểu thức (2) cần tìm

+ Ta có tốn tổng qt: Viết phương trình đường thẳng qua M x ; y 0 0 cắt Ox, Oy A B cho m2 n2m, n 0

OA OB  đạt giá trị nhỏ

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M 1; cắt tia Ox, Oy A, B cho   OA OB nhỏ có phương trình là:

A. x y 36 B.

x y

1

6 3 C.

x y

1

3 6 D.

x y

1 1 2

Lời giải

Giả sử A a;0 , B 0; b Vì d cắt tia Ox, Oy     a; b0

 phương trình đường thẳng d :x y a  b d qua M 1; 4 

a b

  

OA OB  a b

Ta có        

2

2 2

1

a b a b a b

a b a b

    

   

              

 

      

Dấu đẳng thức xảy

1 a b

a x y

d :

a b

b 6

1

a b

   

  

     

 

  

Đáp án C Lƣu ý: Đối với toán tổng quát tìm điều kiện để OA OB đạt giá trị nhỏ    0; 0 ta làm tương tự

Trang | 19 diện tích AOB nhor có phương trình axby 72 0 Khi ab bằng:

A. 13 B. – 13 C. 26 D. – 26

Lời giải

Giả sử A a;0 , B 0; b a    0; b0

 Phương trình AB: x y

a  b qua M

4 a b

  

4 4.9 12

1 ab 144

a b ab ab

        (bđt Cô-si)

Dấu đẳng thức xảy

4

a a b

4 b 18

a b

  

  



  

  



x y

AB : 9x 4y 72

8 18

      

d : 9x 4y 72 a b 13

Trang | 20 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia