mét sè d¹ng to¸n sö dông c«ng thøc luyön tëp to¸n gv vò hoµng s¬n phçn 1 tæ hîp i tãm t¾t lý thuyõt trong bµi viõt nµy ta quy ­íc nk lµ c¸c sè tù nhiªn víi cho mét tëp hîp a gåm n phçn tö mçi c¸ch s

[r]

Luyện tập toán GV: Vũ HOàng Sơn Phần 1.tổ hợp

I.Tóm tắt lý thuyết

Trong viết ta quy ớc n,k sè tù nhiªn víi n1;k n

Cho mét tập hợp A gồm n phần tử

*Mi cách xếp thứ tự n phần tử tạo thành hoán vị Số hoán vị n phần tử Pn=n!

*K phần tử thứ tự A tạo thành chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp !

( )!

k n

n A

n k





*K phần tử không phân biệt thứ tự A tạo thành tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp

!

! !( )!

k k n n

A n

C

k k n k

 



*Công thức khai triến nhị thức NiuTơn  n

n k n k k n k

a b C a b



*Các công thức thờngdùng : * Cnk Cnn k

 (1)

* Cnk Cnk1 Cnk11 

  (2)

* Cn0C1n Cn2  Cnn 2n (3)

* 2 21 2

n n

n

n n n n n n n

C C C C C C C



   



    

   

         (4)

Sử dụng (2) ,ta chứng minh đợc hai công thức

1 2

2

2

k k k k

n n n n

C C  C  C 



  

Cnk 3Cnk13Cnk2Cnk3Cnk33

II số dạng toán thờng gặp 1 Bài toán tính tổng

* Thí dụ 1 Rót gän biĨu thøc

0 ( 1)k k,

k n n n n n

S C  C C  C    C víi k n , n >1

Lời giải Với k< n ,áp dụng công thức (2) lu ý Cn0 Cn01 1, ta cã

Sk Cn0 (Cn01 Cn11) (Cn1 1 Cn21) (Cn21 Cn31) ( 1) (k Cnk11 Cnk1)

       

          

VËy ( 1)k k1

k n

S   C 

Nếu k=n Sk Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ( 1)  kCnn  (1 1)n 0 L u ý Nhiều bạn đãmắcsai lầmkhi viết

Sk Cn0 Cn1Cn2 Cn3 ( 1)  kCnk  (1 1)n 0(!) Phải xét trờng hợp k nh lời giải * Thí dụ Tính tổng S C41n C43n C45n C42nn1

    

Lời giải áp dụng công thức (1),ta có 4 2

4 , 4 , , 4

n n n n

n n n n n n

C C  C C  C  C 

  

Do S C44nn1 C44nn3 C42nn1

   

Ta dỵc 2S C41n C43n C45n C44nn1 24n1

      Xem c«ng thøc (4) Vậy S=24n2. 3.Ph ơng trình tổ hợp

Phơng trình tổ hợp phơng trình có chứa ẩn số công thức tổ hợp ,chỉnh hợp,hoán vị *Thí dụ 6.Giải phơng trình A3x Cxx Cxx x2 P

1

2  3  3 159

    

Lời giải : ĐK: x3,x N. phơng trình cho biến đổi thành (x-12)(2x2+11x+147) = 0

PT cã nghiÖm x = 12

Lu ý.Khi giải phơng trình tổ hợp ta làm nh sau: -Đặt điều kiện cho ẩn số

-S dụng cơng thức hốn vị,chỉnh hợp ,tổ hợp để biến đổi ,rút gọn giải phơng trình -Đối chiếu nghiệm tìm đợc với điều kiện tốn kết luận

4 TÝnh hƯ sè cđa ®a thøc

Lun tËp to¸n GV: Vị HOàng Sơn * Thí dụ Tính số hạng không chøa x, khai triÓn P(x) =

n

x x

 



 

 

3 2 biÕt r»ng n tho¶ m·n

n n n n n

C6 3C7 3C8 C9 2C 82 Lời giải áp dụng công thøc (2), ta cã

n n n n

C6 3C7 3C8 C9

= Cn6 C7n  (C7n C ) C8n  8n Cn9

2 = Cn Cn Cn Cn Cn C n

          

7 9

1 2 1 2

Giả thiết tơng đơng với C9n3 2Cn82  n3 2 n15

9

Khi P(x) = x

x

 



 

 

15

3 2 =

k k

k k k k

k k

C ( x ) C x .

x

 

 

 



 

 

 

30

15 15

15

3

15 15

0

2

2

Số hạng không chứa x t¬ng øng víi 30 5 k  0 k6

6

Số hạng phải tìm C 6  .

15 2 320320

L

u ý TÝnh hƯ sè cđa sè hạng x(là số hữu tỉ cho trớc) khai triĨn nhÞ thøc Newton cđa p(x) = ( f

(x))n, ta lµm nh sau: ViÕt P(x) =

n

g(k) k k

x

α

 

0

; số hạng chứa xα tơng ứng với g(k) = α; giải PT ta tìm đợc k.

NÕu k,k n, hƯ sè ph¶i tìm k; k k > n, khai triển số hạng chứa x,

hệ số phải tìm

*Thí dụ 9.HÃy tìm hệ số có giá trị lớn ®a thøc P(x) = (2x + 1)13 =

x x

α0 13 α1 12  α13

Lêi gi¶i Ta cã P(x) = (2x + 1)13 = n n

n

C ( x)  



13

13 13

0

2

VËy αn C 13n 213n  αn1 C 13n1 214nn1 2, , ,13. XÐt BPT ( víi Èn sè n):

n n n n

n n C C

α α   

   

1 14 13

1 13 2 13 2

! !

(n )!( n)! n!( n)!

 

  

2 13 13

1 14 13   n  n n  .

12 1 14

14 3 

Do BĐT αn1 αn với n1 4, , ,  dấu đẳng thức không xảy Ta đợc α0 α1α2 α3 α4 α4 α5  α13.

VËy max(αn) = α C 4 

4 13 2 366080

L

u ý Để tìm hệ số có giá trị lớn khai triển x b mthành đa thức, ta làm nh sau:

Tính hệ số số hạng tổng quát; giải BPT n1 n với ẩn số n; hệ số lớn phải tìm tơng ứng với số tự nhiên n lớn thoả mÃn BPT

Bài tập phần tổ hợp : Bµi I.

1)Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập đợc số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác 2)Từ chữ số 0,1,2,3,4 lập đợc số tự nhiên có 5chữ số khác nhau? Tính tổng tất số tự nhiên

3)Cã bao nhiªu số tự nhiên chẵn lớn 2008 mà số gồm chữ số khác nhau?

Luyện tập toán GV: Vũ HOàng Sơn

4)T cỏc chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập đợc số tự nhiên chẵn có chữ số khác mà số lập đợc nhỏ 25000?

5)Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập đợc số chẵn ,mỗi số có chữ số khác có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau?

6)Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập đợc số tự nhiên ,mỗi số gồm chữ số khác tơng chữ số hàng chục ,hàng trăm ,hàng nghìn ?

7)Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7 lập đợc số tự nhiên ,mỗi số gồm chữ số khác thiết phải có hai chữ số 1,5?

8)Có số tự nhiên thoả mãn đồng thời ba điều kiện sau : gồm chữ số đôi khác ; số chẵn ;nhỏ 2158 ?

9).Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập đợc số tự nhiên mà số có chữ số kác chữ số đứngcạnh chữ số ?

10).Cã bao nhiªu sè tù nhiªn chia hÕt cho mà số có chữ số khác ?

11)Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập đợc số tự nhiên ,mỗi số có chữ số thoả mãn điều kiện: Sáu chữ số số khác số tổng ba chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số cuối đơn vị?

12)Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 lập đợc số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác Bài II.

1) Một lớp học có 33 học sinh ,trong có nữ Cần chia lớp học thành tổ ,tổ I có 10 học sinh,tổ II có 11 học sinh,tổ III có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia nh vậy? 2) Trong môn học ,thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó , 10câu hỏi trung bình ,15 câu hỏi dễ.Từ 30 câu hỏi lập đợc đề kiểm tra ,mỗi đề gồm câu hỏi khác ,sao cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó,trung bình ,dễ) số câu hỏi dễ khơng 2?

3) §éi niên xung kích trờng phổ thông có 12 häc sinh, gåm häc sinh líp A häc sinh líp B vµ häc sinh líp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn nh vËy.?

4) Một đội niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ.?

5)Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ 4.Hỏi có cách chọn nh vậy?

Bµi III 1.Chøng minh víi k,n thoả mÃn điều kiện ta có a) Ckn Ckn Ckn Ckn 2

2      

b) Cnk Ckn Ckn Cnk Cnk  3 13   3

4) Tìm số nguyên n lớn thoả mãn đẳng thức: 2Pn + 6A2n - PnA2n = 12

5) Giải bất phơng trình :

! 1!

15

4

  



n n

An

6) Giải hệ phơng trình :

2

4

22 4 66

x y

y x

A C

A C

  

 

 

 

7)Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn

7

3

   

 

 x

x víi x > 8)Cho biÕt hƯ sè cđa sè h¹ng thø cđa khai triĨn

n

x x x

x 

  

  



2. 36.Tìm số hạng thứ 7.

9)Trong khai triÓn

n

x x

x 

  

  





5 28

,h·y tìm số hạng không phụ thuộc vào x ,biết CnnCnn1Cnn2 79

10)Biết khai triển nhị thức Niutơn cña

n

x

x 

    

1 tỉng c¸c hƯ sè hai số hạng 24 ,tính

tổng hệ số số hạng chứa xk víi k > vµ chøng minh r»ng tỉng nµy số phơng.

11)Tìm hệ số x8trong khai triển thành đa thức 1x (2 1 x)8

 

12)T×m hƯ sè cđa x5 khai triển thành đa thức : x( - 2x )5 + x2( + 3x)10

13)T×m hệ số số hạng x8 khai triển nhị thøc Niut¬n cđa

n

x

x 

 

 



3

1 .

BiÕt r»ng Cnn14 Cnn37(n3)

Lun tËp to¸n GV: Vũ HOàng Sơn 15)Tìm số tự nhiên n thoả mÃn : C2nCnn22C2nCn3Cn3Cnn3100

16) Cho khai triĨn nhÞ thøc

1 1

1 1

0 1

2 2 3

2 2 2 2

n n n n n

x x x x x x x x

n n

n n n n

C C C C

 

       



             

     

             

             

             

Biết khai triển

5

n n

C  C vµ sè hạng thứ t 20n,tìm n x

17)Với n số nguyên dơng, gọi a3n-3 hệ số x3n-3 khai triển thành đa thức (x2+1)n(x+2)n Tìm n

a3n-3 = 26n

Bài IV.

1) Trên cạnh AB, BC, CD , DA hình vng ABCD lần lợt cho 1,2,3 n điểm phân biệt khác A ,B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n+6 điểm cho 439

2)Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 4).Biết r»ng ,sè tËp gåm phÇn tư cđa A b»ng 20 lÇn sè tËp gåm phÇn tư cđa A T×m k1,2, ,n cho sè tËp gồm k phần tử A lớn

3)Cho hai đờng thẳng song song d1 d2 Trên đờng thẳng d1 có 10 điểm phân biệt ,trên đờng thẳng d2 có n điểm

phân biệt ( n 2).Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n 4)Tìm k0,1,2, ,2005 cho k

2005

C đạt giá trị lớn

5)Cho tËp A gåm n phÇn tư , n 7.Tìm n,biết số tập hợp gồm phÇn tư cđa tËp A b»ng hai lÇn sè tËp gåm phÇn tư cđa tËp A

6)Cho tập A gồm n phần tử , n > 4.Tìm n, biết số tập A có 16n tập có số phần tử số lẻ

7)BiÕt r»ng (2 +x )100 = a

0 +a1x+a2x2 + +a100x100 Chøng minh r»ng , a2 <a3

với giá trị k ak < ak+1 0k99?

8)Gi¶ sư (1 +2x)n = a

0+a1x+…anxn BiÕt r»ng a0 +a1+a2 +…+an = 729.T×m n số lớn số a0,a1,a2,

,a

n

9)Giả sử n kà số nguyên dơng (1+x)n=a

0+a1x++anxn Biết tồn số k nguyên dơng (1kn 1)

cho ,

24

1

1 

  k  k

k a a

a

h·y tÝnh n

10)Cho đa giác A1A2…A2n (n 2, n nguyên ) nội tiếp đờng trịn (0).Biết số tam giác có đỉnh

trong 2n điểm A1,A2,…,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1,A2…,A2n, tìm n

HÕt PhÇn

……… ………