Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 7 Trường THCS Thượng Lâm

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trườn[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

TRƯỜNG THCS THƯỢNG LÂM ĐỀ THI HSG LỚP MƠN: TỐN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số

Câu 1: (5 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức P = 1 2014 2016

a− + −a , với

2015

a =

b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số

x +

1

x −

số nguyên Câu 2: (5 điểm)

a) Cho a > 2, b > Chứng minh ab + a b

b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thư hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật

Câu 3: (3 điểm)

Cho ∆DEF vuông D DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M trung điểm EF

a) Chứng minh MDH= − E F b) Chứng minh EF - DE > DF - DH

Câu 4: (2 điểm) Cho số 0 a1 a2a3  a15 Chứng minh 15 10 15

5

a a a a

a a a

+ + + + 

+ +

Câu 5: (5 điểm)

Cho ∆ABC có

120

A = Các tia phân giác BE, CF ABC ACB cắt I (E, F thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BIM =CIN =300

a) Tính số đo MIN b) Chứng minh CE + BF < BC

ĐÁP ÁN Câu

a) Tính giá trị biểu thức P = 1 2014 2016

a− + −a , với

2015

a =

Thay

2015

a = vào biểu thức P = 1 1

2015−2014 + 2015−2016

Ta có P 1 1

2014 2015 2015 2016

(2)

P 1

2014 2016

= −

P 2016 2014 2014.2016 2014.2016

−

= =

P = 1

1007.2016 =2030112

b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số

x +

1

x −

số nguyên Đặt A =

1

x +

1

x −

=

x +

1

x −

2( 1)

x x

− =

+ 2

1 2( 1)

1

x x

x

− =

+ + − =

+ = −

+

Để A nhận giá trị nguyên x + Ư(4) =    1; 2; 4 Suy x  0; 2;1; 3;3; 5− − − 

Câu

a) Cho a > 2, b > Chứng minh ab + a b

Từ 1

2

a

   1

2

b

   Suy 1

a+ b

a b ab

+

 

Vậy ab + a b

b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thư hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật

(3)

1 2

4

;

5

S S

S = S = d1 =d r2; 1+ =r2 27;r2 =r d3, =24

Vì hình thứ hình thứ hai chiều dài

1 1 2

2

4 27

3

5 9

S r r r r r

S r

+

= =  = = = =

Suy chiều rộng r1=12cm r, =15cm

Vì hình thứ hai hình thứ ba chiều rộng

3

2

3

7

7 7.24

21

8 8

d

S d

d cm

S = =d  = = =

Vậy diện tích hình thứ hai S2 =d r2 =21.15=315cm2

Diện tích hình thứ 1 2 4.315 252

5

S = S = = cm

Diện tích hình thứ ba 2

8

.315 360

7

S = S = = cm

Câu

Cho ∆DEF vuông D DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M trung điểm EF

a) Chứng minh MDH= −E F Hình vẽ đúng, xác

Vì M trung điểm EF suy MD = ME = MF  ∆MDE cân M  E=MDE

Mà HDE= phụ với E F Ta có MDH=MDE−HDE Vậy MDH = −E F

b) Chứng minh EF - DE > DF - DH

Trên cạnh EF lấy K cho EK = ED, cạnh DF lấy I cho DI = DH Ta có EF - DE = EF - EK = KF

DF - DH = DF - DI = IF Ta cần chứng minh KF > IF

- EK = ED ∆DHK  EDK =EKD

- EDK+KDI =EKD+HDK =900  KDI =HDK

- ∆DHK = ∆DIK (c-g-c)



90

(4)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Trong ∆KIF vuông I  KF > FI điều phải chứng minh

Câu

Cho số 0 a1 a2a3  a15 Chứng minh 15

5 10 15

5

a a a a

a a a

+ + + +



+ +

Ta có a1+a2+ +a3 a4+a55a5

a6+a7 + + +a8 a9 a105a10

a11+a12+a13+a14+a155a15

Suy a1+a2+ +a155(a5+a10+a15)

Vậy 15

5 10 15

5

a a a a

a a a

+ + + + 

+ +

Câu

a) Tính số đo MIN

Ta có ABC + ACB = 1800 - A = 600

 1

30 2B+2C=



150

BIC =

Mà BIM =CIN =300



90

MIN =

b) Chứng minh CE + BF < BC - BIC =1500  FIB=EIC=300

Suy ∆BFI = ∆BMI ( g-c-g)  BF = BM - ∆CNI = ∆CEI ( g-c-g)  CN = CE

Do CE + BF = BM + CN < BM + MN + NC = BC Vây CE + BF < BC

Đề số

Câu Tìm giá trị n nguyên dương:

a) 1 .81 3

27 =

n n

; b) < 2n < 64

(5)

1 1 1 1 4 49

( )

8 8.15 15.22 43.50 217

− − − − −

+ + + +

Câu Tìm cặp số (x; y) biết:

=

x y

a) vµ xy = 405

5 9 ;

= =

1+5y 1+7y 1+9y

b)

24 7x 2x

Câu Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : a) A = x+5 +

b) B =

2

x 17

x 7

+ +

Câu Cho tam giác ABC (CA < CB), BC lấy điểm M N cho BM = MN = NC Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN I

a) Chứng minh: I trung điểm AN

b) Qua K trung điểm AB kẻ đường thẳng vng góc với đường phân giác góc ACB cắt đường thẳng AC E, đường thẳng BC F Chứng minh AE = BF

ĐÁP ÁN Câu Tìm giá trị n nguyên dương:

a) (2điểm) 81

27 =

n n

; => 34n-3 = 3n => 4n – = n => n = b) (2điểm) < 2n < 64 => 23 < 2n < 26 => n = 4, n =

Câu Thực phép tính: (3điểm)

1 1 1 1 4 49

( )

8 8.15 15.22 43.50 217

− − − − −

+ + + +

= 1(1 1 1 1 1 1 1 1 ).5 (1 49)

7 8 8 15 15 22 43 50 217

− + + + + +

− + − + − + + −

= 1(1 1 ).5 (12.50 25) 1 49 625. . 7.7.2.2.5.31 2

7 50 217 7 50 7.31 7.2.5.5.7.31 5

− + − =

− = = − = −

Câu Tìm cặp số (x; y) biết:

=

x y

a) vµ xy = 405

5 9 =>

2

x y xy 405

9

25 = 81 = 5.9 = 45 =

(6)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | x = 15; y = 27 x = - 15; y = - 27

= =

1+5y 1+7y 1+9y

b)

24 7x 2x

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

+ − − + − −

= = = = = =

− − − −

1+5y 1+7y 1+9y 1 9y 7y 2y 1 7y 5y 2y

24 7x 2x 2x 7x 5x 7x 24 7x 24

=> 2y 2y

5x =7x 24

− − => - 5x = 7x – 24 => x =

Thay x = vào ta được:

1 5y y

24 5

+ =

− => - - 25y = 24 y => - 49y = => y = 5 49 −

Vậy x = 2, y = 5

49

− thoả mãn đề

Câu Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau: a) A = x+5 +

Ta có : x+5  Dấu “=” xẩy  x = -  A  Vậy: Min A =  x = -

b) B =

2

x 17

x 7

+

+ =

( )

2

x 7 10 x 7

+ +

+ = +

10

x +7

Ta có: x2 

Dấu = xảy  x =  x2

+  (2 vế dương)  210

x +7  10

7 => +

10

x +7  + 10

7  B  17

7

Dấu “=” xảy  x = Vậy: Max B = 17

7  x =

Câu

a) Từ I kẻ đường thẳng // BC cắt AB H Nối MH Ta có: BHM = IMH vì:

BHM=IMH(so le trong)

BMH=IHM(so le trong)

Cạnh HM chung =>BM = IH = MN

A

B H

M N C

(7)

AHI = IMN vì: IH = MN (kết trên)

AHI=IMN ( ABC)=

AIH=INM (đồng vị) => AI = IN (đpcm)

b) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF P PKA = FKB vì:

PKA=FKB (đối đỉnh)

APK=BFK (so le trong) AK = KB (gt)

=> AP = BF (1)

EPA=KFC (đồng vị)

CEF=KFC (CFE cân) => EPA=CEF => APE cân

=> AP = AF (2) Từ (1) (2) => AE = BF (đpcm)

Đề số

Câu 1(5 điểm):

a) Cho biểu thức: P = x - 4xy + y Tính giá trị P với x =1,5; y = -0,75 b) Rút gọn biểu thức:

( ) 12

6

2 81 A

2 − =

+ Câu (4điểm):

a) Tìm x, y, z, biết: 2x = 3y; 4y = 5z x + y + z = 11 b) Tìm x, biết: x+ + + + + =1 x x 4x

Câu 3(3 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = -4x3 + x a) Tính f(0), f(-0,5)

b) Chứng minh: f(-a) = -f(a)

Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên (x;y) biết: x + y = x.y

Câu 5(6 điểm):Cho ABC có góc A nhỏ 900 Vẽ tam giác ABC tam giác vuông cân A ABM ACN

a) Chứng minh rằng: AMC = ABN; b) Chứng minh: BN ⊥ CM;

c) Kẻ AH ⊥BC (H  BC) Chứng minh AH qua trung điểm MN P K

F B

A E

(8)

Câu (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: 0  +  + a + b + c = Tìm giá trị nhỏ a b c c

ĐÁP ÁN Câu

a) Ta có: x =1,5 =x 1,5hoặc x = -1,5 +) Với x = 1,5 y = -0,75

P = 1,5 -4.1,5(-0,75) -0,75 = 1,5(1 + 3) = -0,75 = 5,25 +) Với x = -1,5 y = - 0,75

P = -1,5 -4(-1,5).(-0,75) - 0,75 = -1,5(1+3) - 0,75 = -6,75 b)

( ) 12

6

2 81 A

2 − =

+ =

12 12 12 12 12 12

2 3 (3 1) 3 (3 1)

− −

= =

− −

Câu

a) 2x = 3y; 4y = 5z ; ;

3 15 10 10

x y y z x y y z

 = =  = =

 11

15 10 15 10 33

x y z x+ +y z

= = = = =

+ +

 x = 5; y = 10 ; z =

8 b) x+ + + + + =1 x x 4x (1)

Vì VT  4x hay x  0, đó:

1 1; 2; 3

x+ = +x x+ = +x x+ = + x (1)  x + + x + + x + = 4x  x = Câu

a) f(0) = f(-0,5) = -4.(-1

2) 3 - 1

2 = 1

0 2− =2 b) f(-a) = -4(-a)3 - a = 4a3 - a - f(a) = -−4a3+a = 4a3 - a

 f(-a) = -f(a) Câu

x + y = x.y ( 1) y

1

y

xy x y x y x

y

 − =  − =  =

(9)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Nếu y = x =

Nếu y = x =

Vậy cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) (2;2) Câu

a) Xét AMC ABN, có: AM = AB (AMB vuông cân) AC = AN (ACN vuông cân)

 MAC =  NAC ( = 900 +  BAC) Suy AMC = ABN (c - g - c)

b) Gọi I giao điểm BN với AC, K giao điểm BN với MC Xét KIC AIN, có:

 ANI =  KCI (AMC = ABN)  AIN =  KIC (đối đỉnh)

  IKC =  NAI = 900, đó: MC ⊥ BN

c) Kẻ ME ⊥ AH E, NF ⊥AH F Gọi D giao điểm MN AH - Ta có:  BAH +  MAE = 900(vì  MAB = 900)

Lại có  MAE +  AME = 900, nên  AME =  BAH Xét MAE ABH , vng E H, có:

 AME =  BAH (chứng minh trên) MA = AB

Suy MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn)  ME = AH

- Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA  FN = AH

Xét MED NFD, vuông E F, có:

D

K I

H E F

B C

A M

(10)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 ME = NF (= AH)

 EMD =  FND(phụ với  MDE  FDN, mà  MDE =  FDN) => MED = NFD BD = ND

Vậy AH qua trung điểm MN Câu

Vì: 0  +  + nên a b c  + + + +  + + + + + a b c c c c 3c

   + (vì a + b + c = 1) Hay 3c  −2

3

c

  − Vậy giá trị nhỏ c là: -2

3 a + b =

Đề số Câu (4đ):

a) Tính giá trị biểu thức: A = 1.2 +

1 2.3 +

1

3.4 + … + 99.100 b) Tính: 24 + [(-2)2 :

2]

0 – 2-2.4 + (-2)2

Câu (4đ):

Hai lớp 7A 7B lao động trồng Biết tỉ số số trồng lớp 7A 7B 0,8 Lớp 7B trồng nhiều lớp 7A 20 Tính số lớp trồng được?

Câu (4đ): Tìm x biết: a)

2 - x : = b)

1

x+

= Câu (4đ):

Ba đội máy ủi đất làm ba khối lượng công việc Đội thứ hồn thành cơng việc ngày, đội thứ hai hoàn thành ngày, đội thứ ba hồn thành ngày Hỏi đội có máy (cùng công suất), biết đội thứ có nhiều đội thứ hai máy

Câu (4đ):

Cho góc xOy Trên Ox lấy hai điểm A B, Oy lấy hai điểm C D cho OA = OC, AB = CD Chứng minh:

a) ABC = ACD b) ABD = BCD

(11)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 a) Tính giá trị biểu thức

A = 1.2 +

1 2.3 +

1

3.4 + … + 99.100 Ta có:

1.2 = 1 -

1 ;

1 2.3 =

1 -

1

3 ; … ; 99.100 =

1 99 -

1

100 (1đ) A = + (1

2 - 2) + (

1 -

1

3) + … + ( 99 -

1 99) -

1

100 = - 100 =

99

100 (1đ) b) Tính:

24 + [(-2)2 : 2]

0 – 2-2.4 + (-2)2 = 16 + 8.1 - 2-2.22 + (1đ) = 16 + -20 +

= 16 + – + = 27 (1đ) Câu (4đ):

Gọi x, y theo thứ tự số trồng lớp 7A, 7B Ta có: y – x = 20 x

y = 0,8  x y =

8 10 =

4

5 (1) (1đ) Từ (1) ta có tỉ lệ thức:

4 x = y =

y−x

− = 20

1 = 20 (2) (1đ) Từ (2) ta có:

4

x

= 20  x = 80 (lớp 7A) (1đ)

5

y

= 20  y = 100 (lớp 7B) (1đ) Câu (4đ):

a) - x :

3 = x :

5 =

2 - (0,5đ) x :

5 = −

(0,5đ)

x = −

5 (0,5đ) x =

10 − (0,5đ) b) 2 x+ = 2 x+

(12)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 y

D C

x B

A

O x +

2 = (0,5đ) x = -

2 (0,5đ) x =

2 (0,5đ) Câu (4đ):

Gọi x, y, z theo thứ tự số máy ủi đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba Do máy có cơng suất, khối lượng cơng việc ba đội

 Số máy thời gian hồn thành cơng việc tỉ lệ nghịch với (1đ) Ta có:

1

x

=

y

=

z

x – y = (1đ)

Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:

1

4 x−y

−

= 12

= 24 (1đ)

Từ đó:

x

= 24  x = (số máy đội thứ nhất)

y

= 24  y = (số máy đội thứ hai)

z

= 24  z = (số máy đội thứ ba) (1đ)

Câu (4đ):

Già thiết: góc xOy ; OA=OC, AB=CD Kết luận: a) ABC = ACD

b) ABD = BCD (Hình vẽ GT, KL 0,5đ)

Xét OAD OCB có: - Góc Ochung

(13)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Do đó: OAD = OCB (c-g-c)  AD = BC (1,5đ)

a) Xét ABC ACD có - AB = CD (gt)

- AC chung - AD = BC

Do đó: ABC = ACD (1đ) b) Xét ABD BCD có

- AB = CD (gt) - BD chung - AD = BC

Do đó: ABD = BCD Đề số

Bài 1:

1) Tìm x, biết

x − = ;

2) Tính giá trị biểu thức sau:

2

3

x x

A

x

+ −

=

− với

2

3

x − = Bài 2:

1) Tìm chữ số tận A biết A = 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n 2) Tìm giá trị nguyên x để

2 − +

x x

nhận giá trị nguyên

Bài 3: Cho đa thức f(x) xác định với x thỏa mãn: x.f(x + 2) = (x2 – 9).f(x) 1) Tính f(5)

2) Chứng minh f(x) có nghiệm

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đường thẳng AB dựng

đoạn AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đường thẳng AC dựng đoạn AF vng góc với AC AF = AC Chứng minh rằng:

a) FB = EC b) EF = 2AM c) AM ⊥ EF

Bài 5: Cho a, b, c, d số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= − + − + − + − x a x b x c x d

(14)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 14 1) Ta có

2

1

2 3

1

2

3

1

3

x x

x

x x

 − =  =

 

− =  

 − = −  =

 

 

2) Từ câu 1) Với x = 5/3 thay vào A ta A = 14/27 Với x = 1/3 thay vào A ta A = -2/9

Bài

1) Chứng minh A chia hết cho 10 suy chữ số tận A 2) Ta có:

 

3 5

1 (5) 1;

2 2

1;3; 3;

x x

Z x U

x x x

x

+ = − + = +   −  =  

− − −

 = −

Bài

1) Ta có với x =  f(5) =

2) x =  f(0) =  x = nghiệm x =  f(5) =  x = nghiệm x = -3  f(-1) =  x = -1 nghiệm Vậy f(x) có nghiệm

Bài

a) Chứng minh ABF = AEC cgc( )FB=EC

b) Trên tia đối tia MA lấy K cho AK = 2AM Ta có ABM = KCM  CK//AB

0

180

ACK CAB EAF CAB ACK EAF

 + = + =  =

EAF KCA có AE = AB = CK; AF = AC (gt); ACK=EAF

EAF = KCA (cgc) EF = AK = 2AM c) Từ EAF = KCA

0

90

CAK AFE AFE FAK CAK FAK

AK EF

 =  + = + =

 ⊥

A

M F

E

B C

(15)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 15

Bài

Khơng tính tổng quát, giả sử a  b  c  d Áp dụng BĐT a +  + , dấu xảy  ab ≥ b a b ta có:

x a− + −  − + −  − + − = − (1) x d x a d x x a d x d a x b− + −  − + −  − + − = − (2) x c x b c x x b c x c b

(16)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 16 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 7 Trường THCS Thượng Lâm

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan