Bài tập trắc nghiệm về Dãy số năm học 2019 - 2020 có lời giải chi tiết

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều[r]

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ DÃY SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương *

gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt dãy số)

Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u u1, 2, ,un, , un u n  viết

tắt  un

Số hạng u1 gọi số hạng đầu, un số hạng tổng quát (số hạng thứ n) dãy số

2 Các cách cho dãy số:

Người ta thường cho dãy số cách đây: - Cách 1: Cho dãy số công thức số hạng tổng quát

Ví dụ Cho dãy số  xn với 1

3 n n

n x  

Dãy số cho cách có ưu điểm xác định số hạng

của dãy số Chẳng hạn, 10 1011 10

3 177147

x   .

- Cách 2: Cho dãy số phương pháp truy hồi

Ví dụ Cho dãy số  an xác định a11 an13an  7, n

Ví dụ Cho dãy số  bn xác định

2

1,

4 ,

n n n

b b

b b b n

 



    



Với cách này, ta xác định mối liên hệ số hạng nhóm số hạng dãy số thông qua hệ thức truy hồi Tuy nhiên, để tính số hạng dãy số cần phải tích số hạng trước phải tìm cơng thức tính số hạng tổng quát dãy số

- Cách 3: Cho dãy số phương pháp mô tả diễn đạt lời cách xác định số hẩng dãy số

Ví dụ Cho dãy số  un gồm số nguyên tố

Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh Trên cạnh BC, ta lấy điểm A1 cho CA1 1 Gọi

1

B hình chiếu A1 CA, C1 hình chiếu B1 AB, A2 hình chiếu C1 BC, B2 hình chiếu A2 CA,… tiếp tục thế, Xét dãy số  un với

n n

u CA

3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:

Dãy số  un gọi dãy số tăng ta có un1un với *

n Dãy số  un gọi dãy số giảm ta có un1un với

*

n

Dãy số  un gọi dãy số (hoặc dãy số khơng đổi) ta có un1un với *

n

Ví dụ a) Cho dãy số  xn với xn n22n3 dãy số tăng Chứng minh: Ta có xn1n122n  1 n22

Suy    

1 2 0,

n n

Vậy  xn dãy số tăng

b) Dãy số  yn với

5

n n

n

y   dãy số giảm

Chứng minh:

Cách 1: Ta có 1 13

5

n n

n

y    Suy 1 13 17 0,

5 5

n n n n n

n n n

y  y          n hay

1 ,

n n

y  y  n Vậy  yn dãy số giảm

Cách 2: Với  n *, ta có yn 0nên ta xét tỉ số n n

y y



Ta có 1 13

5

n n

n

y    nên

 

1 1, 1

5

n n

y n

n

y n

     

 Vậy  yn dãy số giảm

c) Dãy số zn với zn   1 n dãy số tăng dãy số

giảm zn1zn   1 n1  1 n   2 1n không xác định dương hay âm Đây dãy số đan dấu

STUDY TIP

Để chứng minh dãy số  bn dãy số giảm dãy số tăng, thường sử dụng hướng sau đây:

(1): Lập hiệu  un un1un Sử dụng biến đổi đại sốvà kết biết để

n

u

  (dãy số tăng)  un 0(dãy số giảm) (2): Nếu un   0, n 1thì ta lập tỉ số

1 n n

n

u T

u



 Sử dụng biến đổi đại số kết

quả biết để Tn 1 (dãy số tăng),Tn 1(dãy số giảm)

4 Dãy số bị chặn

Dãy số  un gọi bị chặn tồn số M cho umM, n * Dãy số  un gọi bị chặn tồn số m cho um m, n *

Dãysố  un gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số

M ,m cho mum M, n *

Ví dụ 7:

a) Dãy số  an với 2017 sin3 1

n

n

a    dãy số bị chặn 2017an 2017, n *

b) Dãy số  bn với

3

n

n b

n

 

 dãy số bị chặn

*

1,

3bn   n

c) Dãy số  cn với cn 3n2 7 n1bị chặn an 49, n *

d) Dãy số  dn với dn  6   (n dấu căn), bị chặn * 3,

n

d   n

STUDY TIP

1) Nếu  un dãy số giảm bị chặn u1

B Các tốn điển hình

Câu 1. Cho dãy số  an xác định 2017 sin 2018cos

2

n

n n

a     Mệnh đề mệnh

đề đúng?

A an6 an, n * B an9 an, n *

C *

12 ,

n n

a  a  n D * 15 ,

n n

a  a  n

Đáp án C

Lời giải

Kiểm tra phương án đến tìm đáp án

+ Ta có 6 2017 sin 6 2018cos 6 2017 sin 2018cos

2 3

n n

n n n n

a             a

+ Ta có 6 2017 sin 9 2018cos 9 2017 sin 2018cos

2 3

n n

n n n n

a            a

+ Ta có 12    

12 12

2017 sin 2018cos 2017 sin 2018cos

2 3

n n

n n n n

a            a

+ Ta có 15    

15 15

2017 sin 2018cos 2017 sin 2018cos

2 3

n n

n n n n

a             a

Vậy phương án C

Nhận xét: Từ kết ví dụ này, trả lời câu hỏi trắc nghiệm sau đây

Cho dãy số  an xác định 2017 sin 2018cos

2

n

n n

a     Hãy chọn phương án trả lời

đúng câu hỏi sau đây:

Câu 1: Tìm số nguyên dương p nhỏ để an p ap, n *

Câu 2: Số hạng thứ 2017 dãy số số hạng đây?

A. 3026 B.2017 1009 3 C. 2017 1009 3  D.3026

Câu 2. Cho dãy số  an xác định *

1

3

1; 1,

2

n n n

a  a    a  a   n Số hạng thứ 201 dãy số  an có giá trị bao nhiêu?

A a20182 B a2018 1 C a20180 D a2018 5 Đáp án A

Lời giải

Nhận thấy dãy số dãy số cho cơng thức truy hồi Ta có a11;a22;a30;a41;a2 2;a6 0;

Từ dự đốn an3an, n * Chúng ta khẳng định dự đốn phương pháp quy nạp toán học Thật vậy:

Với n1 a1 1 a4 1 Vậy đẳng thức với n1 Giả sử đẳng thức với n k 1, nghĩa ak3 ak

Ta phải chứng minh đẳng thức với n k 1, nghĩa chứng minh ak4 ak1

Thật vậy, ta có

4 3

3

1

2

k k k

Theo giả thiết quy nạp ak3 ak nên 4 1

2

k k k k

a    a  a  a  Vậy đẳng thức với n k Suy an3 an, n *

Từ kết phần trên, ta có : m pmod3 am ap Ta có 20182 mod 3  nên a2018 2

Vậy phương án A

Nhận xét: Việc chứng minh hệ thức an3 an, n *giúp ta giải toán tính tổng xác định số hạng tùy ý dãy số Vì vậy, việc phát tính chất đặc biệt dãy số giúp giải yêu cầu liên quan đến dãy số cách thuận lợi dễ dàng Chúngta kiểm nghiệm qua câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới nhé:

Cho dãy số an xác định *

1

3

1; 1,

2

n n n

a  a    a  a   n Hãy chọn phương án trả lời câu hỏi sau đây:

Câu 1. Tính tổng S sáu số hạng dãy  an

A S 0. B S 6. C S 4. D S 5. Câu 2. Tìm số nguyên dương p nhỏ để an p ap, n *

A p9. B p2. C p6. D p3. Câu 3. Tính tổng S 2018 số hạng dãy  an

A S2016. B S2019. C S2017. D S2018. Câu 4. Tính tổng bình thường 2018 số hạng dãy  an

A S3360. B S 3361. C S3364. D S 3365

Câu 3. Cho dãy số  an xác định a1 1;an1  an2  1, n * Tìm số hạng tổng quát dãy số

 an

A an  2. B an  2n1. C an  3n2. D an  n

Đáp án D

Lời giải

Ta có a2  2;a3  3;a4  4;a5 

Từ số hạng đầu dãy ta dự đoán an  n Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh an  n Vậy phương án D

Nhận xét: Với kết ví dụ này, đề xuất câu hỏi trắc nghiệm đây:

Cho dãy số  an xác định a11;an1  an2  1, n * Hãy chọn phương án trả lời trong câu hỏi sau đây:

Câu 1. Rút gọn biểu thức

1 2

1 1

,

n

n n

s n

a a a a a  a

    

   ta

A Sn  n1. B Sn  n1. C

1

n

n S

n



 . D n

n S

n



Câu 2. Mệnh đề

A Dãy số an dãy số giảm B Dãy số an không dãy số giảm

C Dãy số an dãy số tăng D Dãy số an không dãy số tăng

Câu 3. Rút gọn biểu thức 2 2

n n

S a a  a

A Sn n n 1 B Sn n n 1 C  1

2

n

n n

S   D  1

2

n

n n

S  

STUDY TIP

Ngồi cách làm bên, ta kiểm tra phương án đến tìm phương án thông qua việc xác định vài số hạng đầu dãy

+ Với a11 loại phương án A

+Ta có a2  loại phương án B C

Câu 4. Cho dãy số  an có tổng n số hạng Sn n3 Mệnh đề đúng?

A  an dãy số tăng an 3n23n1

B  an dãy số giảm an 3n23n1

C  an dãy số tăng an 3n23n1

D  an dãy số tăng an 3n23n1

Đáp án A

Lời giải

Ta có

1 n n

a a  a S n a1 a2   an1Sn1 n13 Suy an Sn Sn1n3 n 13 3n23n1

Ta có an 3n23n1 an13n123n  1 3n29n7

Do *

1 0, n n

a a   n   n

Dấu xảy n 1 hay n1 suy dãy số  an dãy số tăng Vậy phương án A

Câu 5. Cho dãy số  an xác định * 1; n n 10,

a  a   a   n Tìm số hạng thứ 15 dãy số

 an

A a1528697809. B a1528697814. C a159565933. D a1586093437 Đáp án A

Lời giải

Chúng ta tìm cơng thức xác định số hạng tổng quát dãy số  an Đặt bn an5 bn1an15

Từ hệ thức truy hồi *

1 10,

n n

Ta có b2 3b1 ;b3 3b2 32b1 b433b3 33b1 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh

rằng *

1

3n ,

n

b  b  n , suy *

2.3n 5, n

a    n Do a15 28697809 Vậy suy

phương án A

STUDY TIP

Dãy số  an xác định a1 1;an1 qan  d, n *

-Nếu q1 số hạng tổng quát dãy số  an  

1

1

1

n n

n

d q

a aq

q



 

 



-Nếu q1 số hạng tổng quát dãy số  an an   a n 1d

Cho dãy số  an xác định an13an10, n * Hãy chọn phương án trả lời

trong câu hỏi sau

Câu 1. Số hạng thứ ba, thứ năm thứ bảy dãy số  an là:

A 13, 49,157. B 49, 481, 4369. C 49,157,1453. D 49,1453, 4369.

Câu 2. Tìm số hạng tổng quát dãy số  an

A an 2.3n5. B

1

2.3 

 n 

n

a . C an 2.3n5. D 2.3 5 n n

a .

Câu 3. Số 2324522929 có số hạng dãy số  an khơng, có số hạng thứ bao nhiêu?

A Khơng B Có, 18 C Có, 19 D Có, 20

Câu 4.  an dãy số:

A Giảm bị chặn B Tăng bị chặn

C Tăng bị chặn D Giảm bị chặn

Ví dụ 6. Cho dãy số  an xác định a15,a2 0 an2 an16 ,an  n Số hạng thứ 14 dãy số hạng nào?

A. 3164070 B 9516786 C 1050594 D 9615090

Đáp án A

Lời giải

+ Ta có an2 an16 ,an   n an22an13an12an, n Do ta có b1a22a1 10 bn13 ,bn  n

Từ hệ thức truy hồi dãy số  bn , ta có b2 3 ;b b1 3 3b2 32b b1; 4 3b3 33b1 Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng:

1

1

3 10.3 ,

 n  n  

n

b b n

+ Ta có an2 an16 ,an   n an23an1  2an13an, n Do ta có: c1a23a1 15 cn1 2 ,cn  n

Từ hệ thức truy hồi dãy số  cn , ta có c2  2 ;c c1 3   2 2c c1; 4   2 3c1 Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng:

   

1

2  15  ,

  n    n  

n

c c n

+ Từ kết trên, ta có hệ phương trình:

   

1

1 1

1

2 10.3

2.3

3 15



  

 

  

    



  



n

n n n n

n n

n n

a a

a

a a

Do số hạng tổng quát dãy số  an an 2.3n13. 2 n1, n Vậy suy a14 3164070 Vậy phương án A

Nhận xét: Với kết ví dụ này, trả lời câu hỏi trắc nghiệm khách quan đây:

Cho dãy số  an xác định a15;a2 0 an2 an16 ,an  n Hãy chọn phương án trả lời câu hỏi sau

Câu 1. Tính số hạng thứ năm dãy số  an

A a5 210. B a5 66. C a5 36. D a5 360.

Câu 2. Số hạng tổng quát dãy số  an là:;

A an 2.3n13. 2 n1. B an 2.3n3. 2 n.

C 1

2.3  3.2 

 n  n

n

a . D 2.3n3.2n

n

a

STUDY TIP

Dãy số  an xác định a1a a, 2 b an2 .an1.an, với n1, phương trình

0

 

  

t t có hai nghiệm phân biệt t1 t2 Khi số hạng tổng quát dãy số  an an m t1 1 n1m t2.2n1, m m1, 2 thỏa mãn hệ phương trình

1

1 2.2

 



  



m m a

m t m t b

Ví dụ 7. Cho dãy số  an xác định a1 3

1 4, *

      

n n

a a n n n Số 1391 số hạng

thứ dãy số cho?

A 18. B 17. C 20. D 19

Đáp án A

Lời giải

Từ hệ thức truy hồi dãy số  an ta có:

 2    

2

1

6 17 21

1

3

  

 

               

n n

n n n

a a n n n a

Suy số hạng tổng quát dãy số  an

3

6 17 21

3

  



n

n n n

a

Giải phương trình an 1391 ta n18 Vậy phương án A

STUDY TIP

Dãy số  an xác định a1a an1 an f n , n

Số hạng tổng quát dãy số  an tính theo cơng thức:  

1

1 



 n

n

i

a a f i

Ví dụ 8. Cho dãy số  an xác định a12 1 1 ,

    

n n

a a n Mệnh đề

đúng?

A  an dãy số giảm bị chặn

C  an dãy số giảm không bị chặn

D  an dãy số tăng không bị chặn

Đáp án A

Lời giải

Ta có 1 2 3

2

    

a a a Do ta loại phương án B và D

+ Ta có 1 1

1

  

an a

n nên  1 1 1

1

0, *

2

          

n n n n n

a a a a a a n

Suy an1an, n nên  an dãy số giảm

+ Vì  an dãy số giảm nên dãy số bị chặn a1 2

Ta có 11  1 0, 1,

2 an an an    n an   n

Vậy phương án A

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Bài tập xác định số hạng dãy số

Câu 1. Cho dãy số  xn có

2 , *            n n n x n

n Mệnh đề ?

A 1          n n n x

n B

2         n n n x

n . C

2         n n n x

n . D

2 1 1          n n n x n .

Câu 2. Cho dãy số  yn xác định 2

sin cos     n n n

y Bốn số hạng đầu dãy số là:

A 0, , ,1

2 2. B

1 1, , ,

2 2. C

1 3 1, , ,

2 2. D

1 1

0, , ,

2 2 2.

Câu 3. Cho dãy số  yn xác định y1 y2 1 yn2  yn1yn, n * Năm số hạng dãy số cho là:

A 1,1, 2, 4, 7. B 2,3,5,8,11. C 1, 2,3,5,8. D 1,1, 2,3,5.

Câu 4. Cho dãy số  un xác định u1  1 un 2 .n un1 với n2 Mệnh đề ?

A u112 11!10 . B u11 2 11!10 . C u112 1110 10. D u11 2 1110 10.

Câu 5. Cho dãy số  un xác định 1

2



u un un12n với n2 Khi u50 bằng:

A 1274,5. B 2548,5. C 5096,5. D 2550,5

Câu 6. Cho dãy số  un có

2    n n u

n Số

8

15 số hạng thứ dãy số  un ?

A 8. B 6. C 5. D 7.

Câu 7. Cho dãy số  an có an   n2 4n11, n * Tìm số hạng lớn dãy số  an

A 14 B 15 C 13 D 12

Câu 8. Cho dãy số  an có 2 , * 100     n n a n

A

20. B

1

30. C

1

25. D

1 21.

Câu 9. Cho dãy số  yn xác định y12

1 , *

     

n n

y y n n n Tổng S4 số hạng

đầu tiên dãy số là:

A S4 20. B S4 10. C S4 30. D S4 14.

Câu 10. Cho dãy số  xn xác định x15 xn1xn  n, n * Số hạng tổng quát dãy số

 xn là:

A 10    n n n

x . B

2 5   n n n

x . C

2 10    n n n

x . D

2 12    n n n x .

Câu 11. Cho dãy số  xn xác định 1

3



x

 

1 , *

2 1

  n   

n

n

x

x n

n x Mệnh đề

đây ?

A 100

39999



x . B 100 39999

2



x . C 100

40001



x . D 100

40803



x

Dạng 2: Bài tập xét tính tăng, giảm dãy số.

Câu 12. Trong dãy số dãy số dãy số tăng ?

A Dãy  an , với an   1 n1.sin , n *

n

B Dãy  bn , với bn   1 2n 5 n1 ,  n *

C Dãy  cn , với , *

1

  

 

n

c n

n n

D Dãy  dn , với 2 , *

1     n n d n n

Câu 13. Trong dãy số sau đây, dãy số dãy số giảm ?

A Dãy  an , với

2        n n

a B Dãy  bn với

2   n n b n

C Dãy  cn , với 31

1

 

n

c

n D Dãy  dn , với 3.2

n n

d

Câu 14. Cho dãy số  xn với

2    n an x

n Dãy số  xn dãy số tăng khi:

A a2. B a2. C a2. D a1.

Câu 15. Cho hai dãy số  xn với  !

 

n n

n

x  yn với yn  n sin2n1 Mệnh đề ?

A  xn dãy số giảm,  yn dãy số giảm

B  xn dãy số giảm,  yn dãy số tăng

C  xn dãy số tăng,  yn dãy số giảm

D  xn dãy số tăng, dãy số tăng

Câu 16. Cho dãy số  un , với

3

 



n

n u

n Mệnh đề ?

A Dãy  un bị chặn không bị chặn

B Dãy  un bị chặn không bị chặn

C Dãy  un bị chặn bị chặn

D Dãy  un không bị chặn

Câu 17. Trong dãy số sau dãy số dãy bị chặn ?

A Dãy  an , với

16, *

   

n

a n n

B Dãy  bn , với , *

2

   

n

b n n

n

C Dãy  cn , với cn 2n  3, n *

D Dãy  dn , với 2 , *

4

  



n

n

d n

n

Câu 18. Trong dãy số dãy số bị chặn ?

A Dãy  an , với an 3n1

B Dãy  bn , với

21 1





n

b

n n

C Dãy  cn , với cn 3.2n1

D Dãy  dn , với dn   2 n

Câu 19. Trong dãy số đây, dãy số bị chặn ?

A Dãy  xn , với xn   1 n n22n3

B Dãy  yn , với  

6

  

n

y n n

C Dãy  zn , với 2018 1 2017 

 n

n n

z

D Dãy  wn , với wn   2017n Dạng 4: Bài tập tính chất dãy số

Câu 20. Cho dãy số  xn , xác định bởi: xn 2.3n5.2 ,n  n * Mệnh đề ?

A xn2 5xn16xn B xn2 6xn15xn

C xn25xn16xn 0.D xn26xn15xn 0.

Câu 21. Cho dãy số  un , với un 3n Mệnh đề ?

A

 

u u

u . B

2 

u u u .

C 100

1 100

1

1

2



 u u  u u . D u u1 .2 u100 u5050.

Câu 22. Cho dãy số  an xác định 2017 cos3 1



 

n

n

a Mệnh đề sai ?

Câu 23. Cho dãy số  an xác định a1 1 1 1, *

2

      

n n n

a a a n Mệnh đề

đây ?

A a2018a2. B a2018 a1. C a2018a3. D a2018a4.

Câu 24. Cho dãy số  an xác định a11,a2 2 an2  3.an1an, n Tìm số nguyên dương p nhỏ cho an p an, n *

A p9. B p12. C p24. D p18. Câu 25. Trong mệnh đề đây, mệnh đề SAI ?

A Dãy số  an xác định a1 1 1 2018 , *

2017

    

n n

a n

a dãy số không đổi

B Dãy số  bn , với tan 2 1



 

n

b n , có tính chất bn2 bn, n *

C Dãy số  cn , với cn tan n 1, dãy số bị chặn

D Dãy số  dn , với dn cos n , dãy số giảm

Câu 6. Cho dãy số (un)xác định u12 u2 2un1  1, n N*,có tính chất

A. Là dãy số tăng bị chặn B. Là dãy số giảm bị chặn

C. Là dãy số giảm bị chặn D. Là dãy số tăng bị chặn

Câu 7. Cho dãy số (un)xác định u11 un1 2un2, n 1.Tổng 2 2018 2018

S u u  u

A. S2018 20152 B. S20182018 C. S20182017 D. S20182016

Câu 8. Cho dãy số ( )zn xác định sin cos

2

n

n n

z     Gọi M, m giá trị lớn giá

trị nhỏ số hạng dãy số ( )zn Tính giá trị biểu thức 2

T M m A T 13 B T 5 C T 18 D. T 7

Câu 9. Cho dãy số (un)thỏa mãn 1 1; 1 , 1 2 2017

2 2( 1) 2018

n

n n n

n

u

u u n S u u u

n u



       

  n

có giá trị nguyên dương lớn

A 2017 B 2015 C 2016 D 2014

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Bài tập xác định số hạng dãy số

Câu 1. Đáp án C

Ta có

2 1

n n

n x

n





 

    nên

2( 1)

1

( 1)

( 1)

n n

n

n n

x

n n

  



     

   

    

 

Câu 2. Đáp án A

Ta có 2

1

2

sin os 0; sin os

4

y   c   y   c   (loại phương án B D)

2

3

sin os2

4

y   c   (loại phương án C)

Câu 3. Đáp án D

Ta có y32;y4 3nên loại phương án cịn lại

Ta có u2 22u u1; 3 6u2 2 2.3 ;2 u u1 4 8u3 2 2.3.4 u1 Bằng phương pháp quy nạp toán học,

chúng ta chứng minh 1

1

2 !n !n

n

u   n u    n Do 10

11 11!

u  

Câu 5. Đáp án D

Ta có 2(1 ) ( 1)

2

n

u     n  n n Suy 50 50.51 2550,5

2

u   

Câu 6. Đáp án D

Giải phương trình

2 15

n n

 

 ta n7

Câu 7. Đáp án B

Ta có an   (n 2)215 15,  n Dấu xảy n   2 n Vậy số hạng lớn dãy số số hạng 15

Câu 8. Đáp án A

Ta có 2

2

1

100 2 .100 20

n

n n

a

n n

  

 Dấu xảy

2

100 10

n   n

Vậy số hạng lớn dãy số hạng

20

Câu 9. Đáp án A

Ta tính y2 2;y3 4;y4 12S4 20

Câu 10. Đáp án A

Cách 1: Tìm số hạng tổng quát dãy số

Ta có

2

( 1) 10

(1 1)

2

n n

n n n n

x       x n x      

Cách 2: Kiểm tra phương án tìm phương án

Phương án A:

2 2

1

( 1) ( 1) 10 10 10

2 2

n n

n n n n n n

x             n x n

Cách 3: Với n  1 x1 loại phương án lại B, C, D

Câu 11. Đáp án A

Ta có xn   0, n

1

1

2(2 1) ,

n n

n n

x    x  

Suy

2

1

1

4(1 1) 2( 1) ( 1) 2( 1)

2

n

n

n n n n n

x x



             

Suy 22

4

n

x n



 Do 100

2 39999

x 

Dạng 2: Bài tập xét tính tăng giảm dãy số

Câu 12. Đáp án B

 Dãy số (an)là dãy đan dấu nên dãy số tăng dãy số giảm

 Với dãy ( )bn , ta có bn 5n 1(do ( 1) 2n 1) Vì bn15n1 1 5.5n 1 bn, n 1nên ( )bn dãy số tăng

 Dãy số ( )cn dãy số giảm 1 1 ,

1

n n

c c n

n n n n

     

    

 Dãy số (dn)là dãy số giảm 1 2 2 ,

2

n n

n n

d d n

n n n





    

Câu 13. Đáp án C

 Dãy số (an)là dãy đan dấu nên dãy số tăng dãy số giảm

 Dãy số ( )bn dãy số tăng 1 1,

1

n n

b n n b n

n n 

       



 Dãy số ( )cn dãy số giảm 31 13 1,

1 ( 1)

n n

c c n

n n 

    

  

 Dãy số (dn)là dãy số tăng

1

3.2n 3.2n ,

n n

d    d   n Câu 14. Đáp án B

Ta có 1 ( 1)

3 n

a n x

n



  

 Xét hiệu

( 1) 4

3 ( 2)( 3)

n n

a n an a

x x

n n n n



   

   

   

(xn)là dãy tăng xn1xn    0, n 2a   4 a

Câu 15. Đáp án D

Ta có xn   0, n

1,

2 n

n

x n

n x

      nên ( )

n

x dãy số tăng

Ta có yn1yn sin (2 n  1) sin2n  0, n nên (y )n dãy số tăng Dạng 3: Bài tập xét tính bị chặn dãy số

Câu 16. Đáp án C

Ta có 8 1,

3 10

n n

u u n

n n 

      

  nên (u )n dãy số tăng Suy bị chặn

dưới 1

5

u  Lại 1,

3

n

u n

n

    

 nên dãy số un bị chặn

Câu 17. Đáp án D

 Dãy số (an)là dãy số tăng bị chặn an  n216 17, n

 Dãy số ( )bn dãy số tăng bị chặn 2,

2

n

b n n n

n n

     

 Dãy số ( )cn dãy số tăng bị chặn cn 2n   3 5, n

 Dãy số (dn)là dãy số bị chặn 1,

4 n

d n

    2

4 4

n n

do

n n

    

  

 

Câu 18. Đáp án B

 Dãy số (an)là dãy số tăng bị chặn u1 4

 Dãy số ( )bn có 0bn   1, n nên dãy số ( )bn dãy số bị chặn

 Dãy số ( )cn dãy số tăng bị chặn c1 12

 Dãy số (dn)là dãy đan dấu

2

2 ( 2)

n n n

d    lớn tùy ý n đủ lớn,

2

2 ( 2) 2.4

n n

n

d       nhỏ tùy ý n đủ lớn

Câu 19. Đáp án C

 Dãy số (xn)là dãy đan dấu x2n lớn tùy ý n đủ lớn, x2n1 nhỏ tùy ý n đủ lớn

 Dãy số (yn)là dãy số giảm ynnhỏ tùy ý n đủ lớn

 Dãy số ( )zn dãy số tăng nên bị chặn 1 20182 2017

z 

 Dãy số (w )n dãy đan dấu w2n lớn tùy ý n đủ lớn, w2n1 nhỏ tùy ý n đủ lớn

Dạng 4: Bài tập tính chất dãy số

Câu 20. Đáp án A

 Phương án A: xn2 5xn16xn 0

 Phương án B: 2 1 8.3n 15.2n

n n n

x   x   x      Phương án C: xn25xn16xn 36.3n40.2n 0

 Phương án D: xn26xn15xn 44.3n55.2n 0

Câu 21. Đáp án D

 Phương án A:

9

5

3

3

2

u u

u

 

  

 Phương án B:

6

3

3

2

u u

u

  

 Phương án C: 100

1 100 100

1

1

2

u

u u u u 

     

 Phương án D: 100 5050

1 .2 100 3 5050

u u u      u

Câu 22. Đáp án C

 Phương án A:

 

12

3( 12) (3 1) (3 1)

2017 cos 2017 cos 2017 cos

6 6

n n

n n n

a             a  n

 

 Phương án B:

 

8

3( 8) (3 1) (3 1)

2017 cos 2017 cos 2017 cos

6 6

n n

n n n

a             a  n

 

 Phương án C:

 

9

3( 9) (3 4) (3 4)

2017 cos 2017 cos 2017 cos

6 6

n n

n n n

a             a  n

 

 Phương án D:

 

4

3( 4) (3 1) (3 1)

2017 cos 2017 cos 2017 cos

6 6

n n

n n n

a             a  n

 

Lưu ý: Quan sát vào số số hạng tổng quát, ta thấy C có khác biệt so với ba phương án nên ta kiểm tra phương án C trước

Câu 23. Đáp án A

Sáu số hạng dãy 1;2;0;1;2;0

Từ ta dự đoán an3 an, n 1.Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh

rằng an3 an, n

Mặt khác 20183.672 2 nên a2018a2

Câu 24. Đáp án B

Trước hết ta kiểm tra phương án với pnhỏ Viết 10 số hạng (an) :

1

8 10

1; 2; 1; 3; 2; 3; 1;

2; 3;

a a a a a a a

a a a

           

     

Dễ dàng thấy a10  1  a1 nên phương án A sai

1

8 10 11 12 13 14

( ) : 1; 2; 1; 3; 2; 3; 1;

2; 3; 4; 2 3; 2; 1;

n

a a a a a a a a

a a a a a a a

           

           

Từ ta dự đoán an12 an, n

Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh an12an, n Vậy số nguyên dương cần tìm p12

Cách 2: Sau viết 10 số hạng dãy ta đốn an6  an, n

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh an6  an, n 1.Như số nguyên dương nhỏ để an6  an, n Do an12an 6 6  an6 an, n Suy số cần tìm p12

Câu 25. Đáp án D

 Phương án A: Ta có

2018

1; 1;

1 2017

a  a   a 

 Từ ta dự đoán an   1, n

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh an   1, n 1.Suy

 an dãy số không đổi Do phương án A

 Phương án B: Ta có

 

2 tan 2( 2) tan (2 1) tan(2 1) ,

4 4

n n

b  n     n   n  a  n

 

Vậy bn2 bn, n Do đóphương án B

 Phương án C: Ta có cn   1, n 1.nên dãy số  cn dãy số không đổi Suy  cn dãy số bị chặn Do phương án C

 Phương án D: Ta có d2n cos(2n) cos(4  n)d4n Suy khẳng định  dn

dãy số giảm khẳng định sai

Câu 26. Đáp án C

Ta có 1 1( 1) 11( 2 1)

2

n n n n n

u  u  u u     u u Từ ta tính 11

2

n n

u   

Do 2 11 0,

2 2

n n n n n

u  u        n nên  un dãy số giảm

Ta có 1 11 2,

2

n n

u  n

      nên  un dãy số bị chặn Suy phương án C

Câu 27. Đáp án B

Từ hệ thức truy hồi dãy số, ta có un12 un2  2, n Suy un2 u122(n 1) 2n1

Do 2 2

1 2(1 ) ( 1)

n n

S u u  u      n n n n  n n

Vậy S2018 2018

Câu 28. Đáp án A

Dựa vào chu kì hàm số ysin ;x ycos ,x ta có zn12zn, n Do tập hợp phần tử dãy số S z z1; 2; ;z12    3; 2; 1;0;  Suy M 2;m 3.Do T 13

Câu 29. Đáp án C

Dễ un   0, n 1.Từ hệ thức truy hồi dãy số, ta có

1

1

2 2,

n n

n n

u  u    

2

1

1 1

2(1 1) 2( 1) ( 1) 2( 1)

( 1)

n

n n

n n n n n n n u

u u        u          n n

Do 1 ,

1 n

u n

n n

   



Vậy 1 2 1

1

n n

n

S u u u

n n

      

  Vì

2017 2018 n

S  nên 2017 2017

1 2018

n

n n   

Suy số nguyên dương lớn để 2017

2018 n

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh

Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường

Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức

Tấn

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

- - - - -