DE CUONG ON TAP HKIITOAN 9

a). CMR : Tứ giác BHCD nội tiếp. Vẽ về cùng phía với A đối với BC các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là HB; HC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E. Tứ giác BCDE nội tiếp c).[r]

A/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH : I/ Kiến thức :

* Với hệ phương trình :

1 ( ) ' ' '( )

ax by c D a x b y c D

 

 

 

 ta có số

nghiệm :

Số nghiệm Vị trí đồ thị ĐK hệ số Nghiệm

nhất D1 cắt D2 ' '

a b

a b

Vô nghiệm D1 // D2

' ' '

a b c

a b c

Vô số nghiệm D1  D2

' ' '

a b c

a b c

II/ Các dạng tập :

Dạng : Giải hệ phương trình (PP cộng )

1)

2 6(1) 12(3) 3(2) 9(4)

x y x y

x y x y

              

Cộng vế (3) (4) ta : 7x = 21 => x =

Thay x = vào (1) => + 3y = => y = Vậy ( x = 3; y = 0) nghiệm hệ PT

2)

7 1(1) 6(2) x y x y       

Từ (2) => y = – 3x (3)

Thế y = – 3x vào phương trình (1) ta : 7x – 2.(6 – 3x) = => 13x = 13 => x = Thay x = vào (3) => y = – =

Vậy ( x = 1; y = 3) nghiệm hệ phương trình

Dạng : Tìm tham số để hệ PT thoả đk đề

1) Cho hệ phương trình:

5 10 x my mx y       

Với giá trị m hệ phương trình : - Vơ nghiệm - Vô số nghiệm Giải :

♣ Với m = hệ (*) có nghiệm (x =5; y= 

♣ Với m 0khi ta có :

- Để hệ phương trình (*) vơ nghiệm :

1

4 10

m

m  

<=>

2 4 2

2 10 20 m m m m m               (thoả)

Vậy m = hệ phương trình vơ nghiệm - Để hệ phương trình (*) có vơ số nghiệm :

1

4 10

m

m  

<=> 2 2 10 20 m m m m m               (thoả)

Vậy m = - hệ phương trình có vơ số nghiệm 2) Xác định hệ số a; b để hệ phương trình :

2 x by bx ay      

 (I) có nghiệm (x = 1; y = -2) Giải :

Thay x = 1; y = -2 vào hệ (I) ta :

2

2 5

b b b

b a a b a

                      b a     

 Vậy a = -4 ; b = hệ có nghiệm (1;-2) III/ Bài tập tự giải :

1) Giải hệ phương trình :

a).

7 10

3 x y x y        b).

10

5

x y x y        c)

1 1 10 1 x y x y           

2) Cho hệ PT :

1

x y

mx y m

  



 



a) Với m = giải hệ PT * Phương pháp cộng :

- Biến đổi hệ pt dạng có hệ số ẩn đối

- Cộng (trừ) vế pt => PT bậc I ẩn

- Giải PT ẩn vừa tìm tìm giá trị ẩn cịn lại

* Phương pháp :

- Từ PT hệ biểu thị x theo y (hoặc y theo x)

- Thay x (hoặc y) vào PT lại => PT bậc ẩn số

b) Tìm m để hệ PT có nghiệm nhất, có VSN B/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :

I/ Kiến thức :

1).Công thức nghiệm & công thức nghiệm thu gọn Với phương trình : ax2 + bx + c = (a 0) ta có :

Cơng thức nghiệm

Công thức nghiện thu

gọn (b chẳn; b’=2

b

) 4

b ac

  

-  0: PTVN

-  0: PT có n0 kép 2 b x x a    -  0: PT có n0

1;

2 b x x a     ' b' ac

   -  ' 0: PTVN

-  ' 0: PT có n0 kép ' b x x a    -  ' 0: PT có n0

1 ' ' ; b x x a    

* Ghi nhớ : Các trường hợp đặc biệt

☺Nếu a + b + c = => PT có hai nghiệm : 1;

c

x x

a

 

☺Nếu a – b + c = => PT có hai nghiệm : 1;

c

x x

a



 

2) Hệ thức Viét :

* Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) tổng tích hai

nghiệm : ;

b c

x x x x

a a



  

II/ Các dạng tập : ♣ Dạng : Giải phương trình

1) 4x2 – 11x + = (a = 4; b = – 11; c = 7) * Cách : Sử dụng công thức nghiệm

2 4 ( 11)2 4.4.7 0 3

b ac

          

Vì  0 nên phương trình có nghiệm :

1

11

2

b x a        ; 11 b x a       

* Cách : Trường hợp đặc biệt Vì a + b + c = + (-11) + = Nên phương trình có nghiệm :

2)

2

2

1

x

x   x  (*) - TXĐ : x 1

(*)

2 1.( 1) 2.( 1).( 1) ( 1).( 1) 1.( 1).( 1)

x x x x

x x x x x

  

  

    

2

2 2

2

x x x

x x

    

   

Vì a – b + c = – (– 1) – = Nên phương trình có nghiệm :

1 1; c x x a    

3) 3x4 – 5x2 – = (**) Đặt X = x2 ( X  0) (**) 3X2 5X  0

 X1 = (nhận) X2 = 

(loại) Với X = => x2 = <=> x = 

♣ Dạng : Phương trình có chứa tham số

VD : Cho PT : x2 – 4x + 2m – = 0 Tìm m để phương trình : - Vơ nghiệm - Có nghiệm kép

- Có nghiệm phân biệt Giải :

Ta có : a = 1; b = – 4; c = 2m –    ' ( 2)21.(2m1) 2  m

* Để phương trình vơ nghiệm  0

3 2

2

m m m

         * Để phương trình có nghiệm kép  0

3

3 2

2

m m m

       

* Để PT có nghiệm phân biệt  0

3 2

2

m m m

        

(Lưu ý : Để PT có nghiệm  0)

- Tìm ĐKXĐ phương trình (nếu có) - Biến đổi dạng PT bậc ẩn số - Giải PT công thức nghiệm - Nhận nghiệm trả lời

☺ Loại : Tìm tham số m thoả ĐK cho trước - Tính  theo tham số m

1

7 1;

4

c

x x

a

  

VD : Cho PT (m – 1)x2 – 2m2x – 3(1 + m) = 0 a) Với giá trị m PT có nghiệm x = - ? b) Khi tìm nghiệm cịn lại PT

Giải :

a) Vì x = -1 nghiệm phương trình, :

2

2

1

( 1).( 1) ( 1) 3.(1 )

1 3

2 1;

m m m

m m m

m m m m

       

     

      

Vậy m1 = - 1; m2 = phương trình có nghiệm x = -1

b) Gọi x1; x2 nghiệm phương trình

Vì PT có nghiệm x1 = - => x2 =

3(1 )

c m

a m

 

  + Với m = => x2 =

+ Với m = -1 => x2 =

Vậy : Khi m = nghiệm lại PT x2 = Và m = -1 nghiệm cịn lại PT x2 =

VD : Cho PT : x2 – 2x – m2 – = 0

Tìm m cho phương trình có nghiệm x1; x2 thoả : a) x12x22 20 b) x1 x2 10

Giải :

Vì a.c < nên phương trình ln có nghiệm với m

Theo hệ thức Viét ta có :

2

2

S x x

P x x m

  

  

a) Khi x12x22 20

b) Khi x1 x2 10

2

(x x ) 100

  

2

1 2

2

2

( ) 100

2 4( 4) 100 4 16 100

20

x x x x

m m

m m

   

    

   

   

Vậy m = 2 PT có nghiệm x1 x2 10

III/ Bài tập tự giải :

Dạng : Giải phương trình sau : 1) x210x21 0

2) 3x219x 22 0 3) (2x 3)2 11x19

4)

8

1

x x

x x 

5)

5 21 26

2

x x

x x

 

 

 

6) x413x236 0

7)

2

1

4,5

x x

x x

   

    

   

   

Dạng : Tìm tham số m thoả ĐK đề bài 1) Cho phương trình : mx2 + 2x + = 0 a) Với m = -3 giải phương trình b) Tìm m để phương trình có : - Nghiệm kép

- Vô nghiệm

- Hai nghiệm phân biệt

2) Cho phương trình : 2x2 – (m + 4)x + m = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Khi tìm nghiệm cịn lại phương trình 3) Cho phương trình : x2 + 3x + m = 0

a) Với m = -4 giải phương trình ☺Loại : Tìm tham số m để phương trình có

nghiệm x = a cho trước :

☺Loại : Tìm tham số m để phương trình có 2 n0 thoả ĐK cho trước

n m

x x

   … : - Tìm ĐK m để PT có nghiệm

- Sử dụng Viét để tính S P n0 theo m. - Biến đổi biểu thức

n m

x x

   về dạng S; P => PT hệ PT ẩn tham số m

* Ghi nhớ : Một số hệ thức x1; x2 thường gặp

 

   

   

 

2 2

1 2

2

1 2

2

1 2

3 3

1 2 2

1 2

*

*

*

* ( )

1 *

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x

   

   

   

    



2

1 2

2

2

( ) 20

2 2( 4) 20

4

x x x x

m

m m

   

    

   

Vậy m = 2 PT có nghiệm thoả x12x22 20

b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả điều kiện x12x22 34

C/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ : I/ Kiến thức :

1) Điểm A(xA; yA) & đồ thị (C) hàm số y = (x): - Nếu f(xA) = yA điểm A thuộc đồ thị (C)

- Nếu f(xA)  yA điểm A khơng thuộc đồ thị (C)

2) Sự tương giao hai đồ thị :

Với (C) & (L) theo thứ tự đồ thị hai hàm số : y = f(x) y = g(x) Khi ta có :

* Phương trình hồnh độ giao điểm (C) & (L) : f(x) = g(x) (1)

- Nếu (1) vô nghiệm => (C) & (L) k./có điểm chung - Nếu (1) có n0 kép => (C) & (L) tiếp xúc nhau - Nếu (1) có 1n0 hoặc n0 => (C) & (L) có điểm chung

II/ Các dạng tập : ♣ Dạng : Vẽ đồ thị

VD : Cho hàm số y = - x + y = 2x2

a) Hãy Vẽ đồ thị h/số lên mặt phẳng Oxy b) Dựa vào đồ thị tìm hoành độ giao điểm kiểm tra lại PP đại số

Giải :

- Xác định toạ độ điểm thuộc đồ thị :

x

y = - x + 1

x -1 -½ ½

y = 2x2 2 ½ 0 ½ 2

- Vẽ đồ thị :

b) Hai đồ thị có hoành độ giao điểm x1 = -1 x2 = ½

Thật :

Dạng : Xác định hàm số

VD1 : Cho hàm số : y = ax2 Xác định hàm số biết đồ thị (C) qua điểm A( -1;2)

Giải

Thay toạ độ A(-1; 2) thuộc đồ thị (C) vào hàm số Ta : = a.( -1) => a = -

Vậy y = -2x2 hàm số cần tìm.

VD2 : Cho Parabol (P) : y = 2x2 a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm m để đường thẳng (D) : y = 2x + m tiếp xúc với (P)

Giải : a)

- Xác định toạ độ điểm thuộc đồ thị :

x -2 -1

y = ½x2 2 ½ 0 ½ 2

- Vẽ đồ thị :

b) Tacó PT hoành độ giao điểm (P) & (D) :

2

1

2

2x  x m  x  x m (1) Để (P) (D) tiếp xúc (1) có nghiệm kép

2

' ( 2) 1.( )

4 2

m

m m

      

    

Vậy m = -2 đồ thị (P) (D) tiếp xúc III/ Bài tập tự giải :

1) Cho hai hàm số :

- (D) : y = – 4x + - (P) : y = – x2

a) Vẽ đồ thị (D) (P) lên mp toạ độ

b) Dựa vào đồ thị xác định toạ độ giao điểm (D) (P), kiểm tra lại phương pháp đại số

2) Cho hàm số (P) : y = ax2 (a 0) - Đồ thị h/s y = ax + b có dạng đường thẳng,

nên vẽ ta cần tìm điểm thuộc đồ thị - Đồ thị h/số y = ax2 có dạng đường cong parabol đối xứng qua Oy, nên vẽ ta cân tìm khoảng điểm thuộc đồ thị

y = 2x2

x

y = 2x

Ta có PT hồnh độ giao điểm h/số là:

2

1

2

1

1; 2

x x x x

x x

     

  

a) Xác định hàm số (P) Biết đồ thị qua điểm A(2; - 2)

b) Lập phương trình đường thẳng (D) Biết đồ thị song song với đường thẳng y = 2x tiếp xúc với (P)

PH N 2: HÌNH H CẦ Ọ

A/ KIẾN THỨC :

III/ GÓC VÀ ĐƯỜNG TRỊN : 1 Góc tâm :

2 Góc nội tiếp

3 Góc tạo tiếp tuyến dây cung

4 Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn :

5 Góc có đỉnh bên đường trịn : 6 Một số tính chất góc với đường trịn :

7 Tứ giác nội tiếp : *

ĐN :

* Tính chất :

Một số dạng chứng minh tứ giác nội tiếp :

9 Một số hệ thức thường gặp :

(do  ABI DCI)

10 Một số hệ thức thường gặp :

(do  MBA MAC) AOB sd AB 

 

2

AMB sd AB

 

2

BAx sd AB   

( )

2

BMD sd BD sd AC

 1   

2

AID sd AD sd BC

ABCD tứ giác nội tiếp  A B C D; ; ; ( )O

ABCD nội tiếp <=>    

0 180 180

A C B D

   

   

 

0

; 180

180

xAD C xAD DAB DAB C

  

  

=> ABCD nội tiếp A C 1800

  => ABCD nội tiếp

ADB 90 ;0 ACB 900

 

=> A;B;C;D thuộc đ.trịn đ.kính AB => ABCD nội tiếp đ.trịn đ.kính AB

(do  MAD MCB)

11 Độ dài đường tròn & cung tròn : * Chu vi đường tròn :

* Độ dài cung AB có số đo n0 :

12 Diện tích hình trịn & hình quạt trịn : * Diện tích hình trịn :

* Diện tích hình quạt cung AB có số đo n0 :

B/ BÀI TẬP :

Bài : Cho đường tròn (O) , kẻ hai đường kính AOB, COD vng góc Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M khác B D ), dây CM cắt AB N, tiếp tuyến đường tròn M cắt AB K, cắt CD F

a) CMR : Tứ giác ONMD nội tiếp b) CM : MK2 = KA.KB

c) So sánh : DNM&DMF

Bài : Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, cắt DE H cắt DC K

a) CMR : Tứ giác BHCD nội tiếp b) Tính góc CHK

c) CM : KH.KB = KC.KD

Bài : Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC , điểm A thuộc nửa đường trịn, H hình chiếu A BC Vẽ phía với A BC nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự HB; HC chúng cắt AB, AC theo thứ tự D, E a) Tứ giác ADHE hình ?

b) CMR : Tứ giác BDEC nội tiếp

c) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn biết HB = 10cm; HC = 40cm

Bài : Cho ABC cân A có cạnh đáy nhỏ

hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt tia AC tia AB D E Chưng minh :

a) BD2 = AD.CD

b) Tứ giác BCDE nội tiếp c) BC // DE

MA.MB = MD.MC AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2

2

C   R d R



0 180

AB

R n

l 

2 .

S  R

Squạt =

2 0

360

R n l R

