chia thaønh nhieàu khoái ña dieän nhoû thì theå tích cuûa noù baèng toång theå tích cuûa caùc khoái ña dieän nhoû ñoù.. Khoái laäp phöông coù caïnh baèng 1 thì theå tích baèng 1.c[r]
(1)Chuyên đề: Khối đa diện – mặt nón – mặt cầu- mặt trụ
A- THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
: Thể tích khối đa diện số dương có tính chất sau : a Hai khối đa diện thể tích
b Nếu khối đa diện phân Định nghĩa
chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể tích tổng thể tích khối đa diện nhỏ
c Khối lập phương có cạnh thể tích Thể tích khối h
3
đáy
ĐL : V = abc với a,b,c ba kích thước khối hộp chữ nhật ĐL : V = a vớ
ộp chữ nhật
3 Thể tích khối chóp
i a cạnh hình lập phương
ĐL : V S h với h chiều
đáy
cao ĐL : V
4 Thể tích
S h
của khối lă với h ch
ng trụ
iều cao
B. VÍ DỤ
Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI HỘP
1 Tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều rộng , chiều dài chiều cao
Giaûi
Ta coù : V = 2.3.4 = 24
2
2 Tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều rộng , chiều dài đường chéo hình hộp hợp với mặt đáy góc 30
Giải
ABC vuông B nên AC AB
2
(ABCD) (ABCD)
BC AC
Ta coù : C'C (ABCD) C = hc C' AC = hc AC'
(AC';(ABCD)) C'AC 30
1
Vì C'AC vuông C nên C'C = AC.tan30
3
2 Ta coù : V = AB.BC.C'C = =
3
3 Ba kích thước hình hộp chữ nhật làm thành cấp số nhân có cơng bội Thể tích 64 Tìm kích thước
Giải
Gọi kích thước nhỏ x với x
3 3
> ba kích thước hình hộp chữ nhật x , 2x , 4x Vì : V = x.2x.4x = 8x Theo đề : V= 64 8x 64 x x (nhận)
Vậy : Ba kích thước cần tìm 2,4,8
(2)2
4 Tính thể tích khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 Giải
Gọi a cạnh hình lập phương ta có diện tích mặt hình lập phương a
Theo đề : Tổ 2
3
ng diện tích mặt 24 hay S = 6a 24 a a Vậy thể tích hình lập phương V = a =
5 Các đường chéo mặt bên hình hộp chữ nhật 5, 10, 13 Tính thể tích hình
2 2 2 2 2
hộp Giải
Gọi hình hộp cho ABCD.A'B'C'D' có AC = 5,AB' 10,AD' 13
Đặt : AB a,AD b,AA' c ta có :
a b AC a 1
b c AD' 13 b
c
c a AB' 10
Vậy thể tích kh
ối hộp chữ nhật V= abc = 1.2.3 =
6 Khi độ dài cạnh hình lập phương tăng thêm 2cm thể tích tăng thêm 98cm Khi tính độ dài cạnh hình lập phương
Giải
Gọi a (với a > 0) cạnh hình lập
3
3
3
phương Khi thể tích hình lập phương V = a
Thể tích hình lập phương cạnh tăng thêm 2cm V' = (a+2)
a (nhaän)
Theo đề : V' V = 98 (a+2) a 98 a 2a 15
a
(loại)
Vậy cạnh hình lập phương cho a = 3cm
Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
1 Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải
Gọi khối tứ diện cho ABCD Khi ta coi khối chóp A.BCD Kẻ AH (BCD) H tâm tam
2
2 2 2
ABCD A.BCD
giác BCD ( tâm đường tròn ngoại tiếp )
2 a a
Gọi M trung điểm BC Ta coùù : AH = AM
3 3
AHD vuông H nên :
a 3a a
AH = AD AH a ( ) a
3
Vaäy : V V
2
BCD
1.S .AH a a a 2. .
3 3 12
Tứ diện coi khối chóp theo cách khác
Chú ý
Lấy đỉnh :
m
(3)3 Cho khối chóp tam giác có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp
Giải
Gọi khối chóp tam giác cho
(ABC) (ABC)
S.ABC nên SA = SB = SC Kẻ SH (ABC) H H tâm tam giác ABC
Gọi M trung điểm BC
Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH 60
SHA vuông H có SAH 60 nên A
2 ABC
ABC
1 H = SA.cos60 ,
2
2 3
SH = AH.tan60 Mặt khác : AH = AM AM AH
3 2
2.AM
Mà ABC có đường cao AM nên AB =
2
3
AB 3 S
4
1
Vậy thể tích khối chóp laø V = S
1 3
SH
3 4
Vấn đề : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
2 ABC
1 Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a , chiều cao 2a Tính thể tích lăng trụ
Giải
Gọi lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' a a Ta có : V = AA'.S 2a
4
2
2
2 Một lăng trụ đứng có chiều cao 20cm Mặt đáy lăng trụ tam giác vng có cạnh huyền 13cm , diện tích 30cm Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần c
2 ABC
ủa hình lăng trụ Giải
Gọi hình lăng trụ ABC.A'B'C' ABC vuông B , AC = 13cm
S 30cm ,AA' 20cm
Gọi x,y hai cạnh góc vuông ABC Điều kiện : < x,y < 13
2 2 2
2
2 xq
3 xq đáy
x y 13 169 (x y) 2xy 169
Theo đề : 1xy 30 xy 60
2
(x y) 169 2xy 289 x y 17
Vậy : S CVi đáy cạnh bên = (17+13) 20 = 600cm S S 2.S 600 2.30 660cm
(4)3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 37,13,30 diện tích xung quanh 480 Tính thể tích khối lăng trụ
Giải
Chu vi đáy khối lăng trụ : 2p = 37+13+30 = 80 p = 40 480
Chiếu cao khối lăng trụ : h = 80
Áp dụng cơng thức Hê-rơng , diện tích đáy khối lăng trụ : S = 40(40 37)(40 13)(40 30) 180
Vậy thể tích khối l
ăng trụ : V = S.h = 1080
4 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy góc 30 có chiều cao Tính thể tích khối lăng trụ
Giải
Gọi khối lăng t
(ABC) (ABC)
rụ ABC.A'B'C' Kẻ A'H (ABC) H
Ta có : H = hc A ' AH = hc AA' (AA ';(ABC)) A' AH 30 Đáy ABC có nửa chu vi : p = 21
Diện tích : S = 21(21 13)(21 14)(21 15) 84 A 'HA vuông
1 H : A'H = AA'.sin30
2 Thể tích : V = S.h = 336
5 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 19,20,37, chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích khối lăng trụ
Giải Nửa
chu vi đáy : p = 19 20 37 38
2
Diện tích đáy : S = 38(38 19)(38 20)(38 37) 114 19 20 37 76
Chieàu cao : h =
3
76
Vậy thể tích khối lăng trụ laø V = Sh = 114 2888
Vấn đề : TỈ SỐ THỂ TÍCH
1 (Bài 23-P29 SGK)Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V V' thể tích khối chóp S.ABC S.A'B'C'
V SA SB SC
Chứng minh :
V' SA' SB' SC' Giaûi
Gọi H , H' theo thứ tự hình chiếu vng góc A,A' lên mặt phẳng (SBC) Ta có : S,H,H' thẳng hàng , chúng
ABC
SB'C'
nằm hình chiếu vuông góc tia SA lên mặt phẳng (SBC)
1 AH.S
V 3 SA SB SC
Khi :
1
V' .A'H'.S SA ' SB' SC'
3
(5)3 A'B'C'D'
ABCD
2 (Bài 25-P29 SGK) Chứng minh có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện V
A'B'C'D' k
V Giải
Gỉa sử có phép vị tự V tỉ số k tứ diện ABCD thàn
2 B'C'D'
h tứ diện A'B'C'D' Khi :
V biến đường cao AH hình chóp ABCD thành đường cao A'H' hình chóp A'B'C'D' Do : A'H' = k AH
V biến BCD thành B'C'D' neân S k
BCD
B'C'D' 2 A 'B'C'D'
ABCD BCD
.S
1 S A 'H'
V 3
Suy : k k k
1
V .S .AH
3
3 (Bài 1-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B' D' trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích
1
phần Giải
Gọi V thể tích phần chứa điểm A V thể tích phần cịn lại Áp dụng cơng thức tính tỉ số thể tích , ta có :
A.B'CD'
2 A.BCD
A.B'CD' A.BCD A.B'CD'
2
V
V AB' AC AD' 1 1
V V AB AC AD 2
1 1
V V V V V V
4 4
3 Suy : V V
4