b, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên... Cho n là một số nguyên dương..[r]
(1)Phần I: SỐ HỌC MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1/ nếu a1 ,a2, a3 chia hết cho b
Thì : a/ a1+a2 + a3 +… chia heát cho b
b/ a1n + a2.n + a3.n … chia hết cho b
* HỆ QUẢ : a1 b
a1 + a2 b
2/ b1\ a1 , b2 \ a2 , b3 \ a3 b1.b2 b3 \ a1.a2.a3
* HỆ QUẢ: b\ a bn\ an b.c \ a.c ( với n N, c 0 , c Z )
3/ bc\ ac b \ a ( c 0)
4/ Neáu a b
a c
( b,c) = 5/ Nhị thức Niu-Tơn:
a/ an - bn = ( a-b)(an-1b0 + an-2b + an-3b2+…+a0bn-1) với n N, ab
b/ an + bn = ( a+ b)(an-1b0 - an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…-abn-2 + a0bn-1) với n N, n lẻ a-b
c/ ( a+ b+ c)2 = 2
2 2
a b c ab ac bc
d/ 2
(a b c )a b c 2ab 2ac 2bc
6/ Định lý BRu ( mở rộng chia hết đa thức )
Nếu f(x) có nghiệm x0 f(x) = ( x-x0)g(x) họăc f(x) ( x-x0)
Nói cách khác f(x) (x- a) f(a) = 0
CHÚ Y Ù:a/ Nếu tổng hệ số đa thức f(x) f(x) có nghiệm
Hay f(x) (x-1)
b/ Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ f(x) có nghiệm x = -1 Hay f(x) (x+1)
Thì a2 b
(2)7/ CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ :
Ngịai điều kiện chia hết học lớp , ta cần nhớ thêm điều kiện sau:
+ Mọi số chẵn chia hết cho
+ ĐK chia hết cho ( họăc 25) : Số có chữ số tận lập thành số có chữ số chia hết cho (hoặc 25) số chia hết cho (4 họăc 25)
+ ĐK chia hết cho ( họăc 125) : số có chữ số tận lập thành số có chữ số chia hết cho (hoặc 125) số chia hết cho (hoặc 125)
+ Tích số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho
+ Với a,b Z ; b 0 tồn cặp số nguyên q, r cho a b q r (0r< b
) Ta gọi r số dư , q thương phép chia a cho b
+ Định lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư phép chia f(x) cho nhị thức g(x) = x-a số giá trị f(a)
+ Lược đoă Hooc-Ne ( Tính h soẩ cụa đa thương dư pheùp chia
Đa thức f(x) =
1
n n n
n n n
a x a x a x a x a
cho nhị thức x
an an-1 an-2 … a1 a0
bn=an bn1 .bnan1 bn2 .bn1an2 … b1.b2a1
1 r b a
( Dòng thứ : giá trị ô cuối số dư, giá trị cịn lại hệ số đa thức thương)
+ Tam giaùc PASSCAN:
1
1 3
1
1 10 10
1 15 20 15
1 21 35 35 21
(3)( Các số dòng tam giác ứng với hệ số khai triển lũy thừa tổng số hạng)
8/ NGHI Ệ M C Ủ A Đ A TH Ứ C V Ớ I H Ệ S Ố NGUYÊN :
f(x) =
0
n n n n
n
a x a x a x a x a
Nếu có nghiệm hữu tỷ qp : p ước an (a pn ) q ước a0 (a q0 ) Nếu có nghiệm nguyên x = a a ước an
Nếu f(x) có nghiệm x = a (x- a ) nhân tử f(x)
* VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x3 – x2 +4 thành nhân tử ( CMR : x3 – x2 +4 chia
hết cho x2+x+2)
+nghiệm nguyên có f(x) x =
1;1; 2; 2
+ Thử lại ta có x = nghiệm Vậy f x( ) (x 2)(x2 x 2)
( ( ) 2
2 f x
x x
x )
+ x2+x+2 coù = -7 < ( VN)
* VD2 phân tích f(x) = 3x3 + 7x2 + 17x -5 thành nhân tử
Nghiệm nguyên có đa thức x
1; 1; 5; 5
Nghiệm hữu tỷ có đa thức x 1; 1; 5;
3 3
Thử lại ta có 13 nghiệm ( ) 3( 1)( 2 5)
3
f x x x x
x2-2x +5 VN
9/
Phương trình bậc hai
:Có biệt thức :
2
2
0
4
ax bx c a
b ac
* < phương trình vơ nghiệm
* = tphương trình có nghiệm kép
2 b
x x
a
* > phương trình có nghiệm phân biệt: 1 , 2
2
b b
x x
a a
VD- 3x2 – 8x + = 0
10/ phương pháp chứng minh quy nạp: f(x) = a * CM f(x) với x =
* Giả sử f(x) với x = n
* Chứng minh f(x) với x = n+1 VD
(4)BÀI 1: 1, Cho biểu thức: A =
2 n
a, Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số b, Tìm số nguyên n để biểu thức A số nguyên 2, Tìm x biết:
a, x chia hết cho 12; 25; 30 ≤ x ≤ 500 b, (3x – 24) 73= 74
c, x 16 2.( 3)
3, Bạn Hương đánh số trang sách số tự nhiên từ đến 145 Hỏi bạn Hương dùng chữ số ? Trong chữ số sử dụng có chữ số ?
BÀI 2: 1, Cho S = + 52 + 53 + + 596
a, Chứng minh: S 126
b, Tìm chữ số tận S
2, Chứng minh A = n(5n + 3) n với n Z
3,Tìm a, b N, biết: a + 2b = 48
ƯCLN (a, b) + BCNN (a, b) = 14 BÀI :a Chứng minh: 12
30
n n
(n Z) tối giản
b.Bạn Hương đánh sách dày 284 trang dãy số chẵn c, Bạn Hương cần chữ số để đánh hết sách ? d, Trong dãy số chữ số thứ 300 chữ số ?
e, Tính:
2 2
1.3 3.5 5.7 99.101
BÀI 3: 1) Rót gän A217.27.91442..27812163..36108
2) Cho *
) (
3 10
3
3
3
N n n
n
S
Chøng minh: S
3) So s¸nh:
2004 2003
1 2004
2003
vµ
2005 2004
1 2005
2004
4) Tìm số nguyên tố P cho số P + P +10 số nguyên tố Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ 10 x vµ y cho 3x - 4y = - 21 Cho ph©n sè: 51 ( ; 1)
n Z n
n n A
a) Tìm n để A nguyên b) Tìm n để A tối giản
BÀI
1) Tìm giá trị a để số 123a5
a) Chia hÕt cho 15 b) Chia hÕt cho 45
2/ Chøng minh r»ng: A10n 18n chia hÕt cho 27 (n lµ sè tù nhiªn)
3/ Cho A n3 3n2 2n
a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n
(5)4/ Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có khơng q 130 em tham gia Sau chấm thấy số em đạt điểm giỏi chiếm
9
, đạt điểm chiếm
3
, đạt điểm yếu chiếm
14
tổng số thí sinh dự thi, cịn lại đạt điểm trung bình
TÝnh sè häc sinh loại
BI 5:
1/ Cho 3 32 33 32004
A
a) TÝnh tæng A
b) Chøng minh r»ng A130
c) A có phải số phơng khơng ? Vì ? 2) Tìm n Z để 13 13
n n
n
CHUYÊN ĐỀ TÍNH TỔNG HỮU HẠN Bài 1:
a Cho n số nguyên dương Hãy so sánh:
2
1
1 + -
n n+1
2
1
1 + -
n n+1
b Tính:
2 2 2 2
1 1 1 1
+ + + + + + + + + + + +
2 3 4 2005 2006
Bài 2:
Chứng minh rằng:
n
n 1
+ + + + n
2 -1 với n N và
VÝ dô1(SGK-T8.Tr25)
Chøng minh r»ng:n3 n chia hÕt cho víi số nguyên n Giải:
Ta cú n3 n =n.(n-1).(n+1) Trong ba số nguyên liên tiếp n,n-1,n+1 cómột số chia hết cho , số chia hết cho (2,3)=1 Do n3 n 6
Qua toán ta thấy n3và n đồng d chia cho số 2,3 và6 từ ta đề xuất số tốn tơng tự nh sau
Bµi1:
Chøng minh r»ng : n3 m3 n m 6( m,n Z)
Gi¶i: Tacã (n3 m3) (n m) (n3 n) (m3 m) 6,(theoVD1)
Từ suy điều phải chứng minh.Tổng quát hoá ta đợc toán sau
Bµi2: Chøng minh r»ng:
x13 x23x33 xn36 x1 x2 x3 xn6,(xi Z,i1,n)
(6)Hớng dẩn: Đặt S=1+2+3+4+ +98+99 Theo ta có A-S chia hết cho 6,trong S= 6.33.25
2 ) 99 ( 99 S
Do A6
Bµi4:(Thi häc sinh giỏi T.P-HCM năm học 2003-2004) Chứng minh rằng: ( )3 3
z y x z y
x víi mäi số nguyên x,y,z
Giải: (x y z)3 x3 y3 z3
(x y z)3 (x y z)
(x3 x) (y3 y) (z3 z) Theo VD1 ta thấy hạng tử VP chia hết cho 6, từ suy điều phải chứng minh
Bµi5:
ViÕt sè 20052004thµnh tỉng cđa k sè tù nhiªn t ý
k
a a
a
a1, 2, 3, , T×m sè d cđa phÐp chia a13a23a33 ak3cho3
Giải: Đặt N= a13a23 a33 ak3 2005 a1 a2 a3 ak
2004 .
Ta cã N- 20052004 (a13 a1)(a23 a2)(a33 a3) (ak3 ak)3,(VD1)
Mặt khác 20052004chia cho d 1, N chia cho d 1.
Kết hợp với đẳng thức học VD1đợc phát triển thành tốn thú vị sau
Bµi 6:
Cho P (a2 ab 1)3 (b2 3ab 1)3 (a b)2
Chøng minh r»ng P chia hÕt cho với số
nguyên a,b Giải:
Đặt 2
) (
3 ;
1 y b ab x y a b
ab a
x Khi ta có
P= 3 ( ) ( ) ( )
y y x x y x y
x
Bài7: Chứng minh với số nguyên x,y th×: 3 ) ( )
( 3
x y
y x y xy
x
Gợi ý: Đặt a x3 3xy2;b y3 3x2y a b (x y)3,:
Ta cã 3( ) ( )3 3
1 3
a b BT x y x y
b
a (vì số nguyên tố)
Bài8: Cho số nguyên x, y , z thoả mÃn : x+y+z=3.20062007
Chøng minh r»ng: M= (x2 xy yz)3 (y2 xy xz)3 (z2 yz xz)3
chia hÕt cho
Giải:
Đặt a x2 xy yz;b y2 xy xz;c z2 yz xz M a3 b3 c3
Ta cã: 2 2( ) ( )2 6( )
gt Theo z y x zx yz xy z y x c b
a
Do M6 (theo-BT2 )
Kết hợp ví dụ với toán tìm nghiệm nguyên ta có số toán sau
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau:
a) 3
2005
) ( )
(xy yz x yz (1)
b) ( 2 1)3 (2 1)3 189
y xy
x (2)
Gi¶i:
a) (1)
( )3 ( )
( )3 ( )
20053 x y x y y z y z (3)
Dễ thấy VT (3) chia hết cho (theo-VD1).Nhng 20053 không chia hết cho 6,do
ph-ơng trình cho khơng có nghiệm nguyên b) Đặt p x2 y2 1;q 2xy 1 p q (x y)2
Khi phơng trình (2) trở thành :
189
3
q
(7)Mặt khác 3 189 ( )( 2) 9.3.7
q p q p pq q
p Do p+q
) , ( )
(
x y x y x y Z , từ suy phơng trình có hai nghiệm (x,y)=(1,2)hoặc
(2,1) Thư lại thấy thoà mÃn
Bài 10 trang 14 (Sách bµi tËp tãan tËp I ) chøng minh r»ng
n n n n 1
1 víi n lµ sè tù nhiªn
Chøng minh : ( n1 n)( n1 n) n1 n1
n n n n 1
Ph¸t biĨu c¸ch kh¸c :
1 Chứng tỏ với số tự nhiên n ( n1 n)và( n1 n ) hai số nghịch đảo
2 n n
n
n1 1
1
(với n số tự nhiên)
Bài 12: TÝnh a 99 100 1 b 1 1
n n víi n
Gi¶i : a 99 100 1
= 2 1 3 2 4 3 100 99 10019
b 1 1
n n víi n
= 2 1 3 2 4 3 n n1 n1
Bµi 13: TÝnh a A =
(8)b B = 2 3 2 1
k k
Định hớng :
2 1
hay
1 1 n n n n Gi¶i : a A =
2006 20005 3 2 1
= ( 1 2)( 2 3) ( 3 4) ( 2005 2006)
= 1 2 2 3 3 4 2005 2006
= ( 1 2006)
b B =
1 2 3 2 1
k k
B = ( 1 2)( 2 3) ( 3 4) ( 2k 2k1)
= 1 2 2 3 3 4 2k 2k1
= ( 2k 1 1)
ëBµi 71, thay = x
N ta có toán Bài 14 Chứng minh: Víi x>0,n0Ta cã: n x n x n x n Bµi15 TÝnh a C =
13 16 10
b D =
1 2 1
k k
Víi k số tự nhiên Giải
a áp dơng bµi vµo bµi bµi a ( )2-12= , x = Ta có:
C =
10 + … 13 16
(9)= 16 1413
b áp dụng bài3vào bài 4b ( 3)2- ( 1)2 = 2, x = Do ta đa dạng toán 4a nh ? ( Nhân vào vế )
2D = 2
3 1 5 7 5 2k 1 2k1
2D = 3 1 5 3 7 5 2k1 2k1
2D = 2k1 1 D =
2 1 2k
Bµi 16: TÝnh
a E =
25 24 24 25
1
3 2
1
1
1
Định hớng : n n 1 1(n 1) n
= ?
n n n
n ( 1)
1
= 1
n
n
1
n n =
1
n n
n n
=
1 1
n n
E =
25 24 2 1
= 1-
5 1 25
3 3
5 2 5 2006 2003 2003 2006
b P
Ta cã
5 2 5
3(5 2 5) (5 2 5)(5 2 5)
3(5 2 5) 30
=5 2
10
=5 2
10 10 =
1
(10)
1 1 1
2 5 2003 2006
1
2 2006
P P
Bµi 17: Không dùng máy tính hÃy so sánh A = 2007 2006và B = 2006 2005
Giải :
ap dơng bµi 71 A =
2006 2007
1
B =
2005 2006
1
A < B 2007 2005
2007 2006 2006 2005 Bài 18: Tổng quát tõ bµi ta cã : n1 n n n1 với n
áp dụng 71 (bài tập toán tập I) ta có điều phải chứng minh Bµi : Thay = x ë bµi ta cã : Víi n x >1
A = nx n
B = n n x
ta cã : A < B
từ toán ta có toán sau: Bài 19: So sánh C vµ D
C = mp m
D = np n
Víi m > n > ,p > Ta cã
(11)D = n pp n V× m > n C < D
*ap dụng 71 chứng minh bất đẳng thức Bài 20 : Chứng minh
a n1 n12 n (Víi n 1)
b nx n x 2 n (víi n> x 0) Chøng minh
a n1 n12 n
1 1
n n n n
Bất đẳng thức chứng minh b nx n x 2 n
x n n n x
n
§· chøng minh ë bµi
Bµi 21 : Chøng minh : 2m 2m22 2m1 víi m -1
Chứng minh: Với n = m +1, thay vào 10a ta đợc :
1 2 2
2m m m
Bài 12:Không dùng máy tính b¶ng sè h·y chøng tá 101 990,1
Gi¶i
99 101
2 99
101
V× < 101 99 2 100 ( Suy tõ bµi 10a )
100 99 0,1
100
2 99 101
2
Bµi 22: a Chøng minh r»ng víi mäi n
N* n nn1 1
2
b Chøng minh: 2( 1 ) 2( n n1) n
n
n
(12)a n n n1 1
2
n n
n 1
1
2
1 ( Ap dơng bµi 71 trang 14 )
n1> n1+ n (hiển nhiên )
b 2( 1 ) 2( n n1)
n n
n
* Chøng minh : ( n1- n ) <
n
<
n n1
1
<
n
2
n1 + n > n
n1 > n
Bất đẳng thức hiển nhiên * Chứng minh
n
2( n n1)
<
n
2
<
1
n
n
n> n + n
n> n
Bất đẳng thức hiển nhiên
Bất đẳng thức cho đợc chứng minh Bài 23 : Cho S = 1+
4
+
…
100
Chøng minh 18 < S < 19 Chøng minh
Áp dơng bµi 13b ta cã : 2( 1 ) 2( n n1) n
n n
(13)( 3 2) <
2
< ( 2 1)
( 4 3) <
3
< ( 3 2)
2 ( 5 4) 2( 4 3)
………
2( 2( 100 99 100
1 ) 100
101 )
Céng vÕ víi vÕ ta cã
1 + ( 3 2 4 3 101 100)< S < + 2( 2 + 3 2+ 4 + 100 99)
1+2 ( 100 2) < S < 1+2 ( 100 1)
1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1) VËy ta cã : 18 < S < 19
Chú ý : Cũng thay đổi nội dung nh sau : Cách 1: Chứng minh S số tự nhiên Cách 2: Tìm phần nguyờn ca S
Bài 24 So sánh A B
A = ( 2 4 2006) 2008 ; B = ( 1 3 2007)
Áp dơng bµi 11 2m 2m2 2 2m1 víi m -1 Cho m = , 1, , …,1003 ta cã:
0 2 2
……… ……… ………
2006 20082 2007
Céng vÕ víi vÕ ta cã:
2007
3 ( 2008 )
2006
4 (
2
)
(14)Bµi 25 : Chøng minh r»ng : 1+ 100 2500
Chøng minh : Tõ bµi 13 b ta cịng cã : 2( )
1
n n
n
Lần lợt cho n = , , , 3…, 2499 ta cã <
) ( 2 ) ( ……… ) 2499 2500 ( 2500
Céng vÕ víi vÕ ta cã:
1+ 2(1 2500 2499)
2500 2500 2500
1
100 2500
1
( Điều phải chứng minh )
C Khai thác ứng dụng 71 giải phơng trình
Bài 26 : Giải phơng trình
1 1 2
x x x x x
x víi x 0
Gi¶i: 1 1 2
x x x x x
x ) ( ) ( ) (
x x x x x x
)
(
x x
1 ) 3 (
(15)x x
x 2
2
x x
x
1
1
2
2
x x x x x Bài 27: Giải phơng trình :
2
x x x
= ( 18 )
x x
1
( Cã 2007 sè ) Gi¶i :
Víi x -1 ta cã :
1
1 x x
x
( Tơng tự )
Ta cã : + 1 1
1 x x x
x
Phơng trình (18)
99 100
10
9 1
x x x x
Bài 28 : Giải phơng trình :
( 2 3)x ( 2 3)x 4 ( 19 )
Giải :
Đặt y = ( 2 3)x ( 2 3)x 1y
Phơng trình (19)
0
4
2
y y
y y
(16)3
3
3
2 /
y y
Thay l¹i Èn x ta cã :
2
) ( ) (
) (
1 )
3 (
3 ) (
2
) ( ) (
2
x x
x
x x
x x
Vậy phơng trìmh cho có nghiệm x =
Bài 29 :Giải phơng trình
(9 )x ( )x 18
(20) Giải:
Đặt y = (9 4 5)x
=> (9 4 5)x 1y
Phơng trình (20) y 18
y
y2 - 18y + = 0 Cã ' 81 80
y1 = + 80= +4
y1 = - 80= -4
Thay l¹i Èn x nÕu: y = +4
=> (9 4 5)x
= (94 5)2
NÕu y = -4 => x=-2
(17)Bµi 1: TÝnh
2 2 2
3 7 11 11 15 15 19 2003 2007
a A
4 4
9 13 13 17 17 21 221 225
b B
1 1
6 1 11 6 11 2006 2001 2001 2006
c C
Bµi2:Chøng minh S = 1+
4
+
40000 số tự nhiên
Bài 3:Giải phơng trình:
1 1
2
1 3 5 7
x x x x x x x x víi x-1
III – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN
(18)