Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Chun đề : CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1.BÀI TỐN : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Bài toán tổng quát:
Trong mp(Oxy) Hãy xét tương giao đồ thị hai hàm số :
1
(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)
(C1) (C2) điểm chung (C1) (C2) cắt (C1) (C2) tiếp xúc
Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f(x) = g(x) (1)
* Tùy theo số nghiệm phương trình (1) mà ta kết luận số điểm chung hai đồ thị (C1) vaø (C2)
L ưu ý :
Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2) Ghi nhớ: Số nghiệm pt (1) = số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2).
Chú ý :
* (1) vô nghiệm (C1) (C2) điểm điểm chung
* (1) có n nghiệm (C1) (C2) có n điểm chung Chú ý :
* Nghiệm x0 phương trình (1) hoành độ điểm chung (C1) (C2)
Khi tung độ điểm chung y0 = f(x0) y0 = g(x0) x
y y y
x x
O O
O
) (C1
) (C2
) (C1
) (C2
1
x x2
1
M y2 M2
y M0
) (C2
) (C1
x y
(2)Áp dụng: D
ạng 1: Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y x 2 x đường thẳng y x 2 Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm hai đường cong (C): y x 2 (C'): yx2 2x Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C):
3
1
y x x
3
đường thẳng
5 (d) : y 3x
3
Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y=2 x −1x +1 đường thẳng (d): y=−3 x−1 Bài 5: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y x đường thẳng (d) : y x 2
Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị cắt 2( 3, 4) điểm phân biệt Baøi : Cho hàm số
2x y
x
Chứng minh với m, đường thẳng y mx 2 cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt
Baøi : Cho hàm số
3 2x y
x
Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y mx 2 cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt
Bài 3: Cho hàm số y(x1)(x2mx m ) (1)
Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt
Bài 4: Cho hàm số y x 33x2mx m 2 (1)
Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt
Bài 5: Cho hàm số y x 4 mx2m (1)1
Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt
b Điều kiện tiếp xúc đồ thị hai hàm số : (Dành cho chương trình NC)
Định lý :
(C1) tiếp xúc với (C1) hệ :
' '
f(x) g(x) f (x) g (x)
có nghiệm
Bài 1: Chứng minh hai đường cong
3
(C) : y x x
4
(C') : y x 2 x tiếp xúc nhau.tại điểm
Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y kx tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x 1 3 2
Bài 3: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 7 tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x 3 22
M
O
) (C1
) (C2
y
(3)Bài 4: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 3 tiếp xúc với đường cong
2x (C) : y
x
Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 5 tiếp xúc với đường cong
2
x x
(C) : y
x
2.BÀI TỐN 2: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG
a Daïng 1:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) điểm M (x ;y ) (C)0 0
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến với (C) M(x0;y0) có dạng:
y - y0 = k ( x - x0 ) hay y f '(x )(x x ) f(x )
Trong : x0 : hồnh độ tiếp điểm
y0: tung độ tiếp điểm y0 = f(x0)
k : hệ số góc tiếp tuyến tính cơng thức : k = f'(x 0)
Áp dụng:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=x3
− x+3 điểm đồ thị có hồnh độ
x 2
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
2x y
x
điểm đồ thị có hồnh độ x3.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
2 y x
2x
taïi điểm đồ thị có hồnh độ x 1
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
3x y
x
điểm đồ thị có tung độ y2
Bài 5: Cho hàm số y2x 3x 13 2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (1) điểm (C) có hồnh x0, biết y''(x ) 00
(C): y=f(x)
0
x x
0 y
y
(4)Bài 6: Cho hàm số
2 x y
x
(1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (1) giao điểm đồ thị với trục tọa độ
b Daïng 2:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau
Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 C tiếp điểm tiếp tuyến với (C)
Bước 2: Tìm x0 cách giải phương trình :
'
( )
f x k, từ suy y0 f x( )0 =?
Bước : Thay yếu tố tìm vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta pttt cần tìm.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yx 3x3 biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k9
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số
2x y
x
biết tiếp tuyến có hệ số góc 5
Chú ý : Đối với dạng người ta cho hệ số góc k dạng gián tiếp : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vng góc với đường thẳng cho trước
Khi ta cần phải sử dụng kiến thức sau:
Định lý 1: Nếu đường thẳng ( ) có phương trình dạng : y= ax+b hệ số góc ( ) là:
k a
Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) ( )1 2 Khi đó: (C): y=f(x)
0
x x
0 y
y
M
(C): y=f(x)
x y
a k 1/
O
b ax y 2 :
(C): y=f(x)
x y
a k
b ax y
1
2
(5)
1
1
1
1
// k k
k k
Áp dụng:
Bài 1: Cho đường cong (C):
3
1 2
3
y x x x
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2
Bài 2: Cho đường cong (C):
x 5x
y
x
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : y 3x 2
Bài 3: Cho đường cong (C): y= x2+3
x +1
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (Δ): y=− 3x c Dạng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA;yA)
Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ( ) qua A có hệ số
góc k công thức:
y y A k x x( A) y k x x ( A)yA (*)
Bước 2: Định k để ( ) tiếp xúc với (C) Ta có:
A '
f(x)=k(x-x )
tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)
f ( )
A y x k
Bước : Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm vào (*) ta pttt cần tìm.
Áp dụng:
Ví dụ1: Cho đường cong (C): y=x3+3 x2
+4
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-1)
Ví dụ 2: Cho đường cong (C):
2 x y x x y A A A
A k x x y k x x y
y
y
: ( ) ( )
O
) ; (xA yA A
) ( : )
(6)Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2;0)
3.BÀI TỐN 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở phương pháp:
Xét phương trình f(x) = g(x) (1)
Nghiệm x0 phương trình (1) hồnh độ giao điểm (C1):y=f(x) (C2):y=g(x)
Bài tốn : Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình dạng : f(x) = m (*)
Phương pháp:
Bước 1: Xem (*) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị:
( ) : ( ) : (C) đồ thi cố đinh
( ) : : ( ) đường thẳng di động phương Ox cắt Oy M(0;m)
C y f x y m
Bước 2: Vẽ (C) ( ) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm ( ) (C)
Từ suy số nghiệm phương trình (*)
Minh họa :
Áp dụng:
Bài 1: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số yx 3x3 2
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x33x2 m 3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x 3x3 2 2 m 0
y
x )
( :
)
(C y f x
) ; ( m
1
m
2
m
m y
O
y
x
x
) (C1
(7)Bài 2: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y 2x 3 6x 1
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x 6x m 03
Bài 3: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số yx42x2