chuyeân ñeà 8 khaûo saùt haøm soá chuyeân ñeà caùc baøi toaùn cô baûn coù lieân quan ñeán khaûo saùt haøm soá 1 baøi toaùn 1 söï töông giao cuûa hai ñoà thò baøi toaùn toång quaùt trong mpoxy haõy x

[r]

Chun đề : CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN

CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1.BÀI TỐN : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán tổng quát:

Trong mp(Oxy) Hãy xét tương giao đồ thị hai hàm số :

1

(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)

 



 

(C1) (C2) điểm chung (C1) (C2) cắt (C1) (C2) tiếp xúc

Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f(x) = g(x) (1)

* Tùy theo số nghiệm phương trình (1) mà ta kết luận số điểm chung hai đồ thị (C1) vaø (C2)

L ưu ý :

Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2) Ghi nhớ: Số nghiệm pt (1) = số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2).

Chú ý :

* (1) vô nghiệm  (C1) (C2) điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm  (C1) (C2) có n điểm chung Chú ý :

* Nghiệm x0 phương trình (1) hoành độ điểm chung (C1) (C2)

Khi tung độ điểm chung y0 = f(x0) y0 = g(x0) x

y y y

x x

O O

O

) (C1

) (C2

) (C1

) (C2

1

x x2

1

M y2 M2

y M0

) (C2

) (C1

x y

Áp dụng: D

ạng 1: Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị

Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y x 2 x đường thẳng y x 2  Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm hai đường cong (C): y x 2 (C'): yx2 2x Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C):

3

1

y x x

3

 

đường thẳng

5 (d) : y 3x

3

 

Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y=2 x −1x +1 đường thẳng (d): y=−3 x−1 Bài 5: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y x đường thẳng (d) : y x 2 

Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị cắt 2( 3, 4) điểm phân biệt Baøi : Cho hàm số

2x y

x  

 Chứng minh với m, đường thẳng y mx 2  cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt

Baøi : Cho hàm số

3 2x y

x  

 Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y mx 2  cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số y(x1)(x2mx m ) (1)

Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt

Bài 4: Cho hàm số y x 33x2mx m  2 (1)

Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt

Bài 5: Cho hàm số y x 4 mx2m (1)1

Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt

b Điều kiện tiếp xúc đồ thị hai hàm số : (Dành cho chương trình NC)

Định lý :

(C1) tiếp xúc với (C1)  hệ :

' '

f(x) g(x) f (x) g (x)

   

 

 có nghiệm

Bài 1: Chứng minh hai đường cong

3

(C) : y x x

4

  

(C') : y x 2 x tiếp xúc nhau.tại điểm

Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y kx tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x 1 3 2

Bài 3: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 7    tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x 3 22

M

O 

) (C1

) (C2

y

Bài 4: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 3    tiếp xúc với đường cong

2x (C) : y

x  



Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 5    tiếp xúc với đường cong

2

x x

(C) : y

x

 

 

2.BÀI TỐN 2: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG

a Daïng 1:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) điểm M (x ;y ) (C)0 0 

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) M(x0;y0) có dạng:

y - y0 = k ( x - x0 ) hay y f '(x )(x x ) f(x )  

Trong : x0 : hồnh độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm y0 = f(x0)

k : hệ số góc tiếp tuyến tính cơng thức : k = f'(x 0)

Áp dụng:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=x3

− x+3 điểm đồ thị có hồnh độ

x 2

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

2x y

x  

 điểm đồ thị có hồnh độ x3.

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

2 y x

2x   

 taïi điểm đồ thị có hồnh độ x 1

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

3x y

x  

 điểm đồ thị có tung độ y2

Bài 5: Cho hàm số y2x 3x 13 2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (1) điểm (C) có hồnh x0, biết y''(x ) 00 

(C): y=f(x)

0

x x

0 y

y

Bài 6: Cho hàm số

2 x y

x  

 (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số (1) giao điểm đồ thị với trục tọa độ

b Daïng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0  C tiếp điểm tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 cách giải phương trình :

'

( )

f x k, từ suy y0 f x( )0 =?

Bước : Thay yếu tố tìm vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta pttt cần tìm.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yx 3x3 biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k9

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

2x y

x  

 biết tiếp tuyến có hệ số góc 5

Chú ý : Đối với dạng người ta cho hệ số góc k dạng gián tiếp : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vng góc với đường thẳng cho trước

Khi ta cần phải sử dụng kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng (  ) có phương trình dạng : y= ax+b hệ số góc (  ) là:

k a

Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) ( )1 2 Khi đó: (C): y=f(x)

0

x x

0 y

y

M 

(C): y=f(x) 

x y

a k 1/

O

b ax y  2 :

(C): y=f(x)

x y

a k 

b ax y 

1



2

1

1

1

1

// k k

k k

 

 

   

    

Áp dụng:

Bài 1: Cho đường cong (C):

3

1 2

3

y x  x  x

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2

Bài 2: Cho đường cong (C):

x 5x

y

x

 

 

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : y 3x 2  

Bài 3: Cho đường cong (C): y= x2+3

x +1

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (Δ): y=− 3x c Dạng 3:

Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA;yA)

Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (  ) qua A có hệ số

góc k công thức:

y y A k x x(  A)  y k x x (  A)yA (*)

Bước 2: Định k để (  ) tiếp xúc với (C) Ta có:

A '

f(x)=k(x-x )

tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)

f ( )

A y x k         

Bước : Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm vào (*) ta pttt cần tìm.

Áp dụng:

Ví dụ1: Cho đường cong (C): y=x3+3 x2

+4

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-1)

Ví dụ 2: Cho đường cong (C):

2 x y x    x y A A A

A k x x y k x x y

y

y      

: ( ) ( )

O

) ; (xA yA A

) ( : )

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2;0)

3.BÀI TỐN 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở phương pháp:

Xét phương trình f(x) = g(x) (1)

Nghiệm x0 phương trình (1) hồnh độ giao điểm (C1):y=f(x) (C2):y=g(x)

Bài tốn : Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình dạng : f(x) = m (*)

Phương pháp:

Bước 1: Xem (*) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) đồ thi cố đinh

( ) : : ( ) đường thẳng di động phương Ox cắt Oy M(0;m)

 

   

C y f x y m

Bước 2: Vẽ (C) (  ) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm (  ) (C)

Từ suy số nghiệm phương trình (*)

Minh họa :

Áp dụng:

Bài 1: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số yx 3x3 2

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x33x2 m 3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x 3x3 2 2 m 0

y

x )

( :

)

(C y f x

) ; ( m

1

m

2

m

m y  

O

y

x

x

) (C1

Bài 2: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y 2x 3 6x 1

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x 6x m 03   

Bài 3: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số yx42x2