a, Chứng minh rằng các mặt còn lại của khối tứ diện là các tam giác vuông.[r]
(1)SỞ GD - ĐT THÁI BÌNH
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG GIỮA KÌ NĂM HỌC 2009-2010 TRƯỜNG THPT BÌNH THANH
MƠN : TỐN 12
(Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1(4,5 điểm):
Cho hàm số y = x4 – 2m2 x2 + có đồ thị (C m)
a, Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số với m = -1
b, Dựa vào đồ thị (C), tìm k để phương trình x4 – 2x2 = k có nghiệm
c, Tìm m để (Cm) có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân
Câu 2(2,5 điểm):
a, Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: +) f(x) = x3 – 3x2 + đoạn [1 ; 3];
+) g(x) = -2cos4x – 2cos2x + 1.
b, Chứng minh với số tự nhiên n>1 với | x | < ta có: (1+x)n + (1-x)n < 2n.
Câu 3(3,0 điểm):
Cho khối tứ diện ABCD có AB = a, AB vng góc với mặt phẳng (BCD) BCD tam giác vng cân C có BD = a Gọi M trung điểm AC BN vng góc với AD N
a, Chứng minh mặt lại khối tứ diện tam giác vng b, Tính thể tích khối tứ diện ABCD
c, Mặt phẳng (BMN) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện.Tính thể tích khối đa diện không chứa điểm A
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 12
Câu Ý Nội dung Điểm
1
(4,5) a * Với m = -1, ta có: y = x
4 – 2x2 + (C)
* TXĐ: D = *Sự biến thiên:
(2)a.3,0 b.1,0
c.0,5 + y’ = 4x3 – 4x y’ =
0
x x
Bảng xét dấu y’:
x - -1 +
y’ - + - + - Hàm số đồng biến khoảng (-1;0) (1; +)
- Hàm số nghịch biến khoảng (- ; -1) (0;1) ……… *Cực trị:
- Hàm số đạt cực đại x = yCĐ = y(0) =
- Hàm số đạt cực tiểu x = yCT = y(1) =
*Giới hạn:
4
4
2
lim ( 1) lim (1 )
x x x x x x x
……… *Bảng biến thiên:
x - -1 +
y’ - + - + y +
0
1
0
+ *Đồ thị:
- Giao với Oy (0;1)
- Giao với Ox (-1;0) (1;0) -Ta có: x = 2 y(2) =
- Vì y = x4 – 2x2 + hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng……
-Vẽ đồ thị:
12
10
8
6
4
2
-2
-6 -4 -2
……… 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5 b Ta có: x4 – 2x2 = k x4 – 2x2 + = k + 1 (*) ………
Số nghiệm pt (*) số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y = k + 1……
-Dựa vào đồ thị ta có: pt (*) có nghiệm
k +1=0
¿
k+1>1
¿
⇔
¿
k=−1
¿
k >0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0.25 0.25 0.5
c * Để (Cm) có điểm cực trị điều kiện pt y’ = có nghiệm phân biệt (1)
Ta có: y’ = 4x3 – 4m2x y’ = 2
0
(2)
x
x m
Vậy (1) (2) có nghiệm phân biệt khác m ……… * Với m a = 1>0 (Cm) có điểm cực đại A(0;1) điểm cực tiểu
(3)B(-m ; 1-m4) ; C(m ; 1-m4).
- Dễ thấy AB = AC tam giác ABC vng A Vậy ycbt
2
0
1
( 1)
m m m m m AB AC ……… 0.25 2 (2.5) a.2,0 b.0,5
a * f(x) = x3 – 3x2 + đoạn [1;3] Dễ thấy f(x) liên tục đoạn [1;3]
-Ta có: f ’(x) = 3x2 – 6x f ’(x) = x = 2<TM> x = 0<loại> …………
- Mà: f(1) = 1, f(2) = -1, f(3) = ……… Vậy: [1;3] [1;3]
max f(x) 3, ( ) f x 1
……… * g(x) = -2cos4x – 2cos2x + 1. TXĐ: D =
- Đặt t = cos2x g(t) = -2t2 – 2t + 1, với t [0;1] Dễ thấy g(t) liên tục [0;1]…
- Ta có: g’(t) = -4t – g’(t) = t = -1/2 <loại> ……… -Mà: g(0) = 1, g(1) = -3 ………
Vậy: [0;1] [0;1]
max (x) max (t) 1,g g ( ) ( )g x g t 3
0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 b Đặt f(x) = (1+x)n + (1-x)n, với |x| n>1, n . ……….
- Ta có: f ’(x) = n.[(1+x)n-1 – (1-x)n-1] f ’(x) = x = 0 ……….
- Bảng biến thiên:
x -1
f’(x) - +
f(x)
n
2
2n
- Dựa vào bảng biến thiên ta có: f(x) < f(1) = 2n với |x| <1 n>1, n .
đpcm ………
0.25 0.25 3 (3,0) a.1,5 b.1,0 c.0,5 a a a a M A B D C N * Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ABD BCD
ABC BCD AB BCD
ABD ABC AB
AB BC , AB BD Các tam giác ABD ABC vng B ………… - Vì
( )
DC BC
DC ABC DC AC
DC AB
Tam giác ACD vuông C ……
0.5
0.5 0.5 b
* Vì tam giác BCD vuông cân C nên CB = CD = BD.sin450 = a S
BCD =
2
a
Vậy: VABCD =
3
3 BCD
a AB S
0.5 0.5 c * Gọi V thể tích khối đa diện khơng chứa điểm A Ta có: V = VABCD - VABMN
Mà: 2
( ).( )
ABMN
ABCD
V AB AM AN AM AN AM AC AN AD
(4)Vì tam giác ABC vng cân B nên BM AC AM.AC = AB2 = a2 AC2 = 2a2
Vì BN AD nên tam giác vng ABD ta có: AN.AD = AB2 = a2 AD2 = 3a2
2 2
1
2 6
ABMN
ABMN ABCD ABCD
V a a
V V
V a a
Vậy V =
3
5 5
6 ABCD 6 36
a a
V
0.25