Sự hội tụ của tổng các biến ngẫu nhiên và áp dụng cho mô hình hồi quy tuyến tính đơn

{δi }i≥1 dãy NSD nên theo Bổ đề 1.2.7 suy {Xi , i ≥ 1} dãy NSD Hơn nữa, ta có E|ε1 |p < ∞, E|δ1 |p < ∞ (p ≥ 2) nên với trường hợp p > Áp dụng phần (1) Định lí 2.2.1 |X1 |p = |ε1 − βδ1 |p ≤ C(|ε1 |p + |βδ1 |p ) ⇒ E|X1 |p ≤ CE|ε1 |p + CE|βδ1 |p < ∞ Theo giả thiết định lí ta có xi − x¯n n−1/p max |bni | = max √ 1≤i≤n 1≤i≤n Sn nτ n−1/p |xi − x¯n | n−1/p = max √ 1≤i≤n Sn nτ −1/p = O n−1/p n n b2ni = i=1 i=1 = , (xi − x¯n )2 Sn n2τ 1 ≤ C = o((logn)−1 )) 2τ τ n n Theo điều kiện Định lí 2.2.1 thỏa mãn √ Sn nτ n h.c.c (xi − x¯n )(εi − βδi ) −−→ i=1 63 Chứng minh xong (3.32) Kết hợp bước bước ta có √ Sn ˆ h.c.c (βn − β) −−→ τ n Trường hợp p > Bước 7: Để chứng minh (3.30), ta U1n =√ Sn nτ =√ Sn nτ U2n n h.c.c δi2 I(δi ≥ 0) − Eδi2 I(δi ≥ 0) −−→ (3.49) i=1 n h.c.c δi2 I(δi < 0) − Eδi2 I(δi < 0) −−→ (3.50) i=1 Áp dụng phần (1) Định lí 2.2.1 với Xi = δi2 I(δi ≥ 0) − Eδi2 I(δi ≥ 0) bni = √ τ, Sn n giả thiết E|δ1 |p < ∞, (p ≥ 2) (3.29): (i) E|X1 |p ≤ CE|δ1 |2p < ∞; Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Jensen với hàm lồi f = x2p , p > |X1 |p = |δ12 I(δ1 ≥ 0) − Eδ12 I(δ1 ≥ 0)|p ≤ C |δ1 |2p I(δ1 ≥ 0) + |Eδ12 I(δ1 ≥ 0)|p ≤ C |δ1 |2p I(δ1 ≥ 0) + E|δ1 |2p I(δ1 ≥ 0) Do |δ1 |2p > nên E|δ1 |2p I(δ1 ≥ 0) ≤ E|δ1 |2p ⇒ E|X1 |p ≤ 2CE|δ1 |2p I(δ1 ≥ 0) ≤ CE|δ1 |2p n1−1/p n1−τ (ii) max |bni | = √ ≤√ = √ 1/p = O(n−1/p ); τ τ 1≤i≤n Sn n Sn n Sn n n n b2ni (iii) i=1 = i=1 n−2τ n−2τ = n = Sn Sn n1−τ √ Sn = o((logn)−1 ) n Thấy điều kiện Định lí 2.2.1 thỏa mãn Từ ta có (3.49) Chứng minh hồn tồn tương tự ta có (3.50) Theo ta dễ dàng có (3.30) Kết hợp bước 2, bước bước ta ta có √ Sn ˆ h.c.c ( β − β) − −→ n nτ 64 Tiếp theo tính vững mạnh ước lượng bình phương cực tiểu cho tham số chưa biết θ Định lý 3.2.2 Dưới giả định Định lí 3.2.1, ta có h.c.c nν (θˆn − θ) −−→ , (3.51) ν ∈ (0; 1/2) thỏa mãn nτ +ν √ |¯ xn | = O(1) Sn (3.52) Chứng minh Ta có nν (θˆn − θ) = nν (β − βˆn )¯ xn + (β − βˆn )δ¯n + ε¯n − β δ¯n = nν (β − βˆn )¯ xn + nν (β − βˆn )δ¯n + nν (¯ εn − β δ¯n ) Để chứng minh định lí ta h.c.c nν (¯ εn − β δ¯n ) −−→ , (3.53) h.c.c nν (β − βˆn )¯ xn −−→ , (3.54) h.c.c nν (β − βˆn )δ¯n −−→ (3.55) Bước 1: Chứng minh (3.53) Ta thấy n (¯ εn − β δ¯n ) = −ν n ν = = n n 1 n−ν n i=1 n εi − β n n δi i=1 (εi − βδi ) i=1 n n1−ν (εi − βδi ) i=1 1 Vì < ν < , p ≥ nên − ν − > p Trường hợp p = Áp dụng phần (3) Định lí 2.2.1 với bni = n1−ν , Xi = εi − βδi 65 Kiểm tra điều kiện n−1/p −1/p n max |bni | = n1−ν n−1/p = 1−1/p−ν = O n−1/p n 1≤i≤n n , n a2ni = n2−2ν i=1 = n1−2+2ν = 1−2ν = O(n−ν ), n (ν > 0) Theo điều kiện Định lí 2.2.1 thỏa mãn, suy n i=1 h.c.c n1−ν (εi − βδi ) −−→ Trường hợp p > Áp dụng phần (1) Định lí 2.2.1 với bni = Vì < ν < n1−ν Xi = εi − βδi , nên − 2ν > Kiểm tra điều kiện phần (1) n a2ni = i=1 n n2−2ν = n1−2−2ν = 1−2ν = o (logn)−1 n Nhận thấy điều kiện định lí thỏa mãn, suy ta chứng minh xong (3.53) Bước 2: Chứng minh (3.54) Kết hợp giả thiết (3.52) Định lí 3.2.1, ∀ε > 0, nν (β − βˆn )¯ xn = √ Sn nτ (β √ ⇒ nν |(β − βˆn )¯ xn | = τ +ν n − βˆn ) √ Sn x¯n τ +ν Sn ˆn | n √ |β − β |¯ xn | nτ Sn 66 √ ⇒ ≤ nν |(β − βˆn )¯ xn | ≤ Sn |β − βˆn | nτ √ Vì Sn ˆ h.c.c ( β − β) − −→ ,theo nguyên lý kẹp, ta có n nτ h.c.c nν (β − βˆn )¯ xn −−→ Chứng minh xong (3.54) Bước 3: Chứng minh (3.55) Áp dụng Định lí 2.2.1 với Xi = δi , bni = n1−ν , E|δ1 |p < ∞ (p ≥ 2) Theo chứng minh bước {bni , i ≤ 1, n ≤ 1} thỏa mãn điều kiện định lí nên ta có n1−ν n h.c.c δi −−→ (3.56) i=1 Kết hợp (3.56) giả thiết Định lí 3.2.1, ∀ε > 0, √ Sn nτ n (β − βˆn )δ¯n = τ (β − βˆn ) √ 1−ν n Sn n n ν δi i=1 Suy √ τ Sn ˆn ) √n (β − β nτ Sn n1−ν Do 0≤ √ n δi ≤ C i=1 √ nν |(β − βˆn )δ¯n | ≤ C Sn |β − βˆn | τ n √ Vì Sn ˆ h.c.c (βn − β) −−→ ,theo nguyên lý kẹp, ta có τ n h.c.c nν (β − βˆn )δ¯n −−→ Chứng minh xong (3.55) 67 Sn (β − βˆn ) nτ Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2012), Mở đầu lí thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [2] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Hữu Dư (2003), Phân tích thống kê dự báo, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Allan Gut (2004), Probability: A Graduate Course, Springer [5] Hu TZ (2000), "Negatively superadditive dependence of random variables with application", Chin J Appl Probab Stat, 16, pp.133-144 [6] Jing BY, Liang HY (2008), "Strong limit theorems for weighted sums of negatively associated random variables", J Theor Probab, 21(4), pp 890909 [7] Miao Y, Zhao FF, Wang K, Chen YP (2013), "Asymptotic normality and strong consistency of LS estimators in the EV regression model with NA errors", Stat Pap, 54, pp 193-206 [8] Shao QM (2000), "A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables", J Theor Probab, 13, pp 343-355 [9] Wang XJ, Shen AT, Chen ZY, Hu SH (2015), "Complete convergence for weighted sums of NSD random variables and its application in the EV regression model", TEST, 24, pp 166 - 184 68 ... (3.50) i=1 Áp dụng phần (1) Định lí 2.2.1 với Xi = δi2 I(δi ≥ 0) − Eδi2 I(δi ≥ 0) bni = √ τ, Sn n giả thiết E|δ1 |p < ∞, (p ≥ 2) (3.29): (i) E|X1 |p ≤ CE|δ1 |2p < ∞; Thật vậy, áp dụng bất đẳng... bước 2, bước bước ta ta có √ Sn ˆ h.c.c ( β − β) − −→ n nτ 64 Tiếp theo tính vững mạnh ước lượng bình phương cực tiểu cho tham số chưa biết θ Định lý 3.2.2 Dưới giả định Định lí 3.2.1, ta có... n δi i=1 (εi − βδi ) i=1 n n1−ν (εi − βδi ) i=1 1 Vì < ν < , p ≥ nên − ν − > p Trường hợp p = Áp dụng phần (3) Định lí 2.2.1 với bni = n1−ν , Xi = εi − βδi 65 Kiểm tra điều kiện n−1/p −1/p