Phương trình sai phân suy biến chỉ số 1 và bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính toàn phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TỒN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH PHẠM KỲ ANH Hà Nội – 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hồn thành Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội hướng dẫn tận tình chu đáo GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Phạm Kỳ Anh hướng dẫn bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc suốt trình tác giả nghiên cứu luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ thời gian tác giả học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân bạn bè ưu ái, giúp đỡ, động viên, khích lệ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014 Học viên Nguyễn Thành Chiêu Mục lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai phân thường 1.1.1 Phương trình Euler - Lagrange rời rạc 1.1.2 Nguyên lý cực đại cho tốn điều khiển tối ưu Phương trình sai phân tuyến tính ẩn số 11 1.2.1 Khái niệm tính chất 12 1.2.2 Bài tốn Cauchy cho phương trình sai phân tuyến tính số 19 1.2.3 Phương trình liên hợp 23 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến 36 2.1 36 Bài tốn điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính dừng suy biến 2.1.1 Giới thiệu toán 36 2.1.2 Phương trình Hamilton cho tốn điều khiển tối ưu rời rạc 38 2.1.3 2.2 Nghiệm toán điều khiển tối ưu 40 Bài tốn điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân số 55 2.2.1 Giới thiệu toán 55 2.2.2 Phương trình Hamilton tốn biên 56 2.2.3 Điều kiện đủ tối ưu 57 2.2.4 Điều kiện cần đủ để hệ Pontryagin có số 59 2.2.5 Nghiệm toán điều khiển tối ưu 60 Bài toán điều khiển tối ưu mơ hình kinh tế 3.1 3.2 71 Mơ hình mơ tả phương trình sai phân thường 71 3.1.1 Cấu trúc hệ thống sản xuất 72 3.1.2 Điều kiện đạt tới cân 74 Mơ hình mơ tả phương trình sai phân suy biến 75 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • dimW : số chiều khơng gian vectơ W • kerA: khơng gian nhân ma trận A • imA: khơng gian ảnh ma trận A • rankA: hạng ma trận A • span({xi }ni=1 ): khơng gian sinh hệ vectơ x1 , x2 , , xn • W1 ⊕ W2 : tổng trực tiếp hai không gian W1 , W2 • W1 ∩ W2 : giao hai khơng gian W1 , W2 n • Ai : tổng ma trận A1 , A2 , , An i=1 † • A : nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose ma trận A • diag(A1 , A2 ): ma trận đường chéo khối có thành phần A1 , A2 nằm đường chéo MỞ ĐẦU Do nhu cầu thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số phương trình sai phân ẩn nhiều nhà nghiên cứu tốn học nước nước ngồi quan tâm nghiên cứu Nhiều toán thực tế (hệ thống điện, mơ hình dân số, mơ hình kinh tế, ) mơ tả phương trình sai phân ẩn Mặt khác phương trình sai phân ẩn kết việc rời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại số Chẳng hạn, dùng phương pháp Euler hiển áp dụng cho phương trình vi phân đại số số ta nhận phương trình sai phân tuyến tính ẩn số [3] Xuất phát từ nghiên cứu tác giả D J Bender and A J Laub [5] tốn điều khiển tối ưu dạng tồn phương cho hệ động lực mơ tả phương trình sai phân ẩn hệ số hằng, đưa kết cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn số Ngồi ra, từ mơ hình kinh tế tác giả D G Luenberger [8] cho tốn điều khiển mơ tả phương trình sai phân thường, đưa kết tương tự cho hệ mơ tả phương trình sai phân tuyến tính ẩn số Bố cục luận văn sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu điều kiện cần cho tốn điều khiển tối ưu rời rạc mơ tả phương trình sai phân thường Ngồi ra, chúng tơi giới thiệu khái niệm phương trình sai phẩn tuyến tính ẩn số 1, phương trình liên hợp có số cơng thức nghiệm cho toán giá trị ban đầu, toán điều kiện cuối Chương Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp giải tốn điều khiển tối ưu dạng tồn phương cho phương trình sai phân ẩn hệ số khai triển kỳ dị phương trình Riccati Từ ta tìm nghiệm tối ưu toán Cuối cùng, chúng tơi đưa phương pháp giải tốn điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn số nhờ phép biến đổi Kronecker -Weierstrass phương trình Riccati Kết cuối thu chương Chương Bài toán điều khiển tối ưu mơ hình kinh tế Trong chương này, chúng tơi trình bày điều kiện cân cung cầu để đạt lợi nhuận cực đại mô tả tốn điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc Tiếp theo mở rộng kết cho tốn điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc suy biến Đây kết luận văn nội dung trình Seminar mơn Tốn học tính tốn, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai phân thường Trong mục chúng tơi trình bày số nghiên cứu tác giả A P Sage [9] toán điều khiển tối ưu cho hệ động lực mơ tả phương trình sai phân thường 1.1.1 Phương trình Euler - Lagrange rời rạc Xét hàm mục tiêu N −1 J= N −1 Φ(xn , xn+1 , n) = n=0 Φn n=0 với n = 0, 1, , N − 1, Φ(., , n) : Rm × Rm → R hàm khả vi liên tục Bây ta tìm điều kiện cần để cực tiểu hàm J Giả sử rằng, xn = x ˆn + εηxn , xn+1 = xˆn+1 + εηxn+1 , với xˆ = (ˆ x0 , , xˆN −1 ) điểm cực trị, ε > đủ nhỏ Sử dụng khai triển Taylor ta có ∆J = J(ˆ xn + εηxn ) − J(ˆ xn ) N −1 {Φ(ˆ xn + εηxn , xˆn+1 + εηxn+1 , n) − Φ(ˆ xn , xˆn+1 , n)} = n=0 N −1 {( = n=0 ∂Φn ∂Φn , εηxn ) + ( , εηxn+1 ) + o(ε)}, ∂ xˆn ∂ xˆn+1 suy N −1 {( δJ = n=0 ∂Φn ∂Φn , ηxn ) + ( , ηx )} ∂ xˆn ∂ xˆn+1 n+1 Do x ˆ điểm cực trị nên ∂J |ε=0 = 0, ∂ε N −1 ∂Φn ∂Φn , ηxn ) + ( , ηx )} = ∂ xˆn ∂ xˆn+1 n+1 {( n=0 Với δxn = ηxn , ta thu N −1 {δxTn n=0 ∂Φn ∂Φn + δxTn+1 } = 0, ∂ xˆn ∂ xˆn+1 (1.1) kết hợp ∂Φn ∂Φn ∂xn ∂Φn = = ∂ xˆn ∂xn ∂ xˆn ∂xn N −1 δxTn+1 n=0 ∂Φn = ∂ xˆn+1 N δxTn ∂Φ(xn−1 , xn , n − 1) ∂xn δxTn ∂Φ(xn−1 , xn , n − 1) ∂Φ(xn−1 , xn , n − 1) n=N + δxTn |n=0 , ∂xn ∂xn n=1 N −1 = n=0 ta nhận N −1 δxTn ( n=0 ∂Φn ∂Φn−1 ∂Φn−1 n=N + ) + δxTn | = ∂xn ∂xn ∂xn n=0 (1.2) Do (1.2) không phụ thuộc vào việc chọn δxTn nên để J đạt cực tiểu ∂Φn−1 = 0, với n = 0, N, ∂xn 66 Phương trình sai phân Riccati D11n = A¯T11n D11n+1 A¯11n + W11n − I A¯T11n D11n+1 † B2n B2Tn (Rn + B1Tn D11n+1 B1n ) W12n − I A¯T11n D11n+1 W22n − I − † B2n B2Tn (Rn + B1Tn D11n+1 B1n ) 0 S1Tn B1Tn S1n B1n I D11n+1 A¯11n S1n B1n Im−r S2Tn B1Tn I Im−r S2Tn B1Tn I Im−r S2n B1n † B2n B2Tn (Rn + B1Tn D11n+1 B1n ) W21n − I † Im−r S2n B1n B2n B2Tn (R + B1Tn D11n+1 B1n ) † 0 S2Tn B1Tn I D11n+1 A¯11 67 Phương trình sai phân Riccati D11n = A¯T11n D11n+1 A¯11n + W11n − I A¯T11n D11n+1 I D11n+1 A¯11n S1n − B1n Im−r (Rn + S1n B1n (Rn + B1Tn D11n+1 B1n )† S1Tn B1Tn W12n 0 − I A¯T11n D11n+1 (Rn + B1Tn D11n+1 B1n )† Im−r B2n − W22 S2n B1Tn D11n+1 B1n )† I I D11n+1 B1n † B2Tn S2Tn 0 I B1Tn D11n+1 0 B2n − W21 S2n B2Tn S2Tn 0 B1Tn D11n+1 I D11n+1 B1n I (Rn + B1Tn D11n+1 B1n )† S1Tn B1Tn D11n+1 A¯11 Chứng minh Ta có λ1N = DN11 x1N mà theo giả thiết λ1n = D11n x1n với n ≥ Suy DN11 = D11N Chứng minh phương trình Riccati Từ dịng phương trình (2.60) ta có x1n+1 = A¯11n x1n + B1n un mà λ1n+1 = D11n+1 x1n+1 nên ta suy λ1n+1 = D11n+1 (A¯11n x1n + B1n un ) ˜n un ) = D11 (A¯11 x1 + B n+1 n n (2.67) Từ dòng thứ hai phương trình (2.60) − A¯T11n λ1n+1 = W11n x1n − λ1n + W12n x2n + S1n un (2.68) 68 Thay phương trình (2.67) vào (2.68) ta λ1n = A¯T11n D11n+1 (A¯11n x1n + B1n un ) + W11n x1n + W12n x2n + S1n un = (A¯T11n D11n+1 A¯11n + W11n )x1n   λ2n W S   12 n n + I A¯T11n D11n+1 x2n  0 B1n un ˜n + S˜n )un = (A¯T11 D11 A¯11 + W11 )x1 + (A¯T11 D11 B n n+1 n n n n = A¯T11n D11n+1 A¯11n + W11n ˜n + S˜n )(B ˜nT D11 − (A¯T11 D11 B n n+1 n+1 n+1 ˜n + R ˜ n )† (B ˜nT D11 A¯11 + S˜T ) x1 , B n+1 n n suy điều phải chứng minh Các phương trình sai phân Riccati cịn lại chứng minh tương tự Ví dụ 2.2.4 Xét toán (2.45), (2.46), (2.47) với hệ số sau: En = Bn = ; n+2 ; 0 An = n+2 ; 1 ; Sn = ; Wn = n ≥ −1; Rn = 1; DN = 0 ; 0 điều kiện ban đầu z0 = (1, 0)T Với n ≥ 0, ta có rankEn = < kerEn = Sn = t:t∈R ; 1 t:t∈R Suy kerEn−1 ∩ Sn = {0}, phương trình (2.46) có số Hơn ta tính V˜n = ; ˜ n = En V˜n + An V˜n−1 Q ˜= G Theo Định lý (1.2.7) ta thấy n+2 69 ˜ −1 Hn = G n = n+2 0 Kn = V˜n = ; 0 E¯n = Hn En Kn = ¯n = Hn Bn = B ; , suy A¯n = Hn An Kn−1 = T W n = Kn−1 Wn Kn−1 = T S¯n = Kn−1 Sn = ; ; 1 ; Rn = Khi ˜n = 0 B1 = 0 ; S˜n = W12 B1 = 0 ; B n n n     0 Im−r B2n    ˜ n = Im−r W22 S2  = 1 0 R  n n 0 B2Tn S2Tn Rn    ˜nT D11 A¯11 = 0 ; R ˜n + B ˜nT D11 B ˜n =  ⇒ S˜nT + B 1 0 n+1 n n+1 0 Từ phương trình (2.66) ta thu D11N −1 = W11n = 1, tiếp tục trình thay vào phương trình (2.66) ta có D11 = 1, với n = 0, N −   n   Hơn nữa, u0 = 0 nên λ21 = 0, x20 = 0, u0 = 0 Do x10 = z10 = 1, ta thấy λ10 = D110 x10 = Sử dụng dịng hệ (2.61) ta có ˜0 u0 = x11 = A¯110 x10 + B Tiếp tục trình ta thu nghiệm toán điều khiển tối ưu xn = , với n = 0, N , 70 un = 0, với n = 0, N − Khi hàm mục tiêu tối ưu J(un , xn ) = N Chương Bài toán điều khiển tối ưu mơ hình kinh tế Trong chương chúng tơi trình bày số nghiên cứu tác giả D G Luenberger [8] mơ hình kinh tế mơ tả phương trình sai phân thường Sau chúng tơi mở rộng kết cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến 3.1 Mơ hình mơ tả phương trình sai phân thường Trong phần chúng tơi trình bày cấu trúc cho hệ động lực mơ hình kinh tế Hãy tưởng tượng hàng hóa chế biến sau bán cho người tiêu dùng, hàng hóa chuyển từ giai đoạn sang giai đoạn khác lưu giữ giai đoạn định để tái tạo để bán Loại mơ hình biểu diễn dạng phương trình sai phân sau: xn+1 = An xn − Bn un + an xn ∈ Rm vectơ trạng thái, un ∈ Rk vectơ điều khiển mơ tả lượng hàng hóa tiêu thụ, an ∈ Rm vectơ đầu vào Bên hệ thống sản xuất thị trường gồm sản phẩm chế biến trình sản xuất Giá trị un xác định 71 72 cân cung cầu Vì vậy, liên quan đến thị trường vectơ giá pn ∈ Rk xác định thơng qua hàm cầu tuyến tính k - chiều = en − Tn pn Các nhà sản xuất tìm cách cực đại hóa lợi nhuận khoảng thời gian n = 0, 1, , N cách chọn vectơ un 3.1.1 Cấu trúc hệ thống sản xuất Xét hệ thống sản xuất thơng qua mơ hình biểu diễn dạng phương trình sai phân thường sau: xn+1 = An xn − Bn un + an , (3.1) với mục đích làm cực đại hóa hàm mục tiêu N (pTn un − cTn xn ), (3.2) x0 = x0 , (3.3) LxN +1 = g, (3.4) J= n=0 cho điều kiện đầu điều kiện cuối thỏa mãn Ở ma trận L ∈ Rq×m , q ≤ m, rankL = q , g ∈ Rq Xét hàm cầu = en − Tn pn , (3.5) điều kiện cân bằng: hàm giá pn xác định un = (3.6) Ở cTn xn chi phí sản xuất thời kỳ, pTn un thu nhập nhà sản xuất thơng qua việc bán sản phẩm có số lượng un với giá pn Để điều khiển giá thị trường cho lợi nhuận đạt cực đại, ta giải toán điều khiển tối ưu (3.1) - (3.4) 73 Xét hàm Lagrange N [pTn un − cTn xn + λTn+1 (An xn − Bn un + an − xn+1 )] L= n=0 T + v (LxN +1 − g) N [Hn − λTn+1 (an − xn+1 )] + v T (LxN +1 − g), = n=0 Hn = λTn+1 An xn − λTn+1 Bn un + pTn un − cTn xn Tương tự chương 2, sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange ta thu điều kiện cần để toán tối ưu xn+1 = An xn − Bn un + an , (3.7) λn = ATn λn+1 − cn , (3.8) pn = BnT λn+1 (3.9) x0 = x0 , LxN +1 = g, (3.10) λN +1 = LT v (3.11) un = , (3.12) = en − Tn pn (3.13) Ngồi ra, có Thay phương trình (3.9) vào phương trình (3.13) ta = en − Tn BnT λn+1 (3.14) Thay phương trình (3.14) (3.12) vào phương trình (3.7), ta thu hệ xn+1 = An xn + Bn TN BnT λn+1 − Bn en + an (3.15) λn = ATn λn+1 − cn , (3.16) pn = BnT λn+1 (3.17) x0 = x0 , LxN +1 = g, λN +1 = LT v (3.18) (3.19) 74 3.1.2 Điều kiện đạt tới cân Để đạt tới cân mơ hình kinh tế với khoảng thời gian n = 0, 1, , N ta phải tìm hàm giá pn thỏa mãn cân cung cầu cho lợi nhuận thu cho nhà sản xuất tối đa Do ta đến khái niệm cân sau: Định nghĩa 3.1.1 Hệ (3.15) - (3.19) đạt tới cân với x0 g hệ ln có nghiệm Để tìm hàm giá pn thỏa mãn cân cung cầu ta đến tốn tìm điều kiện đạt tới cân cho hệ (3.15) - (3.19), tức tìm điều kiện cho hệ (3.15) - (3.19) có nghiệm Điều kiện đạt tới cân phụ thuộc vào ma trận C sau: Định nghĩa 3.1.2 Ta gọi ma trận N Φ(N + 1, n + 1)Bn Tn BnT Φ(N + 1, n + 1)T C= n=0 ma trận kết thúc hệ (3.15) - (3.19), Φ(N + 1, n + 1) = AN An+1 , Φ(n, n) = I Định lý 3.1.3 Hệ (3.15) - (3.19) đạt tới cân ma trận LCLT không suy biến Chứng minh Ta có phương trình (3.16) có nghiệm biểu diễn dạng λn = Φ(N + 1, n + 1)T λN +1 + c¯, (3.20) c¯ vectơ Nghiệm phương trình (3.15) biểu diễn dạng xN +1 =Φ(N + 1, 0)x0 N Φ(N + 1, n + 1)Bn Tn BnT λn+1 + a ¯, + n=0 (3.21) 75 a ¯ vectơ Thay phương trình (3.20) vào phương trình (3.21) ta N Φ(N + 1, n + 1)Bn Tn BnT Φ(N + 1, n + 1)λN +1 + ¯b, xN +1 = n=0 ¯b vectơ Nhân hai vế phương trình với ma trận L sử dụng phương trình (3.19) ta LxN +1 = LCLT v + L¯b, tương đương LCLT v = g − L¯b (3.22) Theo Định lý Fredholm, g ∈ Rq tùy ý nên điều kiện cần đủ để phương trình (3.22) có nghiệm ma trận LCLT không suy biến Định lý chứng minh 3.2 Mơ hình mơ tả phương trình sai phân suy biến Bây ta xét hệ thống sản xuất thơng qua mơ hình biểu diễn dạng phương trình sai phân suy biến sau: En xn+1 = An xn − Bn un + an , n = 0, N , (3.23) với mục đích cực đại hàm mục tiêu N (pTn un − cTn xn ), J= (3.24) n=0 thỏa mãn điều kiện đầu E−1 x0 = z0 , (3.25) LxN +1 = g, (3.26) điều kiện cuối L ∈ Rr×m , g ∈ Rr , rankL = r, g ∈ ImL Xét hàm cầu = en − Tn pn (3.27) 76 Và điều kiện cân bằng: hàm giá pn xác định un = (3.28) Với giả thiết phương trình (3.23)có số 1, rankEn = r ma trận E−1 ∈ Rm×m thỏa mãn S0 ∩ kerE−1 = {0} Ta chọn ma trận A−1 ∈ Rm×m cho cặp ma trận {E−1 , A−1 } có số Bằng cách xây dựng tương tự mục (3.1) ta thu điều kiện cần để toán tối ưu En xn+1 = An xn + Bn Tn BnT λn+1 − Bn en + an , (3.29) T En−1 λn = ATn λn+1 − cn , (3.30) pn = BnT λn+1 , (3.31) E−1 x0 = z0 , LxN +1 = g, ENT λN +1 = LT v (3.32) (3.33) Bây ta đưa điều kiện đạt tới cân cho tốn mơ tả phương trình sai phân suy biến Trước tiên ta định nghĩa ma trận kết thúc hệ (3.29) - (3.33) sau: N −1 N −n−1 C =PN −1 G−1 N −i AN −i )Gk ( n=0 i=0 N −k−1 T ˜b T Bk Tk Bk Pk ( G−1 b,k+i Ak+1+i ) i=0 T + G−1 N BN TN BN Định lý 3.2.1 Hệ (3.29) - (3.33) đạt tới cân ma ¯ T khơng suy biến, C¯ = C P˜ b G−1 trận LCL N b,N Chứng minh Từ phương trình (3.33) ta có ENT λN +1 = LT v Nhân G−1 b,N vào bên trái hai vế phương trình ta T −1 T G−1 b,N EN λN +1 = Gb,N L v, T PNb λN +1 = G−1 b,N L v 77 Từ phương trình (1.34), ta thu ˜ −1 G−1 cN λN +1 = P˜Nb PNb λN +1 + UN QU N −1 b,N ˜ −1 G−1 cN = P˜Nb G−1 LT v + UN QU b,N N −1 b,N Theo Định lý (1.2.15) ta suy nghiệm phương trình (3.30) N −n b λn =P˜n−1 T G−1 b,n−1+i An+i )λN +1 ( i=0 N −1 j−n + T −1 −1 G−1 b,n−1+i An+i )Gb,j cj+1 + Gb,n−1 cn ( j=n i=0 ˜ −1 G−1 cn−1 + Un−1 QU n−2 b,n−2 Từ điều kiện ban đầu ta có E−1 x0 = z0 −1 −1 ⇔ G−1 −1 E−1 x0 = G−1 z0 ⇔ P−1 x0 = G−1 z0 Từ công thức (1.26) ta có nghiệm phương trình (3.29) N G−1 N −i AN −i )P−1 x0 xN +1 =PN ( i=0 N −1 N −1−k + −1 T G−1 N −i AN −i )Gk (Bk Tk Bk λk+1 − Bk ek + ak ) ( k=0 i=0 T + G−1 N (BN TN BN λN +1 − BN eN + aN ) + QN xN +1 Suy N −1 N −1−k xN +1 =PN ( −1 G−1 N −i AN −i )Gk i=0 N −k T ˜b T (Bk Tk Bk Pk ( G−1 b,k+i Ak+1+i ) i=0 k=0 + e¯ + QN xN +1 , e¯ vectơ T + G−1 N BN TN BN ) λN +1 (3.34) 78 Từ điều kiện cuối LxN +1 = g , g ∈ Im L nên tồn xN +1 ∈ Rm cho xN +1 = L† g Do QN phép chiếu lên kerEN nên PN = I − QN phép chiếu vào imEN , suy rankPN = r Khi đó, ta đặt α = LPN L† g ∈ Rr Ta nhân LPN vào bên trái hai vế phương trình (3.34) ta LPN xN +1 = LCλN +1 + e˜ + LPN QN xN +1 , e˜ vectơ Tương đương với ¯ T v + e˜ α = LCL (3.35) Vì hệ (3.29) - (3.33) có nghiệm với g ∈ Rr nên α ∈ Rr tùy ý Vậy để phương trình (3.35) có nghiệm điều kiện cần đủ ma trận ¯ T không suy biến Định lý chứng minh LCL KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu toán điều khiển tối ưu cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn Luận văn thu số kết mới, mở rộng kết tác giả D J Bender, A J Laub hệ phương trình sai phân ẩn hệ số biến thiên cho tốn điều khiển tối ưu dạng tồn phương mơ hình kinh tế tác giả D G Luenberger cho hệ phương trình sai phân suy biến số Các kết luận văn là: • Trình bày cơng thức nghiệm cho tốn giá trị ban đầu toán thỏa mãn điều kiện cuối phương trình sai phân ẩn số • Đưa cách giải toán điều khiển tối ưu dạng tồn phương cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn số • Đưa điều kiện cân kinh tế cung cầu cho mơ hình hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn số Hướng nghiên cứu luận văn tiếp tục phát triển để có kết trọn vẹn Các hướng nghiên cứu • Nghiên cứu toán điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính số lơn • Nghiên cứu tốn điều khiển tối ưu với thời gian vơ hạn • Tiếp tục nghiên cứu mơ hình thực tế cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính 79 Tài liệu tham khảo [1] P K Anh, H T N Yen (2006), "Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference systems", J Math Anal, Appl, Vol 321 (2), 921 - 929 [2] P K Anh, N H Dư, L C Loi (2007), "Singular difference equations: An overview", Viet J Math, V.35(4), 339 - 372 [3] P K Anh, N H Dư, L C Loi (2004),"Conections between implicit difference equations and differential - algebraic equations", Acta Mathematica Vietnamica, 1, 23-39 [4] P K Anh, D S Hoang (2006), "Stability of a class of singular difference equations", Int J Difference Eqns, 1, 181 - 193 [5] D J Bender and A J Laub (1987), "The linear-quadratic optimal regulator for discriptor systems: discrete-time case", Automatica, 23 No 1, 71-85 [6] L C Loi (2013), "Subadjoint equation of index-1 linear singular difference equations", Viet J Math, V 41(1), 89 - 96 [7] L C Loi, N H Dư, P K Anh (2002), "On linear implicit non autonomous systems of difference equations", J Diff Eq Appl (12): 1085-1105 [8] D G Luenberger (1986), "Control of linear dynamic market systems", J Econ Dyn Control 10, 339 - 351 [9] A P Sage (1977), Optimum Systems Control, Prentice - Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 07632 80 ... Phương trình sai phân Riccati ΣD11n Σ = AT 11 D11n +1 A 11 + W 11 S1 (R + B1T D11n +1 B1 )† S1T B1T B1 − I AT 11 D11n +1 I D11n +1 A 11 − I AT 11 D11n +1 AT 21 W12 A12 S1 − (R + B1T D11n +1 B1 )† I B1T D11n +1. .. (AT 11 D11n +1 A 11 + W 11 )x1n − I AT 11 D11n +1 AT12 + D11n +1 A12 B1 B1T W22 S2 S2T R I D11n +1 A 11 W22 S2 S2T R x1n + † W12 S1 A12 B1 AT 21 − I AT 11 D11n +1 AT12 + D11n +1 A12 B1 B1T W 21 AT12 S1T B1T... D11n +1 A 11 + W 11 − I AT 11 D11n +1 B2 B2T (R + B1T D11n +1 B1 ) − I † A 21 S1T B1T B2 B2T (R + B1T D11n +1 B1 ) † I D11n +1 A 11 AT 21 S1 − B1 W12 A12 AT11n +1 D11n +1 AT 21 S1 B1 A22 S2T B1T I D11n +1 A12 AT22