Một số bài toán về dãy số

ên, nghiệm Xét fn+1 (x) = x2n+3 − x − Ta có fn+1 (1) = −1 < − xn − = x2n+3 − x2n+1 > fn+1 (xn ) = x2n+3 n n n Từ ta suy < xn+1 < xn Dãy (xn ) giảm bị chặn 1, suy dãy có giới hạn hữu hạn a, a ≥ Ta chứng minh a = Thật giả sử a > Khi xn ≥ a với n ta tìm n đủ lớn cho: x2n+1 ≥ a2n+1 > n Trong đó, ta có xn + < x1 + < Mâu thuẫn fn (xn ) = Bài tập 3.3.6 Cho phương trình x + 2x2 + · · · + nxn = với n nguyên dương a/ Chứng minh với n nguyên dương, khoảng (0; +∞), phương trình có nghiệm nhất, kí hiệu xn b/ Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tìm giới hạn Lời giải a/ Xét hàm số fn (x) = x + 2x2 + · · · + nxn − liên tục R có fn (x) = + 22 x + · · · + n2 xn−1 > với x ∈ (0; +∞) nên hàm số fn (x) tăng (0; +∞) Mà fn (0) = − , fn (1) > nên phương trình fn (x) = có nghiệm khoảng (0; +∞) b/ Ta có 3fn fn 1 n−1 = + · + · · · + n· − 3 1 n = + 2· + · · · + n· − 3 3 Trừ vế theo vế ta 2fn 1 n 3 n 2n + = + + · · · + n−1 − n − = 1− n − n − = − < 3 3 2 3 · 3n 80 Do xn > với n ∈ Z+ Áp dụng định lý Lagrange, tồn yn ∈ ; xn cho: 2n + = fn (xn ) − fn n 4·3 = |fn (yn )| xn − 1 > xn − 3 f (yn ) > với yn > Mặt khác 2n + = ⇒ lim xn = n n→+∞ · n→+∞ lim Qua toán trên, thấy công cụ để khảo sát dãy số cho dãy phương trình định lý giải tích (về hàm liên tục, hàm đơn điệu, định lý hội tụ dãy số đơn điệu bị chặn, định lý Lagrange) mối liên hệ mang tính truy hồi phương trình 3.4 Bài tập Bài tập 3.4.1 Chứng minh với số nguyên dương n cho trước phương trình x2n+1 = x + có nghiệm thực Gọi nghiệm xn Tính lim xn n→+∞ Bài tập 3.4.2 Cho dãy số (xn ) xác định sau: x1 = xn , xn+1 = với n ∈ N∗ 2(2n + 1)xn + Tính n lim n→+∞ xi i=1 Bài tập 3.4.3 (đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a dãy số thực (xn ) xác định bởi: x1 = a, xn+1 = ln(3 + cos xn + sin xn ) − 2008 với n = 1, 2, 3, 81 Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Bài tập 3.4.4 Cho dãy {xn }+∞ n=1 thỏa mãn: x1 = 1; x2 = x3 = 9; x4 = xn+4 = √ xn xn+1 xn+2 xn+3 với n ≥ Chứng minh tồn lim xn tính giới hạn Bài tập 3.4.5 Cho phương trình với n tham số nguyên dương: x + 2(x − 1)2 + 3(x − 1)3 + · · · + n(x − 1)n − =0 (1) a/ Chứng minh phương trình có nghiệm lớn với n nguyên dương kí hiệu xn b/ Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tìm giới hạn Bài tập 3.4.6 Cho dãy số (un ) xác định sau:   u1 =  un+1 = + u1 u2 · · · un với n = 1, 2, 3, Tìm n lim n→+∞ i=1 ui Bài tập 3.4.7 Cho dãy số (un ) thỏa mãn:   u1 = 2009  un+1 = un (√un + 1)2 với n = 1, 2, 3, Tìm n √ lim n→+∞ i=1 ui + Bài tập 3.4.8 Cho dãy số (xn ) xác định bởi:   x1 = 2,  x n+1 = xn − + x2n + 8xn − 82 (n = 1, 2, ) n Với số nguyên dương n đặt yn = x2 i=1 i+1 −4 Tìm lim yn Bài tập 3.4.9 Cho dãy số (un ) xác định bởi:   u1 =  un+1 = un + un n = 1, 2, 1996 Tìm lim n→+∞ u1 u2 un + + ··· + u2 u3 un+1 Bài tập 3.4.10 Cho dãy số (un ) xác định bởi:   u0 =  un+1 = un + 2008 −un + 2010 n = 0, 1, 2, a/ Chứng minh dãy số (u0 ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn n b/ Đặt Tn = k=0 Tn Tính lim n→+∞ n + 2009 uk − 2008 83 Kết luận Dãy số lĩnh vực rộng khó, toán dãy số đa dạng Trong luận văn đề cập đến tính chất số học dãy số giới hạn dãy số Luận văn trình bày hệ thống tốn tính chất số học dãy số tính chia hết, tính ngun, tính phương Trong tốn vận dụng kiến thức tổng hợp số học, dãy số, phương pháp sai phân, dạng toán nêu phương pháp giải cụ thể, có đề xuất số dạng toán tổng quát, số toán tổng quát đặc biệt hóa để có nhiều tốn khác Luận văn trình bày số dạng toán giới hạn dãy số giới hạn tổng, dãy hội tụ dãy số, dãy số xác định phương trình Các tốn dạng có phương pháp giải cụ thể vận dụng kiến thức dãy số, định lý giới hạn Luận văn chọn lọc tốn điển hình cho dạng tốn, đặc biệt có nhiều tốn đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế năm gần qua thấy vai trị quan trọng toán dãy số đề thi Trong luận văn này, tác giả sáng tạo số tốn góp phần làm phong phú thêm toán dãy số, tạo sở cho tác giả biết nghiên cứu, sáng tạo công tác sau Tuy nhiên, thời gian lực thân hạn chế nên luận văn khơng tránh thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thày giáo, bạn đồng nghiệp, em học sinh để tài liệu dãy số hoàn thiện 84 Tài liệu tham khảo [1 ] Nguyễn Đễ, Nguyễn Khánh Nguyên (dịch) (1996), Các đề thi vô địch Tốn 19 nước – có Việt Nam, NXB Giáo dục [2 ] Phan Huy Khải (2007), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán thpt toán dãy sồ , NXB Giáo dục [3 ] Phan Huy Khải (1997), 10.000 toán sơ cấp dãy số giới hạn, NXB Hà Nội [4 ] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên) (2006), Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm Văn Hùng, Các giảng số học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [5 ] Nguyễn Văn Mậu, Kỷ yếu trại hè Hùng Vương năm 2010 [6 ] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Nguyễn Văn Tiến (2009), Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo dục Việt Nam [7 ] Nguyễn Sinh Tiến, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phị (2003), Tuyển tập dự tuyển Olympic Tốn học quốc tế 1991 – 2001, NXB Giáo dục [8 ] Lê Đình Thịnh (chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [9 ] Các tốn chọn lọc 45 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ (2009), NXB Giáo dục [10 ] Tủ sách toán học tuổi trẻ Các thi Olympic tốn Trung học phổ thơng Việt Nam (1990 – 2006) (2007), NXB Giáo dục 85 ... 2008 83 Kết luận Dãy số lĩnh vực rộng khó, toán dãy số đa dạng Trong luận văn đề cập đến tính chất số học dãy số giới hạn dãy số Luận văn trình bày hệ thống tốn tính chất số học dãy số tính chia... văn trình bày số dạng toán giới hạn dãy số giới hạn tổng, dãy hội tụ dãy số, dãy số xác định phương trình Các tốn dạng có phương pháp giải cụ thể vận dụng kiến thức dãy số, định lý giới hạn Luận... hợp số học, dãy số, phương pháp sai phân, dạng toán nêu phương pháp giải cụ thể, có đề xuất số dạng toán tổng quát, số toán tổng quát đặc biệt hóa để có nhiều tốn khác Luận văn trình bày số dạng