BAI TAP CHUONG 3TICH PHAN

Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.... TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: 1..[r]

1/ Tìm nguyên hàm hàm số.

1 f(x) = x2 – 3x +

x ĐS F(x) = x3

3 −

3 x2

2 +ln x +C

2 f(x) = 2 x4+3

x2 ĐS F(x) =

2 x3

3 −

3

x+C f(x) = x −1

x2 ĐS F(x) = lnx +

1

x + C f(x) = x

2

−1¿2 ¿ ¿ ¿

ĐS F(x) = x3

3 − x +

x+C f(x) = √x+√3x +√4 x ĐS F(x) = 2 x

3

3 +

3 x

4

4 +

4 x

5

5 +C

6 f(x) =

√x−

2

3

√x ĐS F(x) = 2√x −3

3 √x2+C

7 f(x) = √x −1¿

2

¿ ¿ ¿

ĐS F(x) = x − 4√x+ln x+C f(x) = x −13

√x ĐS F(x) = x

5 3− x

2

+C

9 f(x) = sin2x

2 ĐS F(x) = x – sinx + C

10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C

11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x+

1

4sin x+C

12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13 f(x) =

sin2x cos2x ĐS F(x) = tanx - cotx + C 14 f(x) = cos x

sin2x cos2x ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = −1

3cos x +C

16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = −1

5cos x −cos x +C

17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = 2e

2 x

− ex+C

18 f(x) = ex(2 + e− x

cos2x ¿ ĐS F(x) = 2ex + tanx + C

19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = 2ax ln a+

3x

ln 3+C

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = 3e

3 x+1

+C 2/ Tìm hàm số f(x) biết

1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2 + x +

2 f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 2 x −x3

3 +1

3 f’(x) = √x − x f(4) = ĐS f(x) = 8 x√x

3 −

x2

2 −

4 f’(x) = x -

x2+2 f(1) = ĐS f(x) = x2

2 +

x+2 x −

3

2

5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3 6 f’(x) = ax + b

x2, f ' (1)=0 , f (1)=4 , f (−1)=2 ĐS f(x) = x2

2 +

x+

5 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I = ∫f [u(x)] u' (x)dx cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) ⇒dt=u '(x)dx

 I = ∫f [u(x)] u' (x)dx=∫f (t)dt

BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 ∫(5 x −1)dx

3 −2 x¿5 ¿ ¿

dx

¿

∫¿

∫√5 −2 x dx

∫dx √2 x − 1

5 2 x

2

+1¿7xdx ¿

∫¿

x

3

+5¿4x2dx ¿

∫¿

∫√x2+1 xdx ∫ x

x2+5dx

9 ∫ 3 x

2

√5+2 x3dx 10

1+√x¿2 ¿

√x¿

dx

¿

∫¿

11 ∫ln3x

x dx 12 ∫x e

x2

+1

dx

13 ∫sin4x cos xdx 14 ∫cossin x5x dx 15 ∫cot gxdx 16 ∫

tgxdx cos2x

17 ∫dxsin x 18 ∫dxcos x 19 ∫tgxdx 20

∫e√x √xdx 21 ∫ e

x

dx

√ex− 3 22 ∫

etgx

cos2x dx 23 ∫√1− x

2 dx 24.

∫dx

√4 − x2

25 ∫x2

√1 − x2 dx 26

∫dx1+ x2 27 ∫

x2dx

√1 − x2 28

∫dxx2

+x +1

29 ∫cos3x sin2xdx 30 ∫x√x −1 dx 31 ∫dxex

+1 32 ∫x3√x2+1 dx

Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I

∫u(x ) v ' (x)dx=u(x ) v (x )−∫v (x) u' (x)dx Hay

∫udv=uv −∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 ∫x sin xdx ∫x cos xdx ∫(x2+5)sin xdx ∫(x2+2 x+3)cos xdx

5 ∫x sin2 xdx ∫x cos2 xdx ∫x exdx

∫ln xdx

9 ∫x ln xdx 10 ∫ln2x dx 11 ∫ln xdx

√x 12

∫e√xdx

13 ∫ x

cos2x dx 14 ∫xtg

2xdx 15

∫sin√x dx 16

∫ln(x2

+1)dx

17 ∫ex cos xdx 18 ∫x3ex2

dx 19 ∫x ln(1+ x2)dx 20 ∫2xxdx

21 ∫x lg xdx 22 ∫2 x ln(1+ x)dx 23 ∫ln(1+ x)

x2 dx 24

∫x2cos xdx

TÍCH PHÂN

I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:

1

1

(x  x 1)dx ∫

2

2

1

( )

e

x x dx

x x

  

∫

3

2

x dx ∫

3

2

1

x dx ∫

2

3

(2sinx 3cosx x dx)





 

∫

5

1

0

( x )

e x dx ∫

1

(x x x dx)

∫

2

( x1)(x x1)dx ∫

8

2

3

1 (3sinx 2cosx )dx

x





 

∫

1

2

( x 1)

e x  dx ∫

10

2

2

1

(x x x x dx)

∫

11

2

( x1)(x x1)dx ∫

12

3

x dx

( )





∫

13

2 -1

x.dx x 

14

2 e

1

7x x dx x

 

∫

15 x

5

2

dx x2 

∫

16

2

x dx

x x x

( )

ln  

∫

17

2

3

x dx x cos

sin





∫

18

4

tgx dx x cos



∫

19

1 x x

x x

0

e e

e e dx

 

 

∫

20

1 x

x x

0

e dx

e e





∫

21

2

dx 4x 8x

∫

22

3

x x

0

dx

e e

ln





∫

22

2

0

dx sinx





∫

24 ∫

− 1

1

(2 x2+x+1)dx 25 ∫

0

(2 x3− x −2

3)dx

26 ∫

− 2

2

x (x − 3)dx 27 ∫

− 3

4

(x2−4 )dx

28 ∫

1

(x12+

1

x3)dx 29 ∫1

x2−2 x

x3 dx 30 ∫

1

e

1

√e

dx

x 31 ∫1 16

√x dx

32 ∫

1

e2

2√x +5 −7 x

x dx 33 ∫1

(4 x − 3√3x2)dx

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:

2

3

3

sin xcos xdx





∫

2

2

3

sin xcos xdx





∫

3

2

0

sin

x dx cosx





∫

4

0

tgxdx



∫

4

4

6

cot gxdx





∫

6

0

1 4sin xcosxdx





∫

1

1

x x  dx ∫

1

2

1

x  x dx ∫

1

3

0

1

x x  dx ∫

1

3

0

x dx x  ∫

10

1

3

0

1

x  x dx ∫ 11 1 1dx

x x  ∫ 12 1x dx ∫ 13 1

2 2dx

x x ∫   14 1dx x  ∫ 15 2 (1 ) x dx ∫ 16 sin x e cosxdx   ∫ 17 sin cosx e xdx   ∫ 18 2 x

e  xdx ∫

19

2

3

3

sin xcos xdx

  ∫ 20 sin x e cosxdx   ∫ 21 sin cosx e xdx   ∫ 22 2 x

e  xdx ∫

23

2

3

3

sin xcos xdx

  ∫ 24 2 3

sin xcos xdx

  ∫ 25 sin x dx cosx   ∫ 26 tgxdx  ∫ 27 cot gxdx   ∫ 28

1 4sin xcosxdx

  ∫ 29

x x  dx ∫ 30

x  x dx ∫ 31

x x  dx ∫ 32 x dx x  ∫ 33

x  x dx ∫ 34 1 1dx

x x  ∫

35

1 ln e x dx x  ∫ 36

sin(ln ) e x dx x ∫

37

1 3ln ln

e x x dx x  ∫ 38 2ln 1

ee x

40

2

2

1 (1 ln )

e

e

dx cos  x ∫

41

2

11

x dx x   ∫ 42

0

x dx x  ∫ 43 1

x x dx ∫ 44 1 dx

x  x ∫ 45 1 dx

x  x ∫ 46 1 x dx x  ∫

46

1 ln e x dx x  ∫ 47

sin(ln ) e x dx x ∫

48

1 3ln ln

e x x dx x  ∫ 49 2ln 1

ee x

dx x  ∫ 50 2 ln ln e e x dx x x  ∫ 51 2 (1 ln )

e

e

dx cos  x ∫ 52 5 

∫x x dx

53

 

2

4

0

sin 1 cos

∫ x xdx



54

4

2

0

4 x dx ∫

55

4

2

0

4 x dx ∫ 56 1 dx x  ∫ 57 ∫

− 1

0

e2 x+3dx 58 ∫

0

e− xdx

59

1

3

x dx

(2x 1)

∫

60

1

x dx 2x 1

∫

61

1

x xdx

∫

62

1

4x 11 dx

x 5x

   ∫ 63

2x dx

x 4x

   ∫ 64 3 x dx

x 2x 1

∫ 65 6

(sin x cos x)dx

  ∫ 66

69

2

6

1 sin2x cos2xdx sin x cosx





 



∫

70

1 x

1 dx e 1

∫

71

cos4x −sin4x

(¿)dx

∫

0

π

4

¿

72 ∫

0

π

4

cos2 x

1+ 2sin xdx

73 ∫

0

π

2

sin x

2 cos x +1dx 74 ∫0

π

2

cos x

5− sin x dx

75 ∫

− 2

0

2 x +2

x2+2 x − 3dx 76 ∫− 1

1

dx

x2+2 x+5

77

2

3

0

cos xsin xdx



∫

78

2

cos xdx



∫

79

4

2

sin 4x dx cos x





∫

80

1

3

0

x x dx

∫

81

2

2

0

sin 2x(1 sin x) dx





∫

82

4

1 dx cos x



∫

83

e

1 ln xdx x 

∫

84

4

1 dx cosx



∫ 85

e

1

1 ln xdx x 

∫

86

1

5

0

x (1 x ) dx

∫

87

6

2

cosx dx

6 5sin x sin x



 

∫

88

3

0

tg x dx cos2x

∫

89

4

cos sin

3 sin

x x dx x



 

∫

90 ∫0

π

2

sin x

√cos2x+ sin2xdx

91 ∫

ln ln

dx

ex+2e− x− 3 92

2+sin x¿2 ¿ ¿

sin x

¿

∫

0

π

2

¿

93 ∫

π

4

π

3

ln(tgx)

sin x dx 94 ∫

0

π

4

95 ∫

π

4

π

2

sin x − cos x

√1+sin x dx 96 ∫

0

π

2

sin x+sin x

√1+3 cos x dx

97 ∫

0

π

2

sin x cos x

1+cos x dx 98 ∫0

π

2

(esin x+cos x)cos xdx

99 ∫

1

x

1+√x −1dx 100 ∫1

e

√1+3 ln x ln x

x dx 101 ∫

0

π

4

1− 2sin2x

1+ sin x dx 102

1

2

1 x dx

∫ 103 dx x

∫ 104 dx

4 x

∫ 105 dx

x  x 1

∫ 106 x dx

x x 1

∫ 107

1 cosx sinxdx

   ∫ 108 2 2 x dx

1 x

∫

109

2

2

1

x x dx

∫ 110 2 dx

x x 1

∫ 101 2

9 3x dx x  ∫ 112

(1 xx dx)   ∫ 113 2 1dx

x x  ∫ 114 cos cos2 x dx x   ∫ 115

1 x dxx

 

∫

116

cos cos x dx x   ∫ 117 ∫

− 1

0

dx

x2+2 x+2 upload.123doc.net ∫0

1

dx

1+√1+3 x

119 ∫1

x√x −1

x −5 dx 120.

8

1 1dx

x x  ∫ 121 3 x dx x  ∫ 122

x x dx ∫ 123 ln2 x dx

e 2

∫ 124 3 x dx x   ∫ 125 2

x x  dx ∫

126 ∫√5 2√3

dx

II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Cơng thức tích phân phần :

u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )

b b

b a

a a

x d u x v x  v x u x dx

∫ ∫

Tích phân các hàm sớ dễ phát hiện u và dv

@ Dạng

sin ( )

ax

ax f x cosax dx

e





 

 

 

 

 

∫

( ) '( )

sin sin

cos

ax ax

u f x du f x dx

ax ax

dv ax dx v cosax dx

e e

 

 

 

   

 



     

 

     

     

   

 

∫

@ Dạng 2:

( ) ln( )

f x ax dx





∫

Đặt

ln( )

( ) ( )

dx du

u ax x

dv f x dx v f x dx

  

 



 



  

 ∫

@ Dạng 3:

sin  

 

∫eax cosaxax dx





Ví dụ 1: tính tích phân sau

a/

1

2

0( 1)

x

x e dx x  ∫

đặt

2

2

( 1)

x

u x e dx dv

x

   



 

 b/

3

4

2( 1)

x dx x  ∫

đặt

5

4

( 1)

u x x dx dv

x

   

 

 

c/

1 2 1

1

2 2 2 2

0 0

1

(1 ) (1 ) (1 )

dx x x dx x dx

dx I I

x x x x

 

    

   

∫ ∫ ∫ ∫

Tính I1

2 01

dx x

 

∫

phương pháp đởi biến số

Tính I2 =

1

2

0(1 )

x dx x



∫

phương pháp phần : đặt (1 2) u x

x

dv dx

x

   



 



Bài tập

1

3

ln

e

x dx x

∫

2

ln

e

x xdx

∫

3

2

ln( 1)

x x  dx

∫

ln

e

x xdx

3

ln

e

x dx x

∫

ln

e

x xdx

∫

2

ln( 1)

x x  dx

∫

ln

e

x xdx

∫

9

2

0

(x cosx)sinxdx 



∫

10

1 ( ) ln

e

x xdx

x



∫

11

2

ln(x x dx)

∫

12

2

4

tan

x xdx





∫

13

2

5

ln x

dx x

∫

14

2

0

cos

x xdx

 ∫

15

1

0

x

xe dx

∫

16

2

0

cos

x

e xdx

 ∫ Tính tích phân sau

1) ∫

0

x e3 xdx 2) ∫

0

π

2

(x −1)cos xdx 3) ∫

0

π

6

(2− x)sin xdx 4)

∫

0

π

2

x sin xdx

5) ∫

1

e

x ln xdx 6) ∫

1

e

(1− x2) ln x dx 7) ∫

1

4 x ln x dx 8)

∫

0

x ln(3+x2

).dx 9) ∫

1

(x2+1) ex.dx 10) ∫

0

π

x cos x dx 11)

∫

0

π

2

x2 cos x dx 12) ∫

0

π

2

(x2+2 x) sin x dx

13)

2

ln xdx x

∫

14)

2

x cos xdx



∫

15)

1 x

e sin xdx

∫

16)

2

0

sin xdx



∫

17)

e

x ln xdx

∫

18)

3

x sin xdx cos x





∫

19)

2

xsin x cos xdx



∫

20)

4

2

x(2 cos x 1)dx





∫

21)

2

ln(1 x)dx x



∫

22)

1

2 2x

(x 1) e dx

∫

23)

e

2

(x ln x) dx

∫

24)

2

cosx.ln(1 cosx)dx





∫

25)

2

ln

( 1)

e

e

x dx x  ∫

26)

1

xtg xdx ∫

27)

∫

0

(x −2)e2 xdx

28)

∫

0

x ln(1+x2

)dx

29) ∫

1

e

ln x

√x dx 30) ∫

0

π

2

(x+cos3x)sin xdx 31) ∫

0

(2 x +7)ln(x +1)dx 32)

∫

2

ln(x2− x )dx III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:

1 ∫

3

2 x −1

x2−3 x +2dx ∫a b

1

(x +a)(x +b)dx ∫

0

x3

+x +1

x +1 dx ∫0

1

x3

+x +1

x2+1 dx

5

3 x+1¿3 ¿ ¿ x2

¿

∫

0

¿

6

x +3¿2 ¿ x+2¿2¿

¿

1

¿

∫

0

¿

7 ∫

1

1− x2008

x (1+ x2008

)dx ∫− 1

0

2 x3− x2+9 x +9

x2−3 x +2 dx

9

x2−1¿2 ¿ ¿ x4 ¿

∫

2

¿

10

1+x2¿n ¿ ¿ x2 n − 3

¿

∫

0

¿

11 ∫

1

x2− 3

x (x4+3 x2+2)dx 12 ∫1

1

x (1+ x4)dx 13 ∫

0

1

4 +x2dx 14 ∫

0

x

1+ x4dx

15 ∫

0

1

x2−2 x+2dx 16

1+x2¿3 ¿ ¿ x ¿

∫

0

¿

17 ∫

2

1

x3−2 x2

+x dx 18 ∫2

3

3 x2+3 x+3

x3− x+2 dx

19 ∫

1

1− x2

1+x4 dx 20 ∫

0

21 ∫

0

x6+x5+x4+2

x6+1 dx 22 ∫

0

2− x4 1+x2 dx

23 ∫ 

1

6

1

dx x x

24

2

4 11

5 6

x dx

x x



 

∫ 25

1

2

0 1

dx

x  x

∫

26 ∫2

x +2 x −1dx

27 ∫

0

(2 x − 2x+1 −3)dx 28 ∫− 1

0

(2 x −1x − 2 −2 x+1)dx

29 ∫

0

(3 x − 1x+2 − x −1)dx 30 ∫0

x2+2 x+3

x+3 dx 31 ∫

− 1

0

(x2+x+1

x − 1 − x +1)dx 32 ∫0

1

(2 x2+x −2

x +1 − x+1)dx 33 ∫

0

dx

x2+4 x+3

IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: ∫

0

π

2

sin2x cos4xdx ∫

0

π

2

sin2x cos3xdx ∫

0

π

2

sin4x cos5x dx

∫

0

π

2

(sin3x +cos3

)dx

5 ∫

0

π

2

cos2 x (sin4x +cos4x)dx ∫

π

2

(2sin2x − sin x cos x −cos2x )dx

7 ∫

π

3

π

2

1

sin x dx ∫

0

π

2

(sin10x +cos10x − cos4x sin4x )dx ∫

0

π

2

dx

2− cos x 10 ∫0

π

2

1 2+sin xdx 11 ∫

0

π

2

sin3x

1+ cos2xdx 12 ∫π

π

3

dx

sin4x cos x

13 ∫

0

π

4

dx

sin2x+2sin x cos x − cos2x

14 ∫

0

π

2

cos x 1+ cos xdx

15 ∫

0

π

2

cos x

2− cos xdx 16 ∫0

π

2

sin x 2+sin xdx 17 ∫

π

2

cos3x

1+ cos xdx 18 ∫

π

2

1

19

1− cos x¿2 ¿ ¿

cos xdx

¿

∫

π

3

π

2

¿

20 ∫

−π2 π

2

sin x − cos x +1 sin x +2 cos x+3 dx

21 ∫

0

π

4

tg3xdx 22 ∫

π

6

π

4

cot g3x dx

23 ∫

π

4

π

3

tg4xdx 24 ∫

0

π

4

1 1+ tgxdx

25 ∫

0

π

4

dx

cos x cos( x+π 4)

26 ∫

0

π

2

sin x +7 cos x +6 4 sin x +5 cos x +5dx 27 ∫

0 2 π

√1+sin x dx 28 ∫

0

π

4

dx

2sin x +3 cos x +√13 29 ∫

0

π

4

4 sin3x

1+cos4xdx

30 ∫

0

π

2

1+cos x+sin x sin x +cos x dx

31 ∫

0

π

2

sin x

1+cos xdx 32 ∫π

4

π

2

dx

sin x − sin x

33 ∫

0

π

4

sin3x

cos2x dx

34

1+sin2x

¿3dx

sin x¿

∫

0

π

2

¿

35 ∫

0

π

|cos x|√sin x dx 36 ∫

π

4

π

3

√sin3x −sin x

sin3xtgx dx

37 ∫

0

π

2

dx

1+ sin x+cos x 38 ∫0

π

2

dx 2sin x +1

39 ∫

π

4

π

2

cos3x sin5xdx

40 ∫

0

π

4

sin xdx 1+cos2x 41 ∫

0

π

2

dx

5 sin x +3 ∫π

6

π

6

dx

43 ∫

π

6

π

3

dx

sin x sin(x+π 6)

4 ∫

π

4

π

3

dx

sin x cos(x +π 4)

45 ∫

π

4

π

3

sin2xdx

cos6x 46

tgxtg (x+¿π

6)dx ∫

π

6

π

3

¿

47

sin x+cos x¿3 ¿ ¿

4 sin xdx

¿

∫

0

π

3

¿

48

2+sin x¿2 ¿ ¿

sin x

¿

∫

−π2

0

¿

49 ∫

0

π

2

sin√3 x dx 50 ∫

0

π

2

x2cos xdx

51 ∫

0

π

2

sin x e2 x+1dx 52 ∫

0

π

2

1+sin x 1+cos xe

x

dx 53 ∫

π

6

π

4

sin x sin x

tgx+cot g x dx 54 ∫

0

π

2

sin xdx

sin2x − sin x +6

55 ∫

1

cos(ln x)dx 56 ∫

π 6 π 3

ln(sin x ) cos2x dx 57 ∫

0

π

2

(2 x −1)cos2x dx 58 ∫

0

π

x sin x cos2xdx 59 ∫

0

π

4

xtg2xdx 60 ∫

0

π

e2 xsin2xdx

61 ∫

0

π

2 esin2

xsin x cos3xdx 62

∫

0

π

4

ln(1+ tgx)dx

63

sin x+2cos x¿2 ¿ ¿

dx

¿

∫

0

π

4

¿

64 ∫

0

π

2

(1− sin x)cos x (1+sin x )(2− cos2x)dx

65

2

sin sin 7 

∫ x xdx





66

4

0

cos (sin cos )

∫ x x x dx

67

2 3

0

4sin 1 cos

∫ x dx

x



68 ∫

−π

2

π

2

cos x cos xdx

69 ∫

−π2 π

2

sin x sin xdx 70 ∫

0

π

4

sin x

2cos xdx

71 ∫

0

π

4

sin2xdx

V TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ:

∫

a b

R(x , f (x ))dx Trong R(x, f(x)) có dạng:

+) R(x, a x

a+x ) Đặt x = a cos2t, t [0; π

2]

+) R(x, a2

x2 ) Đặt x = |a|sin t hc x = |a|cos t

+) R(x, √nax+b

cx+d ) Đặt t =

n

ax+b cx+d

+) R(x, f(x)) =

(ax +b)√αx2+βx+γ Víi ( αx

2

+βx +γ )’ = k(ax+b)

Khi đặt t = √αx2

+βx+ γ , đặt t = ax+b1

+) R(x, a2

+x2 ) Đặt x = |a|tgt , t [2; 2]

+) R(x, x2

a2 ) Đặt x = |a|

cos x , t

¿

[0; π ]{π

¿

+) R 

1 i

n n n

x; x; ; x

Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni)

Đặt x = tk

1 ∫

√5 2√3

dx

x√x2+4 ∫2

√3

√2

dx

x√x2−1

3 ∫ −1

2

dx

(2 x+3)√4 x2+12 x +5 ∫

1

dx

x√x3+1

5 ∫

1

√x2+2008 dx ∫

1

dx

7 ∫

0

x2

√1+x2dx 8

1− x2¿3 ¿ ¿

√¿

∫

0

¿

9 ∫

1

√3

x2+1

x2√x2+1dx 10 ∫

√2

√1 − x1+x dx

11

1+x2

¿3 ¿ ¿

√¿

dx

¿

∫

0

¿

12

1− x2¿3 ¿ ¿

√¿

dx

¿

∫

0

√2

¿

13 ∫

0

√1+x2dx 14 ∫

0

√2

x2dx

√1 − x2

15 ∫

0

π

2

cos xdx √7 +cos x

16 ∫

0

π

2

sin x√cos x −cos2x dx

17 ∫

0

π

2

cos xdx

√2+ cos2x

18 ∫

0

π

2

sin x+sin x √1+3 cos x dx

19 ∫

0

√7

x3dx

3

√1+x2 20 ∫0

3

x3

√10 − x2dx

21 ∫

0

xdx

√2 x +1 22 ∫0

1

x3dx

x+√x2+1

23 ∫

2

dx

√2 x +1+1 24 ∫0

1

x15√1+3 x8dx

25 ∫

0

π

2

√1− cos3x sin x cos5xdx 26 ∫ ln

dx

√ex+1

27 ∫ − 1

1

dx

1+x +√x2+1 28 ∫0

ln

e2 xdx

√ex+1

29 ∫

5

√12 x − x2−8 dx

30 ∫

1

e

√1+3 ln x ln x

x dx

31 ∫

0

√3

x5

+x3

√1+x2dx 32 ∫0

4

√x3− x2

+x dx

33 ∫ − 1

0

x (e2 x

+√3x +1)dx 34 ∫

ln ln

ln2x

35

∫

0

π

3 √cos x

cos2x +2√3 tgx

cos2x dx

36

ex+1¿3 ¿ ¿

√¿ exdx

¿

∫

0 ln

¿

37 ∫

0

π

3

cos xdx

√2+ cos2 x

38 ∫

0

π

2

cos xdx

√1+cos2x

39 ∫

0

x+2

3

√x +3dx 40 ∫0

2 a

√x2+a2dx

VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bài tốn mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó:

∫

− a a

f (x)dx=∫

0

a

[f (x)+f (− x )]dx

VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn [- 3 π

2 ; 3 π

2 ] tháa m·n f(x) + f(-x) = √2− 2cos x ,

TÝnh: ∫ −3 π2

3 π

f (x)dx

+) TÝnh ∫ − 1

1

x4+sin x

1+x2 dx

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó: ∫

− a a

f (x)dx =

VÝ dô: TÝnh: ∫ − 1

1

ln(x +√1+x2)dx ∫

−π

2

π

2

cos x ln(x +√1+x2)dx

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó: ∫

− a a

f (x)dx =

∫

0

a

f (x)dx

VÝ dô: TÝnh

∫

− 1

1

|x|dx

x4− x2+1

2

2

cos 4 sin 

 

∫x x dx

x





Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó:

∫

− a a

f (x )

1+bxdx=∫0

a

VÝ dô: TÝnh: ∫ − 3

3

x2+1

1+2xdx ∫

−π

2

π

2

sin x sin3 x cos x

1+ex dx

Bài toán 4: Nếu y = f(x) liªn tơc trªn [0; π

2 ], th× ∫

0

π

2

f (sin x)=∫

0

π

2

f (cos x)dx

VÝ dô: TÝnh ∫

0

π

2

sin2009x

sin2009x +cos2009xdx ∫0

π

2

√sin x

√sin x +√cos xdx

Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó: ∫

0

π

xf(sin x)dx=π 2∫0

π

f (sin x )dx

VÝ dô: TÝnh ∫

0

π

x

1+sin xdx ∫0

π

x sin x

2+cos xdx

Bài toán 6: ∫

a b

f (a+b − x)dx=∫

a b

f (x)dx ⇒ ∫

0

b

f (b − x )dx=∫

0

b

f (x )dx

VÝ dô: TÝnh ∫

0

π

x sin x

1+cos2xdx ∫

0

π

4

sin x ln(1+tgx)dx

Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn với chu kì T th×:

∫ a a+T

f (x)dx=∫

0

T

f (x)dx ⇒

∫

0 nT

f (x )dx=n∫

0

T

f (x)dx

VÝ dô: TÝnh ∫

0 2008π

√1− cos x dx

Các tập áp dụng:

1 − 1

1

√1 − x2

1+2x dx ∫

−π

4

π

4

x7− x5

+x3− x+1

cos4x dx

3 ∫ − 1

1

dx

(1+ex)(1+ x2) ∫

−π

2

π

2

x+cos x

4 − sin2xdx

5 ∫ −1

2

cos x ln(1− x

1+x )dx

sin x+nx sin(¿)dx

∫

0 2 π

¿

7 ∫ − π 2 π 2

sin5x

√1+cos xdx ∫1

e

tga

xdx 1+x2+ ∫

1

e

cot ga

dx

x (1+x2

)=1 (tga>0)

VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: ∫

− 3

3

|x2− 1|dx ∫

0

|x2− x +3|dx

3 ∫

0

x|x − m|dx ∫

−π

2

π

2

5 ∫ − π π

√1 −sin x dx ∫

π

6

π

3

√tg2x+cot g2x − dx

7 ∫ π

4 3 π

4

|sin x|dx ∫

0 2 π

√1+cos x dx

9 ∫ − 2

5

(|x+2|−|x − 2|)dx 10 ∫

0

|2x− 4|dx

11 ∫ −π

2

π

3

cos x√cos x − cos3x dx 12 2)

4

x 3x 2dx



 

∫

13

5

( x x )dx



  

∫

14

2

2

2

1

x 2dx

x

 

∫

15

3 x

2  4dx

∫

16

1 cos2xdx





∫

17

2

1 sin xdx





∫

18 ∫0

|x2− x|dx

VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x

=

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x =

1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x

=

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2 Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x

=

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = đường thẳng x =

1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 đường thẳng x

=

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = 2

Bài : Cho (p) : y = x2+ đờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình

phẳng giới hạn hai đờng có diện tích nhỏ nhẩt

Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích

Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn

¿ x − x3 o ≤ x ≤ 1

y=0 ¿y ={ {

¿

Có hai phần diện tích

Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới x2+y2 = thành hai phần.Tính diện tích

mỗi phần

Bµi 5: Cho a > TÝnh diƯn tÝch hình phẳng giới hạn

y=x

2

+2 ax +3 a2 1+a4

y =a

2− ax

1+a4

¿{

¿

Tìm a để

diƯn tÝch lín nhÊt

Bµi 6: Tính diện tích hình phẳng sau:

1) (H1):

2

2

x

y

4 x y

4 

 

  

 



 2) (H2) :

2

y x 4x

y x

   

 

  

 3) (H3):

3x y

x y x

 

 

 

      

4) (H4):

2

y x

x y

   

 

 5) (H5):

y x y x    

  

 6) (H6):

2

y x

x y

   



  



7) (H7):

ln x y

2 x y x e x 

   

    

 

 8) (H8) :

2

y x 2x

y x 4x

  

 

 



 9) (H9):

2 3

y x x

2

y x 

  

   



10) (H10):

2

y 2y x

x y

   



 

 11)

¿

(C): y=√x

(d ): y =2− x (Ox)

¿{ {

¿

12)

¿

(C): y=ex (d): y=2 (Δ): x =1

¿{ {

¿

13)

¿ y2=2 x+1

y=x − 1 ¿{

¿

14)

¿ y=−√4 − x2

x2+3 y =0

¿{

¿

15)

¿ y=√x x+ y − 2=0

y=0 ¿{ {

¿

16 ¿ y =x

2

2

y=

1+x2

¿{

¿

17

¿ y2=2 x

y=x , y=0 , y=3 ¿{

¿

18)

¿ y=ln x , y=0

x=1 e, x =e

¿{

19

¿ y=

sin2x ; y=

1 cos2x

x=π

6 ; x=

π

3

¿{

¿

20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cđa (p) ®i qua

M(5/6,6)

21)

¿ y=x2− x +5

y=−2 x+4 y=4 x −11

¿{ {

¿

22)

¿

y =− x2+6 x −5

y=− x2

+4 x − 3

y=3 x − 15 ¿{ {

¿

23)

¿ y =x y=1 x y=0 x =e ¿{ { {

¿

24)

¿ y=x2− 1/❑

y=x /+5 ¿{

¿

25)

¿

y=− x2− x /+2 y =0

¿{

¿

26)

¿

y=− x2− x /+2 y =0

¿{

¿

27)

¿ y=x2+2

y =4 − x ¿{

¿

28)

¿ y=x2− x +2

y=x2+4 x +5

y =1 ¿{ {

¿

29)

¿ y=x2− 1/❑

y=− x2

+7

¿{

¿

30)

¿ y=x3

y=0 x=−2 ; x=1

¿{ {

¿

31)

¿

y=sin x −2 cos x y =3 x=0 ; x=π

¿{{

¿

32)

¿ y=x +3+2

x y=0

¿{

¿

33)

¿ y=x2+2 x

y =x+2 ¿{

¿

34)

¿ y=2 x2−2 x y=x2+3 x −6

x=0 ; x=4 ¿{ {

¿

35)

¿

y=x2− x+6 /❑

y =6 ¿{

¿

36)

¿ y=2 x2 y=x2− x −1

y=2 ¿{ {

¿

37)

¿ y=x2− x+2 /

❑

y =2 ¿{

¿

38)

¿

y=x2− x+6 /❑

y=x +1 ¿{

¿

39)

¿

y=x2− x+2 /❑

y=− x2

¿{

¿

40)

¿

y=x2− x +3 /❑

y=3 ¿{

¿

41)

¿ y=eÏ y=e− x

x=1 ¿{ {

¿

42)

¿ y= x

2 √x2− x6 x=0 ; x=1

¿{

¿

43)

¿ y=sin/ x /❑

y=x /− π ¿{

¿

44)

¿ y =2 x2

y=x2− x − 4 y=8

¿{ {

¿

45)

¿ y2=2 x 2 x +2 y +1=0

y=0 ¿{ {

¿

46) 



  

0

)

( 2

2



a

x a x y

47)

x+1¿2 ¿ x=sin πy

¿ ¿ y =¿

48)

¿ y2=x − 1/❑

x=2 ¿{

¿

49)

¿ x= y2− 1/❑

x=2 ¿{

¿

32)

y +1¿2 ¿ y=sin x

¿ x=0

¿ x=¿

33)

¿ y=√4 −x2

4

y= x

2

4√2

¿{

¿

34)

¿ x =0 ; x=

√2

y= x

√1− x4; y=0

¿{ {

¿

35)

¿ y=5x− 2

y=0 x=0 ; y=3 − x

¿{ {

¿

36)

¿ y2=6 x

x2+y2=16

¿{

¿

37)

¿ y=x2

y=x

2

27

y=27 x ¿{ {

¿

38)

4 − x¿3 ¿ y2=4 x

¿ ¿ y2

=¿

39)

¿ y=/log x /❑

y=0 x=

10 , x=10

¿{ {

¿

40)

¿

ax= y2 ay=x2

¿{

¿

(a>0) 41)

¿ y=x y=sin2x +x

0 ≤ x ≤ π

¿{ {

¿

42)

y2

=2 x

x −1¿2 ¿ ¿ ¿{ 27 y2=8¿

43) x2/25+y2/9 = vµ hai tiÕp

tuyÕn ®i qua A(0;15/4)

44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đờng thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k

để diện tích hình phẳng giới hạn (p) (d) nhỏ

45)

¿ y=x3− x2

+4 x −3

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY

Cơng thức:

V =π∫

a b

[f (x )]2dx V =π∫

a b

[f ( y)]2dy Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = 0

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y x;y x;y 0  

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2)  2 y = 4

Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox

b) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y 4 x y x2;  22.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn đường :

2

21 ;1 2

x

y y

x

 



Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox

Bài 6: Cho miền D giới hạn đường y = 2x2 y = 2x + 4

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox

Bài 7: Cho miền D giới hạn đường y = y2 = 4x y = x

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox

Bài 8: Cho miền D giới hạn đường y = x12 e

x

2 ; y = ; x= ; x =

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox

Bài 9: Cho miền D giới hạn đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox

Bài10: Cho miền D giới hạn đường y = x √ln(1+x3

) ; y = ; x =

Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox

1)

x − 2¿2 ¿ y=4

¿ ¿ y=¿

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

a y0 b

) ( :

)

(C yf x

b a

x 

b x 

x y

O

b

a

x y

0 

x

O

) ( : )

(C xf y

b y 

2)

¿ y=x2, y =4 x2

y=4 ¿{

¿

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

3)

¿ y=

x2+1

y=0 , x=0 , x=1 ¿{

¿

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

4)

¿ y=2 x − x2

y=0 ¿{

¿

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

5)

¿ y=x ln x

y =0 x=1 ;x =e

¿{{

¿

quay quanh trôc a) 0x;

6) (D)

¿ y=x2

(x>0)

y=− x +10 y=1

¿{ {

¿

quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2

7)

¿ y =x2 y=√x

¿{

¿

quay quanh trục a) 0x;

8) Miền hình tròn (x – 4)2 + y2 = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

9) MiÒn (E): x2

9 +

y2

4 =1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

10)

¿ y=xeÏ

y=0 x=1 ,;0 ≤ x ≤1

¿{ {

¿

quay quanh trôc 0x;

11)

¿

y=√cos4x+sin4x y =0 x=π

2; x=π

¿{{

¿

quay quanh trôc 0x;

12)

¿ y =x2

y=10 −3 x ¿{

¿

quay quanh trôc 0x;

14)

4

x − 4 x=0 ; x=2

y=❑

❑

{

quay quanh trôc 0x;

15)

¿ y =√x −1

y=2 x=0 ; y=0

¿{ {

¿