Tai lieu day them khao sat ham so

B5. Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.. Dạng 3: Viết phương trình tiếp [r]

(1)

Equation Chapter Section 1PHẦN – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. Tóm tắt lý thuyết:

1. Hàm số yf x( ) đồng biến (nghịch biến) khoảng D  x1x2, x x1, 2D ta có:

1

( ) ( )

f x f x , ( f x( )1  f x( )2 ).

2. Điều kiện cần đủ để yf x( ) ĐB (NB) D  f x( ) 0 ( f x'( ) 0 ),  x D đồng thời f’(x) = số hữu hạn điểm thuộc D

3. Nếu yf x( ) đồng biến [a; b] [ ; ] minf ( )

a b

x

= f(a); [ ; ] maxf ( )

a b

x

= f(b) 4. Nếu yf x( ) đồng biến [a; b] [ ; ]

minf ( )

a b

x

= f(b); [ ; ] maxf ( )

a b

x

= f(a) II. Phương pháp hàm số biện luận phương trình, bất phương trình:

1. Nghiệm phương trình f x( )g x( ) giao điểm hai đồ thị yf x( ) y g x ( ) 2. Nghiệm bất phương trình f x( )g x( ) phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị

( ) 

y f x nằm so với phần đồ thị y g x ( ).

3. Nghiệm phương trình u(x) = m hoành độ giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y u x ( )

4. Bất phương trình u x( )m với  x D ( )D u x m

5. Bất phương trình u x( )m với  x D max ( )D u x m

6. Bất phương trình u x( )m có nghiệm x D  max ( )D u x m

7. Bất phương trình u x( )m có nghiệm x D  ( )D u x m

III. Ví dụ minh họa:

1. Cho yf x( )mx22mx

a Tìm m để f(x) = có nghiệm x[1; 2].

b Tìm m để f(x)  0,  x [1; 3].

c Tìm m để f(x)  0,  x [1; 4].

Giải a

2

( ) ( ) ( )

3

      



f x m x x m g x

x x Để f(x) = có nghiệm x[1; 2] thì

[1;2] [1;2] min, ( )g x mmax, ( )g x

ta có

1 8m .

b Xét bất phương trình: mx22mx 0,  x [1;3]

( )

  



m g x

x x , vì

2

[1;3]

3 0, [1;3] max ( )

       

x x x g x m m

c Xét bất phương trình: mx22mx 0,  x [1; 4]

( )

  



m g x

x x , vì

2

[1;3]

1 0, [1; 4] ( )

8

       

x x x g x m m

IV. Úng dụng tính đơn điệu:

1. Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu B1 Tìm m để hàm số

26 2

 

 mx x y

x , nghịch biến 1; . B2 Tìm m để hàm số

3

1

( 1) ( 3)

3

     

y x m x m x

(2)

B3 Tìm m để hàm số

3 ( 1) 3( 2)

3

m     

y x m x m x

, đồng biến 2; B4 Tìm m để hàm số

2

2 (1 )  1 



x m x m

y

x m , đồng biến 1;. B5 Tìm m để hàm số

2

,( 0)

 

 

 mx x m

y m

mx đồng biến (0;). B6 Tìm m để hàm số y x 33x2(m1)x4m nghịch biến (-1; 1)

B7 Tìm m để hàm số y x 3 3(2m1)x2(12m5)x2, đồng biến (  ; 1) (2;).

3 2( 1) ( 1)

m     

y x m x m x m

, đồng biến ( ;0) (2;).

3

1

(3 2)



m   

y x mx m x

, đồng biến R

B10 Tìm m để hàm số y x 3 mx2 (2m2 7m7)x2(m1)(2m 3), đồng biến [2; +).

3 2

2

( 1) ( 3)

3



     

y x m x m m x m

, đồng biến [1; +).

2

1

 

  x x m y

x , đồng biến (3; +).

2

  



 x x m y

x , nghịch biến

( ; )

2

 

2 8

8( )

 

 x x y

m x , đồng biến (1; +). B15 Tìm m để hàm số y x msinx  , đồng biến R B16 Tìm m để hàm số

3

1

( )

3

    sin m 

y x sinm cosm x x

, đồng biến B17 Tìm m để hàm số y x 3(m1)x2(m2  4)x9, lng đồng biến

B18 Tìm m để hàm số y x 3 3x23mx3m4, đồng biến

2. Dạng 2: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình. B1 Giải phương trình: x5x3 3 x 4 0.

B2 Giải phương trình: x215 3 x 2 x28.

B3 Giải bất phương trình: x 1 35x 747x 5513x 8 . B4 Giải phương trình:

3

1 1

5 2 17

2

         

x x x x

x x x x x x

B5 Tìm x y, (0; ) thỏa

  

 

 



cotx coty x y

x y  .

B6 Giải hệ phương trình

3 3

2

    



   



    



x y y y

y z z z

z x x x

(3)

B7 Giải hệ phương trình

3 3

2 2

    



   



     

x y y y y z z z z x x x

B8 Giải bất phương trình: x9 5  2x4. B9 Giải bất phương trình:

33 1 2 4 3 2010 2009

    

x x x

PHẦN – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. Hàm đa thức bậc 3: Dạng: y ax 3bx2cx d a , 0

Hàm số có cực trị  y' 0 có hai nghiệm phân biệt Kỹ tính nhanh cực trị:

Chia y cho y’ chuyển hàm số dạng: y = y’.q(x) + r(x) (r(x) phần dư phép chia đa thức bậc nhất)

Giả sử x x1, 2là điểm cực trị, ta có: y’(x1) = y’(x2) = giá trị cực trị tại 1,

x x là: y1 r x y( );1 2 r x( )2 .

Bổ đề: Đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số bậc đường thẳng y = r(x).

1. Dạng 1: Sự tồn vị trí điểm cực trị. B1 Tìm m để hàm số

3

1

( 6) (2 1)

3

     

y x mx m x m

, có cực trị B2 Tìm m để hàm số y(m2)x33x2mx 5, có cực trị

B3 Chứng minh m, hàm số y2x3 3(2m1)x26 (m m1)x1, đạt cực trị x x1, 2 x2 x1 khơng phụ thuộc m.

3 2

1

( 2) (5 4)

3

      

y x m x m x m

đạt cực trị x x1, 2 thỏa mãn điều kiện x1  1 x2

3 2

1

( 3) 4( 3)

3

      

y x m x m x m m

, đạt cực trị x x1, 2 thỏa mãn điều kiện  1 x1x2.

3 2

1

( 2) (3 1)

3

       

y x m m x m x m

đạt cực tiể x = -2 B7 Tìm m để hàm số y x 3 3mx23(m21)x m , đạt cực tiểu x =

B8 Tìm m để hàm số y x 3 3mx2(m1)x2, đạt cực tiểu x = B9 Tìm m để hàm số y mx 33mx2  (m1)x1, khơng có cực trị 2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng qua cực trị.

B1 Viết phương trình đường thẳng qua CĐ, CT yf x( )x3 3x2 6x8

B2 Tìm m để hàm số yf x( ) 2 x33(m1)x26 (1 )m  m x, có CĐ, CT nằm đường thẳng y = -4x

B3 Tìm m để hàm số yf x( )x3mx2 7x3,có đường thẳng qua CĐ, CT vng góc với đường thẳng y = 3x –

B4 Tìm m để hàm số yf x( ) 2 x3 3(3m1)x212(m2m x) 1, có CĐ, CT Viết phương trình đường thẳng qua CĐ, CT

(4)

3. Dạng 3: Sử dụng định lí Viet cho điểm cực trị. B1 Cho

3

1

( ) ( ) 8(1 )

3

      

y f x x cosa sina x cos a x a) CMR hàm số ln có CĐ, Ct

b) Giả sử hàm số đạt cực trị x x1, 2 CMR 2  18

x x .

3

1

( )

3

     

y f x x mx x m

, có khoảng chách điểm CĐ, CT nhỏ

3

1

( ) ( 1) 3( 2)

3

      

y f x mx m x m x

, đạt cực trị x x1, 2 thỏa mãn điều kiện x12x2 1.

3

1

( )

3

    

y f x x mx mx

, đạt cực trị x x1, thỏa mãn

|x  x | 8 .

II. Hàm đa thức bậc Dạng y ax 4bx3cx2dx e a , 0

Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm nghiệm (khi a < hàm số có cực đại mà khơng có cực tiểu, a > hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại)

Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt (khi a < hàm số có cực đại cực tiểu, a > hàm số có cực tiểu cực đại)

Kỷ tính nhanh cực trị:

Tương tự hàm bậc 3: y = y’.q(x) + r(x)  y = r(x) đường thẳng qua điểm cực trị. B1 Cho yf x( )x44mx33(m1)x21 Tìm m để hàm số có cực tiểu mà khơng

có cực đại

B2 CMR yf x( )x4 px3   q 0, x R 256q27p4

B3 Tìm m để hàm số yf x( )x4 4x3x2mx1 có cực đại cực tiểu B4 Tìm m để hàm số y x 42x3mx2, có cực tiểu mà khơng có cực đại B5 Tìm m để hàm số y mx 4(m1)x2 1 2m, có cực trị

III. Hàm phân thức bậc / bậc Dạng

2

2 ( ) , '

( )

 

 

 

ax bx c g x

y y

mx n mx n .

Hàm số có cực trị  y' 0 có nghiệm phân biệt  g x( ) 0 có hai nghiệm phận biệt khác

 n m

0

( )

   

    

 

 

n g

m (vì

2

1

( n) (   ) 

g an bnm cm

m m m ).

Tính nhanh cực trị: Nếu

( ) ( ) u x y

v x có 0 ( ) ( )

'

0  



 

y x v x

0

' '

( ) ( )

( )

( ) ( )

u x u x y x

v x v x . 1. Dạng 1: Sự tồn cực trị - đường thẳng qua cực trị.

B1. Tìm m để hàm số

2 (2 2) (2 1)

   





mx m x m

y

x m có cực trị. B2. Tìm m để hàm số

2 2 2

1

  



  x x m y

x m có cực trị Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị

2 2 2

 



 x m x m y

(5)

2 ( 1)

  





x m x m

y

x có cực trị. B5. Cho hàm số

2

  



 x mx m y

x m . a) Tìm m để hàm số có CĐ, CT

b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 2. Dạng 2: Biểu thức đối xứng CĐ, CT.

2 3

  

  x x m y

x có |yCÐ yCT | 4 .

2

  



 x x m y

x có |yCÐ yCT | 12 .

2 ( 1) 4 2

1

    





x m x m m

y

x có yCÐ.yCT nhỏ

2

( 1)

  



 

m x x y

m x có (m1)(yCÐ yCT) 0  .

2 ( 2) 3 2

2

   





x m x m

y

x có

2 Ð   C CT y y 3. Vị trí tương đối điểm cực trị.

2 3 2 1

1

  



 mx mx m y

x có CĐ, CT nằm phía trục hồnh. B2. Tìm m để hàm số

2 ( 1) 1

   



 x m x m y

x m , có CĐ, CT nằm phía so với trục hồnh

2 2 5

1      x mx y

x có CĐ, CT nằm phía y = 2x. B4. Tìm m để hàm số

2 2( 1) 2( 3)

   





mx m x m

y

x có CĐ, CT thuộc góc phần tư thứ (Oxy)

2 (3 2) 5 6

   





mx m x m m

y

x m có cực trị thuộc góc phần tư thứ 2 cực trị thuộc góc phần tư thứ ba

PHẦN – GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG 1. Dạng 1: GTLN, GTNN hàm số.

B1 Tìm GTLN, GTNN hàm số y sin x cos x 20  20

B2 Tìm GTLN, GTNN hàm số y sin x cos x n  n biết x(0; ),2 n N n , 3 

B3 Cho x2y2 1 Tìm GTLN, GTNN

2 2 2( )     xy y S

x xy y . B4 Giả sử phương trình

2    x px

p có nghiệm x x1, Tìm p  0, cho S x4y4

nhỏ

B5 Cho x2y2 0 Tìm GTLN, GTNN

2

( )

 

  x x y S

(6)

B6 Cho ab  Tìm GTNN

4 2

4 ( 2)

a b  a b a b y

b a b a b a. B7 Tìm GTLN, GTNN hàm số y sin x cos x asinxcosx   B8 Cho x2y2 0 Tìm GTLN, GTNN

2

2 4

 

 

x y S

x xy y . 2. Dạng 2: Ứng dụng giải phương trình, bất phương trình.

B1 Giải phương trình x 24 4 x 2

B2 Tìm m để phương trình x 2x2 1 m có nghiệm B3 Tìm m để phương trình x 2x2 1 m x R,  B4 Tìm nghiệm x(0; )2



phương trình:

2 16

3

 

x x

sin x  

B5 Tìm m để bất phương trình m 2x29 x m, có nghiệm  x R. B6 Giải phương trình

5 (1 )5 16

  

x x

B7 Tìm m để phương trình 2 x 2x (2 x)(2x) m, có nghiệm B8 Tìm m để bất phương trình mx x 3 m 1, có nghiệm.

B9 Tìm m đế bất phương trình (x11)2m x x 2 2 4, nghiệm [0;1] B10 Tìm m để hệ bất phương trình

2

3

   



  



x x

x mx , có nghiệm. PHẦN – TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. Các toán tiếp tuyến.

1. Bài toán 1: Cho đồ thị (C)y = f(x) điểm M x y0( ; ) ( )0  C Viết phương trình tiếp tuyến

với đồ thị (C) điểm M0.

Giải Tiếp tuyến M0( )C có hệ số góc f’(x0).

Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm M0 là: y y f x'( )(0 x x 0).

2. Bài toán 2:Cho đồ thị (C)y = f(x) số k  R Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

(C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.

Giải

Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với đồ thị (C) điểm có hồnh độ '( )

  

i i i

x f x k x nghiệm phương trình f’(x) = k.

Giải phương trình tìm nghiệm xi  yi f x( )i  phương trình tiếp tuyến

Các dạng biểu diễn hệ số góc (k):

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b k = a Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b

1

,( 0)

 

k a

a .

Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b góc

tan



 

 k a

k a

 

3. Bài toán 3: Cho đồ thị (C)y = f(x) điểm A(a; b) cho trước Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A.

Giải

(7)

Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C)

( ) ( )

'( )

  

  

 

 f x k x a b

f x k có nghiệm Giải hệ phương trình tìm k

Thay k vào phương trình (d) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm II. Tiếp tuyến hàm đa thức bậc 3.

1. Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị.

B1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C)yf x( )x3 3x5, biết: a) Hoành độ tiếp điểm là: x11;x2 2;x3  3.

b) Tung độ tiếp điểm là: y15;y2 3;y3 7.

B2 Cho (C)yf x( ) 2 x3 3x29x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với đồ thị sau:

a) Đường thẳng (d)y = 7x + b) Parabol (P)y x2 8x c) Đường cong y x 3 4x26x

B3 Cho hàm số (Cm)y x 3 1 m x( 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (Cm) tại

giao điểm (Cm) với Oy Tìm m để tiếp tuyến nói chắn trục tọa độ tam giác có

diện tích

B4 Cho điểm A x y( ; ) ( )0  C y x 3 3x1, tiếp tuyến với (C) A cắt đồ thị (C) điểm B khác A tìm tọa độ điểm B

B5 Cho (Cm):yf x( )x33x2mx1 Tìm m để:

a) (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E

b) Các tiếp tuyến với (Cm) D E vng góc với nhau.

B6 Cho (Cm):yf x( )x3mx21 Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = -x + 3

điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp tuyến với (Cm) B C vng góc với

nhau

B7 Cho (C):y x 3 3x

a) CMR đường thẳng m:y m x ( 1) 2 cắt (C) điểm A cố định

b) Tìm m để m cắt (C) A, B, C phân biệt cho tiếp tuyến B C vng góc

nhau

B8 Tìm điểm đồ thị (C):

3

1

3

  

y x x

mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

1

3

 

y x

B9 Cho đồ thị (C):y x 33x2 9x5 Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ

B10 Cho đồ thị (C):

3

1

    

y x mx x m

Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ

2. Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.

B1 Viết phương trình tiếp tuyến (C):y x 3 3x2, biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

1  y x

(8)

B2 Viết phương trình tiếp tuyến (C):y x 3 3x21 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y9x2010

B3 Cho (C):y x 3 3x7 Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết: a) Tiếp tuyến song song với y6x1

b) Tiếp tuyến vng góc với

1

 

y x

B4 Viết phương trình tiếp tuyến (C):y x 3 3x22 biết tiếp tuyến vng góc với 5y 3x 4 0.

B5 Cho (C):y2x3 3x212x Viết phương trình tiếp tuyến biết : a) Tiếp tuyến song song với y6x

b) Tiếp tuyến vng góc với

1

 

y x

c) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng

1

 

y x

góc 450

3. Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước đến đồ thị. B1 Viết phương trình tiếp tuyến qua

19 ( ; 4)

12 A

đến (C):y2x3 3x25 B2 Viết pt tiếp tuyến qua A(0; 1) đến (C):y2x33(m1)x26(m 2)x1 B3 Cho hàm số (C):yf x( )x3 3x22

a) Viết phương trình tiếp tuyến qua 23 ( ; 2)

9  A

đến (C)

b) Tìm đường thẳng y = -2 điểm kẻ đến (C) tiếp tuyến vng góc với B4 Cho hàm số (C):yf x( )x33x2 Tìm Ox điểm kẻ tiếp tuyến

đến (C)

B5 Cho hàm số (C):y x 3 6x29x1 Từ điểm x = 2, tiếp tuyến đến (C)

B6 Tìm đồ thị (C) :yf x( )ax3bx2cx d a , 0 điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C)

B7 Cho (C) :yf x( )x3 3x22 điểm M  (C) Có tiếp tuyến (C) đi

qua M

B8 Có tiếp tuyến qua A(-2 ; 5) đến đồ thị (C) :yf x( )x3 9x2 17x2 III. Tiếp tuyến hàm đa thức bậc 4.

1. Dạng : Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị

B1. Cho đồ thị (C) :yf x( ) ( x1) (2 x1)2 ; (P) :y g x ( ) 2 x2m a) Tìm m để (C) (P) tiếp xúc

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung tiếp điểm (C) (P)

B2. Cho đồ thị (C) :yf x( )x42mx2 2m1 Tìm m để tiếp tuyến A(0 ; 1) B(-1 ; 0) vng góc với

B3. Cho đồ thị (C) :yf x( )x42x2 Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) với Ox

2. Dạng : Viết phương trình theo hệ số góc cho trước. B1. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) :

4

1 1

5

4

    

y x x x x

(9)

B2. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) :y x 4 2x24x1, vuông góc với đường thẳng

1

 

y x

B3. Cho hàm số (C) :

4

1

( )

2

    

y f x x x x

Tìm m để đồ thị (C) ln có tiếp tuyến song song với đường thẳng y = mx

B4. Cho hàm số (Cm) :yf x( )x4mx2 m1 Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị A

song song với y = 2x, với A điểm cố định có hồnh độ dương (Cm).

3. Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước. B1. Cho đồ thị (C) :

4

1

2

 

y x x

Viết phương trình tiếp tuyến qua gốc tọa độ đến (C) B2. Cho đồ thị (C) :y(x2 2)2 Viết phương trình tiếp tuyến qua A(0 ; 4) đến (C)

B3. Cho đồ thị (C):yf x( )x4 x21 Tìm trục tung điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C)

B4. Cho đồ thị (C):yf x( )x42x21 Tìm trục tung điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C)

B5. Viết phương trình tiếp tuyến qua A(1; -4) đến (C):

4

( ) 2

4

    

y f x x x x IV. Tiếp tuyến hàm phân thức bậc / bậc 1.

1. Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị. B1 Tìm a, b để đồ thị (C):

 

 ax b y

x cắt Oy A(0; -1) đồng thời tiếp tuyến A có hệ số góc

2 (3 1)

,( 0)

  

 



m x m m

y m

x m Tìm m để tiếp tuyến giao điểm (C) với trục Ox song song với đường :y10x Viết phương trình tiếp tuyến B3 Cho (H):

2

1  

 x y

x điểm M  (H)./ Gọi I giao hai tiệm cận Tiếp tuyến

tại M cắt tiệm cận A B CMR: a) M trung điểm AB

b) Diện tích tam giác IAB khơng đổi

2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước. B1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C):

3

1  

 x y

x tạo vơi trục hồnh góc 450 B2 Viết phương trình tiếp tuyến (C):

4

2

 

  x y

x song song với :y3x2. B3 Viết phương trình tiếp tuyến (C):

2

5

 

 x y

x vng góc với :y2x. B4 Viết phương trình tiếp tuyến (C):

4

1  

 x y

x tạo với đường thẳng :y3x góc

45 .

3

2

 

 

x y

x Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Song song với đường thẳng

1

 

(10)

c) Tạo với đường thẳng y = -2x góc 450 d) Tạo với đường thẳng y = -x góc 600

3. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước. B1 Viết phương trình tiếp tuyến qua A(0; 1) đến (C):

4

2

 

  x y

x . B2 Tìm :x3 điểm kẻ tiếp tuyến đến (C):

2

( )

2 

 

 x y f x

x . B3 Tìm Oy điểm kẻ tiếp tuyến đến (C):

1 ( )

1 

 

 x y f x

x . B4 Tìm  : 2 điểm kẻ tiếp tuyến đến (C):

3

( )

4



 

 x y f x

x .

B5 Tìm đường thẳng :y2x1 điểm kẻ tiếp tuyến đến (C):

( )

1 

 

 x y f x

x .

B6 Tìm Oy điểm kẻ tiếp tuyến đến (C):

2 ( )

1 

 

 x y f x

x cho 2 tiếp điểm nằm phía Ox

PHẦN – KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ I. Khảo sát hàm bậc y ax 3bx2cx d a , 0

B1 Cho (Cm) :yf x( )x33x2 9x m

a) Khảo sát biến thiên vẽ đò thị hàm số m = b) Tìm m để phương trình f(x) = có nghiệm phân biệt c) Tìm m để f(x) = có nghiệm x[0 3];

B2 Cho hàm số (C) :y x 3 3x2 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình :

2 3 3 2 2 1

   

 

m x x

m . B3 Cho hàm số (C) :y(x1) (22  x)

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : (x1) (22  x) ( m1) (22  m) B4 Cho hàm số (C) :yf x( )x3 x

b) Gọi x0 nghiệm phương trình f(x) = CMR :

0  0 x x . B5 Cho hàm số (C): yf x( ) 4 x3 3x

b) Tìm số nghiệm phương trình : 4x3 3x 1 x2 .

B6 Cho hàm số (C): yf x( )x3 3x22 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Cho đường tròn (T): x2y2 2ax 4ay5a2 0 Tìm a để điểm CĐ, CT đồ thị (C) nằm phía (T)

B7 Tìm m để đồ thị (C): yf x( )x3mx29x4, có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ

(11)

B1 Cho hàm số (C):

2

( )

3 

 

 x y f x

x . a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm M  (C) để tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đồ thị hàm số nhỏ nhất.

B2 Cho hàm số (C)

2

( )

2 

 

 x y f x

b) CMR y = -x + m cắt (C) điểm phân biệt Tìm m để độ dài đoạn thẳng AB nhỏ

B3 Cho hàm số (C)

1 ( )

1 

 

 x y f x

b) CMR đường thẳng d: 2x – y + m = cắt (C) điểm A, B phân biệt nhánh Tìm m để AB nhỏ

B4 Cho hàm số (C) ( ) 

 

 mx n y f x

x .

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = 1, n =

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với Oy III. Một số phép biến đổi đồ thị:

1. Dạng 1: Từ đồ thị hàm số (C) y = f(x) vẽ đồ thi (C1)y = |f(x)|.

Ta có:

( ) ( )

( )

( ) ( )

 



   

  



f x f x

f x y

f x f x đồ thị nằm Ox Từ ta có cách vẽ:

Giữ nguyên phần đồ thị (Ca) đồ thị (C) phía trục Ox.

Lấy (C’b) đối xứng qua trục Ox với phần đồ thị (Cb) (C) nằm Ox, đó

1

( ) ( ) ( )C  Ca  Cb .

2. Dạng 2: Từ đồ thị (C):y = f(x) vẽ (C2):y = f(|x|).

Ta có f(|-x|) = f(|x|),  x y = f(|x|) hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục

đối xứng.

Mặt khác, f(|x|) = f(x),  x 0 nên ta có cách vẽ sau:

Giữ nguyên phần đồ thị (Cp) (C) ứng với x0.

Lấy (C’) đối xứng với (Cp) qua Oy  ( ) (C2  Cp) ( ') C .

B1 Cho hàm số (C): y x 3 3x2 a) Khảo sát vẽ đồ thị

b) Biên luận theo a số nghiệm phương trình: |x3 3x2 |a B2 Cho hàm số (C):

4

2

x  

y x

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để

4

2

3

2  2  

x

x m m

B3 Cho (Cm):y x 3 3mx2 6mx

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = 4.

(12)

PHẦN – CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC 3 1. Dạng 1: Các dạng toán tương giao hàm số bậc 3:

B1 Cho (C):y x 3 3(m1)x2 2(m24m1)x (m m1) Tìm m để (C) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh đồ lớn

B2 Cho (C):y x 3 2mx2(2m21)x m (1 m2) Tìm m để (C) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dương

B3 Cho (C):y x 3 3mx23(m21)x 1 m2 Tìm m để (C) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dương

B4 Tìm điều kiện p q để (C):y x 3px q , cắt Ox điểm phân biệt

B5 Cho (C):y x 3 3x23(1 m x)  1 3m tìm m để (C) cắt Ox điểm, điểm, điểm

B6 Cho (C):y x 3 x218mx 2m tìm m đê (C) cắt Ox điểm phân biệt thỏa 1 0 

x x x .

B7 Tìm m để (C):y x 3m x( 21) cắt Ox điểm phân biệt B8 Tìm m để phương trình

3

2

1

 

 m x x

m có nghiệm phân biệt.

B9 Tìm m để (C):yf x( )2x3x2m, cắt Ox điểm phân biệt có hồnh đồ 1, ,2

x x x cho 2

1

  

S x x x nhỏ nhất.

B10 Tìm m để (C):yf x( )x33mx2 3x 3m2, cắt Ox điểm phân biệt có hồnh đồ x x x1, ,2 3 cho Sx12x22x32 nhỏ nhất.

2. Dạng 2: Phương trình bậc có nghiệm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân. B1 Tìm điều kiện tham số để (C):y ax 3bx2cx d a ,( 0), cắt Ox điểm phân biệt

có hồnh độ lập thành cấp số cộng

B2 Tìm m để đồ thị hàm số (C):y x 3 3mx22 (m m 4)x9m2 m, cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

B3 Tìm điều kiện tham số để (C): y ax 3bx2cx d ad ,( 0), cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân

B4 Tìm m đê (C):y x 3 (3m1)x2 (5m4)x 8, cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.s

B5 Tìm m để (C):y x 3 3x2 9x m cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

PHẦN – BIỆN LUẬN SỐ ĐỒ THỊ ĐI QUA MỘT ĐIỂM I. Một số lý thuyết:

Cho học đượng cong (C): y = f(x, m), biểu diễn phương trình hàm số dạng phương trình đa

thức ẩn m: ( , ) 1( , ) 1( , ) 0( , )

 

    

n n

a x y m a x y m a x y m a x y .

Với điểm A x y( ; )0 xét phương trình ẩn m với hệ số gắn với ( ; )x y0 :

0 0 0 0

( , ) ( , )  ( , ) ( , )



    

n n

a x y m a x y m a x y m a x y (*). 1. Điểm cố định họ đồ thị:

0 ( ; )

A x y điểm cố định họ đồ thị (C): y = f(x, m)  A x y( ; ) ( ),0 0  C m (*) đúng

(13)

0 0 0 0 ( ; )  ( ; ) ( ; ) ( ; ) 0,  a x yn an x y  a x y a x y  m. 2. Điểm có vài đồ thị qua:

0 ( ; )

A x y điểm có k đồ thị qua  phương trình (*) ẩn m có k nghiệm phân biệt. 3. Điểm khơng có đồ thị qua:

0 ( ; )

A x y điểm đồ thị qua  phương trình (*) ẩn m vô nghiệm. II. Bài tập áp dụng:

1. Dạng 1: Điểm cố định họ đồ thị:

B1 Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm):y x 3 (m1)x2  (2m2  3m2)x2 (2m m1).

B2 Chứng minh (Cm) :y(m2)x3 3(m2)x2 4x2m1 có điểm cố định

thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua điểm

B3 Chứng minh (Cm) :y(m3)x3 3(m3)x2 (6m1)x m 1, có điểm cố định

thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua điểm cố định 2. Dạng 2: Điểm có vài đồ thị họ đường cong qua:

B1 Cho

2

( ) :    

m

x mx m C y

x m Tìm điểm mặt phẳng tọa độ có đường cong hoc (Cm) qua.

B2 Cho

2 ( 1) 2

( ) :       



m

mx m m x m m C y

x m Chứng minh điểm bên phải đường thẳng x = ln có đường họ đồ thị qua

3. Dạng 3: Điểm khơng có đồ thị họ đường cong qua:

B1 Cho (Cm) :y2x3 3(m3)x218mx6 CMR Parabol (P):y x 214 có 2

điểm mà khơng có đồ thị qua

B2 Cho họ đồ thị (Cm) :y mx 3 m x2 2 4mx4m2  Tìm Ox điểm mà khơng

có đồ thị nàm họ (Cm) qua.

4. Bài tập tự luyện:

B1 Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm) :y x 3mx2 9x 9m.

B2 Viết phương trình tiếp tuyến điểm cố định (Cm) :y x 3mx2  m1.

B3 Cho họ (Cm) :y xy  2my 2mx m x  4m0.

a) Tìm điểm M cho có đồ thị hàm số qua b) Tìm điểm M cho có đồ thị hàm số qua B4 Cho (Cm) :y x 3(m21)x2 4m Tìm M để cho:

a) Có đồ thị (Cm) qua.

b) Có đồ thị (Cm) qua.

c) Có đồ thị (Cm) qua.

B5 Tìm mặt phẳng tọa độ điểm mà khơng có đồ thị họ

2

(Cm) :y x  m x m  2 qua.

PHẦN – BÀI TỐN TIẾP XÚC I. Tóm tắt lý thuyết:

Cho ( ) :C1 yf x( ) ( ) :C2 y g x ( ) tiếp xúc A x y( ; )0 điểm A

1

( ) ( )

 C  C tiếp tuyến A (C1) trùng với tiếp tuyến A (C2)

0

( ) ( )

'( ) '( )  

 

 

f x g x f x g x

(14)

Hai đường cong( ),( )C1 C2 tiếp xúc

( ) ( ) ( ) (

' ' )

 

 

 

f x g x f x g x . II. Ứng dụng giải toán:

B1 Tìm m để (Cm) :y mx 3(m1)x2 (4m 3)x6m tiếp xúc với Ox

B2 Tìm m để (Cm) :y2x3 3(m3)x216mx 8 tiếp xức với Ox.s

B3 Tìm m để (Cm) :y x 3 (m1)x2  (2m2 3m2)x2 (2m m1) tiếp xúc với đường

thẳng y49x98

B4 Tìm m đê (Cm) :y x 3 4x24x tiếp xúc (dm) :y4x 3m3

B5 Tìm m để (Cm) :y x 3 3(m1)x2(2m2 3m2)x m m ( 1) tiếp xúc Ox.

PHẦN – ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN TRÊN ĐỒ THỊ B1 Tìm để

2 5 15 ( ) :

3

 

 

 x x M C y

x có tọa độ số ngun. B2 Tìm

2 1

( ) :

2  

 

 x x M C y

x có tọa độ số nguyên. B3 Tìm

4

( ) :

1

   

 M C y x

x , có tọa độ số nguyên. B4 Tim

8

( ) :

2



 

 x M C y

x có tọa độ số nguyên. B5 Tìm

10 ( ) :

3



 

 x M C y

x có tọa độ số nguyên. PHẦN 10 – KHOẢNG CÁCH I. Lý thuyết bản:

1. Khoảng cách hai điểm M x y N x y( ; ); ( ; )1 2

2

1 2

( ) ( )

   

MN x x y y .

2. Khoảng cách từ điểm M x y( ; )0 đến đường thẳng :Ax By c  0 là

0

2

| |

( / )   

 Ax By C d M

A b .

3. Trường hợp đặc biệt:

Nếu :x a  d M( / ) | x0 a|.

Nếu :y b  d M( / ) | y0 b|.

Tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là: d(M) |x0| | y0|.

4. Khoảng cách đường thẳng đường cong:

Bài toán: Cho (C):y = f(x) ( ) : Ax By C  0 Tìm d(/(C))?

Cách 1:

Lấy điểm M x y( ; ) ( )0  C  y0 f x( )0 .

Tính

0

2

| |

( / ( ))  

 Ax By C d M C

A b tìm Min d(M/(C)).

Cách 2:

Viết phương trình tiếp tuyến (t) (C) // () sau tìm tiếp điểm A x y( ; )0 .

( / ( ))  ( / )

d C d A .

5. Diện tích tam giác mặt phẳng tọa độ:

Diện tích 1 2 2

1

; ( ; ), ( ; ) | |

2

OAB A x y B x y  S  x y  x y

(15)

Diện tích 1 2 3 3

1

; ( ; ), ( ; ), ( ; ) ( )( ) ( )( )

2

ABC A x y B x y C x y  S x  x y  y  x  x y  y

.

II. Ứng dụng giải toán:

1. Dạng 1: Khoảng cách Parabol.

B1 Tìm điểm M( ) :P y x 21 để OM nhỏ CMR đường thẳng OM vng góc với tiếp tuyến (P) tạiM

B2 Cho A(3; 0) Tìm M( ) :P y x để AM nhỏ CMR đường thẳng AB vng góc với tiếp tuyến (P) M

B3 Cho (P):y x điểm A(-1; 1), B(3; 9)  (P) tìm M  cung AB cho SABM

lớn

B4 Cho (P):yf x( ) 2 x2 3x1 ( ) : y x  tìm điểm M thuộc (P) N thuộc () cho MN nhỏ nhất.

2. Dạng 2: Khoảng cách hàm bậc / bậc 1. B1 Tìm

3

( ) :

2 

 

 x M H y

x để tổng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận (H) nhỏ

B2 Tìm

1 ( ) :

1 

 

 x M H y

x để tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ nhỏ nhất. B3 Tìm nhánh đồ thị (C):

4

3  

 x y

x điểm M M1, 2 để độ dài M M1 2 nhỏ

B4 Cho (C):

4

2

 

  x y

x Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận (C) nhỏ

B5 Tìm

5

( ) :

3



 

 x M H y

x để tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ nhỏ nhất. B6 Tìm nhánh đồ thị (C):

2

4

 

  x y

x điểm M M1, để độ dài M M1 nhỏ

Hết

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	2,16 MB