Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Chuyên đề bất đẳng thức
C¸c dạng tập thờng gặp
Dng I : Chng bất đẳng thức định nghĩa Chứng minh
1) a2 + b
2 + c2 ab - ac + 2bc 2) 4a4 + 5a2 8a3 + 2a - 1
3) a2 + b2 + c2 + d2 +e2 a( b + c + d + e ) 4) a2( + b2) +b2( + c2) + c2( + a2) 6abc 5) a4 + 4a
6) a4 + b4 a3b + ab3
7) a4 + b4 + c4 + d4 4abcd 8) x4 + y4 x
6
y2+ y6
x2 , ( Víi x,y )
9) Cho a , b CMR 2√ab √a+√b≤
4
√ab
10) Cho a, b, c ba số thoả m·n a 0, b vµ c √ab CMR : c+a
√c2 +a2
≥ c+b √c2
+b2
11) Cho ab , CMR 1+a2+
1 1+b2≥
2 1+ab
12) Chøng minh r»ng víi x ta cã
x2+3 √x2
+2
13) CM víi a 0, b vµ x, y R th× ( ax + by)( bx + ay) (a+b)2xy
14) CM víi ab th×
(a5 + b5)(a + b) (a4 + b4)(a2 + b2) 15) Cho z y x Chøng minh
y(1 x+
1
z)+
1
y (x+z)≤(x+z)(
1
x−
1
z)
16) Cho a 2, b Chøng minh ab a + b 17) CMR víi a 0, b ta cã
√b2 a +√
a2
b ≥√a+√b
18) Cho a b CMR : (a −b)
2
8a ≺ a+b
2 −√ab≺
(a − b)2
8b
19) CMR víi a 0, b 0, c 0, d ta cã
1
a+
1
b −
1
c+
1
a
≤
1
a+c+
1
b+d
D¹ng II : Phơng pháp phản chứng
1) CMR: Nu a + b = 2cd hai bất đẳng thức c2 a ; d2 b
(2)2(a2 + b2) (b + c)2 2(b2 + c2) (c + a)2 2(c2 + a2) (a + b)2
3) CMR nÕu a1a2 2(b1+b2) hai phơng tr×nh x2 + a1x + b1= (1)
x2 + a2x + b2= (2)cã nghiÖm
4) Cho a, b, c Chøng minh có bất đăng thức sau sai :
1 1; 1 1; 1
4 4
a b b c c a
5) Cho ba sè a, b, c tháa m·n : a + b + c (1) ab + bc + ca (2) abc (3)
Chøng minh : a 0, b 0, c
6) Chøng minh hai phơng trình sau có phơng tr×nh cã nghiƯm :
x2 - 2ax + - 2b = 0 x2 - 2bx + - 2a = 7) Cho ba bất đẳng thức
a(2 - b) > ; b(2 - c) > ; c(2 - a) > Với a, b, c (0 ; 2) Chứng minh có ba bất đẳng thức sai
8) Cho a, b, c (0 ; 1) Chứng minh có bất đẳng sau sai
√a(1−√b)≻1
4 ; √b(1−√c)≻
4 ; √c(1−√a)≻
9) Chứng minh không tồn tam giác mà độ dài đờng cao ; √5 ; 1+√5
10) Chứng minh có bất đẳng thức sau a3b5(c - a)7(c - b)9 ; bc5(a - b)9(a - c)13 ; c9a7(b - c)5(b - a)3 0 Dạng III : Vận dụng bất đẳng thức toán bản
NÕu a < b th× a
b≺ a+c
b+c
NÕu a b th× a
b≥ a+c
b+c
NÕu x, y, z > th× +) xy1 ≤
(x+y)2
+)
x+
1
y ≥
4
x+y
+)
x+
1
y+
1
z≥
9
x+y+z
Các toán áp dụng
(3)a a+b+c+
b b+c+d+
c c+d+a+
d d+a+b≺2
2) Cho x, y, z > CMR √x
√x+√y+
√y
√y+√z+
√z
√z+√x≺2
3) Cho a, b, c lµ ba cạnh tam giác CMR
a b+c+
b c+a+
c a+b≺2
4) CMR :
125
+4
9123
+4≻
9123+1
9121
+1
5) Cho a, b > CMR 4a2+4b2+
1 ab≥
1
(a+b)2
6) Cho a, b, c > CMR a+ b+ c≥ 2a+b+c+
4
a+2b+c+
4
a+b+2c
7) Cho a, b, c ba cạnh tam gi¸c CMR
a+b − c+
1
a −b+c+
1
−a+b+c≥
1 a+ b+ c
8) Cho a, b, c, d > CMR
a+c
a+b+
b+d
b+c+
c+a
c+d+
d+b
d+a≥4
9) Cho a, b, c > CMR
2a+b+
1 2b+c+
1 2c+a≥
3
a+b+c
10) Cho a, b, c > CMR
2a+b+c+
1
a+2b+c+
1
a+b+2c≥
9 4(a+b+c)
11) Cho x tho¶ m·n 3≺x≺
13
2 CMR
3x −2−
x −10+ 13−2x ≥
3
12) Cho a, b, c > tháa m·n a + b + c = CMR
a2
+2 bc+
1
b2
+2 ac+
1
c2
+2 ab≥9
13) Cho a, b, c > CMR
a+
1
b+
1
c≥3(
1 2a+b+
1 2b+c
1 2c+a)
14) Cho a, b, c > CMR
a b+c+
b c+a+
c a+b≥
3 15) Cho a, b, c > CMR
1
(2a+b) (2c+b)+
1
(2b+c) (2a+c)+
1
(2b+a)(2c+a)≥
3
(a+b+c)2
(4)a+c (a+b)(c+d)+
b+d (a+d) (b+c)≥
4
a+b+c+d
17) Cho a, b, c, d > CMR
a cb d a b c d b
a d
c b
a
12
3
18) Cho a, b, c ba cạnh tam gi¸c CMR
(a+b)2
a+b − c+
(b+c)2
−a+b+c+
(c+a)
a − b+c≥4(a+b+c)
19) Cho hai sè d¬ng a, b tháa m·n a + b = CMR
ab+
a2+b2≥6
20) Cho a, b > tháa m·n a + b Chøng tá r»ng
ab+
a2
+b2≥14
Dạng IV Chứng minh bất đẳng thức dẫy A) kiến thức cần nhớ
Để chứng minh A B ta phải chứng minh A C với C biểu thức lớn b»ng B
Từ ta có A B, ta chứng minh D B với D biểu thức nhỏ hay A từ ta có A B
Giải toán dạng dãy, ngời ta thờng phát đặc điểm số hạng tổng qt, từ rút gọn phép tính trung gian
Ngời ta hay sử dụng phơng pháp quy nạp toán học trờng hợp thuận lợi
B) Bµi tËp
1) CMR:
n+1+
1
n+2+ +
1
2n>2 Víi n N, n >
2) CMR: 1n+
n+1+ +
1
n2>1 Víi n N
3) CMR:
√1+ √2+ +
1
√n>√n Víi n N, n >
4) CMR: 2(√n+1−1)<1+
√2+ √3+ +
1
√n<2√n−1 Víi n N
5) CMR:
2√1+
3√2+ +
(n+1)√n<2 Víi n N, n
6) CMR: 1+
22+ 32+ +
1
n2<2 Víi n N, n >
7) CMR: 15+
13+ .+
n2+(n+1)2<
1
2 Víi n N, n 8) CMR: 19+
25 + +
(2n+1)2<
1
4 Víi n N, n 9) Cho a, b, c ba cạnh tam gi¸c CMR
(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) abc 10) CMR:
15< 2⋅
3 4⋅
5 6⋅⋅
99 100<
(5)11) CMR víi mäi sè tù nhiªn n 8, ta cã
2< 22+
1 32+ +
1
n2<
2
12) CMR với số tự nhiên n khác 0, ta cã: 2≤(1+1
n)
n
<3
13) CMR víi n N, n 1, ta cã
a)
2<
n+1+
1
n+2+ +
1 2n<
3 b) 1<
n+1+
1
n+2+ +
1 3n+1<2
c) 1<
23+
1 33+ +
1
n3<
5 Dạng V:Bất đẳng thức cosi A) kiến thức cần thiết
Trung bình cộng n số khơng âm lớn trung bình nhân n số
*) Cho a1 , a2 , , an ta lu«n cã
a1+a2+ +an
n ≥
n