chuyªn ®ò bêt ®¼ng thøc chuyªn ®ò bêt ®¼ng thøc c¸c d¹ng bµi tëp th­êng gæp d¹ng i chøng bêt ®¼ng thøc b»ng ®þnh nghüa chøng minh r»ng 1 b2 c2 ab ac 2bc 2 4a4 5a2 8a3 2a 1 3 a2 b2

[r]

Chuyên đề bất đẳng thức

C¸c dạng tập thờng gặp

Dng I : Chng bất đẳng thức định nghĩa Chứng minh

1) a2 + b

2 + c2 ab - ac + 2bc 2) 4a4 + 5a2 8a3 + 2a - 1

3) a2 + b2 + c2 + d2 +e2 a( b + c + d + e ) 4) a2( + b2) +b2( + c2) + c2( + a2)  6abc 5) a4 +  4a

6) a4 + b4  a3b + ab3

7) a4 + b4 + c4 + d4 4abcd 8) x4 + y4 x

6

y2+ y6

x2 , ( Víi x,y  )

9) Cho a  , b  CMR 2√ab √a+√b≤

4

√ab

10) Cho a, b, c ba số thoả m·n a  0, b  vµ c  √ab CMR : c+a

√c2 +a2

≥ c+b √c2

+b2

11) Cho ab  , CMR 1+a2+

1 1+b2≥

2 1+ab

12) Chøng minh r»ng víi  x ta cã

x2+3 √x2

+2 

13) CM víi a  0, b  vµ  x, y  R th× ( ax + by)( bx + ay)  (a+b)2xy

14) CM víi ab  th×

(a5 + b5)(a + b)  (a4 + b4)(a2 + b2) 15) Cho z  y  x  Chøng minh

y(1 x+

1

z)+

1

y (x+z)≤(x+z)(

1

x−

1

z)

16) Cho a  2, b  Chøng minh ab  a + b 17) CMR víi a  0, b  ta cã

√b2 a +√

a2

b ≥√a+√b

18) Cho a  b  CMR : (a −b)

2

8a ≺ a+b

2 −√ab≺

(a − b)2

8b

19) CMR víi a  0, b  0, c  0, d  ta cã

1

a+

1

b −

1

c+

1

a

≤

1

a+c+

1

b+d

D¹ng II : Phơng pháp phản chứng

1) CMR: Nu a + b = 2cd hai bất đẳng thức c2  a ; d2 b

2(a2 + b2)  (b + c)2 2(b2 + c2)  (c + a)2 2(c2 + a2)  (a + b)2

3) CMR nÕu a1a2 2(b1+b2) hai phơng tr×nh x2 + a1x + b1= (1)

x2 + a2x + b2= (2)cã nghiÖm

4) Cho  a, b, c  Chøng minh có bất đăng thức sau sai :

1 1; 1 1; 1 

4 4

a  b  b  c  c  a 

5) Cho ba sè a, b, c tháa m·n : a + b + c  (1) ab + bc + ca  (2) abc  (3)

Chøng minh : a  0, b  0, c 

6) Chøng minh hai phơng trình sau có phơng tr×nh cã nghiƯm :

x2 - 2ax + - 2b = 0 x2 - 2bx + - 2a = 7) Cho ba bất đẳng thức

a(2 - b) > ; b(2 - c) > ; c(2 - a) > Với a, b, c (0 ; 2) Chứng minh có ba bất đẳng thức sai

8) Cho a, b, c (0 ; 1) Chứng minh có bất đẳng sau sai

√a(1−√b)≻1

4 ; √b(1−√c)≻

4 ; √c(1−√a)≻

9) Chứng minh không tồn tam giác mà độ dài đờng cao ; √5 ; 1+√5

10) Chứng minh có bất đẳng thức sau a3b5(c - a)7(c - b)9 ; bc5(a - b)9(a - c)13  ; c9a7(b - c)5(b - a)3 0 Dạng III : Vận dụng bất đẳng thức toán bản

NÕu a < b th× a

b≺ a+c

b+c

NÕu a  b th× a

b≥ a+c

b+c

NÕu x, y, z > th× +) xy1 ≤

(x+y)2

+)

x+

1

y ≥

4

x+y

+)

x+

1

y+

1

z≥

9

x+y+z

Các toán áp dụng

a a+b+c+

b b+c+d+

c c+d+a+

d d+a+b≺2

2) Cho x, y, z > CMR √x

√x+√y+

√y

√y+√z+

√z

√z+√x≺2

3) Cho a, b, c lµ ba cạnh tam giác CMR

a b+c+

b c+a+

c a+b≺2

4) CMR :

125

+4

9123

+4≻

9123+1

9121

+1

5) Cho a, b > CMR 4a2+4b2+

1 ab≥

1

(a+b)2

6) Cho a, b, c > CMR a+ b+ c≥ 2a+b+c+

4

a+2b+c+

4

a+b+2c

7) Cho a, b, c ba cạnh tam gi¸c CMR

a+b − c+

1

a −b+c+

1

−a+b+c≥

1 a+ b+ c

8) Cho a, b, c, d > CMR

a+c

a+b+

b+d

b+c+

c+a

c+d+

d+b

d+a≥4

9) Cho a, b, c > CMR

2a+b+

1 2b+c+

1 2c+a≥

3

a+b+c

10) Cho a, b, c > CMR

2a+b+c+

1

a+2b+c+

1

a+b+2c≥

9 4(a+b+c)

11) Cho x tho¶ m·n 3≺x≺

13

2 CMR

3x −2−

x −10+ 13−2x ≥

3

12) Cho a, b, c > tháa m·n a + b + c = CMR

a2

+2 bc+

1

b2

+2 ac+

1

c2

+2 ab≥9

13) Cho a, b, c > CMR

a+

1

b+

1

c≥3(

1 2a+b+

1 2b+c

1 2c+a)

14) Cho a, b, c > CMR

a b+c+

b c+a+

c a+b≥

3 15) Cho a, b, c > CMR

1

(2a+b) (2c+b)+

1

(2b+c) (2a+c)+

1

(2b+a)(2c+a)≥

3

(a+b+c)2

a+c (a+b)(c+d)+

b+d (a+d) (b+c)≥

4

a+b+c+d

17) Cho a, b, c, d > CMR

a cb d a b c d b

a d

c b

a      

 

  

12

3

18) Cho a, b, c ba cạnh tam gi¸c CMR

(a+b)2

a+b − c+

(b+c)2

−a+b+c+

(c+a)

a − b+c≥4(a+b+c)

19) Cho hai sè d¬ng a, b tháa m·n a + b = CMR

ab+

a2+b2≥6

20) Cho a, b > tháa m·n a + b  Chøng tá r»ng

ab+

a2

+b2≥14

Dạng IV Chứng minh bất đẳng thức dẫy A) kiến thức cần nhớ

Để chứng minh A B ta phải chứng minh A C với C biểu thức lớn b»ng B

Từ ta có A B, ta chứng minh D B với D biểu thức nhỏ hay A từ ta có A B

Giải toán dạng dãy, ngời ta thờng phát đặc điểm số hạng tổng qt, từ rút gọn phép tính trung gian

Ngời ta hay sử dụng phơng pháp quy nạp toán học trờng hợp thuận lợi

B) Bµi tËp

1) CMR:

n+1+

1

n+2+ +

1

2n>2 Víi n N, n >

2) CMR: 1n+

n+1+ +

1

n2>1 Víi n N

3) CMR:

√1+ √2+ +

1

√n>√n Víi n N, n >

4) CMR: 2(√n+1−1)<1+

√2+ √3+ +

1

√n<2√n−1 Víi n N

5) CMR:

2√1+

3√2+ +

(n+1)√n<2 Víi n N, n 

6) CMR: 1+

22+ 32+ +

1

n2<2 Víi n N, n >

7) CMR: 15+

13+ .+

n2+(n+1)2<

1

2 Víi n N, n  8) CMR: 19+

25 + +

(2n+1)2<

1

4 Víi n N, n  9) Cho a, b, c ba cạnh tam gi¸c CMR

(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)  abc 10) CMR:

15< 2⋅

3 4⋅

5 6⋅⋅

99 100<

11) CMR víi mäi sè tù nhiªn n  8, ta cã

2< 22+

1 32+ +

1

n2<

2

12) CMR với số tự nhiên n khác 0, ta cã: 2≤(1+1

n)

n

<3

13) CMR víi n N, n  1, ta cã

a)

2<

n+1+

1

n+2+ +

1 2n<

3 b) 1<

n+1+

1

n+2+ +

1 3n+1<2

c) 1<

23+

1 33+ +

1

n3<

5 Dạng V:Bất đẳng thức cosi A) kiến thức cần thiết

Trung bình cộng n số khơng âm lớn trung bình nhân n số

*) Cho a1 , a2 , , an  ta lu«n cã

a1+a2+ +an

n ≥

n