Bài soạn nguyên ham cuc hay

NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1 : NGUYÊN HÀM A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Nguyên hàm và tính chất a) Định nghĩa : Cho hàm số ( )f x xác định trên K (K là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng). Hàm số ( )F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K nếu : '( ) ( )F x f x= với mọi x K ∈ . b) Định lí : 1) Nếu ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số ( )F x C+ cũng là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K. 2) Ngược lại, nếu ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K đều có dạng ( )F x C+ . Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số ( )f x là ( )f x dx ∫ . Vậy : ( )f x dx ∫ = ( )F x C+ , C R ∈ • Tính chất của nguyên hàm 1) '( ) ( )f x dx f x C= + ∫ 2) . ( ) . ( )k f x dx k f x dx= ∫ ∫ 3) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ • Sự tồn tại nguyên hàm Định lí : Mọi hs ( )f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (với ( )u u x= ) 1) 0dx C= ∫ 2) dx x C= + ∫ 3) 1 ( -1) 1 x x dx C α α α α + = + ≠ + ∫ 4) 1 ln dx x C x = + ∫ 5) 2 1 1 dx C x x = − + ∫ 6) 1 2 dx x C x = + ∫ 7) 2 3 xdx x x C= + ∫ 8) x x e dx e C= + ∫ 9) (a>0;a 1) ln x x a a dx C a = + ≠ ∫ 10) sin cos xdx x C= − + ∫ 11) cos sinxdx x C= + ∫ 1) 0du C= ∫ 2) du u C= + ∫ 3) 1 ( -1) 1 u u du C α α α α + = + ≠ + ∫ 4) 1 ln du u C u = + ∫ 5) 2 1 1 du C u u = − + ∫ 6) 1 2 du u C u = + ∫ 7) 2 3 udu u u C= + ∫ 8) u u e du e C= + ∫ 9) (a>0;a 1) ln u u a a du C a = + ≠ ∫ 10) sin cos udu u C= − + ∫ 11) cos sinudu u C= + ∫ Gv : Nguyễn Văn Bình Trường THPT Mạc Đĩnh Chi 1 12) 2 1 tan cos dx x C x = + ∫ 13) 2 1 cot sin dx x C x = − + ∫ 12) 2 1 tan cos du u C u = + ∫ 13) 2 1 cot sin du u C u = − + ∫ B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 : TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ Phương pháp : 1. Biến đổi hàm số ( )f x về những hàm số có trong bảng nguyên hàm 1 1 2 2 ( ) . ( ) . ( ) . . ( ) n n f x k f x k f x k f x= + + + 2. Áp dụng tính chất của nguyên hàm 1 1 2 2 ( ) . ( ) . ( ) . . ( ) n n f x dx k f x dx k f x dx k f x dx= + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 1 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 1. 4 3 2 ( ) 1f x x x x x= + + + + 3 6. ( ) (2 1)f x x= − 2. ( ) 2sin 3cosf x x x= + 2 2 1 7. ( ) x f x x   − =  ÷   3. 2 1 ( ) x x f x x + + = 2 8. ( ) sin cos 2 2 x x f x   = −  ÷   4. 3 1 ( ) x x f x x + + = 2 3 1 9. ( ) x x x f x x + + + = 5. 2 ( ) (2 1)( 2)f x x x x= + − − 10. ( ) cos .cos5f x x x= Bài 2 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 1. ( ) (1 ) x x f x e e − = + 1 6. ( ) x f x e = 11. ( ) cos3 sin 4 1f x x x= + − 2. 2 2 1 ( ) sin .cos f x x x = 3 3 sin cos 7. ( ) 2 sin 2 x x f x x + = − 3 1 12. ( ) x f x e + = 3. 2 ( ) tanf x x= 2 8. ( ) (2 3 ) x x f x = − 3 1 13. ( ) 1 x x e f x e + = + 4. 2 ( ) (2tan cot )f x x x= + cos2 9. ( ) sin cos x f x x x = + 5 5 14. ( ) sin cos sin cosf x x x x x= − 5. 2 ( ) cos 2 x f x = 2 3 cos2 10. ( ) sin x f x x − = 2 2 2 sin 15. ( ) sin 2cos .cos 2 x f x x x x = + Bài 3 : Tính các nguyên hàm sau : 1. 1 2 3 dx x + ∫ 2 1 8. (3 2) dx x − ∫ 1 15. 1 cos dx x+ ∫ 2. 1 5 3 dx x− ∫ 3 9. cos xdx ∫ 1 16. 1 dx x x+ − ∫ 3. 2 3 2 1 x dx x + + ∫ 4 10. cos xdx ∫ 3 cos 17. 1 sin x dx x+ ∫ 4. 2 1 x dx x + ∫ 6 6 11. (sin cos )dx x x+ ∫ 2 1 18. (sin cos ) dx x x+ ∫ Gv : Nguyễn Văn Bình Trường THPT Mạc Đĩnh Chi 2 5. 3 4 1 2 1 x dx x + − ∫ 12. ( ) 1 x x x e e e dx x − + − ∫ 3 2 1 19. dx x x+ ∫ 6. 1 (1 )(1 2 ) dx x x+ − ∫ 13. cos .cos2 .cos3x x xdx ∫ 3 1 20. 3 2 dx x x− + ∫ 7. 2 3 4 3 2 x dx x x − − + ∫ 14. sin .sin3 .sin5x x xdx ∫ 21. tan xdx ∫ Dạng 2 : • CHỨNG MINH HÀM SỐ F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ f(x) • TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA f(x) Phương pháp : 1. Chứng minh : '( ) ( ) F x f x x D= ∀ ∈ . 2. Dùng đồng nhất thức và tính chất của nguyên hàm. Bài 1 : 1. CMR hàm số ( ) 4sin (4 1) 1 x F x x x e= + + − là một nguyên hàm của hàm số ( ) 4cos (4 5) x f x x x e= + + . 2. CMR hàm số 2 ( ) ln( 1)F x x x= + + là một nguyên hàm của hàm số 2 1 ( ) 1 f x x = + . 3. CMR hàm số ( ) ln tan 2 x F x = là một nguyên hàm của hàm số 1 ( ) sin f x x = . Bài 2 : 1. Cho hàm số ( ) ( 3). x f x x e= − và 2 ( ) ( ). x F x ax bx c e= + + . Với giá trị nào của a, b, c thì F(x) là một nguyên hàm của f(x). ĐS : 0; 1; 4a b c= = = − 2. Cho hàm số 2 ( ) ( 2) 4f x x x x= − − và 2 2 ( ) ( ) 4F x ax bx c x x= + + − . Với giá trị nào của a, b, c thì F(x) là một nguyên hàm của f(x). ĐS : 1 4 ; ; 0 3 3 a b c= = − = Dạng 3 : TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ f(x) THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp : • Tìm F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) ( ) ( ) ( )F x f x dx g x C= = + ∫ (*) • Dùng điều kiện đã cho để tìm hằng số C. Thay C vào (*) ta được nguyên hàm cần tìm. Bài tập : 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 4 3 2 3 2 5 ( ) x x f x x − + = biết (1) 2F = . ĐS : 3 2 5 ( ) 7F x x x x = − − + 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 2 4 1 ( ) 1 x x f x x − + = + biết ( 2) 0F − = . ĐS : 2 ( ) 5 6ln 1 12 2 x F x x x= − + + − 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 1 sin ( ) 1 cos x f x x + = + biết (0) 1F = . ĐS : ( ) tan 2ln cos 1 2 2 x x F x = − + Gv : Nguyễn Văn Bình Trường THPT Mạc Đĩnh Chi 3 Bài 2 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM A. Phương pháp đổi biến số : Nếu ( ) ( )f u du F u C= + ∫ và ( )u u x= là hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì [ ] [ ] ( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C= + ∫ . Hệ quả : Nếu ( ) ( )f x dx F x C= + ∫ thì 1 ( ) ( ) (a 0)f ax b dx F ax b C a + = + + ≠ ∫ B. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu hai hàm số ( )u u x= và ( )v v x= có đạo hàm liên tục trên K thì ( ). '( ) ( ). ( ) '( ). ( )u x v x dx u x v x u x v x dx= − ∫ ∫ Hay viết gọn là : udv uv vdu= − ∫ ∫ Bài tập áp dụng : TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 1 : Để tìm ( )f x dx ∫ , ta tiến hành như sau : • Ta biến đổi [ ] ( ) ( ) . '( )f x dx g u x u x dx= . • Đặt ( )t u x= , khi đó '( )dt u x dx= . Vậy [ ] ( ) ( ) . '( ) ( )f x dx g u x u x dx g t dt= = ∫ ∫ ∫ [ ] ( ) ( )G t C G u x C= + = + với ( )G t là một nguyên hàm của ( )g t Một số dạng bài tập thường gặp : • (sin ).cosf x xdx ∫ Đặt sin cos t x dt xdx= ⇒ = • (cos ).sinf x xdx ∫ Đặt cos sin t x dt xdx= ⇒ = − • 2 1 (tan ). cos f x dx x ∫ Đặt 2 1 tan cos t x dt dx x = ⇒ = • 2 1 (cot ). sin f x dx x ∫ Đặt 2 1 cot sin t x dt dx x − = ⇒ = • ( ). x x f e e dx ∫ Đặt x x t e dt e dx= ⇒ = • 1 (ln ).f x dx x ∫ Đặt 1 ln t x dt dx x = ⇒ = Bài tập : Bài 1 : Tìm các nguyên hàm sau 1. 4 sin .cosx xdx ∫ 6. 1 x x e dx e + ∫ 1 11. sin(3 2)x dx x − ∫ 2. 5 sin cos x dx x ∫ 2 6 1 7. .( 3) x x e x dx − + − ∫ 2 12. 1x x dx+ ∫ 3. 3 ln x dx x ∫ 3 10 2 8. ( 1) .x x dx+ ∫ 5 2 13. 1x x dx+ ∫ 4. 5 2 tan 1 cos x dx x − ∫ 2 cos 9. (2sin 1) x dx x + ∫ 14. 3 x x e dx e + ∫ 5. sin .cos x e xdx ∫ 2 10. .cos( )x x dx ∫ 1 15. 1 x dx e + ∫ Bài 2 : Tìm các nguyên hàm sau 1. 1 4sin .cosx xdx+ ∫ 5 6. cos xdx ∫ Gv : Nguyễn Văn Bình Trường THPT Mạc Đĩnh Chi 4 2. 3 2 sin os x dx c x ∫ sin 2 sin 7. 1 2cos x x dx x − + ∫ 3. 3 2 1 x dx x + ∫ sin 2 .cos 8. 1 cos x x dx x+ ∫ 4. cos2 1 3sin 2 x dx x+ ∫ cos3 9. 1 sin x dx x+ ∫ 5. 2 2 x x e dx e + ∫ ln(tan ) 10. sin 2 x dx x ∫ Bài 3 : Tìm các nguyên hàm sau 1. 2 2 sin 2 sin 3cos x dx x x+ ∫ 2 cos 8. sin 5sin 6 x dx x x− + ∫ 2. 3 cos2 (sin cos 2) x dx x x+ + ∫ 9. 3 4 x x dx e e − + − ∫ 3. 1 2ln 4ln 3 x dx x x − + ∫ 10. 2 1 dx x x− − ∫ 4. 4 1 cos dx x ∫ 3 8 11. 1 x dx x − ∫ 5. 2 1 4 dx x x + ∫ 2 4 1 12. 1 x dx x − + ∫ 6. 8 (tan 1)x dx− ∫ 1 13. sin dx x ∫ 7. 2 1 (2sin 3cos ) dx x x+ ∫ 3 1 14. cos dx x ∫ Dạng 2 : Để tìm ( )f x dx ∫ , ta tiến hành như sau : • Đặt ( ) '( )x t dx t dt ψ ψ = ⇒ = . • [ ] ( ) ( ) . '( ) ( )f x dx f t t dt g t dt ψ ψ = = ∫ ∫ ∫ ( )G t C= + . Một số dạng bài tập thường gặp : • 2 2 1 ( 0)dx a x a > + ∫ Đặt 2 tan .(1 tan ) x a t dx a t dt= ⇒ = + • 2 2 ( 0)a x dx a− > ∫ Đặt sin cosx a t dx a tdt= ⇒ = • 2 2 1 ( 0)dx a a x > − ∫ Đặt sin cosx a t dx a tdt= ⇒ = • 2 2 ( 0)x a dx a− > ∫ Đặt 2 cos sin sin a a t x dx dt t t − = ⇒ = • 2 2 1 ( 0)dx a x a > − ∫ Đặt 2 cos sin sin a a t x dx dt t t − = ⇒ = Bài tập : Bài 1 : Tìm các nguyên hàm sau 1. 2 1 4 dx x + ∫ 2 2 1 7. 9 x dx x + + ∫ 2 3 13. 1 x dx x + − ∫ 2. 2 1 3 dx x + ∫ 2 1 8. 1 x dx x x − + + ∫ 2 2 4 1 14. 1 x x dx x − + − ∫ Gv : Nguyễn Văn Bình Trường THPT Mạc Đĩnh Chi 5 3. 2 1 2 2 dx x x+ + ∫ 2 2 1 9. 2 5 x x dx x x − + + + ∫ 2 2 3 2 15. 1 9 x x dx x + + − ∫ 4. 2 1 6 34 dx x x− + ∫ 2 1 10. 4 dx x− ∫ 2 16. 4 x dx− ∫ 5. 2 1 1 dx x x+ + ∫ 2 1 11. 3 dx x− ∫ 2 17. 2 2x x dx+ − ∫ 6. 2 1 4 9 dx x + ∫ 2 1 12. 4 5 dx x x− + + ∫ 2 18. 4x dx− ∫ Bài 2 : Tìm các nguyên hàm sau 1. 2 cos 1 sin xdx x+ ∫ 2 4. 1 x x e dx e + ∫ 2 7. 4 dx x x − ∫ 2. 2 sin 3 cos xdx x+ ∫ 2 5. (ln 3) dx x x + ∫ 2 8. 1 ln dx x x− ∫ 3. 2 2 (4 ) dx x x+ ∫ 6. ( 9) dx x x + ∫ cos 9. 1 2cos2 xdx x+ ∫ TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Dạng 1 : Để tính nguyên hàm dạng ( ).lnp x xdx ∫ , trong đó ( )p x là hàm đa thức, ta tiến hành như sau : • Đặt 1 ln ( ) ( ) du dx u x x dv p x dx v p x dx  = =   ⇒   =   =  ∫ • Sau đó dùng công thức udv uv vdu= − ∫ ∫ Dạng 2 : Để tính nguyên hàm dạng ( ) ( ). ;sin( );cos( ) ax b p x e ax b ax b dx + + + ∫ , trong đó ( )p x là hàm đa thức, ta tiến hành như sau : • Đặt ( ) ( ) '( ) ( ) ;sin( );cos( ) ;sin( );cos( ) ax b ax b du p x dx u p x dv e ax b ax b dx v e ax b ax b dx + + = =     ⇒   = + + = + +     ∫ • Sau đó dùng công thức udv uv vdu= − ∫ ∫ Bài tập : Tìm các nguyên hàm sau 1. ln xdx ∫ 2 6. ( 1) x x e dx − + ∫ 2. 2 (3 2 1)lnx x xdx− + ∫ 2 7. ( 1)cosx x xdx+ + ∫ 3. 2 ln( 1)x x dx− ∫ 2 8. (1 3 )cosx xdx− ∫ 4. 2 ln( )x x dx+ ∫ 2 9. ln xdx ∫ 5. (3 1) x x e dx+ ∫ 2 . 10. ( 1) x x e dx x + ∫ Gv : Nguyễn Văn Bình Trường THPT Mạc Đĩnh Chi 6 . tại nguyên hàm Định lí : Mọi hs ( )f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên. NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1 : NGUYÊN HÀM A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Nguyên hàm và tính chất a) Định nghĩa