Hai hình ( ñoaïn thaúng, goùc, ..) ñoái xöùng nhau qua moät ñöôøng thaúng thì baèng nhau c) Moät hình H goïi laø coù truïc ñoái xöùng neáu ñieåm ñoái xöùng vôùi moät ñieåm thuoäc H cuûng[r]
(1)Equation Chapter Section 1Buổi : hng ng thc
Ngày soạn: 27 - 2009
a mơc tiªu:
* Củng cố nâng cao kiến thức phép nhân đa thức – đẳng thức
* Tiếp tục rèn luyện kỹ giải toán phép nhân đa thức – đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS q trình học nâng cao mơn tốn
b hoạt động dạy học: I nhắc lại nội dung hc:
1 Nhân đa thức với đa thức:
A( B + C + D) = AB + AC + AD
(A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE
2.Bảy ng thc ỏng nh:
Bình phơng tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phơng hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phơng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) LËp ph¬ng mét tỉng: (A + B)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (4) LËp ph¬ng mét hiƯu: (A - B)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (5) Tỉng hai lËp ph¬ng: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) (6) HiƯu hai lËp ph¬ng: a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) (7)
II Bài tập áp dụng:
Hot động GV Hoạt động HS
1 Bµi 1: Thùc hiƯn phÐp tÝnh, rót gän
biĨu thøc
a) (x + 1) (x2 + 2x + 4)
Thùc hiƯn phÐp nh©n råi rót gän b) (x2 + x + 1)(x2 – x4 + x2 – x + 1) c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2
Bµi 2:
T×m x biÕt:
a) (x – 3)3- (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x - 1)2 =15
b) 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172
áp dụng H.đẳng thức để giải câu a
Biến đổi, rút gọn vế trái câu a
áp dụng H.đẳng thức để giải câu b
Biến đổi, rút gọn vế trái
Bµi 3:
a) Cho x – y = tính giá ttrị Bt: x3 - y3 3xy
b) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10 Tính giá trị Bt: x3 + y3 ?
x3 + y3 =?
xy tÝnh nh thÕ nµo?
Làm để tính x3 + y3 ?
HS ghi đề, thực theo nhóm HS GV thực lời giải
a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + 2x + = x3 + 3x2 + 6x +
b) (x2 + x + 1)(x2 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + 1
c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + – 3x – 5)2
= (- 4)2 = 16 HS ghi đề
gi¶i theo nhãm Ýt
áp dụng Hđt (2), (5), (7) để giải câu a
a) (x – 3)3- (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x+1)2 =15
x3 – 9x2 + 27x – 27 – ( x3 - 27) + 9( x2 - 2x + 1) = 15 …. 9x = x =
2
áp dụng H.đẳng thức (1), (2), (3)
b) 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172
3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + – 7(x2 – 9) = 172 …. 8x = 96 x = 12
a) x3 - y3 – 3xy = (x – y)(x2 + y2 + xy) – 3xy
(2)c) Cho x + y = a; xy = b tÝnh giá trị biểu thức sau theo a b:
x2 + y2; x4 + y4
Bµi 4: chøng minh r»ng
a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4
b) NÕu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) th×: a = b Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy điều gì? c) Nếu: x + y + z = vµ
xy + yz + zx = th× x = y = z Tõ : x + y + z = (x + y + z)2 =? Tõ ®o ta cã ®iỊu g×?
d) cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 2 c/m: a4 + b4 + c4 = 2
HD cách giải tơng tự
Bài 5:
So sánh:
a) A = 1997 1999 vµ B = 19982 b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) vµ B = 3128 -
Tính theo 32 – 1 Khi A = ?
áp dụng đẳng thức liên tiếp để so sánh A B
Bµi 6:
a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1) b = 100…05( cã n – ch÷ sè 0) Cmr: ab + số phơng
b) Cho Un = 111555 (có n chữ số n chữ sè 5)
Cmr: Un + lµ sè chÝnh ph¬ng
= 2.(10 – xy) (1) xy =
1
2[(x + y)2 – (x2 + y2)] =
1
2(4 – 10)
= -3 (2)
Thay (2) vµo (1) ta cã:
x3 + y3 = 2.[10 – (- 3)] = 26
c) Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2
= (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 HS ghi đề, tiến hành giải với GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3)
= x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3- y4
= x4 – y4 = VP (®pcm)
b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra
a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 a2 - 2ab + b2 = 0
(a – b)2 = a – b = a = b (®pcm)
c) Tõ : x + y + z = (x + y + z)2 = 0
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0
x2 + y2 + z2 = ( v× xy + yz + zx = 0)
x = y = z
d) Tõ a + b + c = (a + b + c )2 = 0
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
ab + bc + ca = -1 (1)
Ta l¹i cã:
(a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = (2)
Tõ (1) (ab + bc + ca)2 = 1
a2b2 + b2c2 + c2a2 = (3)
Tõ (2) vµ (3) suy a4 + b4 + c4 = 2
a) A = 1997 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – < 19982 A < B
b) V× =
2
3
nªn
A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) =
2
3
(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) =
1
2(34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) =
1
2(38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) =
1
2(316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) =
1
(3)=
1
2(364 - 1)(364 + 1) =
1
2(3128 - 1) =
1 2B
VËy: A < B
Ta cã: b = 10n + = 9….9 + 6 = 9(1…1) + = 9a +
ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 số phơng
Ta viÕt: =
= 11…1.10n + 111
Đặt: a = 111 9a + = 10n
Do : Un + = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2
III Bµi tËp vỊ nhµ:
Bµi 1:
cho x + y = Tính giá trị biểu thức: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1 bµi 2:
Chøng minh r»ng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bµi 3:
Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) Cmr: a = b = c Bµi 4:
Chøng minh r»ng:
NÕu n lµ tổng hai số phơng 2n n2 củng tổng hai số phơng Bài 5:
T×m x; y biÕt:
x3 + y3 = 72, x2 – xy + y2 = 12, x – y = 2
Buổi : hình thang cân - đờng trung bình tam giác, hình thang
Ngày soạn: 05 - 2009
a mơc tiªu:
- Củng cố nâng cao kiến thức hình thang, đờng trung bình tam giác, đờng trung bình hình thang
- TiÕp tục rèn luyện kỷ chứng minh hình học cho HS - tạo niềm tin hứng thú cho HS häc n©ng cao
b hoạt động dạy hc:
I Nhắc lại số kiến thức học:
1 Hình thang: Tứ giác ABCD hình thang AB // CD (hc AD // BC )
2 Hình thang cân:
Tứ giác ABCD hình thang cân
ABCD hình thang (AB // CD) cã AC = BD
(4)* Trong hình thang cân: hai cạnh bên nhau, hai đờng chéo Đờng trung bình tam giác
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác gọi đờng trung bình ca tam giỏc
- E trung điểm AB, F trung điểm AC thi EF đ- ờng trung bình ABC
- Nếu E trung điểm AB EF // BC F trung ®iĨm AC
- EF đờng trung bình ABC EF // BC và
EF =
1 2 BC
4 Đờng trung bình hình thang:
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình
thang gi l ng trung bình hình thang
+ H×nh thang ABCD (AB // CD) có M trung điểm
AD, N trung điểm BC MN đờng trung bình
cđa h×nh thang ABCD
+ Nếu MA = MD, MN // CD // AB NB = NC + MN đờng trung bình hình thang ABCD MN // AB // CD MN =
1
2(AB + CD)
II Bµi tËp ¸p dơng: Bµi 1:
Cho ABC cạnh a Gi M, N theo th
tự trung điểm AB AC a) Tứ giác BCMN hình gì? sao? b) Tính chu vi tứ giác BCNM theo a
Cho HS tìm lời giải phút
Dự đoán dạng tứ giác BCNM?
Để c/m tứ giác BCNM hình thang cân ta cần c/m gì?
Vì MN // BC
Vì B = C ? Từ ta cú KL gỡ?
Chu vi hình thang cân BCNM tính nh nào?
HÃy tính cạnh BM, NC theo a BC = ? v× sao?
VËy: chu vi hình thang cân BCNM tinh theo a bao nhiêu?
Bài 2:
Cho ABC cú ba góc nhọn; AB > AC
Gäi M, N, P lần lợt trung điểm AB,
HS ghi đề
ViÕt GT, KL, vÏ h×nh HS suy nghĩ, tìm lời giải HS dự đoán
c/m: MN // BC vµ B = C
Từ GT MN đờng trung bình ABC MN // BC (1) MN =
1
2 BC (2) ABC nên B = C 60 0 (3)
Tõ (1) (3) suy tứ giác BCNM hình thang cân
Chu vi hình thang cân BCNM PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) BM = NC =
1
2AB =
2 BC = 2a
BC = a, MN =
1
2 BC = 2a
VËy : PBCNM = BC +BM + MN + NC = a +
1 2a +
1 2a +
1 2a =
5 2a
VÏ h×nh Giáo án Nâng cao Toán
A
B C
E F
N M
D C
(5)AC, BC Vẽ đờng cao AH a) C/m: MP = NH
b) Gi¶ sư: MH PN.
C/m: MN + PH = AH
Để C/m MP = NH ta cần C/m gì? Tõ GT suy MP cã tÝnh chÊt g×? Ta cần C/m gì?
Gọi I = MN AH ta có điều gì? Vì
sao?
Hoàn thành lời giải?
Khi MH PN MH AB? Vì sao? AMH tam giác gì? sao?
ABH tam giác gì? sao?
Từ suy điều gì?
Bµi 3:
Cho ABC Gọi I giao điểm tia
phân giác kẻ IM AB; IN BC vµ
IK AC Qua A vẽ đờng thẳng a // MN;
đờng thẳng b // NK A cắt NK E, b cắt NM D, ED lần lợt cắt AC, AB P, Q Cmr: PQ // BC
Gäi giao ®iĨm cđa BC vµ AD lµ L, cđa BC vµ AE H
Để c/m: AM = AK ta c/m gì?,
Tơng tự hÃy c/m: BN = BM, CN = CK
MNHA hình gì? Vì sao
Ta suy điều gì?
KNLA l hình gì? Vì sao? Từ ta có
điều gì?
Ta KL Mqh gi÷a ND, NE ALH
DE cã tÝnh chÊt g×?
Tứ giác MPHN hình thang cân C/m: MP NH đoạn MP đờng Tb ABC nên
MP // AC vµ MP =
1 2AC
Ta cÇn C/m NH =
1 2AC
M trung điểm AB MI // BH ( MN đờng trung bình ABC) nên I trung
điểm AH AI MN (Do AH BC ) ANH cân N NH = NA =
1 2AC
Vậy: MP = NH
HS hoàn thành lời giải câu a
Khi MH PN MH AB NP // AB AMH tam giác vuông cân M có
AMH 90 vµ cã MI võa lµ trung tuyÕn võa lµ
đờng cao MAH = AHM 45
ABH cã AHB 90 0 mµ AHM 45 0 nªn
HBM 45 ABH vuông cân H
Suy BH = AH
Mµ BH = BP + PH = MN + PH VËy: MN + PH = AH
HS ghi đề, Vẽ hình,
H I
M
L
D Q P E
K
N C
B
A
AMI = AKI (C huyÒn – g nhän) AM = AK (1)
BMI = BNI (C huyÒn – g nhän)
C N M
B
A
I
H P
N M
C B
(6)Bµi 4:
Cho ABC cã AB = c, BC = a, AC = b
Qua A vẽ đờng thẳng song song với BC cắt tia phân giác góc B góc C D E Từ A vẽ AP BD; AQ CE PQ ln
lợt cắt BE, CD M vµ N TÝnh MN, PQ theo a, b, c
Dự đoán xem MN có tính chất gì? HÃy C/m BCDE hình thang Dự đoán c/m dạng BAD
Từ ta có điều gì?
PQ cã tÝnh chÊt g×? Suy tÝnh chÊt cđa MN
H·y tÝnh MN vµ PQ theo a, b, c
BM = BN (2)
CNI = CKI (C huyÒn – g nhän) CN = CK (3)
MNHA hình thang cân( có: MN//AH,
MAH = BMN = NHA = BNM ) NH = AM (4)
KNLA hình thang cân NL = AK (5)
Tõ (1), (4), (5) NL = NH (6)
NE, ND đờng trung bình ALH nên:
EA = EH (7) vµ DA = DL (8)
Từ (7) (8) suy ra: DE đờng trung bình ALH DE // LH PQ // BC
HS vÏ h×nh
1
2 1
2
Q P
D E
M N
C B
A
Dự đoán: MN đờng trung bình hình thang BCDE
Tõ gt BCDE hình thang có DE // BC
1
B = B mµ
2
B = D (so le – BC //
DE) B = D1 BAD cân A
mà AP BD PB = PD; AB = AD = c
Tơng tự CAE cân A Và AQ CE QC = QE vµ AC = AE = b
PQ đoạn thẳng nối trung điểm hai đ-ờng chéo hình thang BCDE nên PQ // AB
MN đờng trung bình hình thang
BCDE nªn: MN =
BC + DE BC + AE + AD
2 =
a + b + c
PQ = MN–(MQ + NP) =
BC + DE - BC
=
AD + AE - BC
2
b + c - a
III Bµi tËp vỊ nhµ: Bµi 1:
Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD, A 90 0); AB = CD = 2AB
kẻ CH AB, Gọi giao điểm AC DH E, giao điểm BD CH F
a)Tứ giác ADCH hình gì? b) C/m AC BC
(7)c)EF =
1
2DC = 4AB
Bµi 2:
Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo hình thang song song
với hai đáy nửa hiệu hai đáy
Bi – ph©n tích đa thức thành nhân tử (buổi 1)
Ngày soạn: 20 10 - 2009
a mục tiêu:
* Củng cố, khắc sâu nâng cao kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử * HS sử dụng thành thạo phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử
* VËn dơng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào toán chứng minh, tìm giá trị biểu thøc, cña biÕn
b hoạt động dạy học: I Nhắc lại kiến thức học:
C¸c phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
* Phơng pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D)
* Phơng pháp dùng đẳng thức: Sử dụng đẳng thức để viết đa thức thành tích * Phơng pháp nhóm hạng tử: Nhóm hạng tử với để làm xuất nhân tử chung xut hin hng ng thc
* Phơng pháp tách hạng tử :
Với đa thức dạng: a x2 + bx + c ta lµm nh sau:
Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = …sau chọn thừa số có tổng b Tách bx = (b1x + b2x) b = b1 + b2
Khi a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = …
* Phơng pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đa biểu thức cần phân tích thành biểu thức dễ phân tích
* Phơng pháp Thêm bớt hạng tử : Thêm bớt hạng tử để làm xuất nhân tử chung đẳng thức
* Phối hợp nhiều phơng pháp: sử dụng đồng thời nhiều phơng pháp để phân tích
II Bµi tËp vËn dơng:
Hoạt động Giáo viên Hoạt động học sinh
Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
a) 25x4 – 10x2y + y2
áp dụng phơng pháp để phân tích đa thức
b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2
HS: ¸p dơng PP dïng H®t
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 5x2.y + y2 = (5x2 – y)2
b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3
= (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3
c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2
(8)Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a) x4 + 2x3 4x - 4
Ta áp dụng phơng pháp để phân tích
b) x3 +2x2y – x – 2y
c) ac2x – adx – bc2x + cdx +bdx c3x
3 Bài 3: Phân tích thành nh©n tư
a) x2 – 6x + 8
áp dụng phơng pháp để phân tích? Phân tích cách tách hạng tử nào? tách nh nào?
Có thể tách nh khác để xuất đẳng thức tiếp tục phân tích Tách để xuất Hđt có hạng tử x2 – 6x hạng tử cịn lại Hđt là bao nhiêu?
T¬ng tù, GV cïng HS tìm cách phân tích khác phơng pháp tách hạng tử
b) a4 + a2 + 1
Hãy tách a2 thành hạng tử để phân tích c) x3 – 19x – 30
Hãy tách hạng tử -19x để phân tích
Bµi 4: Phân tích thành nhân tử
a) a4 + 64
Dạng a2 + b2 nên ta thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức b) x5 – x4 - 1
Bµi 5: Phân tích thành nhân tử
a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12
Ta sử dụng phơng pháp để phân tích
= 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x 3)(x + 3) áp dụng phơng pháp nhóm hạng tö
a) x4 + 2x3 – 4x – = (x4 – ) + (2x3 – 4x)
= (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2)
b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y)
= (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x)
= dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2)
HS ghi đề Cách 1:
V× 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) nªn ta cã: x2 – 6x + = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) c¸ch 2:
x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = …? c¸ch 3:
x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? C¸ch 4:
x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 =…? c¸ch 5:
x2 – 6x + = (x2 – 4x + 4) – 2x + =…? HS vÒ nhà tìm thêm cách khác
b) a4 + a2 + = (a4 + 2a2 + ) – a2
= (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3)
= (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10)
= (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2)
Thêm bớt 2ab ta có;
a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2
= (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – 1
= (x5 – x4 + x3) – (x3 – x2 + x) – (x2 – x + 1)
= x3 (x2 – x + 1) – x (x2 – x + 1) - (x2 – x + 1)
(9)b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS làm tơng tự nh câu a
Bµi 6:
a) Cho a + b + c = c/m r»ng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Tõ a + b + c = ?
b) cho xy0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 C/m:
a b x y
Đặt (x2 + x ) = y ta cã
(*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2)
= (x2 + x +6 )(x2 + x - 2)
= (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x 1)(x + 2)
b)
Đặt y = x2 + 8x + th× x2 + 8x + 15 = y + 8 ta cã:
(x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – = (y + 4)2 – 1 = (y + 3)(y + 5)
=(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
a) Tõ a + b + c = (a + b + c )2 = 0
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0
(a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2
a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c)
a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2) V× a + b + c = 0
a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2
(a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0
(ay – bx)2 = ay – bx =
ay = bx
a b
x y (®pcm)
III Bµi tËp vỊ nhµ:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) 25x2 – 20xy + 4y2 b) x3 – 4x2 – 9x + 36 c) x2 – 7xy + 10y2 d) a4 + a2 + 1
e) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bµi 2: Chứng minh
a) Hiệu bình phơng hai số lẻ liên tiếp chia hết cho b) NÕu a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = 3abc
Buổi - tốn dựng hình đối xứng trục
Ngày soạn: 26 10 - 2009
a MỤC TIÊU:
(10)* Tiếp tục nâng cao rèn luyện kỹ giải toán dựng hình, Kỹ chứng minh hình học cho HS
* Tạo hứng thú cho HS trình học tập mơn Tốn
B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
I Nhắc lại số kiến thức học 1 Bài tốn dựng hình biết:
2 Đối xứng trục:
a) Hai điểm A B gọi đối xứng qua đường thẳng d d đường trung trực đoạn thẳng AB Khi A thuộc d B A
b) Hai hình H H gọi đối xứng qua đường thẳng d
nếu điểm thuộc H có điểm đối xứng với qua dù thuộc H ngược lại
Hai hình ( đoạn thẳng, góc, ) đối xứng qua đường thẳng c) Một hình H gọi có trục đối xứng điểm đối xứng với điểm thuộc H củng thuộc H (Tam giác cân, tam giác đều, Hình thang cân, )
d) Một số định lí:
+ Một góc có trục đối xứng đường phân giác + Đoạn thẳng có trục đối xứng đường trung trực
+ Tam giác cân có trục đối xứng đường trung trực cạnh đáy
+ Hình thang cân có trục đối xứng đường thẳng qua trung điểm hai cạnh đáy
II Bài tập vận dụng, Nâng cao
Hoạt động GV Hoạt động HS
Baøi 1:
Dựng hình thang cân ABCD biết đáy CD = a, AB = b (a > b), góc nhọn kề với đáy lớn băng
HS tiếp cận đề
HS vẽ phác hình để phân tích từ tìm cách dựng
Gi¸o ¸n Nâng cao Toán
B A
d
a) Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước
b) Dựng góc góc cho trước
c) Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước, trung điểm đoạn thẳng
d) Dựng tia phân giác moat góc cho trước
e) Qua điểm cho trước, dựng đường thẳng vng góc với đ/ thẳng cho trước
(11)Hãy vẽ phác hình để phân tích tìm cách dựng
Trình bày cách dựng
Hãy chứng minh ABCD hình thang cân cần dựng
Bài tốn có nghiệm hình, ?
Baøi 2:
Cho xOy = 54 0 Hãy chia góc thành
ba phần
Hãy vẽ phác hình để phân tích tìm cách dựng hình để chia góc xOy = 54
thành ba phần
18 18 18 36
x y
D E
O C
Bài 3:
Cho ABC có ba góc nhọn, đường
cao AH Gọi D E điểm đối xứng H qua AB AC, DE cắt AB AC F G
Chứng minh: FC // DH, GB // EH
* Cách dựng:
- Dựng ADE biết DE = a – b, D = E =
- Trên tia DE dựng điểm C cho DC = a - Dựng Az // DC, Cy // AE cắt B Ta có hình thang cân ABCD cần dựng HS trình bày bước chứng minh
Bài tốn có nghiệm hình HS tiếp cận đề
HS vẽ phác hình, phân tích để tìm cách dựng
* Cách dựng:
- Dựng tia OC Ox ta COy = 36
- Dựng tia OD cho COy = DOy = 36
Ta DOx = 18
- Dựng tia phân giác OE DOy = 36
Ta DOE = 18
Vậy xOy = 540 chia thành ba góc
xOE = DOE = DOx = 18
HS ghi đề
Vẽ hình tiến hành giải phút Xét FHG:
D, H đối xứng qua AB nên ta có AB đường phân giác góc ngồi F
E, H đối xứng qua AC nên ta có AC đường phân giác góc ngồi G
Suy HA tia phân giác FHG
AHBC nên AC BC hai tia phân giác
của góc ngồi G H nên FC tia phân giác HFG
AB vaø FC hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh F nên ABFC mà DH AB
neân FC // DH
z y
B
E C
(12)D, H đối xứng qua AB nên ta có điều ?
Tương tự E, H đối xứng qua AC nên ta có Kl ?
Từ suy điều ?
AHBC nên AC BC hai tia
phân giác góc ngồi đỉnh AB FC ? ta suy điều ?
Tương tự chứng minh BG // EH
Nếu gọi giao điểm BG FC O thi O có tính chất ?
Bài 4:
Tính góc tạo hai gương phẳng biết rằng: tia sáng sau bốn lần chiếu vào hai gương theo hướng ngược lại hướng ban đầu Để vẽ hình tốn ta phải vận dụng kiến thức nào?
Vẽ tia Ox’đối xứng với Ox qua Oy, D’ đối xứng với D qua Oy Ba điểm B, C, D’ nào? Vì sao?
D’ đối xứng với D qua Oy nên CO có tính chất gì?
Ba điểm D’, E, F ? AB // EF ta suy điều ?
Tương tự:ï AC BG hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh G nên ACBG
mà EH AC nên BG // EH
Gọi giao điểm BG FC O thi O trực tâm ABC điểm cách ba
cạnh DHF
HS ghi đề Vẽ hình
y'
x
y F E
D'
C M
D
B
A
O
Sử dụng định luật phản xạ ánh sáng Vẽ tia Ox’đối xứng với Ox qua Oy, D’ đối xứng với D qua Oy Ba điểm B, C, D’ thẳng hàng
Vì D’ đối xứng với D qua Oy nên CO tia phân giác DCD Phap tuyến C
tia tới BC tia phân giác BCD vng
góc với CO nên DCD BCD hai góc kề
bù, Suy : ba điểm B, C, D’ thẳng hàng Tương tự: Ba điểm D’, E, F thẳng hàng Vì AB // EF (GT) suy AB // DF
D BE + ABD =180
BD E = 2DBD
DBD MDB
D’M // DB mà D’MOx’
(Pháp tuyến D cắt Oy M D’M phân giác góc BD’E) OB OD’ hay
xOy = 900 suy xOy 45
HS ghi đề vẽ hình
(13)Từ D BE + ABD =180
ta suy điều ?
xOy =? Từ ta có xOy
Bài 5:
Cho ABC Vẽ tia Ax, Ay nằm
trong góc A cho BAx = CAy , Veõ
caùc tia Bz, Bt B cho
ABz = CBt Goïi E = Ax Bz, F = Ay Bt
Chứng minh ACE = BCF
Để chứng minh ACE = BCF ta gấp đơi
các góc Bằng cách ?
Ta cần C/m hai góc ? Tức C/m hai tam giác nhau?
Hai tam giác có cạnh nhau? Cần C/m yếu tố ? cách nào?
I
B
K C
F E
H A
Vẽ H đối xứng với E qua AC, K đối xứng với F qua BC
Ta cần C/m HCE = ECK cách C/m HCF = ECK Vì có HC = EC, CF =
CK
Nên ta cần c/m HF = EK
Vẽ I đối xứng với E qua AB ta C/m
FAH = FAI (c.g.c) FH = FI, FBI = KBE(c.g.c) FI = EK
III Bài tập nhà:
Bài 1:
Cho ABC vng A, đường cao AH, D E theo thứ tự đối xứng với H qua AB,
AC Chứng minh
a) D, A, E thẳng hàng c) DHE 90
b) Tứ giác BCED hình thang vng d) DE = AH Bài 2:
(14)BUỔI - ph©n tích đa thức thành nhân tử (buổi 2)
Ngày so¹n:
A MỤC TIÊU:
* Củng cố, khắc sâu nâng cao kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử * HS sử dụng thành thạo phơng pháp để phân tích đa thức thành nhõn t
* Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào toán chứng minh, tìm giá trị biểu thức, biến
b hoạt động dạy học:
I Bổ sung số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
1) Phương pháp tìm nghiệm đa thức:
x = a nghiệm f(x) f(a) = f(x) chứa nhân tử x – a a nghiệm đa thức f(x) Tách f(x) thành nhóm có nhân tử x – a để phân tích:
Khi f(x) = (x – a) g(x)
Đa thức có tổng hệ số có nghiệm 1( nhân tử x - 1)
Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ có nghiệm -1 (nhân tử x + 1)
Nghiệm hứu tỉ (nếu có) đa thức phải có dạng
p
q p ước hệ số
tự do, q ước dương hệ số cao 2) Phương pháp dùng hệ số bất định:
* amxm + am-1xm-1 +…+a1x + a0 = bnxn + bn-1xn-1 +…+ b1x + b0 i i
m = n a = b
( i = m; …; 1; 0)
* amxm + am-1xm-1 +…+a1x + a0 = (bxy +cxy – 1 + …+i)(b’xz +c’xz – 1 +…+ j) Trong đó: x + y = m , ij = a0
II Bài tập vận dụng lớp:
Hoạt động GV Hoạt động HS
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) x4 + 5x3 – x2 – 4x + 1
Sử dụng phương pháp ? Vì Tách, nhóm hạng tử với để làm xuất nhân tử chung
b) 2x3 - 5x2 + 6x - 3
Dự đoán nghiệm đa thức x = có nghiệm đa thức khơng? Vì sao?
Đa thức có nhân tử x –
Hãy tách hạng tử để có nhân tử chung x –
Ta phân tích đa thức
HS ghi đề HS phát biểu
a) (x4 + x3 ) + (4x3 + 4x2)– (5x2 + 5x) + (x + 1) = x3(x + 1) + 4x2(x + 1) – 5x(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(x3 + 4x2 – 5x + 1)
HS ghi đề Dự đoán nghiệm HS trả lời
b) 2x3 - 5x2 + x – 3
= 2x3 – 2x2 – 3x2 +3x + 3x – = x2(x – 1) – 3x(x – 1) + 3(x – 1) = (x – 1)(x2 – 3x + 3)
(15)phương pháp hệ số bất định Các em nhà tự giải tương tự ví dụ sau c) x4 +2x3 + 3x2 +2x + 1
Ta viết đa thức cần phân tích thành tích hai đa thức nào? Vì sao? Hãy thực phép biến đổi để phân tích
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b) Tách c – a = c + b – b – a ta có đa thức cân phân tích trở thành đa thức
Hãy thực phép biến đổi để phân tích
b) (x +y + z)3 – x3 – y3 – z3
Hãy nhóm hạng tử đẻ thành hai đẳng thức
c) x3 + y3 + z3 – 3xyz
Áp dụng phương pháp để phân tích
Áp dụng Hđt:
a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2
Ta phân tích đa thức nào?
Bài 3:
Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A = n3 – 4n2 + 4n – số nguyên tố
Hãy phân tích biểu thức A thành
HS ghi nhớ để nhà tự giải HS ghi đề
c) x4 +2x3 + 3x2 +2x + 1 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1)
= x4 + ax3 + x2 + bx3 + abx2 + bx + x2 + ax + 1 = x4 + (a + b)x3 +(ab + 1)x2 + (a + b)x + 1
a + b =
a = b = ab + =
Vaäy: x4 +2x3 + 3x2 +2x + 1
= (x2 + x + 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)2 HS ghi đề
a) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b) = bc(b + c) + ac(c +b – b - a) – ab(a + b) = bc(b + c) + ac(b +c) - ac(a + b) – b(a + b) = (b + c)(ac + bc) – (a + b)(ac + ab)
= c(b + c)(a + b) – a(a + b)(b + c) = (b + c)(a + b)(c – a)
Ghi đề
b) (x +y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x +y + z)3 – x3 ] – ( y3 + z3 )
= (x + y + z – x)[(x + y + z)2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 - yz +z2 ) = ……….
= (y + z)( 3x2 + 3xy + 3zx + 3yz) = 3(x + y)(y + z)( z + x)
HS ghi đề tìm phương pháp giải c) x3 + y3 + z3 – 3xyz
= (x3 + y3 ) + z3 – 3xyz
= [(x + y)3 + z3] – (3xyz + 3x2y + 3xy2 ) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2]
- 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
HS ghi đề
(16)nhân tử
Lần lượt cho n = 0; 1; 2; tính giá trị A xem gí trị ssố nguyên tố
Với n 4 A ? Các giá trị
số nguyên tố hay hợp số ?
Bài 4:
Tìm số ngun a cho đa thức (x + a)(x - 5) + phân tích thành (x + b)(x + c) với b, c số nguyên
Đa thức (x + a)(x - 5) + phân tích thành (x + b)(x + c) có nghĩa gì?
Với x = ta có biểu thức nào? Số phân tích thành tích nào?
Giả sử b c ta xét trường hợp
naøo? Khi 5 b c
b =?, c =?
Thay vào (1) ta có đẳng thức nào? Chọn x = ? để tìm a
Khi 5 b c
hãy giải tương tự để tìm b, c từ suy a
Nếu n = 0; 1; A theo thứ tự -1; 0; -1 Nếu n = A = số ngun tố
Nếu n n – coøn
n2 – 3n + = n(n – 3) + A 15 hợp số
Vậy có n = A = số nguyên tố
HS ghi đề Tìm cách giải
Đa thức (x + a)(x - 5) + phân tích thành (x + b)(x + c) có nghĩa :
(x + a)(x - 5) + = (x + b)(x + c) (1) với x
Với x = : = (5 + b)(5 + c) = 1.2 = (-1).(-2)
Giả sử b c ta xét trường hợp :
a) 5 b c b c
Thay vào (1) ta được:
(x + a)(x - 5) + = (x - 4)(x - 3) với x
Với x = -(4 + a) + = a = -2 Đa
thức phân tích thành (x – 2)(x – 5) = (x – 4)(x – 3) b) 5 b c b c
thay vào (1) ta được:
(x + a)(x - 5) + = (x - 7)(x - 6) với x
Với x = (6 + a) + = a = -8 Đa
thức phân tích thành: (x – 8)(x – 5) = (x – 7)(x – 6)
Bài tập nhà:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) x4 + 16 b) x3 + 8x2 + 17x + 10 c) x4 + 3x3 + 2x2 + x + d) a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)
Bài 2: Tìm số tự nhiên a để giá trị biểu thức B = a3 – 6a2 + 9a – số nguyên tố
Bài 3( Đội tốn): Tìm số ngun m cho đa thức (x + m)(x + 5) + phân tích được
thành (x + a)(x + b) với a, b l s nguyờn
(17)bài 6: hình bình hành hình chữ nhật
Ngy son:
A MỤC TIÊU:
* Củng cố nâng cao kiến thức hình bình hành hình chữ nhật * Vận dụng thành thạo kiến thức vào tập Hbh hcn * HS có hứng thú nghiêm túc học tập
B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I Nhắc lại kiến thức học:
Kiến thức
Hình bình hành Hình chữ nhật
1 Định
nghóa ABCD Hbh
AB // CD AD // BC
ABCD laø Hcn A = B = C = D 90
2 Tính chất
ABCD Hbh , AC BD = O
AB = CD, AD = BC A = C , B = D OA = OC, OD = OB
ABCD laø Hcn , AC BD = O
AB = CD, AD = BC A = C , B = D OA = OC, OD = OB AC = BD
3 Dấu hiệu nhận biết
AB // CD, AD // BC AB = CD, AD = BC A = B , C = D OA = OC, OB = OD ( O = AC BD)
ABCD laø Hbh
II Bài tập vận duïng:
Hoạt động GV Hoạt động HS
Bài 1:
Cho Hbh ABCD có A = 120
Đường phân giác góc D qua trung điểm AB
a) C/m AB = 2AD
b) Gọi F trung điểm CD C/m
ADF đều, AFC cân
c) C/m AC AD
Giải
Gọi E trung điểm AB
HS ghi đề, vẽ hình
F E
D C
B A
a)ADE tam giác cân
+
+ ABCD có AB // CD Và
+ ABCD Hbh coù: -
- AC = BD
(18)Ta có ADE tam giác gì? Vì sao?
Hãy C/m điều
Hãy C/m ADF cân A có góc
600
Hãy C/m AFC cân F
Từ AFC cân F ta suy điều gì?
Góc DFA hai lần góc của
AFC
DAC =?
Bài 2:
Cho ABC O điểm thuộc miền
trong tam giác Gọi D, E, F trung điểm AB, BC, CA L, M, N trung điểm OA, OB, OC
Chứng minh đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy
Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy ta C/m gì?
Ta C/m đoạn thẳng đường chéo hai hbh có chung đường chéo
Để C/m tứ giác EFLM Hbh ta c/m nào?
Tương tự ta có tứ giác NLDE hình gì? Hai Hbh có chung đường chéo nào?
Ta có A = 120
, mà ABCD Hbh nên
D = 60 ADE = AED = 30
ADE cân
A AD = AE mà AB = AE
Neân AB = 2AD
b) AB = CD (do ABCD laø Hbh) maø DF =
1
2CD, AD =
2AB Suy
AD = DF ADF caân trại D có D = 60
vậy: ADF tam giác
Ta có AF = DF (do ADF đều)
Maø DF = FC (F laø trung điểm BC) Suy AF = FC AFC cân F
c) AFC cân F DFA = 2FAC (Góc
ngồi đỉnh tam giác cân) Mà FDA = 60
(do ADF đều) Suy
FAC = 30 DAC = 900
hay AC AD
HS ghi đề, vẽ hình
L
M N
O F
E D
C B
A
HS suy nghĩ , phát biểu HS ghi nhớ phương pháp c/m
E, F trung điểm BC, CA EF
đường trung bình ABC suy
EF // AB, EF =
1
2AB (1)
Tương tự LM đường trung bình
OAB suy LM // AB, LM =
1
2AB (2)
(19)Từ ta có kết luận gì?
Những Hbh có tâm trùng nhau?
Bài 3:
Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BHAC
Gọi E, F trung điểm AH, CD Chứng minh BE EF
Giaûi
Gọi K trung điểm AB ta có điều gì? Vì sao?
Tứ giác BCFK hình gì? Vì sao?
EI có tính chất gì? Vì sao?
BFE tam giác gì? Vìa sao?
Bài 4:
Cho hình chữ nhật ABCD Từ điểm D BC kẻ đường vng góc với BC cắt AB, AC E, F Dựng hình chữ nhật BDEH CDFK
a) Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng
b) Chứng minh A trung điểm HK c) Goi I, J theo thứ tự tâm hình chữ nhật BDEH CDFK Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng IJ D di động BC
C/m tương tự ta có tứ giác NLDE Hbh (Vì có NE //= LD)
Hai Hbh EFLM NLDE có chung đường chéo LE hay bao đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy trung điểm LE
Hay ba Hbh EFLM , NFDM NLDE có tâm trùng
HS ghi đề, vẽ hình
Gọi K trung điểm AB ta có EK // HB (Vì
EK đường trung bình AHB) mà BH AC EK AC suy raCEK = 90
CEK vuông E
Tứ giác BCFK có BK //= CF có
B = 90 nên hình chữ nhật nên hai đường
chéo BF CK cắt I
BF = CK I trung điểm BF , CK
EI trung tuyến thuộc cạnh huyền CK
CEK EI =
2CK = 2BF BFE có trung tuyến EI =
1
2BF nên tam
giác vuông E BE EF
HS ghi đề , vẽ hình
K I F
E
H
D C
(20)Để C/m A, H, K thẳng hàng ta c/m gì? Hãy C/m AH, AK song song với đường thẳng ?
Hãy c/m tứ giác AIDJ Hbh? Như nào?
Từ I, J tâm hình chữ nhật BDEH CDFK M trung điểm
IJ ta suy điều gì?
Từ MI // AH MJ // AK ta suy điều
Có cách C/m khác?
Ta có A, H, K thẳng hàng nên để c/m A trung điểm HK ta C/m gì? Hãy C/m AB // DK kết hợp với I trung điểm DH để suy AH = AK
Kẻ MN BC đường cao AG MN
có tính chất gì?
M cách BC khoảng khơng đổi m nằm đường nào?
Q P
J N
M
K I
H
G
F E
D C
B
A
HS phát biểu
C/m AH, AK song song với IJ HS nêu cách c/m
Từ I, J tâm hình chữ nhật BDEH CDFK M trung điểm
IJ ta suy MI MJ đường trung bình tam giác AHD AKD
Nên MI // AH MJ // AK hay AH AK song song với IJ nên A, H, K thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít)
HS nêu cách C/m khác
ABC cân A nên ABC = ACB (1)
I tâm hcn BDEH nên suy BID
cân I BDI = DBI hay ABD = BDI (2)
Từ (1) (2) suy BA // DK mà IH = ID nên AH = AK mà A, H, K thẳng hàng nên A trung điểm HK
c) Kẻ MN BC (N BC); đường cao AG ta
coù MN =
1
2 AH (vì MN đường trung bình
của ADG )khơng đổi, nên M nằm
đường thẳng song song với BC cách BC khoảng
1
2 AH không đổi
(21)đường trung bình PQ ABC (PQ // BC)
III tập nhà
1 Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vng góc với AC Gọi M, K theo thứ tự trung điểm AH CD Chứng minh BM vng góc với MK
2 cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành tam giác ABM, AND Gọi E, F, Q theo thứ tự trung điểm BD, AN, AM
a) tam giác MNC tam giác gì? Vì sao? b) Tính FEQ
BUỔI – PHÉP CHIA ĐA THỨC
Ngày soạn:
A MỤC TIÊU:
* Củng cố nâng cao phép chia đa thức
* Tiếp tục rèn luyện nâng cao kỹ vận dụng phép chia đa thức vào toán khác
* Tạo hứng thú cho HS trình học tập vận dụng vào thực tiễ
B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại số kiến thức:
1 Đa thức A chia hết cho đa thức B luỹ thừa biến A chia hết cho luỹ thừa biến B
2 Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q
3 Nếu A = B.Q + R thì: A chia hết cho B R = ;A không chia heát cho b R
II Một số dạng toán phép chia đa thức:
II-1) Dạng 1: Xác định hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B: 1 Phương pháp:
1.1- Cách 1: + Chia A cho B thương Q, dư R
+ Cho R = 0, tìm hệ số tương ứng đồng thức 2.1- Cách 2: Dùng hệ số bất định
Đa thức bị chia có bậc m, đa thức chia có bậc n thìo thương có bậc m – n Nếu gọi thương xm – n + C (C đa thức chưa xác định) Thì A = (xm – n + C ) B A chia hết cho B hệ số luỹ thừa hai vế phải
3.1 - cách 3: dùng giá trị riêng (chỉ áp dụng đa thức bịo chia có nghiệm) Gọi thương phép chia A cho B C A = B.C
Tìm giá trị biến để C = dùng hệ số bất định để xác định hệ số
(22)III Bài tập áp dụng:
Hoạt động GV Hoạt động HS
III.1 - Daïng 1:
Bài 1: xác định a, b để A(x) = x3 + ax + b chia hết cho B(x) = x2 + x – 2
Hãy thực phép chia A(x) cho B(x)
Để A(x) chia hết cho B(x) phải có Đk
Hãy dùng hệ số bất dịnh để tìm a b Thử lại xem có khơng
Bài 2:
Tìm a, b Q để A = x4 + ax + b chia hết
cho B = x2 – 4
Gọi thương x2 + c ta có đẳng thức nào?
Baøi 3:
Xác định k để A = x3 + y3 + z3 + kxyz chia hết cho B = x + y + z
Gọi thương Q ta có đẳng thức nào? Để đẳng thức xẩy với x, y, z phải có điều kiện gì?
Chọn x, y, z để x + y + z = từ tìm k
HS ghi đề , tìm cách giải
x -
x2 + x +
_
(a + 3)x + b -
- x2 + (a - 2)x + b
- x2 + x +
_ x3 + ax + b
x3 + x2 - 2x
Để A(x) B(x) (a + 2)x + b - = a + = a = -
b - = b =
Thử lại:
x3 – 3x + = (x2 + x – 2)(x – 1) HS ghi đề tìm cách giải
Gọi thương x2 + c ta có đẳng thức x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c )
x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c
Đẳng thức xẩy với x Q nên
0
4
4 16
a a
c c
b c b
Với a = 0; b = - 16; c = A = x4 – 16 chia hết cho B = x2 - 4 HS tiếp cận đề
Gọi thương Q ta có :
x3 + y3 + z3 + kxyz = (x + y + z).Q Đẳng thức xẩy với x, y, z nên x + y + z =
Với x = y =1; z = -2
13 + 13 + (-2)3 + k.1.1.(-2) = k = -3
Vậy: Với k = -3 A = x3 + y3 + z3 + kxyz Chia hết cho B = x + y + z
(23)III.2 – Dạng 2: Các toán chứng minh
1 Bài 1: Chứng minh định lí Bơ-du
“ Số dư phép chia f(x) cho nhị thức x – a giá trị đa thức x = a” Nếu gọi thương q(x) dư r f(x) = ? Khi x = a f(x) = ?
2 Bài 2: chứng minh rằng:
(x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - x – 1 Aùp duïng định lí Bơ- du ta có điều gì?
3 Bài 3: Chứng minh
Với m, n Z thì: A = (x3m + + x3n + + 1)
chia heát cho B = x2 + x + 1
Để C/m : A = (x3m + 1 + x3n + 2 + 1) chia hết cho B = x2 + x + ta C/m A (x3 – 1) Vì sao? Để C/m điều ta làm nào? x3m – = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1) có chia hết cho x3 – 1?
Tương tự ta có kết luận gì?
III 3- Dạng 3: Các tốn khác
1 Bài 1: Tìm số dư phép chia
A(x0 = x50 + x=49= + …… + x2 + x + cho B(x) = x2 – 1
Gọi thương Q(x) , dư R(x) = ?
HS tiếp cận yêu cầu
Ta có f(x) = (x – a) q(x) + r
Khi x = a f(x) = (a – a) q(x) + r
f(x) = r (số dư f(x) : (x – a)
HS tiếp cận đề Ta có:
(x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - = (x – 1) Q(x) + r (định lí Bơ-du)
f(1) = (1 + – 1)10 + (1 – + 1)10 – = suy r = neân
(x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - x – 1 HS tiếp cận đề
HS phát biểu:
Vì x3 – = (x – 1)(x2 + x + 1) (x2 + x + 1) A = (x3m + 1 – x) + (x3n + 2 – x2) + (x2 + x + 1) = x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1) x3m – = (x3 – 1)(x3m – 1 + x3m – 2 + … + 1) chia hết cho x3 – nên chia heát cho x2 + x + x(x3m – 1) x2 + x + (1)
Tương tự: x2 (x3n – 1) x2 + x + (2) Và x2 + x + x2 + x + (3)
Từ (1), (2), (3) suy đpcm
Gọi thương Q(x) , dư R(x) = ax + b dư có bậc thấp đa thức chia, ta có: A(x) = B(x) Q(x) + ax + b
Đẳng thức với x nên x2 – = 0
(24)2 Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x – dư 2; chia x + dư chia x2 + x – 12 thương x2 + dư
So sánh x2 + x – 12 với (x + 3)(x + 4) Gọi dư f(x) : (x2 + x – 12 ) ax + b Thương f(x) chia cho x + 3; x + p(x), q(x) ta có điều gì?
Từ (1) (3) suy điều gì? Từ (2) (3) suy điều gì? Từ (4) (5) ta có a =?; b = ?
Vậy đa thức cần tìm đa thức nào? Bài 3:
Tìm n Z để giá trị biểu thức
2n2 + 3n + chia hết cho giá trị biểu thức 2n –
2n2 + 3n + chia heát cho 2n – không? Hãy viết dạng A = B.Q + R
Để giá trị 2n2 + 3n + chia hết cho giá trị biểu thức 2n – cần có điều gì?
2n – Ư(5) 2n – =? Tiòm n tương ứng
A(1) = a + b A(-1) = - a + b
51 a + b a = 25 = - a + b b = 26
Vaäy R(x) = 25x + 26
x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4) HS phát biểu
2
f(x) = (x - 3).p(x) + (1) f(x) = (x + 4).q(x) + (2) f(x) = (x - 3)(x + 4)(x + 3) + ax + b (3)
Từ (1) f(3) = ; từ (3) f(3) = 3a + b 3a + b = (4)
Từ (2) (3) suiy : -4a + b = (5) Từ (4) (5) suy ra: a = -1; b =
Vaäy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + 5 = x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31
HS thực trả lời
2n2 + 3n + = (2n – 1)(n + 2) + 5
Để giá trị 2n2 + 3n + chia hết cho giá trị biểu thức 2n – 2n – hay
2n – Ư(5) = -5; -1; 1; 5
Với 2n – = -1 n = ; 2n – = n =
2n – = -5 n = -2; 2n – = n =
Vậy n 2;0;1;3 giá trị biểu thức
2n2 + 3n + chia hết cho giá trị biểu thức 2n –
III Bài tập nhà: Bài 1: Xác định a; b để
(25)b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – coù dư R = 2x – 3 c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + dư -6 chia R = x – dư 21
Bài 2: Chưng minh rằng
a) mn(m2 – n2) chia hết cho với số nguyên m, n
b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với số nguyên n
baøi 3: