Đang tải... (xem toàn văn)
2.. Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a.. B ’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy.. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp.. Tính cạnh đáy của hình chóp. Tín[r]
(1)KHỐI ĐA DIỆN CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN 12 I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG
sin = AB
BC (ĐỐI chia HUYỀN) cos = AC
BC (KỀ chia HUYỀN)
3 tan = AB
AC (ĐỐI chia KỀ) cot = AC
AB (KỀ chia ĐỐI) II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC
AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH 2
1 1 1
AH AB AC
III ĐỊNH LÍ CÔSIN
a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC IV ĐỊNH LÍ SIN
a b c
2R sin A sin B sin C V ĐỊNH LÍ TALET
MN // BC
a)
AM AN MN
AB AC BC ; b)
AM AN
MB NC
VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1 Tam giác thường:
a) S =
1 ah
2 b) S = p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hê-rông)
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2 Tam giác cạnh a:
a) Đường cao: h =
a 3
2 ; b) S =
2
a 3 4
c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3 Tam giác vuông:
a) S =
1
2ab (a, b cạnh góc vng)
b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền
4 Tam giác vng cân (nửa hình vng):
H C
B
A
N M
C B
(2)a) S =
1
2a2 (2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a 2
5 Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vng có góc 30o 60o b) BC = 2AB c) AC =
a 3
2 d) S =
2
a 3 8
6 Tam giác cân: a) S =
1 ah
2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)
b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) 8 Hình thoi: S =
1
2d1.d2 (d1, d2 đường chéo)
9 Hình vng: a) S = a2 b) Đường chéo a 2
10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11 Đường tròn: a) C = 2R (R: bán kính đường trịn)
b) S = R2 (R: bán kính đường trịn) VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1 Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác
a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm b) * BG =
2
3 BN; * BG = 2GN; * GN = 1 3BN
2 Đường cao:
Giao điểm của đường cao tam giác gọi trực tâm
3 Đường trung trực:
Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
4 Đường phân giác:
Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường trịn nội tiếp tam
giác
VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1 Hình tứ diện đều:
60o 30o
C B
A
G P
N M
C B
(3)a) Có mặt tam giác nhau
b) Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc nhau
2 Hình chóp đều:
a) Có đáy đa giác b) Có mặt bên tam giác cân nhau
c) Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc nhau
3 Đường thẳng d vng góc với mp():
a) Đt d vng góc với đt cắt nằm mp() Tức là:
d a; d b a b
a,b
d
()
b)
( ) ( ) ( ) ( ) a
a d ( )
d ()
c) Đt d vng góc với mp() d vng góc với đt nằm mp()
4 Góc đt d mp(): d cắt () O Ad Nếu
AH ( ) H ( )
góc d () hay AOHˆ =
5 Góc mp() mp():
Nếu
( ) ( ) AB
FM AB;EM AB
EM ( ),FM ( )
thì góc () () hay EMFˆ =
6 Khoảng cách từ điểm A đến mp():
(hình mục 4)
Nếu AH () d(A, ()) = AH
(với H ()) IX KHỐI ĐA DIỆN:
1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 2 Thể tích khối chóp: V =
1 Bh
3 (diện tích đáy đa giác)
F
E
M B
A
O
H A
d' d
(4)a H M
D
C B
A 3 Tỉ số thể tích khối chóp:
S.A B C S.ABC
V SA SB SC
. .
V SA SB SC
4 Diện tích xq hình nón trịn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5 Thể tích khối nón trịn xoay: V =
1 Bh
3 (diện tích đáy đường trịn)
6 Diện tích xq hình trụ tròn xoay: Sxq = 2Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
7 Thể tích khối trụ trịn xoay: V = Bh = R2h ( h: chiều cao khối trụ)
8 Diện tích mặt cầu: S = 4R2 (R: bk mặt cầu )
9 Thể tích khối nón trịn xoay: V =
3
4 R
3 (R: bán kính mặt cầu)
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a
HD: * Đáy BCD cạnh a H trọng tâm đáy * Tất cạnh đầu a
* Tính: V =
1 3Bh =
1
3SBCD AH * Tính: SBCD =
2 3
4 a
(BCD
đều cạnh a)
* Tính AH: Trong VABH H :
AH2 = AB2 – BH2 (biết AB = a; BH =
2
3BM với BM = 3 2 a
) ĐS: V =
3 2
12 a
Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác cạnh a
HD: * Đáy ABCD hình vng cạnh a H giao điểm đường chéo
* Tất cạnh đầu a * Tính: V =
1 3Bh =
1
3SABCD SH * Tính: SABCD = a2 * Tính AH: Trong VSAH H:
a H
S
D
C B
(5)SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH =
2 2 a
) ĐS: V =
3 2
6 a
Suy thể tích khối bát diện cạnh a ĐS: V = 2
3 a
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a
a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
HD: a) * Đáy A’B’C’ cạnh a AA’ đường cao
* Tất cạnh a
* VABC.A B C = Bh = SA B C .AA’ * Tính: SA B C =
2 3
4 a
(A’B’C’ cạnh a) AA’ = a ĐS: VABC.A B C =
3 3
4 a
b) VA BB C =
1
3 VABC.A B C ĐS: 3
12 a
( khối lăng trụ đứng có tất cạnh chia thành tứ diện nhau)
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, C
= 600,
đường chéo BC’
mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) góc 300.
a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ
HD: a) * Xác định góc cạnh BC’ mp(ACC’A’) + CM: BA ( ACC’A’)
BA AC (vì ABC vng A) BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng) + = BC A
= 300 * Tính AC’: Trong VBAC’ A (vì BA AC’)
tan300 =
AB
AC AC’ = 300
AB
tan = AB
* Tính AB: Trong VABC A, ta có: tan600 =
AB AC
AB = AC tan600 = a 3 (vì AC = a) ĐS: AC’ = 3a b) VABC.A B C = Bh = SABC.CC’ * Tính: SABC =
1
2AB.AC = 1
2.a 3.a = 3
2 a
C'
B' A'
C
B A
60 30
C' B'
A'
C B
(6)* Tính CC’: Trong VACC’ C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 CC’ = 2a 2 ĐS: VABC.A B C = a3
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A’
cách các
điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ.
HD: * Kẻ A’H (ABC)
* A’ cách điểm A, B, C nên H trọng tâm ABC cạnh a * Góc cạnh AA’ mp(ABC) = A A H
= 600 * Tính: VABC.A B C = Bh = SABC.A’H
* Tính: SABC = 3
4 a
(Vì ABC cạnh a) * Tính A’H: Trong VAA’H H, ta có:
tan600 =
A H AH
A’H = AH tan600 =
2
3 AN. 3 = a ĐS: VABC.A B C =
3 3
4 a
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, BC = 2a
AA’ = 3a
Tính thể tích lăng trụ HD: * Đường cao lăng trụ AA’ = 3a * Tính: VABC.A B C = Bh = SABC.AA’ * Tính: SABC =
1
2 AB.AC (biết AC = a)
* Tính AB: Trong VABC A, ta có: AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2 ĐS: VABC.A B C =
3
3 3
2 a
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc A
= 600 Chân đường
vng góc hạ từ
a 60
N H
C'
B' A'
C
B A
2a 3a
a
C' B'
A'
C B
(7)B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho BB’ = a.
a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính thể tích hình hộp
HD: a) Gọi O giao điểm đướng chéo AC BD
* B’O (ABCD) (gt)
* Góc cạnh bên BB’ đáy (ABCD) = B BO * Tính = B BO
: Trong VBB’O O, ta có:
cos =
OB BB =
OB a
+ ABD cạnh a (vì A
= 600 AB = a) DB = a OB =
1
2DB = 2 a
Suy ra: cos =
1
2 = 600
b) * Đáy ABCD tổng đều ABD BDC SABCD= 3
4 a
= 3
2 a
* VABCD.A B C D = Bh = SABCD.B’O = 3
2 a
.B’O * Tính B’O: B’O =
3 2 a
(vì B’BO nửa tam giác đều) ĐS:
3 4
a
Bài 8: Cho tứ diện S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH
a) Chứng minh: SABC b) Tính thể tích hình chóp HD: a) Gọi M trung điểm BC
* CM: BCSH (SHmp( ABC)) BC AM
BCmp(SAM) Suy ra: SABC (đpcm) b) * Tất cạnh a
* Tính: VS.ABC =
1 3Bh =
1
3SABC SH * Tính: SABC =
2
a 3 4
* Tính SH: Trong VSAH H, ta có: SH2 = SA2 – AH2
(biết SA = a; AH =
2
3AM mà AM = a 3
2 ABC cạnh a) ĐS: VS.ABC =
a 2 12
Bài 9: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo
với đáy
góc 600 Gọi D giao điểm SA với mặt phẳng qua BC vng góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC S.ABC b) Tính thể tích khối chóp S.DBC
HD: a) Hạ SH (ABC) H trọng tâm ABC cạnh a Gọi E trung điểm BC
a
60 a
O
D' C'
B' A'
D C
B A
a
M H
C
B A
(8)* Góc tạo cạnh bên SA với đáy (ABC) =
SA E = 600 * Tính:
S.DBC S.ABC
V SD SB SC SD
. .
V SA SB SC SA
* Tính SD: SD = SA – AD
* Tính SA: SA = 2AH (vì SAH nửa tam giác đều) AH =
2
3AE mà AE = a 3
2 ABC cạnh a Suy ra: SA =
2a 3 3
* Tính AD: AD =
AE
2 ( ADE nửa tam giác đều) Suy ra: AD =
a 3 4
* Suy ra: SD =
5a 3 12 ĐS:
S.DBC S.ABC
V SD 5
V SA 8
b) Cách 1: * Tính VS.ABC =
1 3Bh =
1
3SABC.SH * Tính: SABC =
2
a 3
4 (vì ABC cạnh a) * Tính SH: Trong VSAH H, ta có: sin600 =
SH
SA SH = SA.sin600 = a Suy ra: VS.ABC =
a 3 12
* Từ S.DBC S.ABC
V 5
V 8 Suy ra: VS.DBC =
3
5a 3 96
Cách 2: * Tính: VS.DBC =
1 3Bh =
1
3SDBC.SD * Tính: SDBC = 1
2 DE.BC
* Tính DE: Trong VADE D, ta có: sin600 =
DE
AE DE = AE.sin600 =
3a
4 Suy ra: SDBC =
2
3a 8
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên (SAB) tam
giác
vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB a) Chứng minh rằng: SH (ABCD)
b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD HD: a) * Ta có: mp(SAB) (ABCD)
* (SAB) (ABCD) = AB; * SH (SAB) * SH AB ( đường cao SAB đều)
60
E D
a H
C
B A
S
S
D a
H C
(9)Suy ra: SH (ABCD) (đpcm) b) * Tính: VS.ABCD =
1 3Bh =
1
3SABCD.SH
* Tính: SABCD = a2 * Tính: SH =
a 3
2 (vì SAB cạnh a) ĐS: VS.ABCD =
3
a 3 6
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC),
(SCA) tạo với đáy
góc 600 Tính thể tích khối chóp đó.
HD: * Hạ SH (ABC) kẻ HM AB, HNBC, HP AC * Góc tạo mặt bên (SAB) với đáy (ABC) = SMH
= 600 * Ta có: Các vng SMH, SNH, SPH (vì có chung cạnh
góc vng góc nhọn 600)
* Suy ra: HM = HN = HP = r bán kính đường trịn nội tiếp ABC
* Tính: VS.ABC =
1 3Bh =
1
3SABC SH
* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c)
= p(p AB)(p BC)(p CA) (cơng thức Hê-rơng) * Tính: p =
5 6 7
9 2
a a a a
Suy ra: SABC = 6a2 * Tính SH: Trong VSMH H, ta có: tan600 =
SH
MH SH = MH tan600 * Tính MH: Theo cơng thức SABC = p.r = p.MH MH =
ABC
S
p = 2a3 6 Suy ra: SH = 2a 2
ĐS: VS.ABC = 8a3
Bài 12: Một hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a thể tích
3 3
6 a
Tính độ dài cạnh bên hình chóp ĐS: SA =
5 2 a
7a
6a 5a
N
M H
P
C
B A
(10)Bài 13: Một hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao
3 2
a
thể tích a3
Tính cạnh đáy hình chóp ĐS: AB = a 2
Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC tích 3a3/8, mặt bên tạo với đáy
(ABC) góc 600 Tính độ dài cạng đáy AB ĐS: AB = a
Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu
Bài 1: Khái niệm mặt tròn xoay (2 tiết)
Bài 1: Trong không gian cho tam giác vng OAB O có OA = 4, OB = Khi quay
tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vng OA đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón trịn xoay a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
b) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15
Tính: AB = ( AOB O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OB OA =
2
1
3 4
3 . = 12
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Sxq = Rl = .OB.SB = 2a2
* Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = 23a2
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OB SO =
3
1 3
3
3 3
a
.a a
Tính: SO =
2 3
3 2
a a
(vì SO đường cao SAB cạnh 2a)
Bài 3: Một hình nón có chiều cao a thiết diện qua trục tam giác vng.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác vuông cân S nên A
= B
= 450
* Sxq = Rl = .OA.SA = a2 2
Tính: SA = a 2; OA = a ( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy = a2 2 + a2 = (1 + 2) a2
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
3
1
3 3
a .a a
Bài 4: Một hình nón có đường sinh l thiết diện qua trục tam giác vuông. 2a
A B
S
O
A
B O
45 S
B A
(11)a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S nên A
= B
= 450
* Sxq = Rl = .OA.SA = 2
l l = 2 l
Tính: OA = 2
l
( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2 2 l + 2 l = 1 1 2 2 l
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1
3 2 2 6 2
l l l
.
Tính: SO = 2
l
( SOA O)
Bài 5: Một hình nón có đường cao a, thiết diện qua trục có góc đỉnh 1200 a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
b) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác SAB cân S nên A
= B
= 300
hay ASO
= BSO
= 600
* Sxq = Rl = .OA.SA = .a 3.2a =
2 2a
Tính: OA = a 3; SA = 2a ( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2
2a 3 + 3a2 =
2
2 3 a
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1 3
3 a aa
Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh l góc đường sinh mặt đáy
bằng .
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón
HD: a) * Góc đường sinh mặt đáy A
= B
=
* Sxq = Rl = .OA.SA = lcos.l =
2 l cos
Tính: OA = lcos ( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2 l cos
+ l2cos2 = 1cos l cos2
(12)b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO
=
2
1 3
2
.l cos lsin
=
3
3
2
l cos sin
Tính: SO = lsin ( SOA O)
Bài 7: Một hình nón có đường sinh 2a diện tích xung quanh mặt nón bằng
2a2.
Tính thể tích hình nón
HD: * Sxq = Rl Rl = 2a2 R =
2
2 2
2
a a a
l a
* Tính: SO = a ( SOA O)
* V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
3
1 3
3
3 3
a
.a a
Bài 8: Một hình nón có góc đỉnh 600 diện tích đáy 9 Tính thể tích của hình nón
HD: * Thiết diện qua trục tam giác SAB * Sđáy = R2 9 = R2 R2 = R =
* SO =
3 2 3
3 3
2 2
AB R
* V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1
3 3 9 3
3 .
Bài 9: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng
bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện này
HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S nên A
= B
= 450
* Sxq = Rl = .OA.SA = 2
a
.a =
2
2 a
2a
S
B A
O
a
S
60 S
B A
(13)Tính: OA = 2
a
( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2
2 a
+
2
2 a
=
2
1 1
2
2 a
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1
3 2 2 6 2
a a a
.
Tính: SO = 2
a
( SOA O)
c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy góc 600: SMO
= 600
* SSAC =
1
2 SM.AC = 1 2.
6 3 a
2 3
3 a
=
2 2
3 a
* Tính: SM =
6 3 a
( SMO O) * Tính: AC = 2AM =
2 3
3 a
* Tính: AM = OA2 OM2 =
3 3 a
* Tính: OM =
6 6 a
( SMO O)
Bài 10: Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón
c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện đó
HD: a) * Sxq = Rl = .OA.SA = .25.SA = 25 1025(cm2)
Tính: SA = 1025 ( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 25 1025 + 625
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1
25 20 3 . (cm3)
c) * Gọi I trung điểm AB kẻ OH SI OH = 12cm
* SSAB =
1
2 .AB.SI = 1
2.40.25 = 500(cm2)
l
h O I H
B A
S
C M
45
B
(14)* Tính: SI =
OS.OI OH =
20 12
.OI
= 25(cm) ( SOI O)
* Tính:
1
OI =
1
OH -
1
OS OI = 15(cm) ( SOI O)
* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)
* Tính: AI = OA2 OI2 20(cm) ( AOI I)
Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông
cân có cạnh huyền a 2
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón
c) Cho dây cung BC đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC
HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S nên A
= B
= 450
* Sxq = Rl = .OA.SA =
2 2 a
.a =
2 2
2 a
Tính: OA = 2
AB
=
2 2 a
; Tính: SA = a ( SOA O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2 2
2 a
+
2
2 a
=
2
2 1 2 ( ) a
b) V =
2
1
3R h =
2
1
3.OA SO =
2
1 2 2
3 2 2 12
a a a
.
Tính: SO =
2 2 a
( SOA O)
c) * Kẻ OM BC SMO
= 600 ; * S SBC =
1
2SM.BC =
1 2 2
2 3 3
a a
. .
=
2 2
3 a
* Tính: SM =
2 3 a
( SOM O) * Tính: BM = 3
a
( SMB M)
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình vng.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R.2R = 4R2
* OA =R; AA’ = 2R
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4R2 + R2 = 5R2
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .R R2 2 R3
C
M a
S
B
A O
A
B O
O' A'
B'
(15)Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy 7cm. a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ
b) Tính thể tích khối trụ
c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2)
* OA = 5cm; AA’ = 7cm
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120(cm2)
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .52.7 = 175(cm3)
c) * Gọi I trung điểm AB OI = 3cm
* SABB A = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)
* AA’ = * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4(cm) ( OAI I)
Bài 3: Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho
c) Cho hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.r r = r2
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2r2 + 2r2 = ( 3 1 )r2
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .r r2 r3
c) * OO’//AA’ BAA
= 300
* Kẻ O’H A’B O’H khoảng cách đường thẳng AB
trục OO’ hình trụ
* Tính: O’H =
3 2 r
(vì BA’O’ cạnh r)
* C/m: BA’O’ cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r
* Tính: A’B = r ( AA’B A’)
Cách khác: * Tính O’H = O A 2 A H =
2
2 3
4 2
r r
r
( A’O’H H)
* Tính: A’H = 2
A B
= 2
r
* Tính: A’B = r ( AA’B A’)
Bài 4: Cho hình trụ có hai đáy hai đường tròn tâm O O’, bán kính R, chiều cao hình trụ R 2.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ h
r
l
B' A' O'
I
O B
A
r
H A
B O
O' A'
r
R R
A' O'
(16)b) Tính thể tích khối trụ
HD: a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.R R 2 = 2 R2
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 R2 + 2R2 = ( 2 1 )R2
b) * V = R h2 = .OA OO2 = .R R2 2R3 2
Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao h = 50cm.
a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho
c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đến trục hình trụ
( Cách giải hình vẽ 14)
ĐS: a) * Sxq = 2Rl = 5000(cm2) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000 + 5000 = 10000
(cm2)
b) * V = R h2 = 125000(cm3)
c) * O’H = 25(cm)
Bài 2: Mặt cầu (1 tiết)
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a vng góc với mp(ABC), ABC vuông B
và
AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu
HD: a) * Gọi O trung điểm CD * Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
* Chứng minh: DAC vuông A OA = OC = OD = 1 2CD
(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh ấy)
* Chứng minh: DBC vuông B OB = 1 2 CD
* OA = OB = OC = OD =
1
2 CD A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; 2 CD
)
b) * Bán kính R = 2
CD
=
1
2 AD2 AC2 = 1
2 AD2 AB BC2
=
1 2
2 2 5 2
25 9 16
2 a
a a a
O D
C
(17)* S =
2
2
5 2
4 50
2
a a
; * V = 4
3 R3 =
3
3
4 5 2 125 2
3 2 3
a a
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a.
a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu
HD: a) Gọi O tâm hình vng (đáy) Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS
b) R = OA =
2 2 a
; S = 2a2; V =
3 2
3 a
Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hính vng cạnh a SA = 2a
vng góc với mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu
HD: a) * Gọi O trung điểm SC
* Chứng minh: Các SAC, SCD, SBC
vuông A, D, B
* OA = OB = OC = OD = OS = 2
SC
S(O; 2 SC
)
b) * R = 2
SC
=
1
2 SA2 AB BC2 = 6 2 a
* S =
2
2
6
4 6
2
a a
; * V =
3
4 6
6
3 2
a a
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC
= c ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu đó.
HD: * Gọi I trung điểm AB Kẻ vng góc với mp(SAB) I
* Dựng mp trung trực SC cắt O OC = OS (1)
* I tâm đường trịn ngoại tiếp SAB (vì SAB vng S)
OA = OB = OS (2)
* Từ (1) (2) OA = OB = OC = OS
Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
* R = OA =
2
2
2 2
SC AB
OI AI
=
2 2
4 a b c
2a
a S
O
D
C B
A
c
b
a I
O S
C
B
(18)* S =
2
2 2
2 2
4
4
a b c (a b c )
* V =
3
2 2
2 2 2
4 1
3 4 6
a b c (a b c ) a b c