Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD.[r]
(1)PHỊNG GD - ĐT HOÀI NHƠN KÌ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI
TRƯỜNG THCS TAM QUAN NĂM HỌC: 2009-2010
- Mơn thi: KIẾN THỨC BỘ MƠN TỐN.
Thời gian làm bài: 120 phút.
-C©u1 ( ®iĨm) :
a) Anh (chị) trình bày bước thực dạy đơn vị kiến thức theo
phương pháp “ Nêu giải vấn đề ”.
b) Soạn tóm tắc giáo án dạy HS giải toán sau theo phương pháp “ Nêu giải quyết vấn đề ”.
Bài tốn: Tìm x, y, z thoả mãn: x = 2y = 3z x2 + y2 + z2 = 441 Câu ( điểm): Anh (chị) giải toán sau:
Bài 1 (1,5 điểm): Tìm số phương lớn có chữ số tận khác thoả
mãn: Khi ta xố hai chữ số tận số phương. Bài (1,5 điểm): Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình:
x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + = ( với m tham số)
Tìm giá trị lớn biểu thức: P = |x1+x2+x1x2| Bài 3 (1 điểm): Giải hệ phương trình
¿
x3
+2y2−4y+3=0 x2+x2y2−2y=0
¿{
¿
Bài 4 (3 điểm):
1) Cho tam giác ABC có AB < AC Â = 840 Trên cạnh AC lấy điểm D cho
CD = AB Gọi M, N trung điểm BC AD Tính số đo góc CNM
2) Cho tam giác ABC có diện tích S không đổi Điểm M, N, P thuộc cạnh
AB, BC, CA cho AMMB =BN
NC= CP
PA=k (k > 0)
a) Chứng minh
k+1¿2 ¿
SAMP
S =
k
¿
(2)Câu 1a) Theo tài liệu: “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY – HỌC TỐN PHỔ THƠNG”
(Hợăc theo nội dung tập huấn thay sách – Chu kì 2001-2005)
Câu 1b) Tõ x=2y=3z⇒x
6=
y
3=
z
2⇒
x2
36=
y2
9 =
z2
4=
x2+y2+z2
49 =
441 49 =9
x2
=324⇒x=±18; y2=81⇒y=±9; z2=36⇒z=±6
tõ x = 2y = 3z nªn x, y, z cïng dÊu vËy (x; y; z)=(18; 9; 6)=(-18; -9; -6)
Câu – Bài 1:
Gọi số cần tìm Axy theo đề cho ta có: ¿ Axy=k2
A=t2
¿{
¿
⇔
100A+xy=k2 A=t2
¿{
(I) , với k, t N*
* Nếu xy=00 , dễ dàng ta có A phương thoả tốn
=> Khơng xác định số phương dạng A00 lớn thoả toán * Nếu xy≠00 , từ (I) => < xy=k2−(10t)2=(k+10t) (k −10t)≤99
=> < k +10t 99 (*) => 10t < 99 => t < => t {1;2;3; ;8} k – 10t > Mặt khác: A lớn t lớn nhất, ta xét:
+) Với t 5, từ (*) => k 49 => k – 10t < 0, vô lý
+) Với t = => k 41 Lại có k – 10t >0 => k > 10t = 40 => k = 41 Khi đó, ta có xy=81 1=81 , A = 16 thoả toán
* Vậy: - Khơng xác định số phương lớn dạng A00 thoả toán
- Nếu hai chữ số tận khác số phương lớn thoả toán 1681 (Nếu GV thể trường hợp xy=00 dừng lại ( => Kết luận) xem lại cố gắng phát triển nghề nghiệp)
Câu – Bài 2:
* Phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + = có nghiệm khi:
[-(m – 1)]2 – (2m2 – 3m + 1) 0≤ m≤1 (1)
* Với 0≤ m≤1 , phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 Ta có: P = |x1+x2+x1x2|=|2m2−m−1|=2|(m−1
4)
2
−
16| Vì 0≤ m≤1 =>
−1
4≤ m− 4≤
3
4⇒(m− 4)
2
≤
16 Do P = 2[
16 −(m− 4)
2
]=9
8−2(m− 4)
2
≤9
8 P = 8⇔m=
1
4 (thoả (1)) Vậy Giá trị lớn P
(3)Câu – Bài 3:
¿
x3+2y2−4 y+3=0(1) x2
+x2y2−2y=0(2)
¿{
¿
Từ (1) => x3 = – – (y – 1)2 – => x – (1’)
Từ (2) => x2= 2y y2
+1≤1 => −1≤ x ≤1 (2’)
Từ (1’) (2’) => x = –1 => y = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (–1; 1)
Câu – Bài 4a) Gọi A’ điểm đối xứng A qua M
- ABA’C laø hình bình hành
⇒ CA’ = AB = CD 1800− AC A '^ = BÂC = 840 ⇒ Δ CDA’ cân C ⇒ C^D A '=1800− AC A '^
2 = 42
0
- MN đường trung bình Δ ADA’
⇒ MN // DA’ ⇒ C^N M=C^D A ' - Từ suy C^N M=420
Câu – Bài 4b)
a) ¸p dơng công thức SAMP=1
2 AM AP SinA nên SAMP
S =
AM AP AB AC =
AM AB
AP AC(∗) theo GT AM
MB =k⇒ AM AB =
k k+1;
AP PC=
1
k⇒
AP AC=
1
k+1
thay vµo (*) ta cã
k+1¿2 ¿
SAMP
S =
k
¿
( Nếu GV phát kết luận giả thiết trường hợp: “vị trí M, N, P nằm ngồi cạnh tam giác q tốt )
b) T¬ng tù
k+1¿2 ¿
S S=
k
¿ ;
k+1¿2 ¿
SCNP
S =
k
¿
k+1¿2 ¿.S 1−3k
¿
SMNP=S −3 SAMP=¿
ta cã
k+1¿2 ¿ ¿
k+1¿2≥4k⇒3k ¿ ¿ dÊu “=” x¶y k=1
Vậy giá trị nhỏ SMNP=1
(4)hay M,N,P trung điểm AB, BC, CA
Phòng GD&ĐT HOI NHN
Trờng THCS TAM QUAN
Kỳ Thi Giáo viên giỏi CP trờng năm học 2009-2010 hớng dẫn chấm Môn Toán
Câu Hớng dẫn Điểm
1b
Từ x=2y=3z x 6=
y
3=
z
2⇒
x2
36=
y2
9 =
z2
4=
x2
+y2+z2
49 =
441 49 =9
x2
=324⇒x=±18; y2=81⇒y=±9; z2=36⇒z=±6
(5)C
âu
2
–
B
ài
1
Gọi số cần tìm Axy theo đề cho ta có: ¿
Axy=k2
A=t2
¿{
¿
⇔
100A+xy=k2 A=t2
¿{
(I) , với k, t N*
* Nếu xy=00 , dễ dàng ta tcó A phương thoả tốn
=> Khơng xác định số phương dạng A00 lớn thoả toán * Nếu xy≠00 , từ (I) => < xy=k2−
(10t)2=(k+10t) (k −10t)≤99
=> < k +10t 99 (*) => 10t < 99 => t < => t {1;2;3; ;8} k – 10t >
Mặt khác: A lớn t lớn nhất, ta xét:
+) Với t 5, từ (*) => k 49 => k – 10t < 0, vô lý +) Với t = => k 41 Lại có k – 10t >0 => k > 10t = 40 => k = 41
Khi đó, ta có xy=81 1=81 , A = 16 thoả toán
* Vậy:
- Khơng xác định số phương lớn dạng A00 thoả toán - Nếu hai chữ số tận khác số phương lớn thoả toán
1681
C
âu
2
–
B
ài
2
* Phương trình: x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + = có nghiệm khi:
[-(m – 1)]2 – (2m2 – 3m + 1) 0≤ m≤1 (1)
* Với 0≤ m≤1 , phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 Ta có: P = |x1+x2+x1x2|=|2m2−m−1|=2|(m−1
4)
2
−
16| Vì 0≤ m≤1 => −1
4≤ m− 4≤
3
4⇒(m− 4)
2
≤
16 Do P = 2[
16−(m− 4)
2
]=9
8−2(m− 4)
2
≤9
8 P =
8⇔m=
4 (thoả (1)) Vậy Giá trị lớn P
8 m =
(6)4
H
B C
A
M
N
P
a) ¸p dơng công thức SAMP=1
2 AM AP SinA nên SAMP
S =
AM AP AB AC =
AM AB
AP AC(∗) theo GT AM
MB =k⇒ AM AB =
k k+1;
AP PC=
1
k ⇒
AP AC=
1
k+1
thay vµo (*) ta cã
k+1¿2 ¿
SAMP S =
k
¿ b) T¬ng tù
k+1¿2 ¿
S S=
k
¿ ;
k+1¿2
¿
SCNP S =
k
¿
k+1¿2 ¿.S 1−3¿k
SMNP=S −3 SAMP=¿
ta cã
k+1¿2 ¿ ¿
k+1¿2≥4k⇒3k ¿ ¿ dÊu = xảy k=1
Vậy giá trị nhá nhÊt SMNP=1
4 S k=1 hay M,N,P trung điểm AB, BC, CA
0,5
1,0
1,0