¸p dông c«ng thøc trªn ta cã qui t¾c c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn sau:... TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc.[r]
(1)Tích phân
I.Các phơng pháp tính tÝch ph©n
1 Tính tích phân định nghĩa ,tính chất bảng nguyên hàm bản 2 Ph ng phỏp i bin s
Bài toán: TÝnh
( )
b
a
I f x dx
,
*Phơng pháp đổi biến dạng I
Định lí Nếu 1) Hàm x u t ( ) có đạo hàm liên tục đoạn ; , 2) Hàm hợp f u t( ( )) đợc xác định ; ,
3) u( ) a u, ( ) b,
th×
'
( ) ( ( )) ( )
b
a
I f x dx f u t u t dt
VÝ dơ 1 H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)
1
2
5
I x x dx
b)
2
4
sin 1 cos
J x xdx
Gi¶i: a) Ta cã
3 5 3 5
3
d x
d x x dx x dx
1 3
0
5 5
3
d x
I x
1
1 3
1
3 2 3
0
1 1
1 1 ( 5) 2
5 ( 5) ( 5) 5
1 0 0
3 3 1 9
2
x
x d x x x
4 10
6 5
3 9
b) Ta cã
2
(sin 1) (sin )
J x d x
5
1 6
sin sin 2
5 x x 0 5
(2)VÝ dô 2 H·y tÝnh c¸c tÝch sau:
a)
4
2
4 x dx
b)
1
2 1
dx x
Giải: a) Đặt
2sin , ;
2 2
x t t
Khi x = th× t = Khi x2 th× t 2
Tõ x2sint dx 2costdt
4 2
2 2
0 0
4 4 4sin 2cos 4 cos
x dx t tdt tdt
b) Đặt
, ;
2 2
x tgt t
Khi x 0 th× t 0, x 1 th× t 4
Ta cã: cos2
dt
x tgt dx
t
1 4
2 2
0 0
1
1 cos 0
dx dt dt t
x tg t t
Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thĨ gặp dạng tích phân dạng tổng quát nh:
Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa dạng
2 2, 2
a x a x vµ
2
x a (trong a số dơng) mà khơng có cách biến đổi khác nên đổi sang hàm số lợng giác để làm thức, cụ thể là:
Víi
2
a x , đặt x asin ,t t 2 2;
hc x a cos ,t t0;
Với a2 x2 , đặt
, ;
2 2
x atgt t
hc x acotgt t , 0;
Víi
2
x a , đặt sin , 2 2; \ 0
a
x t
t
(3)hc
; cos
a x
t
t0; \ 2 . *Phơng pháp đổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số u u x ( )đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn a b;
sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )
f x dx g u x u x dx g u du th×
( ) ( )
( ) ( )
u b b
a u a
I f x dx g u du
VÝ dô 3: TÝnh
1
2
5
I x x dx
Giải: Đặt
3
( ) 5
u x x .Tacã u(0) 5, (1) 6 u
Từ đợc:
6
6
1 2 2 4 10
6 5 6 5
5
3 9 9 9 9
I udu u u
Ví dụ 4: Hãy tính tích phân sau phơng pháp đổi biến dạng II:
a)
1
5
2x1 dx
b)
2
ln
e
e
dx x x
c)
1
4 2
1
x
dx
x x
d)
2
2 (2 1)
dx x
e)
2 3
2
cos(3 )
3
x dx
Gi¶i: a) Đặt u 2x1 x0 u 1 Khi x 1th× u 3
Ta cã
2
2
du du dx dx
Do đó:
1 6
5 5 6
0
3
1 1
2 1 (3 1)
1
2 12 12
u
x dx u du
= 60
2 3.
b)Đặt u lnx Khi x e u 1 Khix e th× u 2 Ta cã
dx du
x
2 2
1
2
ln ln ln1 ln 2
1 ln
e
e
dx du
u
x x u
(4)c)Đặt u x x 1 Khi x 0 u 1 Khi x 1 u 3 Ta có du (2x1)dx Do đó:
1
2
0
3
4 2 2
2ln 2(ln ln1) 2ln 3
1 1
x du
dx u
x x u
d)Đặt u 2x 1 Khi x 1th× u 1 Khi x2 th× u 3
Ta cã
2
2
du du dx dx
Do đó:
2
2
1
3
1 1 1 1 1
( 1)
1
(2 1) 2 2 2 3 3
dx du
x u u
e)Đặt
2 3
3
u x
Khi 3
x
th× 3
u
,
2 3
x th×
4 3
u
Ta cã
3
3
du du dx dx
Do đó:
2
3
3
4
2 1 1 3 1 4
cos(3 ) cos sin sin sin
3 3 3 3 3 3
3
x dx udu u
1 3 3 3
3 2 2 3
.
3.Ph ơng pháp tích phân phÇn.
Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục a b; thì:
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
hay
b b
a a
b
udv uv vdu
a
(5)
Bíc 1: ViÕt f(x)dx dới dạng udv uv dx ' cách chọn phần thích hợp f(x) làm u(x) phần lại
'( )
dv v x dx
Bíc 2: TÝnh du u dx ' vµ
'( )
v dv v x dx
Bíc 3: TÝnh
'
b b
a a
vdu vu dx
vµ
b uv
a.
Bớc 5: áp dụng công thức
VÝ dô 5: TÝnh
ln
e
x xdx
Giải: Đặt
ln
u x
dv xdx
2
2
dx du
x x v
2 2
1
1 1
ln ln
1 1
2 2 2 4 4
e e
e e
x e x e
x xdx x xdx
VÝ dơ 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)
2
lnx dx x
b)
2
cos
x xdx
c)
1
x
xe dx
d)
2
cos
x
e xdx
Giải: a) Đặt
5
4
ln
1 1
4
dx
u x du
x
dv dx v
x x
Do đó:
2
2
5
1
1 1
ln ln ln 1 15 ln
4 64 4 256
x x dx
dx
x x x x
b) §Ỉt cos sin
u x du dx
dv xdx v x
(6)
2
0
cos sin 2 sin cos 2 1
2 2
0 0
x xdx x x xdx x
c)Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
Do đó:
1
0
1 1
1 1
0 0
x x x x
xe dx xe e dx e e e e
d) Đặt cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x
2
0
cos sin 2 sin
0
x x x
e xdx e x e xdx
Đặt
1
1 sin cos
x x
u e du e dx
dv xdx v x
2
2
0
cos cos 2 cos
0
x x x
e xdx e e x e xdx
2
2
0
1
2 cos 1 cos .
2
x x e
e xdx e e xdx
*Cách đặt u dv phơng pháp tích phân phần
( )
b
x a
P x e dx
( )ln
b
a
P x xdx
( )cos
b
a
P x xdx
cos
b x a
e xdx
u P(x) lnx P(x) ex
dv e dxx P(x)dx cosxdx cosxdx
(7)chung nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn
'
dv v dx phần f(x)dx vi phân hàm số biết có nguyên hàm dễ tìm
Có ba dạng tích phân thờng đợc áp dụng tích phân phần:
NÕu tÝnh tÝch ph©n
( ) ( )
P x Q x dx
mà P(x)là đa thức chứa x Q(x)
một hàm số: , cos , sin ax
e ax ax ta thờng đặt
'
( ) ( )
( ) ( )
du P x dx u P x
dv Q x dx v Q x dx
NÕu tÝnh tÝch ph©n
( ) ( )
P x Q x dx
mà P(x) đa thức cđa x vµ Q(x) lµ
hàm số ln(ax) ta đặt
'
( )
( ) ( )
du Q x dx u Q x
dv P x dx v P x dx
NÕu tÝnh tÝch ph©n
cos
ax
I e bxdx
hc
sin
ax
J e bxdx
th×
ta đặt
1
cos sin
ax
ax du ae dx
u e
dv bxdx v bx
b
đặt
1
sin cos
ax
ax du ae dx
u e
dv bxdx v bx
b
Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cần tính
(8)a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:
2 0
dx
I a
ax bx c
.
(trong ax2 bx c 0 với x ; ) Xét b2 4ac
+)NÕu 0 th×
2
2
dx I
b a x
a
tính đợc
+)NÕu 0 th× 1 2
1 dx
I
a x x x x
,
(trong
;
2 2
b b
x x
a a
)
1 2
1
ln x x
I
a x x x x
+) NÕu 0th×
2
2 2
2
2 4
dx dx
I
ax bx c b
a x
a a
Đặt
2
1
1
2 4 2
b
x tgt dx tg t dt
a a a , ta tính đợc I.
b) TÝnh tÝch ph©n:
2 , 0
mx n
I dx a
ax bx c
.
(trong
( ) mx n
f x
ax bx c
liªn tơc đoạn ; )
+) Bằng phơng pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: mx+n
ax2+bx+c=
A(2ax+b)
ax2+bx+c +
B
ax2+bx+c +)Ta cã I=
α β
❑ mx+n
ax2
+bx+c dx=α β
❑ A(2ax+b)
ax2
+bx+c dx+α β
❑ B
ax2
(9)TÝch ph©n
α β
❑A(2 ax+b)
ax2+bx+c dx = Aln|ax
2
+bx+c|¿εβ
TÝch ph©n
2
dx
ax bx c
tính đợc
c) TÝnh tÝch ph©n
( ) ( )
b
a
P x
I dx
Q x
với P(x) Q(x) đa thức x.
Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) dùng phép chia đa thức
Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trờng hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn 1, , ,2 nthì đặt
1 2
( )
( )
n n
A
A A
P x
Q x x x x .
+ Khi
2
( ) , 4 0
Q x x x px q p q
thì đặt
2
( )
. ( )
P x A Bx C
Q x x x px q
+ Khi
2
( )
Q x x x
với đặt
2
( ) ( )
A
P x B C
Q x x x x
VÝ dô 7 TÝnh tÝch ph©n:
1
4 11
5 6
x
dx
x x
Gi¶i:
Cách 1.Bằng phơng pháp đồng hệ số ta tìm A, B cho:
2 2
2 5
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6 5 6
A x
x B
x
x x x x x x
2
2 5
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6
Ax A B
x
x
x x x x
(10)
2 4 2
5 11 1
A A
A B B
VËy
2 2
2 2 5
4 11 1
, \ 3; 2
5 6 5 6 5 6
x x
x
x x x x x x
.
Do
1 1
2 2
0 0
4 11 2 2 5
5 6 5 6 5 6
x dx x dx dx
x x x x x x
2 1 2 1 9
2ln 5 6 ln ln
0 3 0 2
x x x
x
.
Cách Vì
2 5 6 2 3
x x x x
nªn ta cã thể tính tích phân cách:
Tìm A, B cho:
4 11
, \ 3; 2
5 6 2 3
x A B
x
x x x x
2
3
4 11
, \ 3; 2
5 6 5 6
A B x A B
x
x
x x x x
4 3
3 2 11 1
A B A
A B B
VËy
4 11 3 1
, \ 3; 2
5 6 2 3
x
x
x x x x
.
Do
1 1
2
0 0
4 11
3
5 6 2 3
x dx dx
dx
x x x x
1 1 9
3ln 2 ln 3 ln
0 0 2
x x
VÝ dô 8:TÝnh tÝch ph©n:
1
0 1
dx x x
(11)Do
1
2
0 1 1 3
2 4
dx dx
x x
x
Đặt
1 3 3
, ; 1
2 2 6 3 2
x tgt t dx tg t dt
VËy
1 3
2
2
6
3 1
2 3 2 3 3 3
2 3
1 (1 ) 3 3 9
4 6
tg t dt
dx dt t
x x tg t
VÝ dơ 9 TÝnh tÝch ph©n:
1 3
2 1
x dx x
Gi¶i:
1 1
2 3 2
2 2
0 1 1 1
x dx x x dx xdx xdx
x x x
2
2
1 1
1ln 1 1 1ln3
2 2
2 0 2 0 8 2 4
x x
2 TÝch phân hàm l ợng giác
2.1.Dng 1: Bin đổi tích phân bản Ví dụ 10: Hãy tính tích phân sau:
a)
2
sin sin 7
J x xdx
;
b)
2
4
cos (sin cos )
K x x x dx
;
c)
2 3
4sin 1 cos
x
M dx
x
(12)Gi¶i
a)
2
2
1 cos5 1 cos9
2 2
J xdx xdx
1 2 1 2 4
sin 5 sin 9
10 18 45
2 2
x x
b) Ta cã
2
4 2 2
cos (sinx xcos ) cosx x sin xcos x 2sin xcos x
2
1 1 3 1
cos 1 sin 2 cos 1 1 cos 4 cos cos cos 4
2 4 4 4
x x x x x x x
3 1
cos cos5 cos3
4 x 8 x x
2 2
4
0 0
3 1 1
cos (sin cos ) cos cos5 co3
4 8 8
K x x x dx xdx xdx xdx
3 1 1 3 1 1 11
sin 2 sin 5 2 sin 3 2
4 x 0 40 x 0 24 x 0 4 40 24 15
c)
3 2
4sin 4sin sin 4(1 cos )sin
4(1 cos )sin
1 cos 1 cos 1 cos
x x x x x
x x
x x x
M 2
2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lợng giác 2.2.1.Tính cos
dx I
asinx b x c
Phơng pháp:
Đặt
2
2 1
x dt
t tg dx
t
Ta cã:
2 sin
1
t x
t
vµ
2
1 cos
1
t x
t
(13)
2
cos 2
dx dt
I
asinx b x c c b t at b c
biết cách tính.
VÝ dơ 11 TÝnh 4cos 3sin 5 dx
x x
Gi¶i: §Ỉt
2
2
1 2
1
2 2 2 1
x x dt
t tg dt tg dx dx
t
2
2
2
2 1
1 2
cos 3sin 3 3 3 3 2
1 1
dt
dx t dt
t t
x x t t
t t
1
1 2
ln ln
2 2
2
x tg t
C C
x
t tg
2.2.2 TÝnh sin2 sin cos cos2 dx
I
a x b x x c x d
Ph¬ng ph¸p:
2
sin sin cos cos
dx I
a d x b x x c d x
2 2cos
dx x
a d tg x btgx c d
Đặt cos2
dx t tgx dt
x
dt I
a d t bt c d
tính đợc.
VÝ dô 12 TÝnh: sin2 2sin cos 3cos2 dx
I
x x x x
.
Gi¶i:Ta cã
2
2 2
cos
sin 2sin cos 3cos 2 3
dx
dx x
I
x x x x tg x tgx
Đặt cos2
dx t tgx dt
x
(14)
2
1 1 1 1
ln ln
2 3 1 3 4 3 4 3
dt dt t tgx
I C C
t t t t t tgx
2.2.3 TÝnh
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c
.
Phơng pháp:
+)Tìm A, B, C cho:
sin cos sin cos cos sin ,
m x n x p A a x b x c B a x b x C x
+) VËy
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c
=
= Adx+B acosx − bsinx
asinx+bcosx+cdx+C
dx
asinx+bcosx+c Tích phân dx tính đợc
TÝch ph©n acosx − bsinx
asinx+bcosx+cdx=ln|asinx+bcosx+c|+C TÝch ph©n dx
asinx+bcosx+c tính đợc
VÝ dô 13 TÝnh:
cos 2sin
4cos 3sin
x x
I dx
x x
Gi¶i:
Bằng cách cân hệ số bất định, tìm A B cho:
cosx2sinx A 4cosx3sinx B 4sinx3cos ,x x
cosx2sinx 4A3B cosx 3A 4B sin ,x x
2
4 3 1 5
3 4 2 1
5
A
A B
A B
B
2 4sin 3cos 2 1
. ln 4cos 3sin
5 4cos 3sin 5 5
x x
I dx x x x C
x x
.
2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đa về tích phân hàm lợng giác đơn giản
(15)2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng
sin ,cos
R x x dx
, víi Rsin ,cosx xlà hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm ta đổi biến số đa dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta biết cách tính tích phân
Trêng hợp chung: Đặt
2
2 1
x dt
t tg dx
t
Ta cã
2 2
2 1
sin ;cos
1 1
t t
x x
t t
Những trờng hợp đặc biệt:
+) NÕu Rsin ,cosx xlà hàm số chẵn với sinx cosx nghĩa lµ
R sin , cosx x Rsin ,cosx xthì đặt t tgx t cotgx, sau đa tích phân dạng hữu tỉ theo biến t
+) Nếu Rsin ,cosx xlà hàm số lẻ sinx nghĩa là: R sin ,cosx x Rsin ,cosx xthì đặt t cosx +) Nếu Rsin ,cosx xlà hàm số lẻ cosx nghĩa là: Rsin , cosx x Rsin ,cosx xthì đặt t sinx
3.TÝch ph©n hàm vô tỉ
3.1 Dng 1: Bin i tích phân vơ tỉ bản
VÝ dơ 14 TÝnh tÝch ph©n:
1
0 1
dx I
x x
Gi¶i
1
3
2
0
1 2
1 1
0 3
1
dx
I x x dx x x
x x 232 2
VÝ dơ 15:TÝnh tÝch ph©n
1 1
x dx x x
Gi¶i:
1
3
0
2
( )
15
x dx
x x x dx
x x
(16)
(xem vÝ dô 2)
3.3Dạng 3: Biến đổi làm căn
Gồm: Đổi biến số t toàn thức
Vit biu thc dới dạng bình phơng
VÝ dơ 15:TÝnh
I=
0
x3√1− x2dx
Gi¶i:
I=
0
x3√1− x2dx=
0
x2❑
√1− x2 xdx
Đặt t= 1 x2t2
=1 x2x2=1t2
Ta cã: xdx=-tdt, Khi x= th× t =1,khi x = th× t =0 VËy
I=−
1
(1− t2)t2dt=(t
3
3−
t5
5)¿0
=
15 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối
VÝ dô 16: TÝnh
2 2
1
J x dx
Gi¶i: LËp b¶ng xÐt dÊu cđa x2 1 đoạn 2;2
x -2 -1
2 1
x + - +
Do
2 1
2 2
2 1
1 1 1 1
I x dx x dx x dx x dx
3 1 1 2
4
2 1 1
3 3 3
x x x
x x x
III.Tích phân số hàm đặc biệt
1.Cho hàm số yf x( ) liên tục lẻ đoạn a a; Khi đó
( ) 0
a
a
I f x dx
(17)VÝ dô 17: Chøng minh
2
2
0 4 sin
xdx I
x
Giải: Đặt x t dx dt Khi x=
π
2 th× t = -
π
2 , x 2
th× 2 t
Do : I=
π
2
− π
2
tdt
4−sin2t=− I
Suy : 2I = Ta đợc
2
2
0 4 sin
xdx I
x
2.Cho hàm số yf x( ) liên tục chẵn đoạn a a; Khi đó
0
( ) 2 ( )
a a
a
I f x dx f x dx
.
Chøng minh : Ta cã
0
0
( ) ( ) ( )
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx
(1)
Ta tÝnh
0
( )
a
J f x dx
cách đặt xt0 t a dx dt
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
J f x dx f t dt f t dt f x dx
(2)
Thay (2) vào (1) ta đợc
( ) 2 ( )
a a
a
I f x dx f x dx
VÝ dô 18: TÝnh tÝch ph©n:
2
2
cos 4 sin
x x
I dx
x
(18)Gi¶i: Ta cã
2 2
2 2
2 2
cos cos
4 sin 4 sin 4 sin
x x x x
I dx dx dx
x x x
Do
( )
4 sin
x f x
x
lµ hàm số lẻ
; 2 2
nªn
2
2
0 4 sin
x
dx x
vµ 2
cos ( )
4 sin
x f x
x
hàm số chẵn
; 2 2
nªn ta cã:
2 2
2
0
2
cos cos (sin )
2 2
4 sin 4 sin (sin 2) sin 2
x x d x
dx dx
x x x x
VËy
1 sin 2 1
ln 2 ln 3
2 sin 2 0 2
x I
x
3.Cho hàm số yf x( ) liên tục chẵn đoạn [−α:α] Khi đó I=
−α α
f(x)
ax+1dx=
1 2−α
f(x)dx Chứng minh: Đặt t= -x dt= - dx
Ta cã f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1=
1 t
t a
a
Khi x= - α th× t = α ; x = α th× t =- α VËy I=
−α α
f(x)
ax
+1dx=− α α
atf
(t)
at
+1 dt=− α α
at
+1−1
at
+1 f(t)dt ¿
−α α
f(t)dt+
− α α
f(t)
at+1dt=− α α
f(x)dx+I Suy I=
−α α
f(x)
ax+1dx=
1 2−α
α
f(x)dx
VÝ dô 19: TÝnh tÝch ph©n:
1 4 12 1
x
x
I dx
Giải:Đặt t= -x dt= - dx
(19)VËy I=
−1
x4
2x+1dx=−1
t4
2− t+1dt=−1
2t
2t+1t
4dt
¿
−1
t4dt−
−1
t4
2t
+1dt=−1
x4dx− I
Suy I==1 2−1
1
x4dx
=1
2
x5
5 ¿−1
=1
5
4.Cho f(x) liªn tục đoạn
0; 2
Khi
2
0
(sin ) (cos )
f x dx f x dx
.
Chøng minh:
§Ỉt 2
t x dxdt
Khi x = th× 2 t
, 2 x
th× t =
Do
0
2 2
0 0
2
(sin ) (sin( ) (cos ) (cos )
2
f x dx f t dt f t dt f x dx
Nhận xét : Bằng cách làm tơng tự ta có công thức
*Nếu f(x) liên tục 0;1 thì
(sin ) (sin )
2
xf x dx f x dx
*Nếu f(x) liên tục 0;1 thì
2
(cos ) (cos )
xf x dx f x dx
VÝ dô 20:Chøng minh: I=
2
sin
sin cos 4
n
n n
x
dx
x x
Gi¶i :
(20)I=
2
0
sin cos
sin cos sin cos
n n
n n n n
x x
dx dx
x x x x
=J
+) VËy I+J=
2
0
sin cos
sin cos sin cos 2
n n
n n n n
x x
dx dx
x x x x
VËy I=
2
sin
sin cos 4
n
n n
x
dx
x x
VÝ dơ 21: TÝnh tÝch ph©n:
2
sin 1 cos
x x dx
x
Gi¶i: §Ỉt x t 0 t dx dt
Khi
0
2
0
sin sin
1 cos 1 cos
t t
x x
dx dt
x t
2
0
2
0
sin sin
1 cos 1 cos
sin sin
1 cos 1 cos
t t t
dt dt
t t
x x x
dx dx
x x
2
0
sin sin
2
1 cos 1 cos
x x x
dx dx
x x
VËy
2
2
0
sin sin
1 cos 2 cos 4
x x x
dx dx
x x
Bài tập đề nghị Bài 1.Tính tích phân sau
a¿I=
0
π
2
sin 2x
√cos2x+4 sin2x dx ( §H-KA-2006)
b¿I=
0
π2
√xsin√xdx
d¿I=
0
π
2
(21)c¿I=
0
π
2
sin 2x+sinx √1+3 cosx dx
(§H-KA-2005)
e¿I=
0
π
2
sin 2x cosx
1+cosx dx (§H-KB-2005)
g¿I=
π
4
π
2
sinx −cosx
√1+sin 2x dx
sinx −cosx+3¿3 ¿
¿ cos 2x
¿
i¿I=
0
π
2
¿
f¿I=
0
π
4
x
1+cos2x dx
h¿I=
π
4
π
3
tanx
cosx√1+cos2x
dx
k¿I=
0
4
xtan2x.dx
Bài 2.Tính tÝch ph©n sau
a¿I=
0
√3
x5
+2x3
√x2
+1
dx
c¿I=
0
√2x+1
1+√2x+1dx
e¿I=
1
x3.√x2−1 dx
g¿I=
√5 2√3
dx
x√x2+4
b¿I=
1
√3
dx
x2(x2+1)
d¿I=
1
1
x2(1+
1
x)dx f¿I=
1
√3
dx
x+x3
h¿I=
−3
(|x+2|−|x −2|)dx
Bµi TÝnh tích phân sau aI=
0
(x2+1)exdx
c¿I=
0
dx 1+ex
x+2¿2 ¿ ¿
x2.ex
¿
e¿I=
0
¿
g¿I=
−1
x(e2x+√3 x+1)dx
b¿I=
1
ln(1+x)
x2 dx d¿I=
1
e
x3+1
x lnx dx f¿I=
2
ln(x2− x) dx
h¿I=
0
π
2