Diện hữu hạn của một đồ thị phẳng là một miền kín của mặt phẳng được giới hạn bằng các cạnh của đồ thị sao cho có thể nối hai điểm bất kỳ thuộc diện này bằng một nét liền mà không gặp [r]
(1)BÀI 17
Chương 10 Đồ thị phẳng 10.1 Bài toán ba biệt thự ba nhà máy
Trong thị trấn có ba biệt thự ba nhà máy cung cấp: điện, nước khí đốt Mỗi biệt thự muốn mắc đường cáp điện ngầm, đường ống cấp nước, đường ống cấp khí đốt riêng từ nhà đến ba nhà máy mà không gặp đường ống biệt thự khác Hỏi có làm đường hay khơng?
Hình 10.1 Ba biệt thự ba nhà máy
Để giải toán trên, ta sử dụng khái niệm đồ thị phẳng 10.2 Đồ thị phẳng
Định nghĩa 10.1: Đa đồ thị vô hướng G gọi đồ thị phẳng biểu
diễn mặt phẳng cho khơng có hai cạnh cắt nhau, trừ đỉnh
Ví dụ, từ đồ địa lý giới ta xây dựng đồ thị với nước đỉnh, hai đỉnh nối với cạnh hai nước tương ứng có chung đường biên giới Đồ thị nhận đồ thị phẳng
Giả sử G đồ thị phẳng biểu diễn mặt phẳng
Diện hữu hạn đồ thị phẳng miền kín mặt phẳng giới hạn cạnh đồ thị cho nối hai điểm thuộc diện nét liền mà không gặp cạnh bên
Đồ thị cịn có diện vơ hạn, phần bù mặt phẳng hợp diện hữu hạn
(2)Ta thấy rằng, hệ chu trình đơn độc lập cực đại chia đồ thị phẳng thành diện hữu hạn Thật vậy:
Định lý 10.1: Số diện hữu hạn đa đồ thị phẳng G chu số đồ thị
này
Chứng minh: Quy nạp theo số diện hữu hạn h G
h = 1: có chu trình đơn nhất, biên diện Suy chu số
(h -1) ⇒ (h) : Giả sử đồ thị phẳng G với n đỉnh, m cạnh p mảng liên thơng có h diện Lập đồ thị G’ từ G cách bớt cạnh e biên diện để số diện hữu hạn bớt Khi đó, G’ có h-1 diện Theo giả thiết quy nạp, chu số G’ h-1 = (m - 1) - n + p (p khơng đổi bớt cạnh chu trình) Suy số diện hữu hạn G h = m - n +p = chu số G
Hệ 10.2: Nếu đa đồ thị phẳng G có n đỉnh, m cạnh, p mảng liên thông
h diện thì: n - m + h = p + (công thức Euler tổng quát) Chứng minh:
Số diện đồ thị phẳng số diện hữu hạn cộng thêm (diện vô hạn) = chu số + Vậy thì, h = m - n + p +1 Do đó, n - m + h = p +1
Hệ 10.3: Trong đơn đồ thị phẳng có đỉnh có bậc khơng q
Chứng minh:
Khơng tính tổng qt giả thiết đơn đồ thị liên thông Trong đơn đồ thị phẳng diện hữu hạn giới hạn cạnh, mà cạnh thuộc nhiều hai diện nên:
3h ≤ 2m ⇒ h ≤
3 2m
Ta chứng minh phản chứng Giả sử đỉnh đồ thị G có bậc là Khi đó, tổng tất bậc đỉnh G = 2m ≥ 6n
Do vậy: m ≥ 3n hay n ≤
3
m
Theo cơng thức Euler thì: n - m + h = + p = Ta có: ≤
3
m - m +
3
2m = Suy điều vô lý
(3)Định lý 10.4:
Giả sử G đồ thị G’ đồ thị Đồ thị G phẳng G’ phẳng
Đồ thị G’ khơng phẳng G không phẳng
Chứng minh: Hiển nhiên
Ký hiệu: δ độ dài chu trình ngắn số cạnh đồ thị G khơng có chu trình Số δ gọi đai đồ thị
Định lý 10.5: Nếu đồ thị G phẳng đai δ ≥ ) ( − − ≤ n m δδ Chứng minh:
Ta có: h.δ ≤ 2m Do theo cơng thức Euler δ.(m - n +2) ≤ 2m Từ suy điều phải chứng minh Ví dụ 10.2: (Bài tốn ba biệt thự ba nhà máy)
Hình 10.2 Đồ thị toán ba biệt thự ba nhà máy
Đai đồ thị δ = Vậy thì: m = > (6 2)
2
4
= −
− Theo Định lý 10.5, đồ thị khơng phẳng
Ví dụ 10.3:
Đồ thị hai phần đầy đủ Km, n đơn đồ thị có m+n đỉnh gồm m đỉnh
(4)Hình 10.3 Các đồ thị hai phần phẳng
Hệ 10.6: Đồ thị hai phần đầy đủ Km, n đồ thị phẳng m ≤
hoặc n ≤
Ví dụ 10.4: Đồ thị đầy đủ đỉnh
Hình 10.3 Đồ thị đầy đủ đỉnh
Đồ thị có đai δ = Vậy m = 10 > (5 2)
3
= −
− Do đó, đồ thị K5 khơng
phẳng Từ suy ra, đồ thị đầy đủ Kn với n ≥ không phẳng
Chú ý rằng, đồ thị đầy đủ Kn với n ≤ đồ thị phẳng
Từ đồ thị G’ cho trước ta xây dựng đồ thị G cách: Thêm vào G’ đỉnh cạnh Đỉnh nối với đỉnh khác cạnh Đỉnh đặt cạnh cũ chia cạnh thành hai cạnh mới Ta nói rằng, đồ thị G nhận có chứa cấu hình G’ Hay đồ thị G’ cấu hình đồ thị G
Chẳng hạn, đồ thị riêng đồ thị cấu hình đồ thị
Định lý 10.7 (Kuratowski):
(5)1)
Hình 10.4 Hai đồ thị đẳng hình chứa cấu hình K3,3
Đồ thị chứa cấu hình K3,3 Do vậy, khơng phẳng
2)
Hình 10.5 Hai đồ thị đẳng hình chứa cấu hình K5
Đồ thị chứa cấu hình K5 Vậy không phẳng
Sắc số đồ thị phẳng
Do đặc thù đồ thị phẳng mà tốn tơ màu đồ thị phẳng trở nên lý thú
Định lý 10.8 (Kemple - Heawood):
Mọi đồ thị phẳng khơng có đỉnh nút có sắc số khơng lớn Chứng minh:
Ta chứng minh định lý quy nạp theo số đỉnh n đồ thị n = 1, 2, 3, 4, : Hiển nhiên
(n-1) ⇒ (n) : Theo Hệ 10.3, đồ thị G có đỉnh x với bậc không quá Xây dựng đồ thị G’ từ đồ thị G cách bỏ đỉnh x Theo giả thiết quy nạp, đồ thị G’ có sắc số không vượt
(6)Nếu đỉnh kề với đỉnh x tô màu cịn thừa màu để tô cho x Sắc số G sắc số G’ (không vượt 5)
Vậy ta cần xét trường hợp đỉnh x kề với đỉnh đỉnh kề với x đánh số thứ tự theo chiều kim đồng hồ tơ màu Hình 10.6 Khi đó, ta phải đổi màu đỉnh để dành màu cho đỉnh x
Xét tất đường G đỉnh a gồm đỉnh tô màu màu Trong đường khơng có đường qua đỉnh c ta tráo đổi màu với màu cho tất đỉnh đường Sau đó, ta tơ màu cho đỉnh x
Hình 10.6 Năm đỉnh kề với màu
Ngược lại, có đường từ a đến c gồm tồn đỉnh tơ bằng màu màu đường với hai cạnh (c,x) (x,a) tạo thành chu trình G Do tính chất phẳng đồ thị G nên hai đỉnh b d nằm bên nằm bên ngồi chu trình Suy khơng có đường nối b với d gồm đỉnh tô màu màu Vậy ta lại tráo đổi màu với màu cho tất đỉnh đường qua đỉnh b Khi đó, hai đỉnh b d có màu Ta tơ màu cho đỉnh x
Định lý chứng minh
Bài toán bốn màu
(7)Mãi đến tận năm 1976, ba nhà khoa học người Mỹ K Appel, W Haken J Koch chứng minh máy tính điện tử giả thuyết Gazri
Định lý 10.7 (Appel - Haken):
Mọi đồ thị phẳng khơng có đỉnh nút có sắc số khơng
Dễ thấy rằng, đồ thị vô hướng đầy đủ Kn (n ≥ 5) có sắc số lớn nên
(8)