lần lượt quanh các cạnh của nó để tạo ra các khối tròn xoay.. Một khối nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 3. Một mặt phẳng qua đường kính AB của mặt đáy đ[r]
(1)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Mục lục
1 Hình học không gian (cổ điển) 1
I Một số vấn đề quan hệ song song
1 Việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng
2 Việc xác định giao điểm đường thẳng mặt phẳng
3 Một số định lý nhận dạng quan hệ song song
II Một số vấn đề quan hệ vng góc
1 Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
2 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc
3 Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng góc
III Phương pháp xác định loại góc khơng gian
1 Góc hai đường thẳng
2 Góc đường thẳng mặt phẳng (cắt khơng vng góc)
3 Góc hai mặt phẳng (cắt nhau)
IV Phương pháp xác định khoảng cách
1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
2 Khoảng cách đối tượng song song
3 Khoảng cách đường thẳng avàbchéo
V Một số vấn đề khối đa diện lồi, khối đa diện
1 Tính chất hình đa diện, khối đa diện
2 Bảng tổng hợp tính chất đa diện
VI Một số cơng thức tính tốn hình học
1 Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tam giác
2 Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tứ giác
3 Cơng thức thể tính thể tích khối chóp khối lăng trụ
4 Cơng thức tính tốn với khối nón - trụ - cầu
5 Phương pháp dựng tâmI mặt cầu ngoại tiếp hình chóp VII Một số khối đa diện thường gặp đề thi 10
1 Hình chóp tam giác 10
2 Hình tam diện vng O.ABC(vng tạiO) 10
3 Hình chóp S.ABCcó đường caoSA,ABvng góc vớiBC 10
4 Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy tam giác“thường” 11
5 Hình chóp S.ABCcó mặt bên b“cân S”và“dựng đứng” 11 Hình chóp tứ giác 11
7 Hình chópS.ABCDcó cạnh bênSA “thẳng đứng”, mặt đáy “hình chữ nhật” 12
(2)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
(3)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Chương 1
Hình học không gian (cổ điển) I Một số vấn đề quan hệ song song
1 Việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng
A B
α
β b
a
∆
α
β
a
∆
α
β
Nếu mặt phẳng phân biệt (α) (β) có điểm chung phân biệt A B đường thẳng ABlà giao tuyến chúng
Hai mặt phẳng phân biệt qua đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng trùng với đường thẳng Hai mặt phẳng phân biệt thoả mãn tính chất “mặt phẳng chứa đường thẳng
a, mặt phẳng song song với a” giao tuyến chúng song song vớia
c
a b
γ α
β
c a
b γ α
β
a b
β α
γ
Ba mặt phẳng đôi cắt tạo thành giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với
Cho hai mặt phẳng song song với Nếu có mặt phẳng thứ ba cắt mặt phẳng thứ mặt phẳng thứ ba cắt ln mặt phẳng thứ hai, đồng thời hai đường giao tuyến tạo thành song song với
2 Việc xác định giao điểm đường thẳng mặt phẳng PP bản: muốn tìm giao điểm đường thẳngdvới
mặt phẳng(α)ta tìm giao điểm đường thẳngd với đường thẳng∆(hợp lý) mặt phẳng(α) Nếu chưa tìm đường thẳng∆trong(α)như
PP nêu, ta thực bước giải sau:
I d
∆
α
(4)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
+o Bước 1: chọn mặt phẳng phụ(β)chứa đường thẳngd +o Bước 2: tìm giao tuyến∆của(β)và mp(α)đã cho +o Bước 3: tìm giao điểm I của∆và đường thẳngd
I d
∆
α
3 Một số định lý nhận dạng quan hệ song song
Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng nằm ngồi mặt phẳng đồng thời song song với đường thẳng nằm mặt phẳng
Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song với ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng cắt song song với mặt phẳng
II Một số vấn đề quan hệ vng góc
1 Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
d⊥a⊂(P) d⊥b⊂(P) a∩b=I
⇒d⊥(P) d
b a
P
(α)⊥(P) (β)⊥(P) d=(α)∩(β)
⇒d⊥(P)
α d β
P
(P)⊥(Q) d⊂(Q)
d⊥∆=(P)∩(Q)
⇒d⊥(P) d
P
Q
∆
Muốn chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng cắt nằm mặt phẳng
Nếu hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng (nếu có) vng góc với mặt phẳng thứ ba
Xét mặt phẳng vng góc với nhau: mặt phẳng có đường thẳng vng góc với giao tuyến chúng đường thẳng vng góc với mặt phẳng 2 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc
Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với ta chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng
(
d⊥(P)
∆⊂(P)⇒d⊥∆
d
∆
P 3 Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng góc
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vng góc với ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng
(
d⊥(P)
d⊂(Q)⇒(P)⊥(Q)
d
P
(5)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
III Phương pháp xác định loại góc khơng gian 1 Góc hai đường thẳng
Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a0 và b0 cắt lần lượt song song trùng với hai đường thẳnga,b
2 Góc đường thẳng mặt phẳng (cắt khơng vng góc) Bước 1: Xác định giao điểm I củad và(α)
(góc cần vẽ có đỉnh đặt đây)
Bước 2: Tìm hình chiếu vng gócd0củad lên(α)
+o Trên d, lấy điểm Akhác I
+o Tìm hình chiếu A0 Atrên(α)
+o Kẻ đường thẳng nốiI A0, làd0
Bước 3: Xác định gócϕ=(d, (àα))=(d,d0)
d A
A0
I α
ϕ
? Lưu ý:Nếu đường thẳng d nằm mặt phẳng
(β)vng góc với (α)thì góc hợp bởid (α)bằng góc hợp d với giao tuyến của(α)và(β)
(giao tuyến của (α) và (β) trong trường hợp này chính hình chiếu vng góc của dlên(α))
d
I α
ϕ
3 Góc hai mặt phẳng (cắt nhau)
Bước 1: xác định giao tuyến c hai mặt phẳng
(α)và(β)
Bước 2: tìm đường thẳng a,b cắt nhau, vng góc với giao tuyến c, nằm mặt phẳng(α)và(β)
Bước 3: xác định góc mặt phẳng (α) (β): góc góc(a,b)690◦
? Lưu ý: góc mặt phẳng định nghĩa góc hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng
I c a
b α
β
∆
M
N d
α
β I
M
N d
ϕ
α
β
? Đặc biệt:
Nếu có đường thẳng∆vng góc với giao tuyến mặt phẳng (α)và (β)mà đường thẳng ∆đó qua điểm¡
M∈(α)và N∈(β)¢
, để xác định góc mặt phẳng(α)và
(6)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
IV Phương pháp xác định khoảng cách 1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Bài toán 1:
Cho M hình chiếu vng góc điểm S ∉(β) lên mặt phẳng (β) Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng nằm nghiêng(α)¡
quaS cắt(β)¢
ta làm sau: +o Bước 1: Xác định giao tuyếnd của(α)và (β)
+o Bước 2: Từ M, vẽ M I⊥d I∈d +o Bước 3: Vẽ MH⊥S I tạiH∈S I thìd¡
M, (α)¢
=MH
I
S
M
d H
α
β
Bài toán 2:
Cho hai mặt phẳng (α) (β) vuông góc với nhau, điểm
M∈(β) Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
(α)ta làm sau:
+o Bước 1: Xác định giao tuyếnd của(α)và (β) +o Bước 2: vẽ MH⊥d tạiH∈d thìd¡
M, (α)¢
=MH β
α
M H
d
Một số lưu ý:
d¡ A, (α)¢ d¡
B, (α)¢ = A I BI A
A0 B
B0
I α
d¡A, (α)¢=d¡B, (α)¢ A
A0
B
B0 α
d¡
M, (ABC)¢
=3.VM ABC
S4ABC M
A B
C α
2 Khoảng cách đối tượng song song nhau
Khoảng cách d d0(song song nhau) khoảng cách từ điểmM∈d đến d0 Khoảng cách d và(α)(song song nhau) khoảng cách từ điểmM∈d đến(α) Khoảng cách (α)và(β)(song song nhau) khoảng cách từ điểm M∈(α)đến(β) 3 Khoảng cách đường thẳngavàbchéo nhau
a
b
A
B β
α
a
b
M A
B P
Khoảng cách đường thẳng chéo (avàb) độ dài đoạn vng góc chung chúng (tức đoạn thẳng ABcó A∈a,B∈b AB⊥a,AB⊥b)
Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với đồng thời chứa đường thẳng
(7)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
V Một số vấn đề khối đa diện lồi, khối đa diện đều 1 Tính chất hình đa diện, khối đa diện
Hai đa giác phân biệt có thể: khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung Mỗi đỉnh đỉnh chung đa giác
Mỗi cạnh đa giác cạnh chung đa giác Bất hình đa diện phân chia thành nhiều khối tứ diện
Bất hình đa diện có đỉnh, mặt cạnh Hình chóp có mặt đáy n-giác có(n+1)đỉnh,(2n)cạnh và(n+1)mặt Hình lăng trụ có mặt đáy n-giác có(2n)đỉnh,(3n)cạnh và(n+2)mặt Một hình đa diện có M mặt, mặt có pcạnh có M p
2 cạnh
Với đa diện lồi cóĐđỉnh,Ccạnh vàMmặt thìM+C−Đ=2(định lý Euler) Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Khối đa diện lồi khối đa diện mà đoạn thẳng nối điểm khối đa
diện ln thuộc vào
2 Bảng tổng hợp tính chất đa diện đều
Tứ diện H.lập phương Bát diện 12 mặt 20 mặt
Tên đa diện Loại Số
đỉnh Số cạnh
Số mặt
Số mặt đ.xứng
Số trục
đ.xứng Thể tích
Bán kính mc ng.tiếp
Tứ diện {3;3} 6 V=
p
2c3
12 R=
p
6c
H.lập phương {4;3} 12 9 V=c3 R=
p
3c
Bát diện {3;4} 12 V=
p
2c3
3 R=
p
2c
12 mặt {5;3} 20 30 12 15 20 mặt {3;5} 12 30 20 15
(8)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
VI Một số cơng thức tính tốn hình học
1 Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tam giác Đối với tam giác
+o Độ dài đường cao: h=(cạnh)×
p
3
+o Bán kính đường trịn ngoại tiếp:R=(cạnh)×
p
3
+o Bán kính đường trịn nội tiếp: r=(cạnh)×
p
3
A
B H C
O
Đối với tam giác vuông cân
+o Độ dài cạnh huyền: cạnh huyền=(cạnh góc vng)×p2
+o Độ dài cạnh góc vng: cạnh góc vng=cạnh huyềnp
2
A
B C
Hệ thức lượng tam giác vuông +o a2=b2+c2
+o b2=b0.a
+o h=p bc b2+c2 +o h2=b0.c0 +o b0
a = b2 a2
+o ah=bc
+o c2=c0.a
+o
h2=
1 b2+
1 c2 +o a=2.ma +o c0
a = c2 a2
H M
A
B C
h c
c0
b
b0 a m
a
Hệ thức lượng tam giác +o Định lý cơsin:a2=b2+c2−2bccosA
+o Cơng thức tính góc:cosA= b
2+c2−a2
2bc
+o Định lý sin: a
sinA=
b
sinB =
c
sinC =2R
+o Định lý trung tuyến: m2a= b
2+c2
2 −
a2
A
B M C
c b
a ma
Cơng thức tính diện tích tam giác
+o Diện tích tam giác đều:S4đều=(cạnh)
2 ×p3
+o Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng +o Diện tích tam giác (bất kỳ):
S4ABC=1
2a.ha=
2bcsinA= abc
4R =pr=
p
p(p−a)(p−b)(p−c)
* ha: đường cao ứng với cạnh đáy a
* R: bán kính đường trịn ngoại tiếp
* p=a+b+c
2 : nửa chu vi
* r: bán kính đường trịn nội tiếp
+o Cơng thức tỉ số diện tích: S4AB0C0
S4ABC = AB0
AB · AC0
AC, đóB
(9)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Định lý Menelaus Định lý Ceva
B K
A
C M
N
M A MB×
K B K C×
NC N A=1
(M,N,K thẳng hàng)
B C
A
M
N
K
(AK,BN,CM đồng quy)
2 Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tứ giác Đối với hình vng
+o Độ dài đường chéo: đường chéo=(cạnh)×p2
+o Độ dài cạnh: cạnh=đường chéop
2
+o Diện tích hình vng: Shv=(cạnh)2=(đường chéo)
2
2
A
B C
D
Đối với hình chữ nhật
+o Độ dài đường chéo hình chữ nhật: đường chéo=
q
(chiều dài)2+(chiều rộng)2 +o Diện tích:Shcn=(chiều dài)×(chiều rộng)
A
B C
D
Đối với hình thang
+o Diện tích hình thang nửa tổng hai đáy nhân với chiều cao:
Sh.thang=(đáy lớn)+(đáy bé)
2 ×(đường cao)
A
B C
D
H
Đối với hình bình hành
+o Diện tích h.bình hành cạnh nhân với đường cao
Sh.bình hành=(cạnhBC)×(đường cao AH) +o Diện tích hình bình hành tích cạnh kề
nhân với sin góc
Sh.bình hành=(cạnh AB)×(cạnhBC)×sinABC
A
B C
D
H
Đối với hình thoi
+o Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo
Sh.thoi=(đường chéo 1)×(đường chéo 2)
? Đặc biệt: hình thoi có góc60◦hoặc120◦có diện tích
Sh.thoi (ĐB)=(cạnh)
2 ×p3
A
B
C
D O
(10)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
3 Cơng thức thể tính thể tích khối chóp khối lăng trụ
h
Vlăng trụ=Smặt đáy×h Vkhối chóp=1
3Smặt đáh
h
Cơng thức dùng để tính tỉ số thể tích:
S
A
B
C A0
B0 C0
VS.A0B0C0
VS.ABC =
S A0 S A ·
SB0 SB ·
SC0 SC
S
A
B C
D A0
B0
C0 D0
VS.A0B0C0D0
VS.ABCD =
a+b+c+d 4abcd
a= S A
S A0
b= SB SB0
c= SC SC0
d= SD SD0
A
B
C A0
B0
C0 M
N
P
VM N P.A0B0C0 VABC.A0B0C0 =
1
µA0M A A0 +
B0N BB0+
C0P CC0
¶
A
B C
D A0
B0 C0
D0 M
N
P Q
VM N PQ.A0B0C0D0 VABCD.A0B0C0D0 =
1
àA0M A A0 +
C0P CC0
ả
4 Cơng thức tính tốn với khối nón - trụ - cầu Đối với hình nón - hình nón cụt
+o Diện tích mặt đáy:Sđáy=πr2
+o Diện tích xung quanh:Sxq=πrl +o Diện tích tồn phần:Stp=Sđáy+Sxq
+o Thể tích:Vnón=1
3Sđáy.h= 3πr
2h +o Chu vi đường trịn đáy:C=2πr
+o Góc đỉnh nón:2β=2IO A
+o Tỉ số thể tích:
V0
(O,I0,r0) V(O,I,r) =
àr0 r
ả3
=
àh0 h
ả3
=
àl0 l
¶3
I O
I0 h
h0 l0
l
r r0
A0
A
+o Thể tích hình nón cụt có hai đáy(I,r)và(I0,r0)là:V
nón cụt=
1 3πh
³
r2+rr0+r02´ +o Diện tích xung quan hình nón cụt nêu là: Sxq (nón cụt)=π¡
(11)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Đối với hình trụ
+o Diện tích mặt đáy:Sđáy=πr2
+o Diện tích xung quanh:Sxq=2πrl
+o Diện tích tồn phần:Stp=2Sđáy+Sxq +o Thể tích:Vtrụ=Sđáy.h=πr2h
+o Chu vi đường tròn đáy:C=2πr
I I0
A A0
r r0
Đối với hình cầu
+o Diện tích mặt cầu:Smặt cầu=4πR2
+o Thể tích khối cầu:Vkhối cầu=4 3πR
3
I
M R
5 Phương pháp dựng tâmI của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S
O I d
A H
Rmc=
r R2
d+
1 4h
2
A
O S
I H
Rmc= b
2
2h
B S
O I A K
d
Rmc=
r R2
d+R
2 b−
1 4(gt)
2
? Một số lưu ý:
+o Một hình chóp nội tiếp mặt cầu mặt đáy đa giác nội tiếp đường tròn
+o Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ln nằm trục đường tròn ngoại tiếp mặt đáy hình chóp
Với hình chóp có cạnh bên (S Achẳng hạn) vng góc với mặt đáy +o Gọid trục đường trịn ngoại tiếp mặt đáy thìd chứa tâm I +o GọiH trung điểm cạnh bên (vng với đáy) Khi
I H∥AO I H là1 đường trung trực cạnh bênS A Với hình chóp
+o GọiSOlà đường cao hình chóp SOchứa tâm I +o GọiH trung điểm cạnh bênS A Khi
I H là1đường trung trực cạnh bên S A Với hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy
+o Gọid trục đường tròn ngoại tiếp mặt đáy thìd chứa tâm I +o GọiK tâm đường trịn ngoại tiếp mặt bên (vng với đáy) Khi
(12)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
VII Một số khối đa diện thường gặp đề thi 1 Hình chóp tam giác đều
S
A α B
C O ϕ M b
d
S
A
B
C I
O
S
A
B
C O
Góc cạnh bên mặt đáy:α=S AO=SBO =SCO
Góc mặt bên mặt đáy: ϕ=SMO
Cơng thức tính độ dài đường cao: h=
r b2−1
3d
2= btanϕ
q
tan2ϕ+4
Cơng thức thể tích khối chóp tam giác đều:V= d
2p3b2−d2
12 =
d3tanϕ
24 =
d3tanα 12
Cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:R= b
2h
Khoảng cách cạnh đối diện nhau:d(S A,BC)=d(M,S A)
Tâm mặt cầu ngoại tiếp thuộcSO đồng thời cách điểmS A 2 Hình tam diện vngO.ABC(vng tạiO)
OH⊥(ABC)tạiH
⇔Hlà trực tâm của4ABC
OH2 =
1 O A2+
1 OB2+
1 OC2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
R=1
p
O A2+OB2+OC2 B
A
O C
M H
B A
O C
E
G I
Đặt a=O A,b=OB,c=OCvà S1=S4O AB;S2=S4OBC;S3=S4O AC
VO.ABC=abc
6 =
p
2S1S2S3
3
3 Hình chópS.ABCcó đường caoSA,ABvng góc với BC
AH⊥(SBC), BC⊥(S AB),
SC⊥(AHK), SC⊥(BM N),
BM⊥(S AC)
((SBC), (S AC))á =AK H=BN M
((SBCá), (ABC))=SB A
d¡
A, (SBC)¢
=AH, d¡
M, (S AC)¢
=BM A
B
C S
H O
I K
A
B
C S
M
(13)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC (trường hợp này) trung điểmI cạnh bênSC Tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồiHK.ABC trung điểm Ocủa cạnh đáy AC Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnBCM N trung điểm cạnh đáyBC
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópB.S AM N trung điểm cạnh bênSB
4 Hình chópS.ABCcó cạnh bênSA “thẳng đứng”, mặt đáy tam giác“thường”
((SBC), (ABC))á =SM A
d¡
A, (SBC)¢
=AH d¡
A, (S AC)¢
=d¡
B,AC¢
Nếu mặt đáy ABCcân A
(hoặc mặt đáy ABC đều)
M trung điểm cạnh
BC, raSB=SC
A
B
C S
M H
B
C S
∆
K A T
Khoảng cách cạnh đối diệnSB AC:d¡
SB,AC¢
=d¡
AC, (SBK)¢
=AT
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABClàR= r
R2
d+
1 4h
2
(trong đường cao h=S Avà Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt đáy ABC) 5 Hình chópS.ABCcó mặt bên b “cân S”và“dựng đứng”
Nếu4ABC vng A
M trung điểm cạnh AB N trung điểm cạnh AC
((S AB), (áABC))=SMH
á
((S AC), (ABC))=SN H
d¡A, (SBC)¢=d¡A,BC¢
d¡
H, (S AB)¢
=HP, d¡
H, (S AC)¢
=HQ B
A
C H
S
M N
P Q
B
A
C S
K H
T
Khoảng cách hai cạnhS A vàBClàd¡
S A,BC¢
=d¡
BC, (S AK)¢
=AT
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABClàR= q
R2
d+R
2 b−
1 4(gt)2
(Rd,Rb: bán kính đ.trịn ngoại tiếp mặt đáy mặt bên, gt: giao tuyến chúng) 6 Hình chóp tứ giác đều
S
A
B
C
D
O E
H
S
A
B
C D I
O
S
A
B
(14)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Góc cạnh bên mặt đáy:α=S AO=SBO =SCO =SCO
Góc mặt bên mặt đáy: ϕ=SEO
Cơng thức tính độ dài đường cao: h= r
b2−1
2d
2= btanϕ
q
tan2ϕ+2
Cơng thức thể tích: V=d
2p4b2−2d2
6 =
d3tanϕ
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp (mọi hình chóp đều): R= b
2
2h
Tâm mặt cầu ngoại tiếp thuộcSO đồng thời cách điểmS A
7 Hình chópS.ABCDcó cạnh bênSA “thẳng đứng”, mặt đáy là“hình chữ nhật”
BC⊥(S AB),
AH⊥(SBC),
CD⊥(S AD),
AK⊥(SCD),
SC⊥(AHP K),
BD⊥(S AE),
AT⊥(SBD) B
D
C S
A H
K P
I
O
B
D
C S
O A
E T
M N
((SBC), (ABCD))á =SB A; ((SCD), (ABCDá ))=SD A; ((SBD), (ABCD))á =SE A
d¡
A, (SBC)¢
=AH; d¡
A, (SCD)¢
=AK; d¡
A, (SBD)¢
=AT; d¡
SB,AC¢
=AN
AT2=
1 S A2+
1 AB2+
1 AD2
? Chú ý: ABCD hình vng thìE≡O; AM∥OB; AH=AK; HK∥BD
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD làR= s
R2
d+
àh
ả2
Mt cu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm trung điểm I cạnh bênSC
Mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồi HP K.ABCD có tâm tr.điểmOcủa mặt đáy ABCD
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHP K có tâm trung điểm đường caoS A
8 Hình chópS.ABCDcó mặt bên“cân S” và“dựng đứng”
CD⊥(SHE),
HK⊥(SCD),
AM⊥(SBC),
BN⊥(S AD),
HT⊥(SBD)
d¡A, (SBC)¢=AM
d¡
B, (S AD)¢
=BN B
D
C S
H E
K A
M N
B
D
C S
H M T
A
(15)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABClàR=
q
R2d+R2b−14(gt)2
(Rd,Rb: bán kính đ.trịn ngoại tiếp mặt đáy mặt bên, gt: giao tuyến chúng) 9 Hình hộp chữ nhật
Độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật:
AC0=pa2+b2+c2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:R=1
2AC
0
Thể tích hình hộp chữ nhật:Vhhcn=abc=pS1S2S3 (S1,S2,S3 diện tích mặt chung đỉnh hhcn) Thể tích khối chóp BD A0C0:VBD A0C0=
1
3Vhình hộp
A
B C
D
A0
B0 C0
D0 O
G I a
b
c
Cơng thức tính nhanh thể tích số khối tứ diện đặc biệt
Điều kiện Cơng thức tính thể tích
(
S A=a,SB=b,SC=c
ASB=α,BSC =β,CS A=γ
V=abc
p
1−cos2α−cos2β−cos2γ+2 cosαcosβcosγ (biết cạnh chung đỉnh góc đỉnh đó)
(
S A=a,BC=b
d(S A,BC)=d;(S A,BC)á =α
V=1
6abd sinα
(biết cạnh đối diện; khoảng cách góc chúng)
(
S A=a,SS AB=S1,SS AC=S2
((S AB), (S AC))=ϕ
V=2S1S2sinϕ
3a
(biết cạnh; diện tích góc mặt kề với nó)
S A=a,SB=b,SC=c
ASB=α,ASC=β
((S AB), (S AC))=ϕ
V=1
6.abc sinαsinβsinϕ
(biết cạnh chứa đỉnh, góc đỉnh góc nhị diện)
S A=BC=a SB=AC=b SC=AB=c
V=
p
2 12
p
(a2+b2−c2)(b2+c2−a2)(a2+c2−b2)
(biết cặp cạnh đối diện nhau)
(
S A=x,SB=y,SC=z BC=a,AC=b,AB=c
M=a2x2(b2+c2+y2+z2−a2−x2) N=b2y2(a2+c2+x2+z2−b2−y2) P=c2z2(a2+b2+x2+y2−c2−z2) Q=(abc)2+(a yz)2+(x yc)2+(xbz)2
1
V= 12
p
(16)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Một số cơng thức hình, khối đặc biệt liên quan khối trịn xoay
Cơng thức Hình minh hoạ
Sxq=2Rh=(r2+h2) Vchm cu=h2
à Rh
3 ả
=πh
6 (h
2 +3r2)
O h H
r R
Sxq=πr(h1+h2)
V=πr2 µh
1+h2
2 ¶
O h1
h2
r
Vhình nêm=2 3r
3tanϕ =2
3r
2h
O r r
h r ϕ
Sparabol=4 3rh;
S0 S =
s
h0 h
3
=
àr0 r
ả3
Vparabolic=1 2πr
2h
r h r0
h0
r h
Selip=πab Vquay quanh2a=4
3πab
2
Vquay quanh2b=4 3πa
2b
A0 A
B
B0
a b O
Quay tam giác ABC
xung quanh cạnh AB
ta hình trịn xoay có
V=4π
3 · S2
4ABC
AB Sxq=2πS4ABC
µAC
+BC AB
¶
A
B C H
A
B
(17)DƯƠN G PHƯỚC SAN G -THPT CHU V ĂN AN
VIII Ví dụ giải tốn điển hình
|Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằng2a GọiM
là trung điểm cạnhBC.Tính góc hợp hai đường thẳng đây:
a) AM SC b) SM NC
$ Lời giải ?Phương pháp cổ điển
Để tính góc hai đường thẳng chéo thường ta dựng thêm đường thẳng song song với đường thẳng cắt đường thẳng cịn lại Góc AM &SC dễ dựng góc giữaSM & NC!
A B C M S a 2a A B C M S a N
Câu a. GọiK trung điểm cạnh SBthìMK∥SC, đó(AM,áSC)=(AM,áMK)
Ta có AK2=S A
2+AB2
2 −
SB2
4 =
3a2
2 ; MK=
1
2SC=a ; AM=
ap3
4AMK cócosAMK =
AM2+MK2−AK2
2.AM.MK =
p
3
12 ⇒ (AM,áSC)=AMK ≈81
◦420. Câu b. Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM thìN I∥SM, đó(SM,áNC)=(N Iá,NC)
Ta có NC=AK=a
p
6
2 ; N I=
1
2SM=
1
p
SC2−MC2=a p
15
4 ; IC=
p
I M2+CM2=a p
7
4I NC cócosI NC =
N I2+NC2−IC2
2.N I.NC =
4p10
15 ⇒ (SMá,NC)=I NC ≈32
◦300.
A B C M S a 2a K A B C M S a N I A B C M S x y z a 2a H
?Phương pháp toạ độ Ta có AM=a
p
3
2 ; AH=
ap3
6 ; SH=
r b2−1
3d
2=
r
(2a)2−1
3a
2=a p
33
3
Gắn hệ trục M x yz (như hình vẽ) với toạ độ điểm sau:
M(0; 0; 0); A Ãp
3 ; 0;
!
;C µ
0;−1
2; ¶
; H Ãp
3 ; 0;
!
⇒S Ãp
3 ; 0;
p 33 ! ⇒N Ãp 3 ; 0;
p
33
!
Đến dùng cơng thức tính góc hai đường thẳng ta giải câu a b
cos(SM,áSC)= ¯ ¯
# » AM.SC# »¯¯
AM.SC ;cos(SMá,NC)= ¯ ¯
(18)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
|Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB=a,AD =2a,
S A=ap3 S A vng góc với mặt đáy Tính góc cặp đường thẳng mặt phẳng sau đây: a)SC và(S AB) b) ACvà (SCD)
$ Lời giải Câu a. Ta cóSC∩(S AB)=S
Do
(
BC⊥AB
BC⊥S A nênBC⊥(S AB)tạiB Do
(SC, (S AB))=(SC,SB)á =BSC
4S ABvng Acó SB=pS A2+AB2=2a 4SBCvng tạiBcótanBSC =
BC
SB =1⇒BSC =45
◦ Vậy(SC, (S AB))á =45◦
Câu b. Ta cóAC∩(SCD)=C
Vẽ AE⊥SD tạiE∈SD AE⊥(SCD)
A
B C
D S
E
a
2a
a
p
Như vậy(AC, (SCD))á =(AC,áCE)=ACE
Ta cóAE=p S A.AD S A2+AD2 =
2ap3
p
7 ; AC=
p
AB2+BC2=ap5 ;sin
ACE= AE AC =
2p105 135
Vậy(AC, (SCD))á ≈35◦500
|Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB=2a,BD=3a, mặt bênS ABlà tam giác cân tạiSđồng thời nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy BiếtSB=ap5, tính góc hợp cặp mặt phẳng sau đây:
a) (SCD)và(ABCD) b) (SBD)và(ABCD) c) (SBC)và(S AD)
$ Lời giải
GọiHlà trung điểm cạnh ABthìSH⊥AB(do4S AB cân tạiS)
Mà
(S AB)⊥(ABCD)
SH⊂(S AB)
AB=(S AB)∩(ABCD)
nênSH⊥(ABCD)
4SHB vuông tạiH cóSH=pSB2−HB2=2a. 4ABD vng Acó AD=pBD2−AB2=ap5 Câu a. GọiK trung điểm cạnh CD ta có
(
CD⊥HK
CD⊥SH ⇒CD⊥(SHK)⇒CD⊥SK
A
D K S
H I
B C
Do
CD=(SCD)∩(ABCD)
CD⊥HK⊂(ABCD)
CD⊥SK⊂(SCD)
nên((SCD), (áABCD))=(SK,áHK)
4SHK vng HcótanSK H= SH HK =
2a ap5=
2
p
5 ⇒SK H≈41
◦480
(19)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu b. Vẽ H I⊥BD tạiI∈BD, ta chứng minh đượcBD⊥(SH I)và BD⊥S I Với kết ta tiếp tục chứng minh ((SBD), (áABCD))=(S I,H Iá)
Ta có4BI Hv4B AD nên H I
AD= BH
BD ⇒H I=
AD.BH
BD =
ap5.a
3a =
ap5
Cuối cùngtanS I H = SH
I H =
p
5, ((SBD), (áABCD))=S I H ≈69
◦330.
Câu c. Do(SBC)và(S AD)có chung điểmS cóBC∥AD nên giao tuyến∆của chúng qua đỉnh S song song với hai cạnhBC, AD
Hình chóp S.ABCD có tính chấtSB⊥BCvà S A⊥ADvì SB⊥∆và S A⊥∆
Như vậy((SBC), (S AD))á =(SB,áSC)=2.BSH≈53◦80
|Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a, cạnh bênS A vng góc với mặt đáy, cạnh bênSC tạo với mặt đáy góc bằng60◦
a) Tính theo athể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng(SCD)
$ Lời giải
Câu a. Do SC∩(ABCD)=C S A⊥(ABCD)nên(SC, (áABCD))=(SC,áAC)⇒SC A=60◦
Tam giácS AC vuông tạiC cótanSC A= S A AC
⇒S A=AC tanSC A=a
p
2 tan 60◦=ap6
Vậy VS.ABCD=1
3SABCD.S A= 3.a
2.ap6=a3 p
6
Câu b. Vẽ AH⊥SD tạiH∈SD ta chứng minh
AH⊥(SCD)tạiH∈(SCD)
Suy rad(A, (SCD))=AH=p S A.AD S A2+AD2=
ap42
7
A
B C
D S
H
|Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD hình thang vng A
D với CD=a, AB=AD=2a, mặt bên S AD cân S đồng thời nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Biết góc giữa(SBC)và(ABCD)bằng60◦ Tính theo a
a) Thể tích khối chóp S.ABCD
b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SBC)
$ Lời giải Câu a. GọiH trung điểm cạnh ADthìSH⊥(ABCD)
(20)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Hình thang ABCD cóSABCD=1
2(AB+CD).AD=3a
2
Suy raS4HBC=SABCD−S4H AB−S4HCD=3a
2
2
Từ đóI H=2S4HBC
BC =
3a2 ap5=
3ap5
MSH I cóSH=I H tanS I H = 3ap5
5 tan 60
◦=3a p
15
VậyV=3a
2
3 ·
3ap15
5 =
3a3p15
5 D C
B S
H A
I
Câu b. S4ABC=SABCD−S4ACD=2a2 ⇒VS.ABC=1
3S4ABC.SH=
a3p15
4S I H cóS I=pSH2+I H2=6a p
5
5 ⇒S4SBC=
1
2BC.S I=3a
2
Như vậyd(A, (SBC))=3VS.ABC
S4SBC = ap15
5
|Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông
B,BC=a, mp(A0BC) tạo với đáy góc 30◦ ∆A0BC có diện tích a2p3 Tính thể tích khối lăng trụ
$ Lời giải Do
(
BC⊥AB
BC⊥A A0 nênBC⊥A
0B
Do
BC⊥AB⊂(ABC)
BC⊥AB⊂(A0BC)
BC=(ABC)∩(A0BC)
nên((A0BCá), (ABC))=AB A0
Ta có A0B=2.S4A0BC
BC =
2a2p3 a =2a
p
3 4AB A0 có AB=A0B·cosAB A0=2a
p
3·cos 30◦=3a A A0=A0B·sinAB A0=2a
p
3·sin 30◦=ap3
A
B
C
A0 C0
B0
30
◦
VậyVABC.A0B0C0=B·h=SABC·A A0=1
2AB·BC·A A
0=1
2·3a·a·a
p
3=3a 3p3
2
|Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đường cao S A =a, AB vng góc với BC, cạnh AB=ap3 AC=2a Một mặt phẳng(α)đi qua điểm Avng góc với cạnh SB, cắtSB vàSC tạiM N Tính theoathể tích khối chóp A.BCN M
$ Lời giải Dễ dàng chứng minh đượcBC⊥(S AB)vàBC⊥SB
Do SB⊥(AM N)nênSB⊥AMvà SB⊥M N
Xét trong(AM N),
(
BC⊥SB
M N⊥SB⇒M N∥BC⇒ SM
SB = SN
SC
DoVS.AM N=SM SB
SN
SC.VS.ABC nên
VA.BCN M=
µ
1−SM
2
SB2
¶
VS.ABC
A
B
C S
(21)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
4ABC vuông tạiB cóBC=pAC2−AB2=a ⇒S4ABC=1
2AB.BC= a2p3
2 vàVS.ABC=
1
3.S4ABC.S A= a3p3
6
4S AB vuông tạiA có SM
SB = S A2 SB2 =
S A2 S A2+AB2 =
1
VậyVA.BCN M=
µ
1−
42
¶ a
3p3
6 =
5a3p3
32
Chú ý
Giả thiết đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ khơng đủ để kết luận hai đường thẳng song song với Chỉ đường thẳng nằm mặt phẳng kết luận
|Ví dụ 8.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tích làV Gọi Mlà trung điểm cạnhSB;P
là điểm thuộc cạnhSDsao cho SP=2DP Mặt phẳng
(AMP)cắt cạnhSCtại điểmN Tính thể tích khối
chópS.AM N P theoV Nhận xét:
Nếu không dựng thiết diện hình chóp cắt bởi(AMP)thì khơng thể giải toán này!
A
B C
D S
M P
$ Lời giải
Dựng giao điểm N=SC∩(AMP)(và tạo nên thiết diện hình chóp cắt bởi(AMP)) + Vẽ giao điểm O=AC∩BD
+ NốiSOcắt MP I
+ Kéo dài A I cắt SD tạiN
Tính tỉ số S I
SO (dựa vào tỉ số diện tích tam giác):
+4SMP cóS4SMP=1
2
3.S4SBD=
3.S4SBD (1)
+S4SMP=S4SM I+S4SP I= µ
1
S I SO+
2
S I SO
¶
2S4SBD (2)
+ Từ (1) (2) ta tính S I
SO=
A
B C
D S
M P
O N I
Tính tỉ số SN
SC (dựa vào tỉ số diện tích tam giác):
+ Dùng tỉ số S4S AN vàSS AC lần tương tự ta tính SN
SC =
Dùng tỉ số thể tích hai khối chóp tam giácđể tínhVS.AM N P
+ Ta có VS.AM N P=VS.AM N+VS.AN P=
µSM SB
SN SC +
SN SC
SP SD ¶
.1
2VS.ABCD=
(22)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
|Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnha, tam giácS AB
vuông tạiB, tam giác S AC vng tạiC Biết góc hai mặt phẳng (S AB)và (ABC)
bằng60◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC theoa. $ Lời giải
Gọi I,Mtương ứng trung điểm cạnh S A,AB
Do4S ABvuông tạiB,4S ACvuông tạiCnênI A=IB=IC=S I
GọiOlà tâm mặt đáy ABC IO⊥(ABC)
Ngồi ra,
(
I M⊥AB
OM⊥AB⇒((S AB), (ABC))á =I MO⇒I MO=60
◦
4I MO có IO=OM tanMc= ap3
6 tan 60
◦=a
2
Suy raVS.ABC=2VI.ABC=
2
3.S4ABC.IO=
a2p3
4
a
2=
a3p3
12
? Ghi nhớ:Vhình chóp đềuS.ABC=d
3tanϕ
24
A
B
C
M O
I
S
? Chú ý:nếu thuộc cơng thức tính thể tích khối chóp tam giác biết trước cạnh đáy góc hợp mặt bên với mặt đáy tốn giải nhanh
|Ví dụ 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có mặt đáy ABC là tam giác vng A Biết AB=ap3,AC=a,A A0=2a, tính khoảng cách giữa:
a)B và(ACB0) b) A0B0và AC0 c)BCvà AC0 $ Lời giải
A
B C
A0
B0 C0
H
A
B C
A0
B0 C0
K
A
B C
A0
B0 C0
I
Chú ý: Với giả thiết toán ta chứng minh A0C0⊥(ABB0A0)và A0B0⊥(ACC0A0) Câu a. TừB, ta vẽ BH⊥AB0tạiH∈AB0 chứng minh đượcBH⊥(ACB0)tạiH
Từ đód(B, (ACB0))=BH= B A.BB
0 p
B A2+BB02=
2ap21
7
Câu a giải phương pháp thể tích sau (nếu khơng vẽ hình)
d(B, (ACB0))=3VB0.ABC
S4ACB0 =
Vlăng trụ S4ACB0
(có thể dùng CT Hê-rơng để tính S4ACB0)
Câu b. Từ A0, ta vẽ A0K⊥AC0sẽ chứng minh A0K⊥A0B0
Kết hợp A0K⊥AC0 ta suy đượcd(A0B0,AC0)=A0K=p A0C0.A A0
A0C02+A A02=
2ap5
(23)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu c. Ta cóBC∥(AB0C0)nênd(BC,AC0)=d(BC, (AB0C0))=d(C, (AB0C0))
DoC A0cắt(AB0C0)tại điểmIlà trung điểm củaC A0nênd(C, (AB0C0))=d(A0, (AB0C0)) A0.AB0C0là tam diện vng A0 nên đặth=d(A0, (AB0C0))thì
1 h2=
1 A0B02+
1 A0C02+
1 A A02 =
19
12a2 ⇒ d(A
0, (AB0C0))=h=2a p
57
19
|Ví dụ 11. Cho hai hình vng ABCD ABEF có cạnh 1, nằm hai mặt phẳng vng góc với Gọi S điểm đối xứng với B qua đường thẳng
DE Tính thể tích khối đa diện ABCDSEF $ Lời giải
Cắt khối đa diện ABCDSEF mặt phẳng(CDF E)ta khối lăng trụ ABC.A0B0C0và khối chóp S.CDF E
Ta cóVABC.A0B0C0= µ
1
2.BC.BE
¶
.AB=1
2.1.1.1=
Gọi I=DE∩BS ta có
(
BS∩(CDF E)=I
IB=I S
⇒d (S, (CDF E))=d (B, (CDF E))
=d (B,CE)=BC.BE
CE =
p
2
⇒VS.CDF E=
1
3.SCDF E.d (S, (CDF E))=
p
2
p
2
2 =
1
VậyVABCDSEF=VABC.A0B0C0+VS.CDF E=
2+
1
3=
5
B
C
E A
D
F
I
S
1
1
p
2
|Ví dụ 12. Cho hình chóp đềuS.ABCcó cạnh đáy bằngavà cạnh bên bằng3a Một mặt phẳng thay đổi song song với hai cạnh SB AC, cắt hình chóp theo thiết diện đa giác(H) Tính diện tích lớn của(H)
$ Lời giải
Gọi(P)là mặt phẳng song song vớiSBvà AC,(P)cắt ABtạiM Khi thiết diện hình chóp S.ABC cắt
(P)là hình hình hành M N PQ (như hình vẽ) DoS.ABC hình chóp nên SB⊥AC, từ
M N PQ hình chữ nhật Đặt M N=x(0<x<3a), ta có N A
S A = M N
SB = x 3a
Suy SN
S A = 3a−x
3a ⇒
N P AC =
SN S A =
3a−x
3a ⇒ N P=
3a−x
A
B
C S
M
N P
Q
Diện tích thiết diện:SM N PQ=M N.N P= x(3a−x)
3
1
àx
+(3ax)
ả2
=3a
4 (*)
Dấu "=" (*) xảy x=3a−x⇔x=3a
2 ∈(0; 3a)
Vậy diện tích lớn thiết diện(H)làSmax=
3a2
(24)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
|Ví dụ 13. Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng5, bán kính đáy bằng3 a) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón
b) Một mặt phẳng (α) qua đỉnh hình nón, cách tâm mặt đáy đoạn
2 Tính diện tích thiết diện tạo hình nón mặt phẳng(α)đó $ Lời giải
Xét hình nón đỉnhS có l=5,r=3 Khi h=pl2−r2=4 Câu a. St p=Sxq+Sđ=πrl+πr2=π.3.5+π.32=24π;V=1
3π.r
2h=12π. Câu b. Xét thiết diệnS ABthoả đề (như hình vẽ)
GọiI trung điểm dây cung AC
vàH hình chiếu vng góc củaO lên đoạn thẳngS I Khi ta chứng minh đượcOH⊥(S AB)tạiH
Suy raOH=d(O, (S AB))=2
4SOI vng tạiOcó
OI2 =
1 OH2−
1 SO2=
3
16 ⇒OI=
4
p
3 ⇒S I=
p
SO2+OI2=p8
3 S
A
B O I H
4IOBvuông I có IB=pOB2−OI2= p
33
3 ⇒AB=2IB=
2p33
Vậy diện tích thiết diệnS ABlàS4S AB=1
2.S I.AB= 8p11
3
|Ví dụ 14. Cho tam giác ABC vng A có AB=3,AC=4 Quay tam giác ABC
lần lượt quanh cạnh để tạo khối trịn xoay Tính tổng thể tích khối trịn xoay
$ Lời giải
C
B A
B
C A
C
B
A H
Xét khối nón có trục cạnh AC
Khối nón có h1=AC=4,r1=AB=3⇒V1=1 3π.r
2 1h1=
1 3π3
2.4=12π. Xét khối nón có trục cạnh AB
Khối nón có h2=AB=4,r2=AC=3⇒V1=1 3π.r
2 2h2=
1 3π4
2.3
=16π Xét khối tròn xoay (T)do4ABC quay quanh cạnhBCtạo
Khi đó(T)là hợp hai khối nón (như hình vẽ), bán kính đáy chung r3=AH=
12
Thể tích khối làV3=1 3π.r
2 3.AH+
1 3π.r
2 3.BH=
1 3π.r
2 3.AB=
48 pi
(25)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
|Ví dụ 15. Một khối nón trịn xoay có thiết diện qua trục tam giác cạnh bằng3 Một mặt phẳng qua đường kính AB mặt đáy đồng thời hợp với mặt đáy góc bằng60◦cắt khối nón theo thiết diện hình parabol Tính diện tích của thiết diện
$ Lời giải
GọiSM N thiết diện qua trục vng góc với ABcủa hình nón Gọi(T)là thiết diện cần tìm diện tích (với đỉnh I)
Từ giả thiết ta có ION =SM N =60◦⇒IO∥SM IO=
2SM
Theo giả thiết SM=3⇒OI=3
2, raO A=OB= AB
2 =
3
Do thiết diện hình parabol nên có diện tích
Sth.diện=4
3.O A.OI=3
S
A
B O M
N I
|Ví dụ 16. Một hình trụ có bán kính đáy bằng5, khoảng cách hai đáy bằng7 a) Tính thể tích diện tích tồn phần hình trụ
b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục đoạn Tính diện tích thiết diện tạo thành
$ Lời giải Câu a. Theo giả thiết r=5;h=l=7 nên
Stp=2Sđ+Sxq=2π.r2+2π.rl=2π.52+2π.5.7=120π
V=π.r2h=π.52.7=175π
Câu b. Giả sử hình trụ(T)có trụcOO0, thiết diện song song với trục hình chữ nhật M N PQ(N,P∈(O)và M,Q∈(O0)).
GọiH trung điểm MQ đóO0H⊥MQ⇒O0H⊥(M N PQ) Do d¡
OO0, (M N PQ)¢
=d¡
O0, (M N PQ)¢
=O0H=3 Ta có MH=pO0M2−O0H2=4cm⇒MQ=2·MH=8. Diện tích thiết diện:S=MH·M N=56
O O0
M
N P Q H
|Ví dụ 17.
Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng ABCDcạnh
2p3cm với AB đường kính đường trịn đáy Gọi M điểm thuộc cung AB_ đường tròn đáy cho ABM =60◦
Tính thể tích khối tứ diện ACD M
D
M
C B A
$ Lời giải Ta có AMB=90◦ nên AM=AB sinABM=2
p
3 sin 30◦=p3cm
d(AM,CD)=AD=2p3cm và(AM,áCD)=(AM,áAB)=M AB=30◦
VACD M=1
6.AM.CD.d(AM,CD) sin(AM,CD)á =
1
p
(26)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
|Ví dụ 18. Một hình trụ có bán kính đáy r=5 chiều cao h=6 Gọi (α) mặt phẳng khơng song song với trục hình trụ, cắt hai đáy hình trụ theo dây cung có chiều dài Tính khoảng cách từ tâm O mặt đáy đến mặt phẳng(α)và diện tích thiết diện tạo nên khối trụ và(α)
$ Lời giải
Câu a. GọiM N PQ hai dây cung do(α)cắt hai đường tròn đáy tạo nên Khi đóM N=PQ=5
GọiE,F trung điểm M N,PQ
GọiI=EF∩OO0 thìI trung điểm củaEF lẫnOO0 VẽOI⊥PQ tạiF∈PQ OT⊥EF tạiT∈EF thìOT⊥(α)
4OFQ vng tạiF cúOF=pOQ2FQ2=
s 52
à
ả2
=5 p
3
4OI F vuông tạiO có I F=pOI2+OF2= p
111
Như vậyd(O, (α))=OT=OI.OF I F =
15
p
37
Câu b. GọiK giao điểm củaEF với mặt trụ (mở rộng) GọiHlà hình chiếu K lên trụcOO0(kéo dài)
N O0
I
H O P
Q
M
F
E
T
K
Ta cóOF∥HK nên I K
I F = HK
OF ⇒I K=
HK.I F OF =
p
37
Thiết diện khối trụ cắt bởi(α)là hình elip cụtcó trục lớn bằng2p37, trục nhỏ bằng10 Phương trình elip: x
2
37+
y2 25=1
Diện tích thiết diện:S=4 Z
p 111
2
0
5
p
37 p
37−x2dx
=p20
37 µx
2
p
37−x2+37
2 arcsin x
p
37 ¶ ¯
¯ ¯ ¯
p 111
2
0
=5 p
111
2 +
10πp37
3
x y
I
p
37
F p111
2 K
|Ví dụ 19.
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnha Tính bán kính mặt cầu trường hợp sau đây:
a) Đi qua8đỉnh hình lập phương;
b) Tiếp xúc với12cạnh hình lập phương; c) Tiếp xúc với6mặt bên hình lập phương
A
A0 D
H
B0
D0
B
C0 C I
O
$ Lời giải
GọiO trung điểm đường chéo AC0thìO cách đỉnh hình lập phương,
(27)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
a) Bán kính mặt cầu qua đỉnh hình lập phương làr1=1
2AC
0=a p
3
2
b) Bán kính mặt cầu tiếp xúc 12 cạnh hình lập phương r2=d(O,DD0)=1
2BD=
ap2
2
c) Bán kính mặt cầu tiếp xúc mặt hình lập phương r3=d(O, (ABCD))=1
2CC
0=a
2
|Ví dụ 20. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0có9cạnh bằnga Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
$ Lời giải Gọi I I0lần lượt tâm 4ABC và4A0B0C0
Ta có I I0⊥(ABC)và I I0⊥(A0B0C0) GọiOlà trung điểm I I0thì
O cách đỉnh hình lăng trụ ABC.A0B0C0. ⇒Olà tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A0B0C0 4OI A vuông I nênO A2=A I2+IO2=a
2
3 +
a2
4 =
7a2 12
Diện tích mặt cầu S=4π.O A2=4π.7a
2
12 =
7πa2
3
A
A0 C0
O
B0 I0
C I
B
|Ví dụ 21. Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có cạnh đáy bằnga, mặt bên tạo với đáy gócα(0◦<α<90◦) Xác định tâm tính theoavàα bán kínhr mặt cầu nội tiếp hình chóp
$ Lời giải
GọiH tâm tam giác ABC, ta cóSH⊥(ABC)
GọiM trung điểm củaBC, ta có
BC=(SBC)∩(ABC)
BC⊥SM⊂(SBC)
BC⊥AM⊂(ABC)
⇒((SBC), (ABC))á =SM A Do SM A=α
Gọi I tâm mặt cầu nội tiếpS.ABC I∈SH Vì I tâm mặt cầu nội tiếp hình chópS.ABC nên
M I đường phân giác gócSM A
Khi đó,bán kính mặt cầu nội tiếpS.ABC làr=I H 4I H M vng tạiH cóI H=MHtanα
2 =
ap3
6 ×tan
α
S
B H
A C
I