Giả sử B là tập ổn định trong lớn nhất với u phần tử. Vì nếu ngược lại thì có thể bổ sung y vào B, mẫu thuẫn với tính ổn định trong cực đại của B. 2) Bổ sung dần các đỉnh để được một[r]
(1)BÀI 04
Các tập hợp đặc biệt đồ thị
Trong chương nghiên cứu số tập hợp đặc biệt đỉnh đồ thị Đó tập ổn định trong, tập ổn định nhân đồ thị 3.1 Tập ổn định
Giả sử G = (V, E) đồ thị
Định nghĩa 3.1:
Tập B ⊆ V gọi tập ổn định đồ thị G nếu: ∀ x ∈ B : B ∩ F(x) = ∅
Từ định nghĩa ta thấy rằng, tập ổn định khơng có hai đỉnh kề Hơn nữa, tập B ổn định tập B' ⊆ B tập ổn định Khái niệm ổn định không phụ thuộc vào hướng cạnh đồ thị
Ví dụ 3.2 (Gauss): - Bài toán tám quân hậu
Hãy đặt quân hậu vào ô bàn cờ vua cho chúng không ăn lẫn
Để giải toán này, ta xây dựng đồ thị vô hướng biểu diễn bàn cờ vua như sau: 64 ô bàn cờ 64 đỉnh đồ thị, hai đỉnh x y có cạnh nối với hai mà đặt hai quân hậu vào, chúng ăn lẫn
Các cần tìm để đặt qn hậu tập ổn định gồm đỉnh Bài tốn có 92 nghiệm suy từ 12 tập ổn định khác là:
{A7,B2,C6,D3,E1,F4,G8,H5} {A6,B1,C5,D2,E8,F3,G7,H4} {A5,B8,C4,D1,E7,F2,G6,H3} {A3,B5,C8,D4,E1,F7,G2,H6} {A4,B6,C1,D5,E2,F8,G3,H7} {A5,B7,C2,D6,E3,F1,G4,H8} {A1,B6,C8,D3,E7,F4,G2,H5} {A5,B7,C2,D6,E3,F1,G8,H4} {A4,B8,C1,D5,E7,F2,G6,H3} {A5,B1,C4,D6,E8,F2,G7,H3} {A4,B2,C7,D5,E1,F8,G6,H3} {A3,B5,C2,D8,E1,F7,G4, H6} Ví dụ 3.3 (C.E Shanton): - Bài tốn dung lượng thông tin
Giả sử máy phát truyền tín hiệu: a, b, c, d, e máy thu tín hiệu cho hai cách hiểu khác sau:
a
→
p, q ; b→
q, r ; c→
r, s ; d→
s, t ; e→
t, p (2)Hỏi số tín hiệu nhiều sử dụng để máy thu không bị nhầm lẫn bao nhiêu?
Ta xây dựng đồ thị vô hướng gồm đỉnh a, b, c, d, e Hai đỉnh kề chúng biểu thị hai tín hiệu bị nhầm lẫn máy thu
Hình 3.1 Sự nhầm lẫn tín hiệu đồ thị biểu diễn
Khi tập tín hiệu cần chọn tập ổn định đây: {a, c} , {a, d} , {b, d} , {b, e} , {c, e}
Tập đỉnh B gọi tập ổn định cực đại thêm vào đỉnh làm tính ổn định
Tập B gọi tập ổn định lớn B tập ổn định có nhiều phần tử
Chú ý: Tập ổn định lớn tập ổn định cực đại, ngược lại khơng
Ví dụ 3.4:
Hình 3.2 Đồ thị có tập ổn định cực đại không lớn Các tập {a, b} {c, d, e} ổn định cực đại
(3)Định lý 3.1: Đồ thị G có n đỉnh, bậc lớn đỉnh r Khi đó, số ổn
định đồ thị
1 + ≥ r n u Chứng minh:
Giả sử B tập ổn định lớn với u phần tử Với đỉnh y ∉ B có nhất đỉnh B kề với y Vì ngược lại bổ sung y vào B, mẫu thuẫn với tính ổn định cực đại B Từ suy số cạnh khỏi B (không kể hướng) ≥ ⎢V \ B ⎢ = n - u
Mặt khác, số cạnh ≤ r.u Vậy r.u
≥
n-uTừ suy ra:
1 + ≥
r n
u
Thuật toán 3.2 (Tìm tập ổn định lớn nhất):
1) Chọn đỉnh đồ thị
2) Bổ sung dần đỉnh để tập ổn định cực đại
3) Nếu ta tìm tập ổn định có u đỉnh mà tập u+1 đỉnh không tập ổn định trong, kết luận tập tìm tập ổn định lớn u số ổn định đồ thị
Trong đơn vị đó, giả sử có quan hệ “xích mích” người với người Thế thì, tập ổn định cực đại hiểu theo nghĩa xã hội Đó nhóm nhiều người khơng xích mích với Để giữ đồn kết đơn vị cần phải xây dựng nhóm lớn tốt
3.2 Tập ổn định
Giả sử G = (V, E) đồ thị
Định nghĩa 3.5: Tập C ⊆ V gọi tập ổn định đồ thị G nếu:
∀x ∉ C : C ∩ F(x) ≠ ∅ Hay nói cách khác:
∀x ∉ C , ∃ y ∈ C : y ∈ F(x)
Điều có nghĩa là, từ đỉnh ngồi C ln có cạnh vào C
(4)Biểu diễn đồ thị cho bàn cờ vua Ví dụ 3.2 Khi đó, cần tìm tập ổn định gồm đỉnh
Một tập nghiệm toán {C6 , D3 , E5 , F7 , G4}
Tập C gọi tập ổn định cực tiểu bớt đỉnh làm tính ổn định ngồi
Tập C gọi tập ổn định bé C tập ổn định ngồi có phần tử Lực lượng tập ổn định bé gọi số ổn định đồ thị
Thuật tốn 3.3 (Tìm tập ổn định ngồi bé nhất):
Giả sử đồ thị G = (V, E) với tập đỉnh V = {a1 , a2 , , an}
Thuật toán:
1) Xây dựng ánh xạ T : V → 2V sau: ∀a ∈V , T(a) = {a} ∪ F-1(a)
2) Tìm tập C ⊆ V có số phần tử cho T(C) = V Khi đó, C tập ổn định ngồi bé đồ thị G Chú ý: Bước 2) thực nhanh nhờ nhận xét sau đây:
- Đỉnh cô lập luôn thuộc tập ổn định bé đồ thị G, nghĩa đỉnh cô lập phải giữ lại
- Nếu tập D đỉnh có tập C mà: T(D) ⊆ T(C) bỏ khơng xét tập D
Thực việc loại bỏ cịn đỉnh khơng thể loại bỏ Tập đỉnh tập ổn định ngồi bé đồ thị G
Ví dụ 3.7: Xét đồ thị có hướng sau đây:
Hình 3.3 Đồ thị tập ổn định T(a) = {a} T(d) = {b, c, d}
T(b) = {a, b, c} T(e) = {e} T(c) = {a, c}
(5)Loại bỏ a, c ta tập {b, d, e} tập ổn định bé G Loại bỏ
a, b ta tập {c, d, e} tập ổn định bé khác đồ thị G