1. Trang chủ
  2. » Biểu Mẫu - Văn Bản

LY THUYET DO THI BAI 3

5 7 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 188,68 KB

Nội dung

[r]

(1)

BÀI 03

Hàm Grundy đồ thị

Hàm Grundy hàm toán học xây dựng đồ thị, P M Grundy đề

xuất để nghiên cứu số tính chất lý thú đồ thị

Trước tiên, ta ký hiệu tập số nguyên không âm N = {0, 1, 2, } 2.1 Hàm Grundy

Định nghĩa 2.1: Giả sử G = (V, F) đồ thị Hàm g : V → N gọi

hàm Grundy đồ thị G nếu:

x ∈ V : g(x) = {N \ g(F(x))}

Từ định nghĩa suy hai tính chất đặc trưng hàm Grundy sau: 1) ∀x, y ∈ V, y ∈ F(x) g(x) ≠ g(y)

2) ∀u ∈ N , u < g(x) : u ∈ g(F(x)) ; nghĩa là: ∃y ∈ F(x) để g(y) = u

Tính chất 1) g(x) không nằm tập giá trị g F(x), tính chất 2) khẳng định g(x) số nguyên không âm bé số số không thuộc tập giá trị hàm g F(x)

Từ định nghĩa hàm Grundy, ta có số nhận xét sau đây: Đồ thị có đỉnh nút khơng thể có hàm Grundy

2 Nếu F(x) = ∅ g(x) =

3 Tập hợp {xx ∈V, g(x) = 0} luôn khác rỗng

4 ∀x∈ V : g(x) ≤ ⎢F(x) ⎢, nghĩa làhàm Grundy nhận giá trị khơng lớn Ví dụ 2.2: Hàm Grundy khơng

Hình 2.1 Đồ thị có hai hàm Grundy Ví dụ 2.3: Hàm Grundy khơng tồn

(2)

Hình 2.2 Đồ thị khơng có hàm Grundy Vậy với điều kiện đồ thị có hàm Grundy

Định lý 2.1: Đồ thị G khơng có chu trình có hàm Grundy.

Chứng minh:

Khơng tính tổng qt, giả thiết đồ thị G liên thông Ta xây dựng hai dãy tập đỉnh: V0, V1, P0, P1, sau:

V0 = V

P0 = {x⏐F(x) = ∅}

Tập P0 khơng rỗng Vì P0 rỗng có nghĩa đỉnh V ln có đỉnh kề

Khi xuất phát từ đỉnh tạo đường dài tuỳ ý Điều vơ lý G khơng có chu trình

V1 = V0 \ P0

P1 = {xx∈V1∧ F(x) ⊆ V \ V1}

V2 = V1 \ P1

Pi = {xx∈Vi ∧ F(x) ⊆ V \ Vi}, với i

Vi+1 = Vi \ Pi

Chú ý: Nếu Pk rỗng Vk rỗng, nghĩa ta vét hết đỉnh đồ thị

Thật vậy, giả sử ngược lại Pk rỗng Vk khơng rỗng, với x ∈Vk

sẽ có y ∈F(x) để y ∉ V \ Vk , nghĩa y ∈ Vk Vậy với đỉnh Vk ln có đỉnh kề thuộc Vk Khi xuất phát từ đỉnh Vk tạo đường dài tuỳ ý Điều vơ lý đồ thị G khơng có chu trình

Hình 2.3 Cách xây dựng dãy tập P0, P1, …, Pk Bây ta xây dựng hàm g : V → N sau:

Với x ∈ P0 ta đặt g(x) =

Với x ∈ P1 nghĩa x ∉ P0 F(x) ⊆ P0, hàm g xác định

(3)

Tiếp tục cách làm ta xác định giá trị hàm g đỉnh

đồ thị cách

Định lý chứng minh cách chứng minh cho ta thuật tốn tìm hàm Grundy cho đồ thị phi chu trình 

Ví dụ 2.4: Xét đồ thị có hướng sau cách xây dựng hàm Grundy

Hình 2.4 Đồ thị tập Pi 2.2 Tổng đồ thị

Cho hai đồ thị dạng ánh xạ kề: G1 = (V1, F1) G2 = (V2, F2)

Định nghĩa 2.5:

Đồ thị G = (V, F) gọi tổng G1 G2, ký hiệu G1+ G2 với:

1) V = V1 × V2

2) (x,y) ∈ F((a,b)) ⇔ x = ay∈ F2(b)

x ∈ F1(a) ∧ y = b.

Hình 2.5 Cách xây dựng đồ thị tổng

Giả sử đồ thị G1 có hàm Grundy g1, đồ thị G2 có hàm Grundy g2 Liệu đồ thị

tổng G1 + G2 có hàm Grundy hay khơng mối quan hệ với hàm g1, g2

thế Để trả lời câu hỏi này, đưa phép toán d-tổngtrên số nguyên sau

(4)

u = uk uk-1 u1 u0

v = vk vk-1 v1 v0 với ui, vi chữ số

Có thể xem độ dài biểu diễn hai số nhau, không ta thêm số vơ nghĩa vào bên trái số ngắn

Đặt: wi = (ui+vi) mod

Định nghĩa 2.6: Số nguyên w có biểu diễn nhị phân là: wk wk-1 w1 w0 gọi

d-tổng u v ta ký hiệu: w = u v

Chú ý rằng, phép toán thực giống câu lệnh gán w := u XOR v ; ngơn ngữ lập trình Pascal

Ví dụ 2.7: ⊕ = 12 ⊕ 15 = Một số tính chất phép tốn d-tổng:

1 Phép tốn d-tổng có tính chất giao hốn kết hợp: u v = v u ,

(u v) ⊕ w = u ⊕(v w)

2 Phép tốn d-tổng có đơn vị: u = u = u

3 d-tổng hai số chúng giống nhau: u v = u = v.

Vậy cặp (N, ⊕) trở thành nhóm giao hốn

Định lý 2.2: Nếu g1 hàm Grundy đồ thị G1, g2 hàm Grundy đồ thị

G2 g((x,y)) = g1(x) ⊕ g2(y) hàm Grundy đồ thị tổng G = G1 + G2

Chứng minh:

Theo định nghĩa hàm Grundy, ta cần phải chứng minh: Nếu (x,y) ∈ F((a,b)) g((a,b)) ≠ g((x,y))

2 Nếu u ∈ N , u < g((a,b)) tồn (x,y) ∈ F((a,b)) cho g((x,y)) = u Thật vậy, giả sử (x,y) ∈ F((a,b)) Theo định nghĩa ánh xạ kề F, ta phải xét hai trường hợp sau:

1) x = a, y ∈ F2(b)

Khi g2(y) ≠ g2(b)

g((a,b)) = g1(a) ⊕ g2(b) = g1(x) ⊕ g2(b) ≠ g1(x) ⊕ g2(y) = g((x,y))

2) x ∈ F1(a), y = b : Chứng minh hoàn tồn tương tự Tính chất chứng

minh xong

Bây ta chứng minh tính chất Giả sửu ∈ N u < g((a,b)) Ký hiệu v = g1(a) w = g2(b) Ta có: u < v w

(5)

Hơn t u = u v w u = v w > u (*) Xét biểu diễn nhị phân số trên:

u = uk=0 v = vk =1

w = wk

t = 01k

Giả sử k số bit biểu diễn nhị phân số t Nếu uk = (uk + tk) mod = Suy ra: t u < u, trái với mệnh đề (*) Vậy uk=

Do bit thứ k t nên vk wk phải Giả sử vk=

Đặt s = t v Ta có s < v = g1(a)

Vì g1 hàm Grundy đồ thị G1 nên tồn x ∈ F1(a) cho s = g1(x) Theo định nghĩa đồ thị tổng đỉnh (x,b) ∈ F((a,b))

g((x,b)) = g1(x) ⊕ g2(b) = s w = t v w = u.

Khi wk= chứng minh hoàn toàn tương tự

Ngày đăng: 12/04/2021, 19:32

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w