Gäi K lµ trung ®iÓm cña MN.[r]
(1)Dạng : Dựng vectơ tính độ dài vectơ A Phơng pháp
- Sử dụng quy tắc hình bình hành : Đa tỉng cđa hai vect¬ chung gèc
- Để tính độ dài vectơ ta tính độ dài đoạn thẳng cách đa cạnh tam giác vuông , dùng hệ thức lợng tam giác vng
B Bµi tËp
Bài : Cho tam giác vuông cân ABC đỉnh A , cạnh AB = AC = a Dựng tính độ dài vectơ sau :
1/ d AB AC
2/ e AC BC
3/ f AB BC Bài : Cho tam giác ABC cạnh a Dựng tính độ dài vectơ sau :
1/ d AB AC
2/ e AB CB
3/ f AC BC
-Dạng : Chứng minh hai vectơ nhau
A Phơng pháp
Cỏch : Dùng định nghĩa Chứng minh a b
ta chøng minh hai ®iỊu sau : + a ; b
cïng híng
+ a b
Cách : Dùng tính chất hình bình hành Tứ giác ABCD hình bình hành
AB DC
vµ BC AD
Chó ý : Ta hay dïng c¸ch ( Để chúng minh hai véc tơ ta đa chứng minh tứ giác hình bình hành )
B Bài tập
Bài : Cho tam giác ABC Gọi M , N , E lần lợt trung điểm cña BC , CA , AB H·y chØ cặp vectơ
Bài : Cho tø gi¸c låi ABCD Gäi M , N , P , Q lần lợt trung điểm cña AB , BC , CD , DA Chøng minh r»ng : MN QP
vµ MQ NP
Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác , gọi A' điểm đối xứng A qua O Chứng minh : CH A B'
vµ BH A C'
-Dạng : Chứng minh đẳng thức vectơ A Phơng pháp
Để chứng minh đẳng thức vectơ ta hay dùng cách sau : + Biến đổi vế trái thành vế phải ngợc lại
+ Biến đổi tơng đơng đẳng thức hiển nhiên
Chó ý : Ta hay dïng quy t¾c chÌn ®iĨm ( chÌn ®iĨm cßn thiÕu so víi vÕ cßn lại )
B Bài tập
Bài : Cho điểm A , B , C , D Chøng minh r»ng : AB CD
= AD CB Bµi : Cho ®iĨm A , B , C , D , E , F Chøng minh r»ng :
1/ AB CD
= AC DB 2/ AD BE CF
= AE BF CD
3/ AB BC CD
= AE DE
A B
(2)-Dạng : Xác định vị trí điểm nhờ đẳng thức vectơ A Phơng pháp
Biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM = a với điểm M a cho trớc Khi điểm M hồn tồn xác định
a
a
Chó ý
+ Víi hai ®iĨm A , B cho trớc : A B cho trớc , AB BA;
cho tríc + Ta dïng quy t¾c chÌn điểm chọn gốc điểm A điểm B B Bµi tËp
Cho tam giác ABC Hãy xác định vị trí điểm M (có vẽ hình ) trờng hợp sau :
1/ MA2MB0
3/ MA2MB CB
5/ MA MB 2MC 0
2/ 2MA 3MB 0
4/ MA MB MC 0
6/ MA2MB3MC 0
Dạng : Chứng minh đẳng thức vectơ không phụ thuộc vào điểm M di động
A Phơng pháp : Biến đổi đẳng thức cho vectơ cho trớc Chú ý
+ Víi hai ®iĨm A , B cho trớc : A B cho trớc , AB BA;
cho tríc + Ta dùng quy tắc chèn điểm chọn gốc điểm A điểm B B Bài tập
Cho tam giác ABC điểm M di động Chứng minh biểu thức vectơ sau khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
1/ v
= MA4MB 5MC
3/ v
= MA MB 2MC
2/ v
= MA2MB 3MC
D¹ng : BiĨu diƠn mét vect¬ theo hai vect¬ không phơng A Phơng pháp
Với hai vectơ a
b
khơng phơng Khi với vectơ x
tồn nhÊt bé sè (m ; n ) cho : x
= ma
+ nb
Để làm dạng toán ta hay dùng quy tắc sau :
+ Quy tắc trung điểm : Nếu I trung điểm đoạn AB với điểm M ta lu«n cã : MA MB 2MI
+ Quy tắc chèn điểm : AB AM MB
víi mäi ®iĨm M B Bµi tËp
Bµi : Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh BC , G trọng tâm tam giác ABC , N điểm thuộc cạnh AC cho NC = 2NA Gäi K lµ trung điểm MN HÃy biểu diễn vectơ AM
; AG
; AK
; KM
theo hai vectơ AB
AC
Bài : Cho tam giác ABC có trọng tâm G , H điểm đối xứng B qua G Hãy biểu diễn vectơ : AH
; CH
và MH
theo hai vectơ AB
vµ AC
Bài : Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 3MC H·y biĨu diƠn vect¬ AM
theo hai vectơ AB
AC
D¹ng : Chøng minh ba điểm thẳng hàng A Phơng pháp
(3)Để chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ AB
AC
phơng Tức có số k cho AB
= k AC
Chó ý : §Ĩ chøng minh AB
vµ AC
cïng ph¬ng ta thêng qua hai bíc sau : + Bíc : BiĨu diƠn AB
AC
theo hai vectơ u
, v
+ Bớc : Từ đẳng thức bớc ta suy mối quan hệ AB
vµ AC
B Bµi tËp
Bài : Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm điểm đối xứng B qua C 1/ Tính AM
theo hai vect¬ AB
vµ AC
2/ Gọi Q , R hai điểm lần lợt cạnh AC AB cho AQ =
2AC vµ
AR =
3AB TÝnh RM vµ RQ
theo theo hai vectơ AB
AC
3/ Chøng minh r»ng ®iĨm M , Q , R thẳng hàng
Bài : Cho tam giác ABC Lấy điểm M , N , E cạnh BC , CA , AB cho : MB 2MC 0
; NB2NC 0
; EA EC 0
1/ TÝnh EM
; EN
theo AB
vµ AC
2/ Chøng minh r»ng : M , N , E thẳng hàng
Bài : Cho tam giác ABC Điểm I cạnh AC cho CA = 4CI , gọi J điểm cho :
1
2
BJ AC AB
1/ TÝnh BI
theo AB
vµ AC
2/ Chøng minh r»ng : B , I , J thẳng hàng 3/ HÃy dựng điểm J
Phần hai : Toạ độ
A Lý thuyÕt
1/ Toạ độ vectơ
a) Toạ độ vectơ : Cặp số (x ; y) gọi toạ độ u
ta viÕt nh sau : u
(x ; y) hc
u=(x ; y) Khi u=(x ; y) u = x.i + y. j
Trong :
+ x : đọc hoành độ vectơ + y : đọc tung độ vectơ b) Tính chất : Cho u
(x1 ; y1) vµ v
(x2 ; y2)
+ u
v
= (x1 x2 ; y1 y2)
+ ku
= (kx1 ; ky1) với k số
+ Hai vÐct¬ b»ng :
2/ §iĨm
* Cặp số (x ; y) gọi toạ độ điểm M ta viết nh sau : M(x ; y) M = (x ; y)
u = v
1 2
x x y y
(4)* Toạ độ Vectơ biết toạ độ hai đầu mút :
Cho điểm A(xA ; yA) B(xB ; yB) Khi : (Toạ độ điểm
cuèi trừ điểm đầu)
3/ Cỏc cụng thc c bn hệ toạ độ Oxy */ Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB : (Trung bình cộng toạ độ hai đầu mút )
*/ Toạ độ trọng tâm G(x ; y) tam giác ABC : B Bài tập
Bµi : Cho vectơ : a
(1 ; -3) ; b
(4 ; - 5) c2i 5j 1/ Tìm toạ độ vectơ sau : a
+ b
; 2b
- 3c
; 3a
+ 5b
- c
2/ Tìm m để d
(m ; 2m - 1) a
phơng 3/ H·y biĨu diƠn vect¬ e
(5 ; - 2) qua a
vµ b
Bài : Cho ba điểm A(1 ; 1) ; B(- ; - 3) ; C(4 ; 7) 1/ CMR ba ®iĨm A , B , C thẳng hàng
2/ Tỡm to độ điểm D cho B trọng tâm tam giác ACD Bài 3: Cho ba điểm A(2 ; 3) ; B(- ; - 3) ; C(3 ; 4)
1/ CMR ba điểm A , B , C tạo thành ba đỉnh tam giác Tìm trọng tâm 2/ Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABDC hình bình hành
Bài : Cho tam giác ABC Các điểm M(1;1) ; N(2;3) ; P(0;-4) lần lợt trung điểm cạnh BC , CA , AB Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC
Bài : Tìm m để ba điểm A(1;1) ; B(3;2) C(m + ; 2m + 1) thẳng hàng
B A B A
AB (x - x ;y - y )
x =
A B
x + x
2 ; y =
A B y +y
2
x =
A B C
x + x + x
3 ; y =
A B C