[r]
(1)kì thi vao lớp 10chuyên năm học 2009 2010
Môn thi : toán
Thời gian làm : 150 phút
Câu I: ( 2.5 ®iĨm )
Cho phơng trình : x2 - 2x + - m = , gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để :
3
1
2x (m1)x 16
Câu II: (2.5 điểm )
1) Cho ph©n sè : A =
2 4
5 n
n
Hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn n tháa m·n 1 n 2009 cho A phân số cha tối giản
2) Cho a2;b3;c4.Tìm giá trị nhỏ :
2 1 1 1
a b c
P
a b c
Câu III: (2.0 điểm)
Giải phơng trình :
33x2 x2007 33x2 7x2008 36x 2009 32008 C©u IV: ( ®iĨm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Vẽ tia Ax vng góc với AD cắt BC E ; vẽ tia Ay vng góc với AB cắt CD F
1) Trong trờng hợp BAD góc tù Chøng minh : EF ®i qua O 2) Chøng minh :
AC AB AD CB CD BD AB CB AD CD
sở giáo dục đào tạo
Hải Dơng kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9năm học 2008 - 2009
Môn thi : toán
Híng dÉn chÊm
H
(2)Câu Nội dung điểm câu1
2.5 im iu kin để phơng trình : x
2 - 2x + - m = cã nghiÖm :
, 0 2 m 0 m 2
Theo hÖ thøc Viet :
1
1
2 S x x
P x x m
Ta cã :
2
1 1
3 2
1 1 1 1
2
1 1
1
( )
( )
( ) ( )
(4 ) 2(3 ) (1 )
x x x x x x Sx P
x x x x Sx P Sx Px
S Sx P Px S P x SP
m x m m x m
Vµ
2 ( 2) 2 2 (3 )
x x x x x x Sx P x m
Nªn
3
1
2x (m1)x 16
2 m x 2m (m 1) 2x (3 m) 16
1
2
1
2
2( 1) 12 2( 1) (3 )( 1) 16
2( 1)( ) 12 3 16
6 27 3( )
9( )
m x m m x m m
m x x m m m m
m m m TM m loai
VËy m = tháa mÃn điều kiện đầu
0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 CâuII
2.5 điểm 1) Gäi d lµ íc chung lín nhÊt cđa n
2 + n+5 Vì A phân số cha tối giản nên d >
Ta có (n + 5)2 - ( n2 + 4) chia hÕt cho d
Hay 10(n + 5) - 29 chia hết cho d mà có n + chia hết cho d Nên 29 chia hết cho d mà 29 số nguyên tố d > 1 d = 29 Tồn số m nguyên dơng cho : n + = 29m Khi đó:
1 n 2009 29m 2009 m nguyên dơng nên giá trị m 1;2;3 69
Vậy có tất 69 số tự nhiên n thỏa m·n
0.25 0.25 0.25 0.25 2)* Ta chøng minh BĐT sau : Với x , y số không âm ta có :
2
x y xy ,(1)Đẳng thức xảy x = y
ThËt vËy : (1)
2
2 0
x y xy x y
, (BĐT ) Đẳng thức xảy x = y
Cã P =
1 1
a b c
a b c
Ta cã :
1 3.2
2
4 4
a a a
a
a a a
Hay :
1
1
2 a
a
,(2) Đẳng thức xảy a = Tơng tự :
1 1 8.3 10
9 9 3
b b b
b
b b b
, ( 3) Đẳng thức xảy b =
(3)Vµ
1 15 15.4 15 17
16 16 16 16 4
c c c
c
c c c
, (4) Đẳng thức xảy c =
Do : P
5 10 17 30 40 51 121 12 12 12 12
Vậy giá trị nhỏ P =
121 12
2 a b c Câu III
2.0 điểm Đặt : 3 2
2
3
3 3
3 2007 2008
6 2009 2008
a x x
b x x
c x
a b c
Thay vào phơng trình lập phơng hai vế phơng trình ta đợc :
3
3
(a b c ) 2008 2008
Nên phơng trình tơng đơng với :
3 3
3 3
( )
( ) ( )
3( )( )( )
a b c a b c
a b c a b c
a b b c c a
XÐt trêng hỵp : 1)
2
3
2
0
3 2007 2008 2007 2008
6
a b a b
x x x x
x x x x x
2) 3 2
3 2008 2009 (3 2008) 2009
1 13
3
1 13
b c b c
x x x
x x x
x x x x 3) 3 2
3 2007 2009 2007 2009 4016 0,
c a a c
x x x
x x x
x x PTVN
(4)Vậy phơng trình cho có tập nghiệm là:
1 13 13
; ;
6 6
S
CâuIV
3 điểm 1)
Nối EF , gọi P điểm đối xứng với A qua EF
Trờng hợp O nằm AEP,ta cã : EAF EPF ,(1)
Gọi tia At tia đối tia AB , ta có EAF tAD (cùng phụ với
DAF)
Mµ BCD tAD ( Cïng bï víi BAD tø gi¸c ABCD néi tiÕp )
,(2)
BCD EAF
Tõ (1) vµ (2) suy :EPF BCD ECF
Nên tứ giác EPCF néi tiÕp DCP FEP 1800
Mµ cã FEP FEA PAD ( cïng phơ víi EAP) Nên DCP PAD 1800 Tứ giác ADCP nội tiÕp
Hay P thuộc đờng tròn tâm O Mà EF trung trực AP nên EF phải qua tâm O đờng trịn
Trêng hỵp O n»m AEP chøng minh t¬ng tù
2)Tríc hÕt ta chứng minh Bài toán sau :
Cho tam giỏc ABC nội tiếp đờng tròn (O;R) với AB = c; AC = b ;BC = a
Chứng minh : Diện tích tam giác ABC đợc tính theo cơng thức : ABC
abc S
R
.(*)
Thật : Kẻ đờng cao AH, đờng kính AD Ta có :ABH ADC g g( )
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.5
(5).2
4 ABC
AB AD
CB AC AH R
AH AC
AB AC BC AH BC S R
Hay ABC
abc S
R
Kẻ đờng chéo AC BD tứ giác ABCD ta có
1 ABCD ADB BCD ABCD ABC ADC
S S S
S S S
Gọi R bán kính đờng trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD ,áp dụng cơng thức ta có :
4
1
. . . .
4
AB AD BD CB CD BD
AB AD BD CB CD BD
R R
AB CB AC AD CD AC AB CB AC AD CD AC
R R
AB AD CB CD AC AB CB AD CD BD
( §pcm)