De thi thu va dap an chi tiet 10 chuyen0910

[r]

kì thi vao lớp 10chuyên năm học 2009 2010

Môn thi : toán

Thời gian làm : 150 phút

Câu I: ( 2.5 ®iĨm )

Cho phơng trình : x2 - 2x + - m = , gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để :

3

1

2x (m1)x 16

Câu II: (2.5 điểm )

1) Cho ph©n sè : A =

2 4

5 n

n  

Hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn n tháa m·n 1 n 2009 cho A phân số cha tối giản

2) Cho a2;b3;c4.Tìm giá trị nhỏ :

2 1 1 1

a b c

P

a b c

  



Câu III: (2.0 điểm)

Giải phơng trình :

33x2 x2007 33x2 7x2008 36x 2009 32008 C©u IV: ( ®iĨm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Vẽ tia Ax vng góc với AD cắt BC E ; vẽ tia Ay vng góc với AB cắt CD F

1) Trong trờng hợp BAD góc tù Chøng minh : EF ®i qua O 2) Chøng minh :

AC AB AD CB CD BD AB CB AD CD

 



sở giáo dục đào tạo

Hải Dơng kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9năm học 2008 - 2009

Môn thi : toán

Híng dÉn chÊm

H

Câu Nội dung điểm câu1

2.5 im iu kin để phơng trình : x

2 - 2x + - m = cã nghiÖm :

, 0 2 m 0 m 2

       

Theo hÖ thøc Viet :

1

1

2 S x x

P x x m

  

 

  



Ta cã :

2

1 1

3 2

1 1 1 1

2

1 1

1

( )

( )

( ) ( )

(4 ) 2(3 ) (1 )

x x x x x x Sx P

x x x x Sx P Sx Px

S Sx P Px S P x SP

m x m m x m

                          Vµ

2 ( 2) 2 2 (3 )

x  x x x  x x Sx  P x   m

Nªn

3

1

2x (m1)x 16

   

2 m x 2m (m 1) 2x (3 m) 16

         

1

2

1

2

2( 1) 12 2( 1) (3 )( 1) 16

2( 1)( ) 12 3 16

6 27 3( )

9( )

m x m m x m m

m x x m m m m

m m m TM m loai                              

VËy m = tháa mÃn điều kiện đầu

0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 CâuII

2.5 điểm 1) Gäi d lµ íc chung lín nhÊt cđa n

2 + n+5 Vì A phân số cha tối giản nên d >

Ta có (n + 5)2 - ( n2 + 4) chia hÕt cho d

Hay 10(n + 5) - 29 chia hết cho d mà có n + chia hết cho d Nên 29 chia hết cho d mà 29 số nguyên tố d > 1 d = 29 Tồn số m nguyên dơng cho : n + = 29m Khi đó:

1 n 2009 29m 2009 m nguyên dơng nên giá trị m 1;2;3 69

Vậy có tất 69 số tự nhiên n thỏa m·n

0.25 0.25 0.25 0.25 2)* Ta chøng minh BĐT sau : Với x , y số không âm ta có :

2

x y xy ,(1)Đẳng thức xảy x = y

ThËt vËy : (1)

 2

2 0

x y xy x y

      

, (BĐT ) Đẳng thức xảy x = y

Cã P =

1 1

a b c

a b c

    

Ta cã :

1 3.2

2

4 4

a a a

a

a a a

     

Hay :

1

1

2 a

a

   

,(2) Đẳng thức xảy a = Tơng tự :

1 1 8.3 10

9 9 3

b b b

b

b b b

        

, ( 3) Đẳng thức xảy b =

Vµ

1 15 15.4 15 17

16 16 16 16 4

c c c

c

c c c

        

, (4) Đẳng thức xảy c =

Do : P

5 10 17 30 40 51 121 12 12 12 12

      

Vậy giá trị nhỏ P =

121 12

2 a b c         Câu III

2.0 điểm Đặt : 3 2

2

3

3 3

3 2007 2008

6 2009 2008

a x x

b x x

c x

a b c

  

  

 

   

Thay vào phơng trình lập phơng hai vế phơng trình ta đợc :

 3

3

(a b c  )  2008 2008

Nên phơng trình tơng đơng với :

3 3

3 3

( )

( ) ( )

3( )( )( )

a b c a b c

a b c a b c

a b b c c a

    

      

    

XÐt trêng hỵp : 1)

2

3

2

0

3 2007 2008 2007 2008

6

a b a b

x x x x

x x x x x

                  2) 3 2

3 2008 2009 (3 2008) 2009

1 13

3

1 13

b c b c

x x x

x x x

x x x x                                3) 3 2

3 2007 2009 2007 2009 4016 0,

c a a c

x x x

x x x

x x PTVN

Vậy phơng trình cho có tập nghiệm là:

1 13 13

; ;

6 6

S   

 

 

CâuIV

3 điểm 1)

Nối EF , gọi P điểm đối xứng với A qua EF

Trờng hợp O nằm AEP,ta cã : EAF EPF ,(1)

Gọi tia At tia đối tia AB , ta có EAF tAD (cùng phụ với 

DAF)

Mµ BCD tAD  ( Cïng bï víi BAD tø gi¸c ABCD néi tiÕp )

  ,(2)

BCD EAF

 

Tõ (1) vµ (2) suy :EPF BCD ECF

Nên tứ giác EPCF néi tiÕp  DCP FEP  1800

Mµ cã FEP FEA PAD   ( cïng phơ víi EAP) Nên DCP PAD 1800 Tứ giác ADCP nội tiÕp

Hay P thuộc đờng tròn tâm O Mà EF trung trực AP nên EF phải qua tâm O đờng trịn

Trêng hỵp O n»m AEP chøng minh t¬ng tù

2)Tríc hÕt ta chứng minh Bài toán sau :

Cho tam giỏc ABC nội tiếp đờng tròn (O;R) với AB = c; AC = b ;BC = a

Chứng minh : Diện tích tam giác ABC đợc tính theo cơng thức : ABC

abc S

R 

.(*)

Thật : Kẻ đờng cao AH, đờng kính AD Ta có :ABH ADC g g(  )

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

0.25 0.5

.2

4 ABC

AB AD

CB AC AH R

AH AC

AB AC BC AH BC S R

   

  

Hay ABC

abc S

R 

Kẻ đờng chéo AC BD tứ giác ABCD ta có

1 ABCD ADB BCD ABCD ABC ADC

S S S

S S S



 



Gọi R bán kính đờng trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD ,áp dụng cơng thức ta có :

4

1

. . . .

4

AB AD BD CB CD BD

AB AD BD CB CD BD

R R

AB CB AC AD CD AC AB CB AC AD CD AC

R R





  

 

AB AD CB CD AC AB CB AD CD BD



 

 ( §pcm)