Người ta thả một viên bi hình cầu (không thấm nước ) vào cốc, viên bi chìm xuống đáy cốc và làm cho cột nước dâng cao thêm 4 cm và nước chưa tràn ra ngoài. Tính bán kính của viên bi.. [r]
(1)UBND QUẬN HÀ ĐÔNG TRƯỜNG THCS CLC LÊ LỢI
ĐỀ KSCL VÀO LỚP 10 LẦN Mơn: Tốn
NĂM HỌC: 2019 - 2020
Thời gian: 120’ (không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm có 02 trang) Bài 1:(2,0 điểm) Cho biểu thức:
1 Cho biểu thức: A =
3 9 + − x x
Tính giá trị biểu thức A x = 25
2 Rút gọn biểu thức: B = 2 : 4
2 2 2
x x
x x x
+
+
+ − −
với x ≥ ; x ≠
3 Với biểu thức A, B nói tìm giá trị của x để A.B đạt giá trị nhỏ nhất Bài 2:(2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình sau:
= + − +
= + − +
0
2 1
y x
y x
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) y=x2 đường thẳng (d)
2
y= mx− m+
a)Với giá trị của m d tiếp xúc với (P)? Khi tìm tọa độ tiếp điểm
b)Tìm m để (d) (P) cắt điểm phân biệt: A x y( ; ); ( ; )1 B x y2 cho tổng tung độ hai giao điểm
Bài 3: (2,0 điểm)
1.Giải tốn sau bằng lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai tổ nhà máy sản xuất trang ngày sản xuất khẩu trang Để đáp ứng nhu cầu trang dịch cúm chủng virut Corona gây nên ngày tổ vượt mức , tổ hai vượt mức , hai tổ sản xuất trang Hỏi ban đầu ngày tổ sản xuất khẩu trang?
2. Một cốc thủy tinh hình trụ chứa lượng nước Bán kính đáy cốc nước hình trụ cm Người ta thả viên bi hình cầu (không thấm nước ) vào cốc, viên bi chìm xuống đáy cốc làm cho cột nước dâng cao thêm cm nước chưa tràn ra ngồi Tính bán kính viên bi
Bài 4:(3,5 điểm)
1500
75% 68%
2583
(2)Cho (O; R), dây AB = R 2cố định Điểm M thuộc cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Các đường cao AE; BF tam giác cắt H, cắt đường tròn (O; R) P Q
a)Chứng minh: điểm A, B, E, F, O thuộc đường tròn b)Chứng minh: EF // PQ P, O, Q thẳng hàng
c)Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây AB cung nhỏ AB
d)Đường thẳng PB cắt QA S, nối SH cắt PQ I Khi M chuyển động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn C/m: điểm I ln thuộc đường trịn cố định
Bài 5: (0,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
x y 3(1)
x 4y x 2xy 4y
x 2y(2)
2 3
+ =
+ + +
+ = +
(3)HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KSCL VÀO LỚP 10 LẦN – TOÁN NĂM HỌC 2019 - 2020
Bài Đáp án Điểm
1
(2 điểm)
ĐKXĐ A x ≥ 0; x = 25 (TMĐKXĐ)
Thay x = 25 vào biểu thức A tính giá trị A
0,25 0,25 Rút gọn:
4 ) )( ( 2 + + − + + + − = x x x x x x x B ) )( ( + − − + + = x x x x x B 2 1 + = x B 0,5 0,25 0,25
3 Tính được:
2 5 1 2 3 . + − = + − = x x x B A 2 5 2 5 2 1 2 1 0 2
2 ≥ −
+ − ≤ + ≥ ∀ ≥ + x x x x 2 3 .B≥−
A
D
ấu "=" xảy x =
KL: Giá trị nhỏ A.B
2 3
− x =
0,25
0,25
2
(2 điểm)
1 ĐK: x 1;
Đặt: x+1= a; 1
+
y = b ( a Giải hệ PT a =1; b = Tìm x = 0; y = ( TMĐK)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (0; 1)
0,25
0,25
0,25 2a) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P):
2 2 2 1
x = mx− m+ ⇔x2−2mx+2m− =1 (1)
Ta có ' 2 1 ( 1)2
m m m
∆ = − + = −
Từđó tìm d tiếp xúc (P) <=> m =1
Tìm x = kết luận tọa độ tiếp điểm A(1;1)
0,25
0,25 2b) ' 2 1 ( 1)2 0 1
m m m m
∆ = − + = − > ∀ ≠ (1)
+) Suy (d) (P) cắt điểm phân biệt : A x y( ; ); ( ; )1 B x y2 m ≠
+) Áp dụng định lí Vi-et ta có : 2
2
x x m
x x m
+ = = − 0,25 +) 1 1
2 2
( ; ) ( ) B( ; ) ( )
A x y P y x
x y P y x
∈ =
∈ =
Vì tổng tung độ hai giao điểm nên ta có :
(4)1 2 2
2 2
2
2
2
( ) 2
4 2(2 1)
4
0( ) 1( )
y y
x x
x x x x
m m
m m
m TM
m Loai
+ =
=> + =
⇔ + − =
⇔ − − =
⇔ − =
=
⇔
=
+) Vậy m=0 (d) (P) cắt điểm phân biệt A x y( ; ); ( ; )1 2 B x y2 2 cho tổng tung độ hai giao điểm
0,25
3
(2 điểm)
1 Gọi số trang ban đầu ngày tổ I sản xuất (chiếc) Số trang ban đầu ngày tổ II sản xuất (chiếc)
(ĐK: )
Hai tổ nhà máy sản xuất trang ngày sản xuất trang nên ta có phương trình: (1)
Mỗi ngày tổ vượt mức nên ngày tổ sản xuất số trang (chiếc)
Mỗi ngày tổ hai vượt mức nên ngày tổ hai sản xuất số trang (chiếc)
Cả hai tổ sản xuất trang nên ta có phương trình: (2)
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy ban đầu ngày tổ I sản xuất trang; tổ II sản xuất trang
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
2 Mực nước dâng lên thể tích viên bi Thể tích nước dâng là: V = πR2h =π.32.4 = 36 π ( cm3)
Gọi r bán kính viên bi ta có: Vbi = πr3
πr3 = 36 π Vậy r = (cm)
0,25 0,25
x
y , *; , 1500
x y∈ℕ x y<
1500 1500
x+ =y
75% (100% 75%+ )x=1,75x
68% (100% 68%+ )y=1,68y
2583 1, 75x+1, 68y=2583
1500 1,75 1,68 2583
x y
x y
+ =
+ =
1, 68 1, 68 2520 1, 75 1, 68 2583
x y
x y
+ =
⇔
+ =
0, 07 63 900
1500 1500
x x
x y x y
= =
⇔ ⇔
+ = + =
900 900
900 1500 600
x x
y y
= =
⇔ ⇔
+ = =
(5)4
(3,5 điểm)
0,25
a) Xét tam giác OAB có OA2 + OB2 = 2R2 = AB2 0,25
Nên tam giác AOB vuông A
Từ gt: AOB = AEB = AFB = 900 0,25
5 điểm A, B, O, E ,F thuộc đường trịn đường kính AB 0,25
b) Xét (O) có: APQ = ABQ ( góc nội tiếp chắn cung AQ) Vì tứ giác ABEF nội tiếp (cmt) nên: ABF = AEF ( chắn cung AF)
APQ = AEF => EF // PQ
Ta có AMB = ½ sđ = ½ AOB = 450 MBQ = MAP = 450
Mà MAP = MBP ( chằn cung MP)
0,75
Do đó: PBQ = 900 Vậy PA đường kính => P, O, Q thẳng hàng. 0,25
c) Diện tích hình viên phân giớ hạn dây AB cung nhỏ AB là: Svp = Squat - SAOB
Diện tích hình quạt giới hạn bán kính OA, OB cung nhỏ AB : Squạt =
Diện tích tam giác AOB SAOB = ½ OA.OB = ½ R2
Vậy Svp =
0,25 0,25 0,25
0,25
d) H trực tâm tam giác SPQ => SI vng góc với PQ +) Ta giác OQB cân O => =
CM tứ giác IQAH nội tiếp => = (góc nội tiếp chắn cung IH) Vì tứ giác QABP nội tiếp => = (góc nội tiếp chắn cung BP) Từ điều => =
Ta có + = 180 – + = 180 – + = 180 0,25
Nên tứ giác ABOI nội tiếp 0,25
H
S I
O
Q
P
F
E M
B A
∠ ∠ ∠
∠ ∠
∠ ∠
∠ ∠
∠ AB ∠
∠ ∠
(6)Vậy: I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB cốđịnh 5
(0,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
x y 3(1)
x 4y x 2xy 4y
x 2y(2)
2 3
+ =
+ + +
+ = +
Từ PT (2) suy x + 2y ≥
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
2 2 2 2
2(x +4y ) (1= +1 )[x +(2y) ] (x 2y)≥ +
2 2
x 4y (x 2y) x 2y
2 4 2
+ + +
≥ = (3)
Dấu xảy ⇔ x = 2y
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được: x2 2xy 4y2 x 2y
3 2
+ + ≥ + (4)
Thật vậy,
2 2 2
x 2xy 4y x 2y x 2xy 4y (x 2y)
3 2 3 4
+ + ≥ + ⇔ + + ≥ + (do hai vế
đều ≥ 0)
⇔ 4(x2 + 2xy + 4y2) ≥ 3(x2 + 4xy + 4y2) ⇔ (x – 2y)2 ≥ (luôn ∀x, y)
Dấu xảy ⇔ x = 2y
Từ (3) (4) suy ra: x2 4y2 x2 2xy 4y2 x 2y
2 3
+ + + + ≥ +
Dấu xảy ⇔ x = 2y