De thi DA chuyen Le Hong Phong ND 0809

Chøng minh SR lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O; R).[r]

sở GD - Đt Nam Định đề thức

kú thi tun sinh vµo trung häc phổ thông năm học 2008 -2009

mụn : toỏn - đề chuyên lê hồng phong

Bài 1: Chứng minh phơng trình bậc hai a x 2b x c  0 có hai nghiệm d-ơng x x1; 2thì phơng trình cx2bx a 0 có hai nghiệm x x3; 4 đồng thời:

1 4

x x x x  .

Bµi 2:

1 Cho a; b; c số thực đôi khác Rút gọn biểu thức sau:

           

a b c

A

a b a c b c b a c a c b

  

  

2 Cho số thực dơng x; y; z thoả mÃn: x3y3z3 3xyz0 Tính giá trị cđa biĨu thøc:      

27 2008

B x y  y x z x

Bài 3:

1 Giải hệ phơng trình:

2

2

2

1

x x y

x x x y x

   

 

     

 

2 Giải phơng trình:

4

1 34

x  x 

Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) đờng thẳng d qua O Lấy A B hai điểm thuộc d cho OA = OB < R; M điểm tuỳ ý (O; R) thoả mãn OM khơng vng góc với d đồng thời M không thuộc d Các đờng thẳng MA, Mo, MB Cắt (O; R) lần lợt Q, R, P (khác M) Đờng thẳng PQ cắt d S Chứng minh: MA2MB2 AB2

2 Chứng minh SR tiếp tuyến đờng tròn (O; R) Bài 5:

1 Cho a; b số thực dơng thoả mÃn: a + b =1 Chøng minh r»ng:

2

1

6

a b a b

2 Tìm tất số nguyên dơng x; y; z cho:

2

x y z   x y

số phơng

hÕt

sở GD - Đt Nam Định đề thức

kú thi tun sinh vµo trung häc phỉ thông năm học 2008 -2009

mụn : toỏn - đề chuyên lê hồng phong đáp án thang điểm

bi ỏp ỏn im

Bài 1(1;5đ)

Với x0> ta cã :

0

0

1

0

ax bx c a b c

x x

      

0.25

Do x x1; 2 nghiệm dơng PT: a x 2b x c  0 :

3 1 ; x x x x  

lµ nghiƯm cđa PT: cx2bx a 0

Ta cã:

1

1

1

x x x x x x

x x

      

0.25

Theo BĐT côsi:

1 2 1 2; x x x x    

(V× x x1; 2 dơng) Vậy: x1x2x3x4 4.

0.5

Bài 2(2,0đ)

.( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

a b c b c a c a b

A

a b a c b c b c b a c a c a c b a b

               0.25 = ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

a b c b c a c a b

a b a c b c

    

  

0.25

Ta cã:a(b-c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0.25

VËy A = 0.25

2.Ph©n tÝch x3y3z3 3xyz(x y z x  )( 2y2z2 xy yz zx  0.25 Do x; y; z dơng nên x + y + z >  x2y2z2 xy yz xz  0 0.25

MỈt kh¸c:

 2  2  2

2 2 1

2 2

x y z xy yz xz x y y z z x

x y z

           

  

0.25

VËy:      

27 2008

B x y  y x  z x 0.25

Bµi 3(2,0®)

1  

2

2

2

1

x x y

x x x y x

             

NÕu hÖ cã nghiÖm (x; y) tõ (1)  y2x2 3x thay vµo (2)

   2

2 1 2 4 3 2 1 2 4 3

x x x x x x

         

(3) Do 2x2 - 4x + > vµ  

2 1

x   x

0.25

2x2 4x 3 x 22 1 2x2 4x 3

       

VËy tõ (3)  

2

2 1 2 4 3 2 0 2

x x x x x

         

Với x = thay vào hệ ta đợc y = Vậy hệ có nghiệm x = y =

0.5 0.25

2 Đặt x - = t, ta đợc phơng trình    

4

1 34

t  t 

4

2t 12t 34 t 6t 16 0(*)

       

Giải phơng trình (*) ta đợc t2  2 t 

Vậy nghiệm phơng trình cho là: x1 2 2;x2  2 M

d S C D

Q II

0.25 0.25 0.25 0.25 (1) (2) H B A O

K E

P R

Không làm tính tổng quát giả sử MA > MB

1 Gọi C; D giao điểm d víi (O; R) Ta cã CMD  900 Mµ OA = OB < R  A vµ B nằm C D AMB nhỏ hơn

CMD  AMB lµ gãc nhän.

Kẻ BH vng góc với AM H nằm AvàM (Vì MA > MB) Xét tam giác vuông AHB MHB, theo định lý Pitago ta có:

2 2

AB AH HB vµ cã HB <MB; AH < MA

VậyMA2MB2 AH2HB2 MA2MB2 AB2 (đpcm) Kẻ QE // d (E MP) Gọi I trung điểm PQ vµ

K QE MR Ta cã OI PQ( Bán kính vuông góc với dây trung ®iĨm cđa d©y)

Theo GT OA = OB suy KQ = KE ( V× QE // AB)

Vì K trung điểm QE I trung điểm PQ nên IK//PE Do đó:QIK QPE  (1) (Hai góc đồng vị)

mµ QRM QPM (2) (Cïng ch¾n cung QM cđa (O) )

Tõ ( 1) vµ (2) suy QRK QIK  suy tứ giác QRIK tứ giác nội tiếp

Ta có: KQIBSQ (3) ( hai góc đồng vị )

KQI KRI (4) (Hai góc nội tiếp chắn cung KI đờng tròn ngoại tiếp tứ giác QRIK)

Tõ (3) vµ (4) suy tø giác SRIQ tứ giác nội tiếp 900

SRO SIO

    SROR suy SR lµ tiÕp tun cđa (O; R)

0.25

0.5 0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

Bài 5(1,5đ)

Ta có

1

x y x y (*)  x,y d¬ng

ThËt vËy (*)    

2

4

x y xy x y

     

(luôn đúng).Vậy (*)đúng

0.25

Ta cã 2 2

1 1 1

2

a b a b  ab ab a b áp dung (*) ta đợc:

2 2

1

4

2ab a b 2ab a b  (V× a; b > vµ a + b = )

mặt khác

2

2

1

4

2

a b ab

ab a b

    



.VËy 2

1

6

a b a b 

0.25

0.25

2 Víi x, y, z số nguyên dơng ta có

x y z  12 x y z  2 x y z 12

Mặt khác:

x y z  12 x y z  2 2x y z   1 x y z  2 2x2y

     

2

2

(x y z  1)  x y z   x y z   1 x y z   2x2y

Từ suy : 

2

x y z   x y

số phơng

x y z  2 2x2y

=  

x y z 

suy x = y

0.25

0.25

Víi x = y t ý th×:  

2

x y z   x y

=   2x z

số phơng