Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số của E.. 2..[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG 2008 – ĐỀ DỰ BỊ A1 Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số : y=x3+3 mx2+(m+1)x+1 (1) , m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = –1
2 Tìm giá trị m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh độ x = –1 qua điểm A(1 ; 2) Bài giải :
1 Học sinh tự giải
2 y '=3x2+6 mx+(m+1)
y '(−1)=3−6m+m+1=4−5m ; y(−1)=−1+3m+m+1+1=1+4m Tiếp tuyến hàm số điểm có hồnh độ –1
Δ:y=y '(−1)(x+1)+y(−1)=(4−5m)(x −1)+1+4m=(4−5m)x+9m−3 Tiếp tuyến qua điểm A(1;2) nên
2 = + 4m m = 1/4
Vậy m = 1/4 YCBT thỏa Câu II: (2 điểm)
1 Giải phương trình : tanx=cotx+4 cos22x Giải phương trình
2x −1¿2 ¿ ¿
√2x+1+√3−2x=¿ Bài giải :
1 tanx=cotx+4 cos22x ; Điều kiện : sin 2x ≠0⇔x ≠ lπ2(l∈Z) Phương trình tương đương với
cosx sinx −
sinx
cosx +4 cos
2x=0⇔2cos 2x
sin 2x +4 cos
2x=0
⇔2 cos 2x( 1
sin 2x+2 cos 2x)=0⇔2 cos 2x(1+sin 4x)=0
⇔
cos 2x=0
¿
sin 4x=−1
¿
x=π 4+k
π 2
¿
x=−π 8+k
π 2
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
Đối chiếu với điều kiện Ta có nghiệm phương trình :
x=π 4+k
π 2
¿
x=−π 8+k
π 2
¿
(k∈Z)
¿ ¿
2
2x −1¿2 ¿ ¿
√2x+1+√3−2x=¿
Điều kiện −1 2 ≤ x ≤
(2)Đặt f(x)=√2x+1+√3−2x ;
2x −1¿2 ¿ ¿ g(x)=¿
với x∈[−1 2;
3 2] f '(x)= 1
√2z+1− 1
√3−2x ; f '(x)=0⇔x= 1
2 ; f( −1
2 )=2 ; f( 3
2)=2 ; f( 1
2)=2√2 g '(x)=2x −1 ; g '(x)=0⇔x=1
2 ; g( −1
2 )=2 ; g( 3
2)=2 ; g( 1 2)=0
∀x∈[−1 2;
3
2] ta có 2≤ f(x)≤2√2 ; 0≤ g(x)≤2
Vậy phương trình có nghiệm
⇔f(x)=g(x)=2⇔ x=−1
2
¿
x=3 2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Câu III: (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1:x −3
2 =
y −3
2 =
z −3
1 ;
d2:
5x −6y −6z+13=0 x −6y+6z −7=0
¿{ Chứng minh d1 d2 cắt
2 Gọi I giao điểm d1 d2 Tìm tọa độ điểm A,B thuộc d1 ; d2 cho tam giác IAB cân I có diện tích √41
42 Bài giải :
1 Tọa độ giao điểm d1 d2 ( có nghiệm hệ phương trình _
¿
x −3
2 =
y −3
2 =
z −3 1 5x −6y −6z+13=0
x −6y+6z −7=0
⇔
¿x=1
y=1 z=2
¿{ {
¿
Vây d1 cắt d2 giao điểm I(1;1;2)
d1 qua điểm M1(3;3;3) có VTCP u→
1(2;2;1) ; d2 giao tuyến hai mặt phẳng có VTPT →n
1(5;−6;−6) ; n →
2(1;−6;6) nên có VTCP u
→ 2=[n
→ 1; n
→
2]=(−72;−36;−24) Chọn VTCP u ' →
2=(6;3;2) Cho z = từ d2 ta có
¿
x=−5 y=−2
¿{
¿
Vậy M2(–5;–2;0) thuộc d2
(3)¿u
→ 1∨.∨u
→ 2∨¿=
20
21⇒sinϕ=√1−cos
ϕ=√41 21
¿u
→ 1.u '2∨
→¿
¿
cosϕ=¿
Giả sưe IA = IA = a > diện tích tam giác IAB S=1
2 IA IB sinϕ=a 2√41
42 =
√41
42 ⇒a=1 Vậy A nằm mặt cầu (S) tâm I bán kính (S) :
z −2¿2=1 y −1¿2+¿
x −1¿2+¿ ¿
A= d1 (S) nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình
x=3+2t y=3+2t z=3+t z −2¿2=1
¿
⇔
¿ ¿
y −1¿2+¿
x −1¿2+¿ ¿
x=3+2t y=3+2t z=3+t t+1¿2=1
¿
⇒
¿
t=−2 3⇒x=
5 3; y=
5 3; z=
7 3
¿
t=−4 3⇒x=
1 3; y=
1 3; z=
5 3 ¿ ¿{{ { ¿ ¿
2t+2¿2+¿
2t+2¿2+¿ ¿
A= d1 (S) nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình
x=−5+6t y=−2+3t
z=2t z −2¿2=1
¿
⇔
¿ ¿
y −1¿2+¿
x −1¿2+¿ ¿
x=−5+6t y=−2+3t
z=2t 2t −2¿2=1
¿
⇒
¿
t=8 7⇒x=
13 7 ; y=
10 7 ; z=
16 7
¿
t=6 7⇒x=
1 7; y=
4 7; z=
12 7 ¿ ¿{ { { ¿ ¿
3t −3¿2+¿
6t −6¿2+¿ ¿
Vậy có cặp điểm A,B cần tìm A(5
3; 5 3;
7 3);B(
13 7 ;
10 7 ;
16
7 ) A( 5 3;
5 3;
7 3);B(
1 7; 4 7; 12 7 ) Hoặc A(1
3; 1 3;
5 3);B(
13 7 ;
10 7 ;
16
7 ) A( 1 3;
1 3;
5 3);B(
(4)Câu IV: (2 điểm)
1 Tính tích phân : I=∫ 1/2
xdx
√2x+2 Giải phương trình : esin(x − π
4) =tanx
Bài giải :
1. Đặt t=√32x+2⇔t3=2x+2⇔x=t
−2
2 ⇒dx= 3 2t
2 dt Khi x=1/2⇒t=√33 ; x=3⇒t=2 Ta có :
I=∫
3
√3
(t3−2 ) 2t .
3 2t
2dt =∫
3
√3
(34t 4−3
2t)dt=( 3 20 t
5−3 4t
2 )3
√3
=(24
5 −3)−( 9 20
3
√9−3 4
√9)=9 5+
3 10
3
√9
2 Hàm số có chu kỳ 2 tanx > nên ta xét nghiệm phương trình khoảng (0;π 2) (π ;3π
2 )
Phương trình cho tương đương với : sin(x −π
4)=ln(tanx)⇔
sinx −cosx
√2 =ln∨sinx∨−ln∨cosx∨⇔√2 ln∨sinx∨−sinx=√2 ln∨cosx∨−cosx Đặt f(t)=√2 ln∨t∨− t Ta có f(sinx)=f(cosx)
f '(t)=√2 t −1=
√2−t
t Với t = sinx t = cosx t (–1;1)\{0}
Với t (–1 ; 0) f(t) hàm số nghịch biến nên f(sinx) = f(cosx) sinx = cosx < x=3π
4 Với t (0 ; 1) f(t) hàm số đồng biến nên f(sinx) = f(cosx) sinx = cosx < x=π
4 Tóm lại phương trình cho có tậpnghiêm x=π
4+kπ(k∈Z)
PHẦN RIÊNG :
Câu Va :(2 điểm)
1 Cho tập hơp E ={0;1;2;3;4;5;7} Hỏi có số tự nhiên chẳn gồm chữ số khác thành lập từ chữ số E
2 Tromg mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B đường phân giác góc A có phương trình : 3x + 4y + 10 = x – y + = , điểm M(0 ; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C khoảng √2 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC
Bài giải :
Gọi số cần lập N=abcd ta xét trường hợp xảy : Trường hợp 1: d = : có cách chọn d
Ba số abc lại lập từ số cần lại , số cách chọn số chỉnh hợp chập phần tử : A6
3 cách N1 = A6
3
= 120 cách
Trường hợp 2: d : có cách chọn d a : có cách chọn
Hai số bc lại lập từ số cần lại , số cách chọn số chỉnh hợp chập phần tử : A52 cách N2 = 2.5 A52 = 200 cách
Vậy số chọn thỏa yêu cầu toán 120 + 200 = 320 số
Cho d1 : 3x + 4y +10 = ; d2 : x – y + =
Gọi đường thẳng qua điểm M vng góc với d2 , cắt d2 I cắt Ac N Δ:x+y −2=0
(5)¿
x+y −2=0 x − y+1=0
⇔
¿x=1
2 y=3
2
⇔I(1 2;
3 2)
¿{
¿
Tam giác AMN có d2 vừa đường cao , vừa phân giác nên tam giác cân I trung điểm MN N (1 ; 1) AC đường thẳng qua điểm N(1;1) vng góc với d1 nên
AC: 4(x –1) – 3(y –1) = AC: 4x – 3y –1 =
A = AC d2 Tọa độ A nghiệm hệ phương trình :
¿
4x −3y −1=0 x − y+1=0
⇔
¿x=4
y=5
⇔A(4;5)
¿{
¿
AB đường thẳng qua điểm M(0;2) nhận MA−→ =(4;3) làm vec tơ phương AB: x
4= y −2
3 ⇔3x −4y+8=0
B = AB d1 Tọa độ B nghiệm hệ phương trình
¿
3x −4y+8=0 3x+4y+10=0
⇔
¿x=−3
y=−1 4
⇔B(−3;−1 4)
¿{
¿
C cách M khoảng √2 nên C thuộc đường tròn (S) có tâm M bán kính √2 (S): y −2¿
2 =2 x2+¿
(6)4x −3y −1=0 y −2¿2=2
¿
⇔
¿ ¿y=4x −1
3
¿
4x −7
3 ¿
2 =2
¿
⇔
¿ ¿y=4x −1
3
¿
25x2−56x
+31=0
¿
⇔
¿ ¿
x=1⇒y=1 x2+¿
C(1;1) C ( 31
25 ; 33 25¿
Vì d2 phân giác góc A nên B C nằm khác phía bờ d2
⇔ (xB – yB + ).(xC – yC +1 ) < −7
4.(xC− yC+1)<0 Cả hai điểm C thỏa mãn
Vậy A(4;5); B(−3;−1
4);C(1;1) C( 31 25 ;
33 25) Câu Vb:(2 điểm)
1 Giải phương trình : log1 2(
log22x+3 x+1 )≥0
2 Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân đỉnh B, BA = BC = 2a , hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy (ABC) trung điểm E AB SE = 2a Gọi I,J trung điểm cuae EC, SC M điểm di động tia đối tia BA cho ECM❑ =α(α<900
) H hình chiếu vng góc S MC Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a ; tìm để thể tích lớn
Bài giải : log1
2(
log22x+3
x+1 )≥0⇔0<log2 2x+3
(7)
¿
⇔
log22x+3 x+1 >0 log22x+3
x+1 ≤1
⇔
¿2x+3
x+1 >1 2x+3
x+1 ≤2
⇔
¿x+2
x+1>0 1 x+1≤0
⇔
¿
¿x<−2∨x>−1
x<−1
⇔x<−2
¿{
¿
Vậy bất phương trình có tập ngiệm (– ; –2)
Ta có SE (ABC) SE CM mà SH CM nên CM (SEH) CM EH
AC=√AB2+BC2=2a√2⇔EC=a√2 EH=EC sinα=a√2 sinα
CH=EC cosα=a√2 cosα Diện tích tam giác EHC
SΔEHC=1
2EH HC=a
2 sinα cosα =a
2
2 sin 2α Ị đường trung bình tam giác CSE nên IJ // SE IJ (ABC) IJ=1
2SE=a
HI trung tuyến tam giác HEC nên diện tích tam giác HEC
SΔHEC=12SΔEHC=a 4 sin 2α Thể tích khối tứ diện EHIJ
VEHI JỊ=1
3IJ.SΔHEC= 1 3.a.
a2
4 sin 2α= 1 12 a
3
sin 2α(đvtt)
H
M J
I S
E
C
(8)