Lấy 1 điểm M trên cung nhỏ BC và gọi D,E,F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA,AB.. Gọi P là giao điểm MB với DF , Q là giao điểm MC với DE..[r]
(1)Năm học: 2015-2016 Ngày thi: 01/12/2015 MÔN THI: TOÁN Bài 1: (3đ) Cho A 1 2 3 120 121 ; B 1 35 CMR A=10 và B>A Bài 2: (5đ) a) Giải pt: x2+4x+5=2 x b) Tìm các nghiệm nguyên pt: 2x2+4x=19-3y2 Bài 3: (5đ) a) CMR ba số a,a+k,a+2k là số nguyên tố lớn thì k b) Cho a, b, c là các số thực dương cho a c, b c CMR: Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC vuông A có AB= c a c c b c ab AC, đường phân giác BD cắt đường phân giác CE I Gọi M là trung điểm BC CMR: a) CD=CM b) BIM 900 Bài 5: (4đ) Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài (O) Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,C là các tiếp điểm ) Lấy điểm M trên cung nhỏ BC và gọi D,E,F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc M trên BC, CA,AB Gọi P là giao điểm MB với DF , Q là giao điểm MC với DE CMR: a) MD2=ME.MF b) PQ//BC …… /…… HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (3đ) Ta có: n n 1 n 1 n n n 1 n 1 n n n 1 n n với n N * n 1 n =>A= 120 121 121 1 11 10 Ta có: n 2 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n 2 n n với n N * =>B > 2 2 2 35 36 2 36 2 12 10 => B>A Bài 2: (5đ) a) x2+4x+5=2 x (ĐK: x ) x 4x 2 x x x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1TMDK x x x x Vậy pt có nghiệm x=-1 b) 2x2+4x=19-3y2 2(x+1)2 +3y2 =21 (*) => 3y2 21 =>y2 , mà y Z => y2 0;1; 4 21 Z (loại) x 1 x 2 -Nếu y2=1 hay y= 1 thì (*) 2(x+1)2 =18 x 1 x 3 x 4 -Nếu y2=0 hay y=0 thì (*) 2(x+1)2 =21 x 1 2x 1 (2) -Nếu y2=4 hay y= 2 thì (*) 2(x+1)2 =9 x 1 Z (loại) Vậy pt có bốn nghiệm nguyên (x;y) là (1;2) ;(1;-4) ; (-1;2) ;(-1;-4) Bài 3: (5đ) a) CMR ba số a,a+k,a+2k là số nguyên tố lớn thì k Vì a là số nguyên tố lớn => a là số lẻ và a không chia hết cho => a=3p 1 (với p N ) Vì a là số lẻ mà a+k là số nguyên tố => k là số chẵn => thì k (1) Nếu k không chia hết cho => k=3q 1 ( với q N ) -Xét trường hợp: a= 3p+1, + Nếu k=3q+1 thì a+2k=3p+3q+3 => a+2k là hợp số (loại) +Nếu k=3q-1 thì a+k=3p+3q => a+k là hợp số (loại) Xét trường hợp: a= 3p-1, + Nếu k=3q-1 thì a+2k=3p+3q-3 => a+2k là hợp số (loại) +Nếu k=3q+1 thì a+k=3p+3q => a+k là hợp số (loại) Vậy k (2) Vì (2;3)=1 nên từ (1) và (2) suy k k b) Với a, b, c là các số thực dương cho a c, b c Theo BĐT Cô-si cho hai số không âmTa có: c a c c b c c ac c bc 1 c a c 1 c bc ab ab b a a b 2b a 2a b 1c a c c b c 1a b 2b a a a b b 2a b Vì : c a c ab c b c ab nên => c a c c b c ab Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC vuông A có AB= AC, đường phân giác BD cắt đường phân giác CE I Gọi M là trung điểm BC CMR: a)CMR: CD=CM Đặt AC= 4a>0 => AB= 2 AC=3a, theo định lý Pytago, ta có : AC= AB AC =5a Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có: CD BC 5a CD CD AD AB 3a CD AD AC 5 CD AC a BC Lại có : CM= a Suy CD=CM 2 b) CMR : BIM 900 Ta có DCI= MCI (c-g-c) => D2=M2 =>D1=M1, lại có B1=B2 => ABD IBM BIM=DAB=900 B E M I A D C Bài 5: (4đ) Cho đường tròn (O) và điểm A bên ngoài (O) Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,C là các tiếp điểm ) Lấy điểm M trên cung nhỏ BC và gọi D,E,F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc M trên BC, CA,AB Gọi P là giao điểm MB với DF , Q là giao điểm MC với DE CMR a)CMR: MD2=ME.MF BDM+ BFM=1800 => Tứ giác BDHF nội tiếp (3) CDM+ CEM=1800 => Tứ giác BDHF nội tiếp Ta có : D1= B1= C1= E1 ; D2= C2= B2= F2 suy MDF MED (g-g) MD ME => MD ME.MF MF MD B F P D M O Q b) CMR: PQ//BC D1= B1= C1 và D2= C2= B2 E => PMQ+ PDQ= PMQ+ D1+ D2 = PMQ+ C1+ B2 = 180 ( tổng góc ) C => Tứ giác MPDQ nội tiêp => Q1= D1 mà D1= C1 suy Q1= C1 Mà hai góc này vị trí so le nên PQ//BC A (4)