IVi tri tuong doi cua mot mat cau voi mot mat phang

I.Vị trí tương đối của một mặt cầu với một mặt phẳng.. Bài 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU[r]

(1)

Bài VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU

(2)

VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

I.Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng. + Cho mặt cầu S(O;R) mặt phẳng (P)

H hình chiếu O lên mp(P) Đặt d = OH

M điểm (P)

H

P) M

O 1.Trường hợp 1: d > R

Mọi M thuộc (P) ta có OM ³ OH = >d R

(3)

2.Trường hợp 2: d = R

Þ M nằm ngồi S(O;R)

Lúc ta nói mp(P) tiếp xúc S(O;R) H : tiếp điểm (S) (P)

(P) : tiếp diện (S) { } ( ) ( )S Ç P = H

Vậy :

OM ³ OH = =d R

Mọi M thuộc (P) ta có:

H

P) M

(4)

3 Trường hợp 3: d < R

Ly M ẻ ( ) ( )S ầ P

2 2 2

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) OM R M P

HM OM OH R d M P

HM r r R d M P

M C H r

ì = ïï Û íï Ỵ ïỵ ìï = - = -ï Û íï Ỵ ùợ ỡù = = -ù ớù ẻ ùợ ẻ

Vy ( ) ( )P ầ S =C H r( ; )

H

P) M

(5)

+Chú ý :

i) mp(P) tiếp xúc với S(O;R) có điều kiện sau:

· (S) , (P) có điểm chung

( , ( ))d O P R

· =

· (P) vng góc với bán kính OH mặt cầu H º O, r = R

ii) Nếu d = H

C(O;R) : đường tròn lớn (S)

( ) ( )P Ç S = C O R( ; )

(6)

Giải:

( )a

Ví dụ: Xác định thiết diện tạo mp( )a với mặt cầu S(O;R)

2

R biết khoảng cách từ O tới

Gọi H hình chiếu O xuống mp( )a Ta có: d=OH=

2

R

< R

( )a

nên mp cắt mặt cầu S(O;R) theo đường tròn C(H;r) biết

2 2 ( )2

2

R R

r = R - d = R - =

Vậy thiết diện đường trịn tâm H bán kính r

r H

)

M

(7)

II.Vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng :

Cho mặt cầu S(O;R) đường thẳng d

{ }

( ) ,

d Ç S = A B

AB : đường kính (S) + Nếu d qua O :

(C)

R

d

B A

(8)

+ Nếu d khơng qua O :

Gọi H hình chiếu O lên đường thẳng d Đặt d = OH

( , )O d Ç S O R( ; ) = C O R( ; )

mp

1.Trường hợp 1: d>R

( ) ( ) d C

d S

Ç =ặ

ị ầ =ặ

(C) R d

P) H

(9)

2.Trường hợp :d=R (C)

R d P) H O { } { } ( ) ( )

d C H d S H

ầ = ị I =

Lỳc ta nói d tiếp xúc mặt cầu H : tiếp điểm d (S)

d : tiếp tuyến (S)

3 Trường hợp 3: d<R

{ } { }

( ) , ( ) ,

d C A B d S A B

(10)

Củng cố

Vị trí tương đối (S)

và (P) Giao điểm

Hệ thức d

R (P) (S)

không cắt

d>R (P) (S)

tiếp xúc d=R

(P) cắt (S) d<R

( ) ( )P ầ S =ặ

{ } ( ) ( )P Ç S = H

(11)

Vị trí tương đối

giữa (S) (d) Giao điểm Hệ thức d R (S) , (d) không cắt

nhau d>R

(S) (d) tiếp xúc d=R

(d) cắt (S) d<R

( ) ( )d ầ S =ặ

{ } ( ) ( )d Ç S = H

{ }