tam gi¸c vu«ng ABH vµ CBA ®ång d¹ng råi suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.. HC, ta cã thÓ chøng minh hai[r]
(1)Chơng 1:
Hệ thức lợng tam giác vuông
A Trắc nghiệm nhận biết - th«ng hiĨu
Chú ý : Trong đề câu hỏi, khơng nói gì thêm, ta ngầm hiểu chọn câu đúng tất câu.
1.1 Cho tam giác vuông ABC vng A, có đờng cao AH
H·y chọn câu sai câu dới đây: (A) AB2 = BH BC (B) AC2 = CH CB
(C) AB2 = BH HC (D) AH2 = BH HC (E) AB
BH= CB BA
1.2 Cho tam giác ABC vng A, có ng cao AH
Câu sau sai?
(A) §Ĩ chøng minh hƯ thøc AB2 = BH BC, ta cã thÓ chøng minh hai
tam giác vuông ABH CBA đồng dạng suy điều phải chứng minh (B) Để chứng minh hệ thức AH2 = BH HC, ta chứng minh hai
tam giác vuông AHC BHA đồng dạng suy điều phải chứng minh (C) Để chứng minh hệ thức AH BC = AB AC, dựa vào cơng thức tính diện tích dựa vào hai tam giác đồng dạng ABC HBA để suy điều phải chứng minh
(D) §Ĩ chøng minh hÖ thøc AB2 = BH BC, ta cã thĨ chøng minh hai
tam giác vng ABH CBH đồng dạng suy điều phải chứng minh (E) Tất câu sai
1.3 Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phơng đờng cao ứng với cạnh
huyÒn b»ng:
(A) nghịch đảo tổng bình phơng hai cạnh góc vng
(B) tổng nghịch đảo bình phơng cạnh huyền cạnh góc vng (C) tổng bình phơng hai cạnh góc vng
(D) tổng nghịch đảo bình phơng cạnh góc vng (E) Tất câu sai
1.4 Trong tam giác ABC, cho biết AB = 5cm, BC = 8,5cm Vẽ đờng cao BC với D
(2)1.5 Cho tam giác ABC vng A có đờng cao AH, với BH = 1, BC = (đơn vị độ
dài) Khi đó:
(A) Độ dài cạnh AB số hữu tỉ (B) Độ dài cạnh AB số nguyên (C) Độ dài cạnh AB số vô tỉ (D) Độ dài cạnh AB (E) Tất câu sai
1.6 Cho mét tam giác vuông, có góc nhọn Câu sau sai?
(A) Tỉ số cạnh đối cạnh huyền đợc gọi cosin góc , kí hiệu cos
(B) Tỉ số cạnh kề cạnh huyền đợc gọi cosin góc , kí hiệu cos
(C) Tỉ số cạnh đối cạnh kề đợc gọi tang góc , kí hiệu tg (hay tan)
(D) Tỉ số cạnh kề cạnh đối đợc gọi cơ-tang góc , kí hiệu cotg
(E) Tỉ số cạnh đối cạnh huyền đợc gọi cosin góc , kớ hiu sin
1.7 Cho tam giác vuông C với kí hiệu thông thờng.
Cho b = 6,4, c = 7,8 Khi đó, góc A bằng:
(A) 34052’ (B) 24055’ (C) 32012’ (D) 30057’ (E) 13042 1.8 Trong tam giác vuông có góc nhọn , câu sau sai?
(A) Mi cnh gúc vng cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cơ-sin góc kề
(B) Mỗi cạnh góc vng cạnh góc vng nhân với tang góc đối hay nhân với cơ-tang góc kề
(C) sin ≤ 1, cos (D) sin2 + cos2 = 1
(E) tg = ; cotg =
1.9 Hãy biến đổi tỉ số lợng giác sau thành tỉ số lợng giác góc nhỏ
h¬n 450.
sin720, cos680, sin80030’, cotg500, tg750
Kết tơng ứng nh sau:
(A) sin180, cos220, sin9030’, cotg400, tg150
(B) cos280, sin220, cos9030’, tg400, cotg150
(C) cos180, sin220, cos9030’, tg400, cotg150
(D) sin180, sin260, cos9030’, tg400, cotg150
(3)1.10 Trong tam giác vuông, cho biết trớc hai yếu tố (trong có nhất
mét u tè cạnh) thì:
(A) Ta s tỡm c tt yếu tố cịn lại (các cạnh, góc) tam giác vng
(B) Ta tìm đợc cạnh tam giác vng đó, nhiên, khơng thể tính hết góc đợc
(C) Ta tìm đợc diện tích tam giác vng đó, nhiên, khơng thể tính hết cạnh đợc
(E) Tất câu sai
1.11 Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH
BiÕt HC = 4, BC = TÝnh HB, HA, AB (A) HB = 5, HA = √5 , AB =
(B) HB = 5, HA = √5 , AB = (C) HB = 6, HA = √5 , AB = √5 (D) HB = 5, HA = 5, AB = √5 (E) HB = 5, HA = √5 , AB = 5
1.12 Một tam giác vuông t¹i C, cã c¹nh hun c = 15, sinA = 2/5 Tìm a (cạnh
i ca A), v b (cạnh đối B)
(A) a = 5, b = (B) a = 5,5 , b = 7,8 (C) a = 6, b 13,7 (D) a = 15, b = 17 (E) a = 3, b =
1.13 Tam giác ABC vuông A, đờng cao AH, có BC = 17, CA = Tính AB,
AH, CH, BH
(A) AB = 16, AH = , CH = , BH = (B) AB = , AH = 9, CH = , BH = (C) AB = 15, AH = , CH = , BH =
(D) AB = 15, AH = 11, CH = 16, BH = 17 (E) Tất câu sai
1.14 TÝnh x vµ y hình sau đây:
(A) x = 105 , y = √113 (B) x = √105 , y = √30 (C) x = √14 , y = √113 (D) x = √14 , y = √23 (E) x = √105 , y = √110
1.15 Cho tam giác ABC vng A có đờng cao AH, với HB = 4, HC = 16 Tính
đờng cao AH
(A) (B) 5,5 (C) (D) (E) Một kết khác
1.16 Cho sin = , ta cã:
x y
(4)(A) cos = vµ tg = (B) cos = √3
4 vµ tg = (C) cos = √15
4 vµ tg = √ 15
5 (D) cos = √
2 tg = (E) Tất câu sai
1.17 Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi H hình chiếu B cạnh AC.
Tính cạnh đáy BC tam giác, biết AH = 7, HC =
(A) BC = (B) BC = (C) BC = 7,5 (D) BC = 6,5 (E) Tất câu sai
1.18 Một thang dài 6m, đợc đặt tạo với mặt đất góc 600 Vy chõn thang
cách tờng mét?
(A) (B) 3,2 (C) 7,8 (D) (E)
1.19 Cho tam giác vuông ABC (vuông A), biết gãc B b»ng 600 vµ AB = a
(ABC đợc gọi nửa tam giác đều) Khi đó: (A) AC = a √3 (B) BC = a √3 (C) AC = (D) AC = (E) AC = √2
1.20 Tính độ dài đờng cao AH kẻ từ A tam giác vng ABC, có cạnh
huyền BC = 50 tích hai đờng cao 120
(A) AH = (B) AH = 11 (C) AH = 7,5 (D) AH = 11,5 (E) Tất câu sai
1.21 Cho tam giác MNP vng P, MP = 4,5, NP = Tính tỉ số
l-ỵng gi¸c cđa gãc N
(A) sinN = ; cosN = ; tgN = ; cotgN = (B) sinN = ; cosN = ; tgN = ; cotgN = (C) sinN = ; cosN = ; tgN = ; cotgN = (D) sinN = ; cosN = ; tgN = ; cotgN = (E) sinN = ; cosN = ; tgN = ; cotgN =
1.22 Cho tam giác ABC vng A, đờng cao AH, có AB = 6, AC = Khi đó
(A) BC = 9, AH = (B) BC = 10, AH = 4,8 (C) BC = 9, AH = (D) BC = 10, AH = (E) BC = 9, AH =
1.23 Cho tam giác ABC vuông B nh h×nh vÏ.
NÕu AD = DC = th× (A) BD b»ng 3,1 (B) BD b»ng 3,2 (C) BD b»ng 3,5 (D) BD vu«ng gãc AC
(E) Các câu không
1.24 Giả sử góc nhọn x có tgx = Khi đó, sinx bằng
A B
D
C
3
(5)(A) (B) (C) (D) (E)
1.25 Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, CA = b, AB = c
Mét häc sinh tiÕn hµnh chøng minh tgB 2=
b
a+c nh sau:
(1) Từ B, kẻ phân giác BD (D trªn AC) Ta cã tg B
2= AD AB=
AD
c
(2) Theo tính chất đờng phân giác, lại có AD
DC =
c
a⇒
AD
DC+AD=
c
a+c⇒
AD
b =
c a+c
(3) Rút AD đẳng thức thay vào (1), ta đợc tgB
2=
b a+c
Chọn ý kiến ý kiến sau đây: (A) Chứng minh sai giai đoạn (2) (B) Chứng minh sai giai đoạn (3) (C) Chứng minh hồn tồn
(D) Chøng minh trªn sai giai đoạn (2) giai đoạn (3)
(E) Chứng minh sai giai đoạn (1) Nếu thêm giả thiết “tam giác ABC vng A” chứng minh trờn hon ton ỳng
1.26 Giải tam giác vuông ABC, biết cạnh huyền BC 7, góc nhọn B b»ng 360.
(A) C = 320 (B) AB = 23,4 (C) AC = 11,5
(D) C = 320, AB = 5,663 (E) Tất câu sai
1.27 Cho tam giác ABC có góc A nhọn hai đờng cao BD, CE.
Để chứng minh (hoặc bác bỏ) hai tam giác ADE ABC đồng dạng, em chọn lí luận lí luận sau đây:
(A) Hai tam giác khơng thể đồng dạng, có cặp góc khơng
(B) Hai tam giác vng AEC ADB đồng dạng có góc A chung Tuy nhiên, hai tam giác ADE ABC không đồng dạng, khơng thể có AD/AB = AE/AC
(C) Vì hai tam giác AEC ADB đồng dạng nên AD/AB = AE/AC, suy hai tam giác ADE ABC đồng dạng
(D) Dùng hai tam giác vng AEC ADB để tính cosA theo hai cách khác nhau, từ tiếp tục để suy hai tam giác ADE ABC đồng dạng (E) Tất câu sai
(6)(A) sin2 + cos2 = ;
cos2α = cotg
2 + 1
(B) sin2 cos2 = ;
cos2α = cotg
2 + 1
(C)
cos2α = tg
2 + ;
sin2α = cotg
2 +
(D) sin2 + cos2 = ;
cos α = cotg2 + (E) sin2 + cos2 = ;
sin α = cotg2 +
1.29 Cho tg = TÝnh c¸c tỉ số lợng giác lại
(A) cotg = , cos = (B) cos = , sin = √3 (C) cotg = , sin = √3
4 (D) cos = √
2 , sin = (E) sin = 3√10
10 , cos =
√10 10
1.30 Một thang dài 50 (feet), đặt dựa vào tờng xây thẳng đứng.
Khoảng cách từ đầu chạm tờng đến mặt đất 43 Tính góc thang hợp với mặt đất (góc biểu thị cho độ dốc thang) tính khoảng cách từ chân thang đến tờng?
Kết tơng ứng nh sau: (A) 59020;
√651 bé (B) 51010’ ;
√651 bé (C) 50020’ ; 15,5 bé (D) 59020’; 21 bé
(E) 49030’ ;
√651 bé
1.31 Tính đờng cao kẻ từ C tam giác ABC, biết:
BCA = 1100, CAB = 350 , BC = 4cm
(A) 3cm (B) 5,123cm (C) 3,759cm (D) 4,123cm (E) Một kết khác
1.32 Giả sử H trực tâm tam giác nhọn ABC Trên đoạn HB HC lấy hai
im M, N cho góc AMC ANB vng Khi đó: (A) AN = AM (B) AN > AM (C) AN < AM
(D) Không thể dùng kiện đề để so sánh đợc AN với AM (E) Tất câu sai
1.33 Cho tam giác vuông C với kí hiệu th«ng thêng
Cho b = 12, cosB = 1/3 TÝnh a, c
(A) a = √2 , c = √2 (B) a = √2 , c = √2
(7)1.34 Giả sử đồng hồ có kim dài 4cm kim phút dài 6cm Hỏi vào
lúc đúng, khoảng cách hai đầu kim bao nhiêu? (A) √3 cm (B)
√5 cm (C)
4
√5 cm (D)
√7 cm
(E) Tất câu sai
1.35 Cho tam giác ABC có h chiều cao kẻ từ C AB = c
Mét häc sinh lÝ luËn nh sau:
(1) Gọi H chân đờng cao kẻ từ C Ta có
AH = h.cotgA, BH = h.cotgB (2) Mµ c = AB = AH + HB nªn c = h.cotgA + h.cotgB (3) Suy h = c (tgA + tgB)
Hãy chọn câu trả lời
(A) Lí luận dẫn đến kết đúng, thờng đợc áp dụng toán
(B) Lí luận sai từ giai đoạn (3) (C) Lí luận sai từ giai đoạn (2) (D) Lí luận sai từ giai đoạn (1) (E) Tất câu sai
1.36 Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH HD, HE lần lợt l ng cao
của tam giác AHB AHC Ta cã: (A) = ; =
(B) = ; = (C) = ; = (D) = ; =
(E) Tất câu sai
1.37 Cho tam giác ABC cân A, đờng cao AH BK Ta có:
(A) = + (B) = + (C) = + (D) = + (E) = +
1.38 Tam giác ABC vuông C có sinA = Tính độ dài cạnh, biết diện tích
tam giác ABC 120 (đơn vị) (A) AC = 5, BC = √134 , AB = 13 (B) AC = 24, BC = 10, AB = 26 (C) AC = 13, BC = √134 , AB = (D) AC = 12, BC = 5, AB = 13 (E) AC = 5, BC = 12, AB = 13
1.39 Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 20cm, hai cạnh bên AD = BC =
(8)(A) ChiÒu cao b»ng 2,115cm ; CD = 10,94cm (B) ChiÒu cao b»ng 3,524cm ; CD = 8,24cm (C) ChiÒu cao b»ng 3,182cm ; CD = 6,42cm (D) ChiÒu cao b»ng 3,232cm ; CD = 7,54cm (E) ChiÒu cao b»ng 4,831cm ; CD = 9,47cm
1.40 hình sau, nhà nằm vị trí điểm C hịn đảo Một căn
nhà khác nằm điểm B Giả sử khoảng cách từ A đến D 10km ABC = CAB = 280 Tìm khoảng cách BC.
(A) BC = 12,06km (B) BC = 11,26km (C) BC = 14,06km (D) BC = 15km (E) BC = 16km
1.41 NÕu lµ gãc nhän vµ sin = √x − 1
2 x , thÕ th× tg b»ng:
(A) x (B) (C) √x2− 1 x (D) x2
1 (E) Một kết khác
1.42 Cho tam giác vuông ABC, gọi D, E hai điểm cạnh huyền BC cho
BD = DE = EC Biết độ dài đoạn AD = sinx, AE = cosx với < x < Tính độ dài cạnh huyền BC
(A) (B) (C) 3√5
5 (D) 2√5
3 (E) Không th tớnh c, vỡ thiu gi thit
C Đáp án hớng dẫn Bài tập trắc nghiệm ch ơng 1 1.1 Chän (C)
1.2 Chän (D) 1.3 Chän (D)
1.4 Chọn (E) AC = 10,5 Dùng định lí Pi-ta-go để tính AD DC
B
C D
A
(9)1.5 Chän (C) Vì AB2 = BH.BC = 2, nên AB =
2 , số vô tỉ
1.6 Chän (A)
1.7 Chän (A) cos A = b/c = (6,4) / (7,8) = 0,82
Suy gãc A = 34052’ 1.8 Chän (C)
1.9 Chän (C) Dïng tÝnh chÊt: hai gãc phơ th× sin gãc nµy b»ng cos gãc kia;
tang gãc nµy b»ng cotang gãc
1.10 Chän (A) 1.11 Chän (E)
1.12 Chän (C) a = c.sinA = 15 (2/5) = 6.b2 = c2 – a2 = 189, suy b 13,7 1.13 Chän (C) AB = 15, AH = , CH = , BH =
1.14 Chän (B) x = √21(21+24) , y = √24(21+24 )
1.15 Chän (E) AH = √4 16 =
1.16 Chän (C) cos2 = – sin2 = cos = √15
4 tg = =
√15=
√15 15
1.17 Chän (B) AB = AC = 9; BH2 = 32; BC = 6
1.18 Chän (A) Gi¶ sư chân thang cách tờng x mét, ta có
cos600 = VËy x = = 3m
1.19 Chän (A) DÔ thÊy gãc C = 300; a = AB = BC cosB = BC, suy BC = 2a.
Theo định lí Pi-ta-go, ta tính đợc AC = a √3
1.20 Chän (E) AH = 12/5 1.21 Chän (D) Ta cã
MN = √4,52
+62=√20 , 25+36=√56 , 25=7,5 sin N = = = ; cosN = √1− sin2N =
√1 − 25=
4
tgN = = ; cotgN =
1.22 Chän (B) BC = √62
+82=10 , AH = = 4,8
1.23 Chọn (E) BD trung tuyến ứng cạnh huyền nên nửa cạnh huyền, suy
ra BD = Tuy nhiên, cha BD AC, hình vẽ, nh BDAC
1.24 Chọn (B) Ta cã cosx = 2sinx vµ
sin2x + cos2x = 5sin2x = sinx = √5
1.25 Chän (E)
1.26 Chän (E) Ta cã C = 900 – 360 = 540 Theo hệ thức cạnh góc
(10)AB = BC sinC = 7.sin540 5,663
AC = BC sinB = 7.sin360 4,115
1.27 Chọn (D) cosA = ; cosA = = , suy hai tam giác ADE ABC đồng
d¹ng
1.28 Chän (C) = = tg2 + 1
= = cotg2 + 1
1.29 Chọn (E) cotg = Sử dụng = + cotg2 để có
sin = 3√10
10 , suy cos =
√10 10
1.30 Chọn (A) Đáp số: sinA = 0,86, A = 59020’
√651 bé
1.31 Chọn (C) Trớc tiên, ta có ABC = 350 Kẻ đờng cao BH (H nm ngoi on
AC) Đặt BH = h Ta cã
b = AC = BC v× ABC tam giác cân BCH = 700
h = BC.sin700 h = 3,759
1.32 Chọn (A) Vì tam giác ANB vng N với đờng cao NF nên
AN2 = AF.AB
(1)
Do tam giác AMC vuông M với đợc ME nên AM2 = AE.AC
(2)
Các tam giác AEB AFC đồng dạng (hai tam giác vng có góc nhọn chung) cho ta = AE.AC = AF.AB
(3)
Tõ (1), (2) vµ (3) ta suy AM = AN
1.33 Chän (B) tg2B = = 8, 8a2 = 144, a2 = 18, a = 3
√2 , c = 3a = √2
1.34 Chọn (D) Vào lúc gi ỳng,
góc hai đầu kim 600 KÝ
hiệu kim OB, kim phút OA, hạ AH OB Nh thế, OAH nửa tam giác ta có
OH = 3cm, AH = √3 cm, BH = 1cm VËy suy ra: AB =
√27+1=2√7 cm
B C
A F
E
M
N H
A H
B
(11)1.35 Chän (B) h = =
1.36 Chän (C) Trong tam giác vuông ABC ta có:
AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC
Suy = = Do ú: =
Tam giác vuông ABH cho: HB2 =
BD.BA
Tam giác vuông ACH cho: HC2 =
CE.CA
Do đó: = Vậy =
1.37 Chän (C) KỴ BM // AH, M n»m trªn
AC kéo dài BK đờng cao tam giác vuông BCM BM = 2AH nên: = + = +
1.38 Chọn (B) Đặt x = BC, y = AC th× xy = 120, hay xy = 240, suy x = Tõ
đó, tgA = = Mặt khác, sinA = nên cosA = √1−25 169=√
144 169=
12
13 , tgA = = Vậy ta đợc = , suy y2 = = 576, suy y = √576 = 24 (vì y >
0)
Từ đó, AC = 24, BC = 10, AB = 26
1.39 Chän (A) KỴ CH, DK vu«ng gãc AB
CH = DK = 5sin250
AK = HB = 5cos250
Tra bảng, ta đợc sin250 = 0,423; cos250 = 0,906 Từ đó, CH = 2,115cm, AK
= 4,53cm
Đáy nhỏ CD = AB – 2AK = 20 – 9,06 = 10,94cm
Vậy chiều cao hình thang 2,115cm đáy nhỏ CD 10,94cm
1.40 Chän (A) BC = 12,06km Để ý, tam giác BCA cân C với BCA = 1240.
Từ ACD = 560 Từ đó, BD = 10cotg280, CD = 10cotg560, suy BC. 1.41 Chọn (D) Sử dụng công thức nhân 2
cos = – 2sin2
(α2) = – = Suy ra: tg = √
cos2α − 1=√x
−1
1.42 Chän (C) Tõ D, E vẽ lần lợt đoạn DF, EG vuông gãc víi AC, cho ta: CF
= FG = GA = b DF = 2EG = 2a áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác CDF CEG, ta đợc:
4a2 + b2 = sin2x
A M
(12)a2 + 4b2 = cos2x
Cộng hai phơng trình ta suy ra: 5(a2 + b)2 = Do đó: