Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1(đơn vị diện tích)b. Câu 3.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
Mơn thi: Tốn 9
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:
Rút gọn biểu thức sau:
a A = 6 2 2 6 2 .
b. B =
2008 2014 2008 4016 2009 2005.2007.2010.2011
Câu 2:
Cho hàm số: y mx – 3x + m + 1
a Xác định điểm cố định đồ thị hàm số?
b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích 1(đơn vị diện tích).
Câu 3
a Chứng minh bất đẳng thức: a2b2 c2d2 (a c )2(b d )2 . Áp dụng giải phương trình: x22x 5 x2 6x10 = 5
b Cho Q =
16
x x
Tìm giá trị nhỏ Q
Câu 4.
Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm M, tia đối tia BA lấy điểm N cho BN = BM Chứng minh: đường thẳng AM, CN đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD đồng quy điểm.
Câu 5
Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c· (a, c hai độ dài cho trước) Hình
chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC được gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn đó.
(2)A
m+1 m-3
B
m+1
O
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm 120 phút)
Câu Ý Nội dung Điểm Ghi
chú
1 a A
2
3 2 ( 6) ( 2) 2 (3 2)
A = (3 2)(3 2) (2 2) 1
0.5 0.5
2.0 b
B =
2008 2014 2008 4016 2009 2005.2007.2010.2011
Đặt x = 2008,
B =
2
x x x 2x x x x x x
=
x x x x x x x x x
= x + = 2009
0.25 0.25 0.5
2 a
y = (m – 3)x + (m + 1)
Giả sử M(x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số, ta có:
y0 = mx0 – 3x0 + m+ thỏa mãn với giá trị m
0 0
( 1) (1 ) 0,
m x x y m
0
0 0
1
1
x x
x y y
Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4)
0.25 0.25
1.5
b
Ta có: Đồ thị đường thẳng cắt hai trục tọa độ m – 0 m3
SABO =
1
1
2
m m
m
2
(m 1) 2m
Nếu m> m2 +2m +1 = 2m -6 m2 = -7 ( loại)
Nếu m < m2 +2m +1 = – 2m m2 + 4m – =0 (m – 1)(m + +5) = m = 1; m = -5
0.5
0.5
3 a Hai vế BĐT khơng âm nên bình phương hai vế ta có:
a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2b2)(c2d2) a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 (a2 b2)(c2d2) ac + bd (1)
Nếu ac + bd < BĐT c/m
Nếu ac + bd 0 (1) ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 +2acbd
a2d2 + b2c2 – 2abcd (ad – bc)2 ( đúng)
Dấu “=” xẩy ad = bc
a c
b d
Áp dụng: xét vế trái VT = (x1)222 (3 x)212 (x 1 x)2(2 1)
16
VT VT
0.5
0.5
0.25
(3)Mà VP = 5, dấu xẩy
1
1
2
x x
x x x
0.25
b.
Điều kiện: x 0
Q =
( 9) 25 25
3
3
x
x
x x
25
2 ( 3) 10
3
x Q
x
Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy
25
3
3
x x
x
(TM điều kiện)
0.75 0.25
1.0
4
Hình vẽ xác
Gọi H giao AM CN
Xét AMBvà CNB hai tam giác vng có:
AB = CB (Cạnh hình vng) BM = BN (gt)
AMB= CNB (c-g-c)
(1)
BAM BCN
Xét AMBvà CMH có:
AMB CMH (đối đỉnh), kết hợp với (1)
CHM ABM 900hay ACH 900
H thuộc đường trịn có đường kính AC
(tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD)
Vậy AM, CN đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy H
0.2
0.5
0.5 0.3
1.5
5
Hình vẽ Đặt AM = x (0 < x < c)
Ta có:
MN AM ax
= MN =
BC AB c
0 c - x
MQ = BM.sin60 =
2 . Suy diện tích MNPQ là:
ax c - x a
S = = x c - x
2c 2c
+ Ta có bất đẳng thức:
2
a + b a + b
ab ab (a > 0, b > 0)
2
Áp dụng, ta có:
2
x + c - x c
x(c - x) =
2
Dấu đẳng thức xảy khi:
c x = c - x x =
2
Suy ra:
2
a c ac
S =
2c
Vậy: max
ac S =
8 c x =
2 hay M trung điểm cạnh AB
0.2 0.2 0.3
0.3 0.25 0.5 0.25 0.5
2.5
H
N C
D
A B
M
A
B C
M N
P Q
0