Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường

Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia khi dạy và học về phần tĩnh điện, có các bài toán đặc trưng về chuyển động liên kết của hệ các hạt mang điện. Các bài toán về chuyển động liên kết của các hạt mang điện chứa rất nhiều nội dung : vừa rèn luyện kiến thức về lực tĩnh điện, thế năng tĩnh điện; kết hợp với các kiến thức cơ học bảo toàn động lượng, bảo toàn năng lượng, khối tâm, rèn luyện phương pháp tính gần đúng để giải những bài toán dao động của điện tích, hệ điện tích, lưỡng cực. Đồng thời đó cũng là những kiến thức cơ bản trong nội dung thi chọn HSG quốc gia và chọn HSG vào đội tuyển Olimpic Vật lí Quốc tế. Với những lí do đó, tôi chọn chuyên đề “CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN” để giảng dạy khi học sinh bắt đầu bước vào chương trình tĩnh điện lớp 11 và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia.

Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường MỞ ĐẦU Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên trình bồi dưỡng HSG quốc gia dạy học phần tĩnh điện, có toán đặc trưng chuyển động liên kết hệ hạt mang điện Các toán chuyển động liên kết hạt mang điện chứa rất nhiều nội dung : vừa rèn luyện kiến thức lực tĩnh điện, thế tĩnh điện; kết hợp với kiến thức học bảo toàn động lượng, bảo toàn lượng, khối tâm, rèn luyện phương pháp tính gần đúng để giải những toán dao động điện tích, hệ điện tích, lưỡng cực Đồng thời những kiến thức bản nội dung thi chọn HSG quốc gia chọn HSG vào đội tuyển Olimpic Vật lí Quốc tế Với những lí đó, tơi chọn chun đề “CHỦN ĐỢNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN” để giảng dạy học sinh bắt đầu bước vào chương trình tĩnh điện lớp 11 trình bồi dưỡng HSG quốc gia Nội dung đề tài gồm : Phần I Tóm tắt lí thuyết Lí thuyết phần tĩnh điện Một số cơng thức khai triển tốn học Phương pháp giải phương trình vi phân Các phép tốn tích véc tơ Phần II Hệ thống dạng tập chuyển động hạt mang điện trường tĩnh điện Bài tập hệ hai điện tích điểm Bài tập hệ nhiều điện tích điểm Bài tập chuyển động hệ điện tích điện trường gây vật tích điện có kích thước Các tập sử dụng phương pháp ảnh điện Chuyển động vật tích điện có kích thước Dao động điện tích, hệ điện tích Dao động lưỡng cực điện Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường PHẦN I TĨM TẮT LÍ THÚT A LÍ THÚT PHẦN TĨNH ĐIỆN I Nguyên lí chồng chất điện trường Cường độ điện trường nhiều điện tích điểm Q1, Q2 gây điểm A tổng r r E1 E2 vectơ cường độ điện trường , từng điện tích riêng biệt Q1, Q2 gây A : r r r r E  E1  E2   �Ei i ur u r ur E F E Chú ý : Lực tác dụng lên điện tích q đặt điện trường = q II Cường độ điện trường vật mang điện ur E � r dq r 40 r2 r to� n b�v� t * Định lí Ô-xtrô-grát-xki- Gao-xơ cho môi trường điện môi  � E.Scos   �qi to� n b� m� t k� n i III Thế điện tích điểm điện trường qQ C   r Thế q điện trường gây điện tích điểm Q : W = Điện thế điện trường gây hệ điện tích điểm Q 1, Q2 điểm A điện trường : Q1 Q2 V = 40r1 + 40r2 + Trong r1, r2, khoảng cách từ điểm A đến Q1, Q2 + Những điểm điện trường có điện thế nằm mặt đẳng thế Phương trình mặt đẳng thế : V(r) = V(x, y, z) = C Mặt đẳng có tính chất sau : - Cơng lực điện trường dịch chuyển điện tích q mặt đẳng thế không Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường ur - Tại điểm điện trường, vectơ cường độ điện trường E vng góc với mặt đẳng ur r ur thế qua điểm (Vì A =  E  l =  E  mặt đẳng thế) + Chọn trục s trục Ox chẳng hạn ta có : Ex =  V x Hệ gồm n điện tích q1, q2 qn, thế (điện) hệ : q1q2 qi qk      r   r 12 ik W= hay : 1 n  q1V1  q2V2   qnVn   �qi Vi 2 i 1 W= : q1 q2     r   r 1i 2i Vi = điện thế điểm đặt điện tích qi điện tích khác hệ tạo Trong trường hợp vật tích điện, ta chia vật thành phần tử nhỏ mang điện tích q (xem điện tích điểm) tính thế vật theo công thức: W �V.q Với V điện thế điểm đặt q điện tích lại vật tạo - Nếu vật tích điện vật dẫn, điểm vật có điện thế V (V điện thế vật dẫn) thế (năng lượng tĩnh điện) vật : 1 V �q  qV W= Đối với hệ gồm n vật dẫn tích điện trạng thái cân tĩnh điện, điện tích điện thế chúng q1, q2 qn V1, V2 Vn, thế hệ :  q1V1  q2V2   qnVn  W= IV Lưỡng cực điện u r r r Pe  ql l vectơ hướng từ - q đến +q có độ dài khoảng cách l từ –q đến +q Lực tác dụng lên lưỡng cực điện đặt điện trường M = -peEsinα Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường u r Lực tổng hợp F tác dụng lên lưỡng cực có độ lớn : r r E E F1  F2  F1  F2  ql  pe x x hướng phía điện trường mạnh F= r ur Thế lưỡng cực điện điện trường : Wt = -peEcos =  pe E B MỘT SỐ CÁCH KHAI TRIỂN TRONG TOÁN HỌC Định nghĩa đạo hàm chuỗi mũ Định nghĩa: x2 xn e =1+x+ + + + 2! n! x (1) x phải khơng có thứ nguyên.; e x = + αx +  αx  2! + +  αx  n + n!  phải có thứ nguyên x-1 Từ suy rằng: � � αx  αx  d x 2α2 3α3   e =α+ x+ x = α � + αx + + + �= αe x dx 2! 3! 2! 3! � � � �   d x e = α 2e x Và tiếp theo : dx   Bằng cách lấy loga dàng suy exey = ex+y : loge(exey) = logeex + logeey = x + y Khai triển hàm lượng giác, công thức Ơle (Euler) x3 x5 x7 x2 x4 x6 sinx = x + ; cosx = + + 3! 5! 7! 2! 4! 6! Ta viết chuỗi mũ ix chú ý i = -1, i = - 1, i = - i,  i x  ix   ix  x ix x4 e = + ix + + + + = + ix + + 2! 3! 4! 2! 3! 4! � x3 � ix x2 x4 x5 =1+ - + i �x + - � ; e = cosx + isinx 2! 4! 3! 5! � � ix Đó cơng thức Euler Biểu diễn sinx cosx theo hàm mũ phức Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường Từ công thức Euler suy rằng: e-ix = cosx – isinx cosx = 4.Khai triển Ln:    ix ix -ix e + e-ix ; sinx = e -e 2i ln(1  x) �x  (10)  x x2 x3 x4     ( 1) n 1 n n (  1)x (  1) (  n  1)x n (1  x) �1  x     2! n! Khai triển (1  x) :  C PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG TOÁN HỌC Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số số y” + py’ + qy = f(x) (1) y hàm x, y’ y” đạo hàm cấp cấp hai y theo x; p q hai số thực Phương trình phương trình có vế phải Phương trình: y” + py’ + qy = (2) phương trình khơng có vế phải phương trình nhất tương ứng với (2.1) Phương trình đặc trưng (1) (2) r2 + pr + q = (3) phương trình đại số bậc hai, có hai nghiệm thực phân biệt r r2 nếu biệt thức  = p2 – rq > Khi  = p2 – 4q = r1 = r2 nghiệm kép Khi  < khơng có nghiệm thực, nếu xét nghiệm ảo r=- pΔ p α=- ,β= -Δ ± = α ± iβ 2 2 với Nghiệm phương trình (2.2)  > Định lí: Nếu y1 y2 hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính (2) thì: y = C1y1 +C2y2 nghiệm tổng quát (2) C1 C2 hai số tuỳ ý Tìm nghiệm riêng: Nếu  > phương trình đặc trưng (3) có nghiệm thức riêng biệt r1 r2 r1x r2 x Có thể thử lại rằng: y1 = e y = e Là nghiệm riêng độc lập tuyến tính phương trình nhất (2) y' = r1e r1x , y" = r12e r1x Thật vậy: Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường Thay vào (2) ta có:   r12er1x + pr1er1x + qer1x = 0; hay e r1x r12 + pr1 + q = Vì r1 nghiệm phương trình đặc trưng (3) nên lượng dấu ngoặc ( ) khơng: Phương trình (2) nghiệm đúng r1x r2x Nghiệm tổng quát (2) là: y = C1e + C 2e (4) Trong C1 C2 hai số bất kì, r1 r2 thực Nghiệm phương trình (2.2)  < Tìm nghiệm riêng Khi  < phương trình đặc trưng : r + pr + q = Có hai nghiệm phức: r1 = - (3) pΔ p Δ + = α + iβ; r2 = - = α - iβ 2 2 Có thể thử lại rằng: y1 = e  i  x = ex  cosβx + isinβx  ; y = e   i  x = ex  cosβx - isinβx  Là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính phương trình vi phân (2) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (2) có dạng: y = C1y1 + C2y2 cịn viết dạng khác Thật vậy: y = y1 + y = eαx � C1 (cosβx + isinβx) + C2  cosβx - isinβx  � = � � = eαx �  C1 + C2  cosβx + i  C1 - C2  sinβx � � � Đặt D1 = C1 + C2 D2 = i(C1 – C2) ta có: y = eαx  D1cosβx + D2sinβx  (5) Trong D1 D2 hai số bất kì,   hai số thực Trường hợp riêng : phương trình y” +  2y = Phương trình đặc trưng r2 + 2 = có hai nghiệm ảo r1 = i, r2 = -i( = 0,  = ) Theo cơng thức (5) nghiệm tổng quát có dạng: y = D1cosx + D2sinx (6) với D1 D2 hai số bất kì,  thực Khi giải phương trình vi phân y” + 2y = chọn hai nghiệm riêng y = cosx, y2 = sinx; chọn thế ta đến biểu thức (6) nghiệm tổng quát Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường Việc chọn y1 = cosx nghiệm riêng thử lại cách dễ dàng Thật vật y’ = -sinx, y”1 = -2sinx Thay y”1 y1 vào phương trình y” + 2y = ta thấy phương trình nghiệm đúng Nghiệm phương trình (2)  = r1  r2   p Khi phương trình đặc trưng r2 + pr + q = có nghiệm kép : r1x Hàm y1  e nghiệm riêng phương trình vi phân nhất (2) Trong trường hợp  = p2 – 4q = ta thử lại nghiệm riếng thứ hai phương trình vi r1x phân nhất (2) là: y  xe r1x r1x " r1x r1x ' Thực vậy: y = e + r1xe ; y = r1 xe + 2r1e Thay vào phương trình (2) y” + py’ + qy = ta thấy vế đầu có dạng:  r xer x + 2r er x  + p  er x + r xer x  + qxer x = xer x  r + pr + q  + er x  2r +p  1 1 1 1 1 1 Vì r1 nghiệm phương trình đặc trưng nên: r1 + pr1 + q = Vì nghiệm r1 = - p nên: 2r1 + p = Từ ta thấy vế đầu viết không, nghĩa phương trình (2) nghiệm r1x đúng y  c.e chính nghiệm riêng độc lập tuyến tính với y1 Nghiệm tổng quát (2) là: y = C1y1 + C2y2 = (C1 + C2x) e r1x (7) Trong C1 C2 hai số bất kỳ, r nghiệm kép thực phương trình đặc trưng Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có vế phải: y” + py’ + qy = f(x) (8) Phương trình khơng vế phải (thuần nhất ) tương ứng là: y” + py’ + qy = (9) Trong lí thuyết phương trình vi phân, người ta chứng minh rằng: Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường Nghiệm tổng quát phương trình vi phân tún tính có vế phải (8) tổng nghiệm tổng qt phương trình khơng vế phải tương ứng (9) nghiệm riêng bất kì (8) y = y1(x) + y2(x) Nghiệm tổng quát y1(x) (9) tìm mục Một nghiệm riêng y 2(x) (8) tìm trường hợp vế phải có dạng đặc biệt ur C TÍCH VÉC TƠ TRONG TOÁN HỌC Một véc tơ A xác định hai cách sau đây: - Bằng độ dài A hướng (xác định góc  hợp với trục Oz góc  mà mặt phẳng ur chứa A Oz hợp với trục Ox)  cịn gọi góc phương vị  gọi góc kinh độ, xem hình P.3 - Bằng toạ độ Ax, Ay, Az tức ba hình chiếu lên trục Ox, Oy, Oz r r uu r i, j, k Nếu gọi vec tơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz ta có: ur r r r A = Ax i + A y j + Az k ur ur ur ur Tích vô hướng hai véc tơ A B : A.B = ABcosα ur ur  góc giữa hai vec tơ A B Nếu viết biểu thức tích vơ hướng theo hình chiếu thì: ur ur A.B  A x Bx  A y By  A z Bz ur ur ur ur A.B  A B cos  ur ur ; =( A , B ) r ur ur ur ur A � B  ABsin  n A B Tích véc tơ (hoặc tích hữu hướng) hai véc tơ : r ur ur n véctơ đơn vị trục vuông góc với mặt phẳng chứa A B trục hướng theo chiều ur ur A B chuyển động tịnh tiến đinh vít thuận quay theo chiều từ tới Nếu viết biểu thức tích vô hướng theo hình chiếu thì: Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường r r i j ur ur A �B  A x A y Bx By r k Az r r r   A y Bz  A z B y  i   A z B x  A x Bz  j   A x B y  A y B x  k Bz ur ur ur ur u ru r u r u r u r u r u r d dA dB d dB dA ur (AB)  B A (A �B)  A �  �B dt dt dt dt + Đạo hàm: dt ; dt ur �r �ur �r � i  J  k ur � x � y � z Toán tử nabna � định nghĩa sau: Toán tử nabla tác dụng lên hàm vô hướng f(x, y, z) gọi gradf ur � fr � fr � fr gradf (x, y,z)  �.f  i  j k � x � y � z (véc tơ) PHẦN II HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MANG ĐIỆN TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN I BÀI TẬP HỆ HAI ĐIỆN TÍCH ĐIỂM Bài tập Hai quả cầu kim loại, bán kính r nối với sợi dây thép mảnh, dài Các quả cầu đặt cách điện tích điểm Q đoạn R hình vẽ (Với ) Hỏi điện tích Q tác dụng lên hệ hai quả cầu lực bao nhiêu? Điện tích toàn phần hệ quả cầu Giải Điện trường Q gây điện tích phân cực quả cầu Quả có điện tích q, quả có điện tích Vì Hai quả cầu đẳng thế: ↔ Tương tự : Vậy lực Q tác dụng lên hệ lực hút có độ lớn Bài tập Hai quả cầu có khối lượng m, điện tích q nối với sợi dây dài l Hệ số ma sát giữa quả cầu sàn Đốt cháy dây nối giữa hai quả cầu Tính vận tốc cực đại quả cầu phụ thuộc vào điện tích q Giải Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang m, q m, q9 x Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường - Xét điện tích cách khoảng x + ĐL BT NL : � + v đạt max � Bài tập Hai quả cầu nhỏ có điện tích khối lượng q 1, m1 ,q2, m2 Ban đầu chúng có vận tốc giống độ lớn hướng Chúng bắt đầu chuyển động vào điện trường đều, sau khoảng thời gian người ta thấy hướng chuyển động quả cầu quay góc 600 độ lớn vận tốc giảm hai lần, hướng chuyển động quả cầu quay 900 1) Vận tốc quả cầu thay đổi thế nào? q q K2 = K1 = m2 m1 2) Xác định tỷ số theo 1) Gọi uur V0` Giải vận tốc ban đầu quả cầu Theo đề uur uuu r uu r V1 V1, V2  =600  vận tốc quả cầu uu r V2 uuu r uuur V2, V2 =900 vận tốc quả cầu  Với V1   V0 - Xét quả cầu 1: q Ex a1x = = m1 + Gia tốc theo phương Ox là: - V0 cos600 +V0 t V0 sin600 q1.Ey a1y = = m1 t + Gia tốc theo phương Oy là: - Xét quả cầu 2: q Ex - (- V0) a2x = = m2 t + Gia tốc theo phương Ox là: (3) Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 10 (1) (2) Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường - Lực hướng vị trí cân O, phương trình chuyển động điện tích Q (xét theo & Fr  ma � mr& phương trình OM) : q2 20a3 r0 Đó phương trình vi phân dao động điều hoà, với m khối lượng vật mang điện  tích Q Tần số góc dao động : q2 20a3 m Chu kì dao động nhỏ điện tích Q mặt phẳng xOy : WtM  qV0  d) Nếu Q = - q T 2 20ma3 q q2r2 40a3 Fr   lực tác dụng lên điện tích Q : dWtM q2  r0 dr 20a3 Điểm O vị trí cân không bền mặt phẳng xOy WN   - Xét điểm N trục Oz thế Q N : q2 0 a2  z2 Suy O vị trí cân bền Q theo trục z Bằng cách lập luận câu c (tính Fz   dWtN dz , áp dụng định luật II Niutơn chú ý z  a ) ta thấy điện tích Q dao động điều hoà quanh vị trí cân O với chu kì : T 2 0ma3 q Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 47 Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường Bài tập Bốn hạt nhỏ A, B, C, D có khối lượng m mang điện tích dương, B nối với bốn sợi dây mảnh có chiều L dài L khơng khí Các dây không giãn, khối lượng dây không đáng kể Từng cặp hai hạt A C, B D A có điện tích Biết điện tích hạt A, C C q Khi hệ cân bằng, bốn điện tích bốn đỉnh D hình thoi ABCD có góc đỉnh A, C 2 (hình vẽ) Bỏ qua tác dụng lực hấp dẫn lực cản môi trường a) Tính điện tích Q hạt B, D b) Kéo hai hạt A, C hai phía ngược theo phương AC cho hạt lệch khỏi vị trí cân ban đầu đoạn nhỏ buông cho dao động Tìm chu kì dao động c) Giả thiết điện tích nằm yên vị trí cân dây đồng thời bị đốt đứt tức thời Tìm tỉ số gia tốc hạt A so với gia tốc hạt B sau đốt dây Giải a) Khi cân bằng, lực căng dây F : y B Q (1) (2) L q Q =q tg3a b) Khi điện tích A, C hai đầu đường chéo có O A D q C x Q ' ' độ dời x1 - x1 có vận tốc v1  x1 ; v2  x2 Vì dây khơng giãn góc  thay đổi rất ít nên : v cos    v sin  v2 = - v1 cotg - Bảo toàn lượng: Biến đổi : Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 48 Chuyển động liên kết hạt mang điện điện trường x  L2  (L cos   x )  Lsin  x2 (1  cot g 2) x � x cot g  2Lsin  Do đó: Với: Dao động có ; c) Khi đứt dây đồng thời hạt xa vô cùng, từng đôi có vận tốc v' v'2 Gia tốc sau đứt dây kq 2kqQ kQ2 2kqQ a = + cos a a = + sin a m4L2 cos2 a mL2 m4L2 sin a mL2 ; kQ2cosα 2kqQ kq tg3αcosα 2kqQ a cosα = + sinαcosα = + sinαcosα 2 2 2 m4L sinα mL m4L sin α mL kq sin a 2kqQ = + sin a cos a 2 m4L cos a mL2 = a1sin  a1 =cotg a2 Bài tập Một lò xo nhẹ, cách điện, đầu gắn chặt vào giá cố định, đầu lại treo quả cầu kim loại nhỏ khối lượng m, tích điện q Hệ đặt không khí cân quả cách thành phẳng kim loại nối đất khoảng a (hình vẽ) 1) Từ vị trí cân người ta kéo quả cầu xuống dưới, cách VTCB đoạn x0 (x0