Quy ®ång mÉu nhiÒu ph©n thøc1. Céng trõ c¸c ph©n thøc..[r]
(1)các phép tính phân thức đại s A Lý thuyt
I. Định nghĩa
Phân thức đại số biểu thức có dạng A
B , A, B đa thức , B đa
thøc kh¸c A lµ tư thøc, B lµ mÉu thøc
VÝ dơ:
II Hai ph©n thøc b»ng nhau
Cho hai phân thức A
B C
D Khi : A B =
C
D nÕu AD = BC VÝ dô: a x −1
x3−1=
x2+x+1 v× (x – 1) ( x
2 + x+ 1) = x3 – 1 b x+1
x3+1=
1
x2− x+1 v× (x +1) ( x
2 - x+ 1) = x3 + 1
III TÝnh chÊt c¬ phân thức
1 A
B= A.M
B.M ( A, B, M đa thøc vµ M ≠ )
VÝ dơ: xy
3z =
2 xy 3x2y3
3z.3x2y3 A
B= A:N
B:N ( A, B đa thức N nhân tử chung A B)
VÝ dô:
3 Quy tắc đổi dấu − A
− B= A
B −
− A B =
A
B −
A − B=
A B
VÝ dô: a)
2− x= −1 x −2=−
1
x −2 b) x −2=−
2 2− x=
−2 2− x=−
−2 x −2 IV Rót gän biĨu thøc
C¸c bíc rót gän biĨu thức
Bớc 1: Phân tích tử mẫu thức phân thức thành nhân tử Bớc 2: Chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung
Ví dụ: Rút gọn phân thức sau: A = 2x+6
(x+3)(x −2) B =
x2−9
x2−6x+9 C =
9x2−16
3x2−4x
D = x
+4x+4
2x+4 E =
2x − x2
x2−4 F =
3x2+6x+12
x3−8
V Quy đồng mẫu nhiều phân thức
1 T×m mÉu chung cđa nhiỊu ph©n thøc
Muốn tìm mẫu thức chung phân thức cho ta phải : - Phân tích mẫu thức thành nhân tử
- LÊy tÝch cđa BCNN cđa c¸c hƯ sè víi c¸c luỹ thừa có mặt mẫu thức , số mũ luỹ thừa số mũ cao cđa nã c¸c mÉu thøc
2. Cách quy ng mu thc:
B1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử tìm mẫu thức chung B2: Tìm nhân tử phụ mẫu thức
B3: Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tơng ứng
Vớ d: Quy ng mẫu thức phân thức sau: a x
x −2y , x
x+2y ,
4 xy
4y2− x2 c
2x+6 ,
x −6 2x2+6x
b x+1
2x+6 ,
2x+3
x2
+3x d
1 3x −2 ,
1 3x+2,
3x −6 49x2
(2)1 Phép cộng phân thức
a Cộng phân thức mẫu
VÝ dô: a) 3x −5
9 + 6x+5
9 b)
5 xy−7 y 11x2y3 +
6 xy+7y
11x2y3 c) x −5
x −9+
6x+16
x −9 + 3x −8
x −9 d) x −5 x −8+
6x+16
8− x + 3x −8
x −9 b Céng phân thức khác mẫu
a) x4
+2+
3 x −2+
5x+2
4− x2 b)
1−2x 2x +
2x 2x −1+
1 2x −4x2
c) x − y1 + xy
2x −1+
x − y
x2+xy+y2 d)
3
x2+2 xy+y2+
−4 x2−2 xy+y2+
5 x2− y2 2. PhÐp trõ c¸c phân thức
a Trừ phân thức mẫu a) 3x −5
9 − 6x+5
9 b)
5 xy−7 y 11x2y3 −
5 xy+7y
11x2y3
c) x −5
x −9−
6x+16
x −9 − 3x −8
x −9 d) x −5 x −8−
6x+16
8− x − 3x −8
8− x
b Trừ phân thức không mẫu a) x2 + - x
4
+1
x2
+1 ` b) x + y -
x24+y2
x+y
c) 1+x
x −3− 1−2x
3+x −
x(1− x)
9− x2 d)
3x+2
x2−2x+1−
6 x21
3x 2 x2+2x+1
VII Nhân chia ph©n thøc
1 Phép nhân phân thức đại số
Quy t¾c: A
B C D=
AC BD
VÝ dô: a) 15y
3
4x2 16x
30y2 b)
4y3 13x5 (−
5x3
12y2) c)
x+y¿2 ¿
x2− y2 x2
x4
¿
d) ax
−ay2 x2
+2 xy+y2
6x3+6y3
x2−2 xy
+y2 e)
3x −3y 2x+2y
8x+8y
15x −15y
f) 2x
2−4 xy
+y2
5x −5y
15x2−15y2
4x3+y3 g)
x3
+8
x2−2x+1
x2−1
x2+3x+2
2 Phân thức nghich đảo
Cho A
B≠0 phân thức B
A gọi phân thức nghịch đảo phân thức A
B
(A B)
−1
=B
A
VÝ dô: Tù lÊy
3 PhÐp chia ph©n thøc
A
B: C D=
A B
D C=
AD BC
VÝ dô: a) x
− y2 6x2y :
x+y
3 xy b)
4a2−9b2 a2b2 :
2ax+3 bx
(3)c)
a+1¿2 ¿ ¿
5a −5
¿
d) ax−4 ay
a2b2 :
2 ax+3 bx
2ab
B Bµi tËp:
1 Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a (x+
1+x):
x2
+x+1
x2+2x+1
b [
(2x − y)2+
2 4x2− y2+
1
(2x+y)2]
4x2+4 xy+y2
16x
c [
x2+
1 y2+
2
(x+y)(
1 x+
1 y)]:
x3
+y3
x2y2 d [
2x − y+ 3y y2−4x2−
2 2x+y]:(
4x2
+y2
4x2− y2+1)
g x
xy−2y2−
2 x2
+x −2 xy−2y.(1+
3x+x2
3+x )
h [
x2+2 xy+y2−
1 x2− y2] :
4 xy y2− x2
i ( 6x+1
x2−6x+
6x −1 x2
+6x)
x2−36 x2
+1
l (a −a4 ab
+b+b):(
a a+b−
b b −a−
2ab a2b2)
2 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến
a)
(x − y)(y − z)+
1
(y − z)(z − x)+
1
(z− x)(x − y)
b) (2xx −+24−2x −x
+4−
8 4− x2):
4
x −2
c) x
(x − y)(z − x)+
y
(x − y)(y − z)+
z
(y − z)(z − x)
d) x+1
2x −2+ x2+3
2−2x2+ 1− x−15 3 Chứng minh đẳng thức sau:
a [
3x− x+1(
x+1
3x − x −1)] : x −1
x = 2x x −1
b [x
− y2
xy −
1
x+y(
x2
y −
y2 x )]:
x − y
x =
x x+y
c (
2x − y+ 3y y2−4x2−
2 2x+y):(
4x2+y2
4x2− y2+1)=− 4x
d [ y
xy−2x2 −
2 y2
+y −2 xy−2y(1+
3y+y2
3+y )]=
1 x
e [x2− y2
xy − x+y(
x2
y − y2
x )]: x − y
x = x x+y
(4)Ví dụ: Xác định hệ số a, b cho x
+5
x3−3x −2=
a x −2+
b
(x+1)2 ,
Víi mäi x ≠ vµ x ≠ -1
Gi¶i:
Ta cã x3 – 3x -2 = ( x3 –x) – 2x -2 = x(x2 – 1) – 2(x +1) = (x +1) ( x2 – x) -2(x+1)
= (x+1) ( x2 – x – 2) = (x+1)2 ( x-2) VËy MTC : (x+1)2 ( x-2)
x −a2+ b (x+1)2=
a(x+1)2+b(x −2) (x+1)2(x −2) =
ax2
+(2a+b)x+a −2b (x+1)2(x −2)
§ång mhÊt hai tư thøc : x2 +5 = ax2
+(2a+b)x+a −2b ta đợc
¿
a=1
2a+b=0
a −2b=5 ⇒
¿a=1
b=−2
¿{ {
¿
Bài tập: Xác định hệ số a, b c, d cho 10x −4
x3−4x= a x+
b x −2+
c
x+2 víi mäi x ≠ , x ≠ ±
2
x3−1= a x −1+
bx+c
x2+x+1 víi mäi x ≠
Ki
ểm tra 15 phút
1)Quy đồng mẫu thức phân thức sau:
a x
x −2y , x
x+2y ,
4 xy
4y2− x2 b
2x+6 ,
x −6 2x2+6x
2)Thực phép tính:
a) 3x −59 −6x9+5 b) 15y
4x2
16x 30y2 c) x
2
− y2 6x2y :
x+y