Chøng minh tø gi¸c HEKB néi tiÕp.. 2.[r]
(1)Sở Giáo dục đào tạo Bắc giang
-§Ị thi chÝnh thøc
(đợt 1)
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán
Thi gian lm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề. Ngày 08 tháng 07 năm 2009
(§Ị thi gåm có: 01 trang)
-Câu I: (2,0 điểm) TÝnh 25
Gi¶i hƯ phơng trình:
2
3
x x y
Câu II: (2,0 điểm)
1.Giải phơng tr×nh x2-2x+1=0
Hàm số y=2009x+2010 địng biến hay nghịch biến R? Vì sao?
C©u III: (1,0 điểm)
Lập phơng trình bậc hai nhËn hai sè vµ lµ nghiƯm?
Câu IV(1,5 điểm)
Mt ụtụ khỏch v ôtô tải xuất phát từ địa điểm A đến địa điểm B đờng dài 180 km vận tốc ôtô khách lớn ôtô tải 10 km/h nên ôtô khách đến B tr-ớc ôtô tải 36 phút.Tính vận tốc ơtơ Biết q trình từ A đến B vận tốc ụtụ khụng i
Câu V:(3,0 điểm)
1/ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao BH CK tam giác ABC cắt điểm I Kẻ đờng kính AD đờng tròn tâm O, đoạn thẳng DI BC cắt M.Chứng minh
a/Tứ giác AHIK nội tiếp đợc đờng tròn b/OMBC.
2/Cho tam giác ABC vuông A,các đờng phân giác gốc B góc C cắt cạnh AC AB lần lợt D E Gọi H giao điểm BD CE, biết AD=2cm, DC= cm tính độ dài đoạn thẳng HB
Câu VI:(0,5 điểm)
Cho số dơng x, y, z tháa m·n xyz -
16
x y z Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc P = (x+y)(x+z)
-Hết -Sở Giáo dục đào tạo Bắc giang
-§Ị thi chÝnh thøc
(đợt 2)
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2009-2010
Môn thi: Toán
Thi gian lm bi: 120 phút không kể thời gian giao đề. Ngày 10 tháng 07 năm 2009
(2)-C©u I: (2,0 ®iĨm) TÝnh √9+√4
Cho hàm số y = x -1 Tại x = y có giá trị bao nhiêu?
Câu II: (1,0 điểm)
Giải hệ phơng trình:
x+y=5 x y=3
{ Câu III: (1,0 điểm)
Rút gọn: A=(x+√x
√x+1+1)( x −√x
√x −1−1) Víi x 0; x 1 Câu IV( 2,5 điểm)
Cho PT: x2 + 2x - m = (1)
1 Gi¶i PT(1) víi m =
2 Tìm tất giá trị m để PT(1) có nghim
Câu V:(3,0 điểm)
Cho ng trũn tâm O đờng kính AB cố định H thuộc đoạn thẳng OA( H khác A;O trung điểm OA) Kẻ dây MN vng góc với AB H MN cắt AK E
1 Chøng minh tø gi¸c HEKB néi tiÕp
2 Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AKM
3 Cho điểm H cố định, xác định vị trí K để khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giỏc MKE nh nht
Câu VI:(0,5 điểm)
Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x2+ xy +y2 - x2y2 = 0
-Hết -đáp án đề 1:
C©u I:
TÝnh 25= 2.5 = 10
Giải hệ phơng trình:
2
3
x x y
< = >
2
x y
< = >
x y
Vậy hệ phơng trình có nghiệm nhÊt (x;y) = (2;1)
C©u II:
x2 - 2x +1 = 0
<=> (x -1)2 = 0
<=> x -1 = <=> x =
(3)Hàm số hàm số đồng biến vì: Hàm số hàm bậc có hệ số a = 2009 > Hoặc x1>x2 f(x1) > f(x2)
C©u III:
Lập phơng trình bậc hai nhận hai số nghiệm? Giả sử có hai số thùc: x1 = 3; x2 =
XÐt S = x1 + x2 = + = 7; P = x1 x2 = 3.4 = 12 =>S2 - 4P = 72 - 4.12 = >
Vậy x1; x2 hai nghiệm phơng trình: x2 - 7x +12 =
Câu IV
Đổi 36 =
10 h
Gäi vËn tốc ô tô khách x ( x >10; km/h) Vận tốc ôtô tải x - 10 (km/h)
Thời gian xe khách hết quãng đờng AB là: 180
x (h)
Thời gian xe tải hết quãng đờng AB là: 180
x −10 (h)
Vì ơtơ khách đến B trớc ôtô tải 36 phút nên ta có PT:
180 x −10−
6 10=
180 x
⇔180 10x −6x(x −10)=180 10(x −10)
⇔x2−10x −3000=0
Δ
'
=52+3000=3025 √Δ'
=√3025=55 x1 = +55 = 60 ( TM§K)
x2 = - 55 = - 50 ( không TMĐK)
Vậy vận tốc xe khách 60km/h, vận tốc xe tải 60 - 10 = 50km/h
C©u V
1/
a) AHI vuông H (vì CA HB)
Δ AHI nội tiếp đờng trịn đờng kính AI
AKI vuông H (vì CK AB)
Δ AKI nội tiếp đờng trịn đờng kính AI
Vậy tứ giác AHIK nội tiếp đờng tròn đờng kính AI b)
Ta cã CA HB( Gt)
CA DC( góc ACD chắn nửa đờng trịn)
=> BH//CD hay BI//CD (1) Ta cã AB CK( Gt)
AB DB( góc ABD chắn nửa đờng tròn)
=> CK//BD hay CI//BD (2)
Từ (1) (2) ta có Tứ giác BDCI hình bình hành( Có hai cặp cạnh đối song song) Mà DI cắt CB M nên ta có MB = MC
=> OM BC( đờng kính qua trung điểm dây vng góc với dây đó) 2/
Vì BD tia phân giác góc B tam giác ABC; nên áp dụng tính chất đờng phân giác ta có:
AD DC=
AB BC ⇔
2 4=
AB
BC BC=2 AB
Vì ABC vuông A mà BC = 2AB nªn ACB = 300; ABC = 600
.
A
B
C
D M I
O H
K
D A
B
C
E H
1
(4)Vì B1 = B2(BD phân giác) nên ABD = 300
Vì ABD vuông A mà ABD = 300 nên BD = 2AD = = 4cm
=> AB2
=BD2AD2=164=12
Vì ABC vuông A => BC=AC2+AB2=36+12=43
Vì CH tia phân giác góc C tam giác CBD; nên áp dụng tính chất đờng phân giác ta có: DC
BC= DH HB ⇔
4 4√3=
DH
HB ⇒BH=√3 DH
Ta cã:
¿ BH+HD=4 BH=√3 HD ⇔
¿√3 BH+√3 HD=4√3 BH=√3 HD
⇒BH(1+√3)=4√3
¿{ ¿ BH= 4√3
(1+√3)=
4√3(√3−1)
2 =2√3(√3−1) VËy BH=2√3(√3−1)cm Câu VI
Cách 1:
Vì xyz -
16
x y z => xyz(x+y+z) = 16
P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz
¸p dơng BĐT Côsy cho hai số thực dơng x(x+y+z) yz ta cã
P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz 2√xyz(x+y+z)=2 √16=8 ; dấu đẳng thức xẩy x(x+y+z) = yz
Vậy giá trị nhỏ P Cách 2:
Vì xyz16
x+y+z=0x+y+z= 16 xyz
P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz = x⋅16
xyz+yz= 16 yz +yz
áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng 16
yz yz ta cã
P = 16
yz+yz 2√16yz ⋅yz=2.√16=8 ; dấu đẳng thức xẩy 16 yz =yz
Vậy giá trị nhỏ P
đáp án đề 2:
C©u I:
TÝnh √9+√4=3+2=5
Thay x =4 vào hàm số y = x -1 Ta đợc: y = - = Vậy x = y =
(5)Giải hệ phơng trình:
x+y=5 x − y=3
⇔ ¿x+y=5
2x=8 ⇔ ¿x=4
y=1 ¿{
¿
VËy hÖ PT cã nghiƯm (x; y) = (4; 1)
C©u III:
Víi x ≥0; x ≠1 ta cã: A=(x+√x
√x+1+1)( x −√x
√x −1−1)
¿(
√x(√x+1)
√x+1 +1)(
√x(√x −1) √x −1 −1) ¿(√x+1) (√x −1)=x −1 VËy x ≥0; x 1 A = x -1
Câu IV Cho PT: x2 + 2x - m = (1)
1 Khi m = ta cã: x2 + 2x - =
Ta cã: a + b + c = + - = PT cã hai nghiÖm: x1= 1; x2 = -3
VËy PT(1) cã hai nghiÖm: x1= 1; x2 = -3 m =
2 TÝnh: '=1+m Để PT(1) có nghiệm ' 01+m 0m −1
VËy víi m≥ −1 th× PT(1) cã nghiƯm
Câu
1 xét tứ giác HEKB có: EHB = 900 ( v× MN AB)
EKB = 900 ( AKB góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
=>EKB + EHB =1800
=> Tứ giác HEKB nội tiếp có tổng hai góc đối bng 1800
2 Vì MN AB nên A nằm chÝnh gi÷a cung nhá MN => cung AM = cung AN
=>AMN = AKM( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) XÐt Δ AME vµ Δ AKM cã:
A chung
AME = AKM ( cm trªn)
=> Δ AME đồng dạng với Δ AKM ( g.g) Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp Δ EKM
Ta cã gãc AME = BME ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau)
=> AM tiếp tuyến đờng tròn tâm I( Theo tập 30-Tr79 SGK toán tập 2) => I thuộc BM
=> NI ng¾n nhÊt NI MB
Vì M; N; B cố định nên ta xác định K nh sau:
Kẻ NI vng góc với BM, vẽ đờng trịn (I;IM) cắt đờng trịn tâm O K
C©u VI:(0,5 ®iĨm)
Tìm số ngun x; y thoả mãn đẳng thức: x2+ xy +y2 - x2y2 = (1)
Ta cã: x2+ xy +y2 - x2y2 = 0
.
A B
E
N M
O H
(6)<=> 4x2+ 4xy +4y2 - 4x2y2 = 0
<=> 4x2+ 8xy +4y2 - (4x2y2 + 4xy +1) - = 0
<=> (2x + 2y)2 - (2xy + 1)2 = 1
<=> (2x + 2y - 2xy - 1)(2x + 2y + 2xy + 1) =
=>
¿2x + 2y - 2xy - = 2x + 2y + 2xy + 1=-1
¿ ¿ ¿
2x + 2y − 2xy − 1=-1 ¿
2x + 2y + 2xy + 1=1 ¿
¿ ¿ ¿ ¿
Giải hệ PT ta đợc (x; y) = (0; 0) x = - y