Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010 Mơn thi TỐN ( chung cho tất thí sinh) Thời gian 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài (2.0 điểm ) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa a) x b) x Trục thức mẫu a) 3 Giải hệ phương trình : b) 3 x 0 x y 3 Bài (3.0 điểm ) Cho hàm số y = x2 y = x + a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A,B đồ thị hai hàm số phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB Bài (1.0 điểm ) Cho phương trình x2 – 2mx + m – m + có hai nghiệm x1 ; x (với m tham số ) Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài (4.0 điểm ) Cho đường trịn tâm (O) ,đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K ( K nằm A O).Lấy điểm E cung nhỏ CD ( E không trùng C D), AE cắt BD H a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp b) Chứng minh AD2 = AH AE c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi hình trịn (O) d) Cho góc BCD α Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân M Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O) ======Hết====== Họ tên : Số báo danh Hướng dẫn: Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG Bài (2.0 điểm ) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa x 0 a) Trục thức mẫu a) b) 3 2 2 b) x 0 Giải hệ phương trình : x y 3 x 0 x 1 3 x 1 1 y 3 1 3 1 1 1 3 x 1 y 2 Bài (3.0 điểm ) Cho hàm số y = x2 y = x + a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy Lập bảng : x -2 x -2 -1 y=x+2 y=x 1 y B C A K O H x b) Tìm toạ độ giao điểm A,B : Gọi tọa độ giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (d) Viết phương trình hồnh độ điểm chung (P) (d) x2 = x + x2 – x – = ( a = , b = – , c = – ) có a – b + c = – ( – ) – = x1 ; x2 c 2 2 a thay x1 = -1 y1 = x2 = (-1)2 = ; x2 = y2 = Vậy tọa độ giao điểm A( - ; ) , B( ; ) c) Tính diện tích tam giác OAB Cách : SOAB = SCBH 1 - SOAC = (OC.BH - OC.AK)= = (8 - 2)= 3đvdt Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG Cách : Ctỏ đường thẳng OA đường thẳng AB vuông góc 2 2 2 2 OA AK OK 1 ; BC = BH CH 4 ; AB = BC – AC = BC – OA = (ΔOAC cân AK đường cao đồng thời trung tuyến OA=AC) SOAB 1 2 3 = OA.AB = đvdt Hoặc dùng cơng thức để tính AB = ( xB x A ) ( y B y A ) ;OA= ( xA xO )2 ( y A yO )2 Bài (1.0 điểm ).Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Cho phương trình x2 – 2mx + m – m + ( a = ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m2 - m + ) Δ’ = = m2 - ( m2 - m + ) = m2 - m2 + m - = m – ,do pt có hai nghiệm x1 ; x (với m tham số ) Δ’ ≥ m ≥ theo viét ta có: x1 + x2 = = 2m x1 x2 = = m2 - m + x12 + x22 = ( x1 + x2) – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + )=2(m2 + m - ) 1 12 13 13 2 =2(m + 2m + - - ) =2[(m + ) - ]=2(m + ) - 2 1 Do điều kiện m ≥ m + ≥ 3+ = 49 49 13 49 13 2 (m + ) ≥ 2(m + ) ≥ 2(m + ) - ≥ - = 18 Vậy GTNN x12 + x22 18 m = Bài (4.0 điểm ) a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp * Tam giác CBD cân AC BD K BK=KD=BD:2(đường kính vng góc dây cung) ,ΔCBD có đường cao CK vừa đường trung tuyến nên ΔCBD cân * Tứ giác CEHK nội tiếp · · · AEC HEC 1800 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ; KHC 1800 (gt) · · HEC HKC 900 900 1800 (tổng hai góc đối) tứ giác CEHK nội tiếp b) Chứng minh AD2 = AH AE Xét ΔADH ΔAED có : Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sưu tầm: ĐỒN TIẾN TRUNG ¶A chung ; AC BD K ,AC cắt cung BD A suy A điểm · · AED cung BAD , hay cung AB cung AD ADB (chắn hai cung AD AE AD AH AE nhau) Vậy ΔADH = ΔAED (g-g) AH AD c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi hình trịn (O) BK=KD=BD:2 = 24:2 = 12 (cm) ( cm câu a ) ; BC =20cm 2 2 * ΔBKC vuông A có : KC = BC BK 20 12 400 144 256 =16 · * ABC 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) B” R= 12,5cm ΔABC vng K có : BC2 =KC.AC 400 =16.AC AC = 25 M C = 2пR = 2п.12,5 = 25п (=25.3,14 = 78.5) (cm) B A K O C H E D M’ D” d)Tính góc MBC theo α để M thuộc đường trịn (O) Giải: ΔMBC cân M có MB = MC suy M cách hai đầu đoạn thẳng BC M d đường trung trực BC ,(OB=OC nên O d ),vì M (O) nên giả sử d cắt (O) M (M thuộc cung nhỏ BC )và M’(thuộc cung lớn BC ) * Trong trường hợp M thuộc cung nhỏ BC ; M D nằm khác phía BC hay AC ·BDC ·DBC (1800 ·DCB) : 900 ΔBCD cân C nên Tứ giác MBDC nội tiếp ·BDC ·BMC 1800 ·BMC 1800 ·BDC 1800 (900 ) 1800 900 900 2 * Trong trường hợp M’ thuộc cung lớn BC ΔMBC cân M có MM’ đường trung trực nên MM’ phân giác góc BMC ·BMM ' ·BMC (900 ) : 450 ¼ ' (900 ) BM sđ (góc nội tiếp cung bị chắn) Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG » · sđ BD 2BCD 2 (góc nội tiếp cung bị chắn) 0 0 » BM ¼ ' 2 90 2 90 3 180 60 BD + Xét suy tồn hai điểm M thuộc cung nhỏ BC (đã tính )và M’ thuộc cung lớn BC ·BDC ·BM 'C 900 (cùng chắn cung BC nhỏ) Tứ giác BDM’C nội tiếp 0 0 »BD BM ¼ ' 2 90 2 90 3 180 60 + Xét M’≡ D khơng thỏa mãn điều kiện đề nên khơng có M’ ( có điểm M tmđk đề bài) 0 0 »BD BM ¼ ' 2 90 2 90 3 180 60 90 + Xét (khi BD · » qua tâm O BD AC BCD 90 ) M’ thuộc cung BD không thỏa mãn điều kiện đề nên khơng có M’ (chỉ có điểm M tmđk đề) Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sưu tầm: ĐỒN TIẾN TRUNG Sở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 20092010 KHÁNH HOÀ ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN NGÀY THI: 19/6/2009 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2 điểm) (không dùng máy tính bỏ túi) a) Cho biết A= 5+ √ 15 B= − √ 15 Hãy so sánh A+B AB 2x +y = b) Giải hệ phương trình: 3x – y= 12 Bài 2: (2.5 điểm) Cho Parabol (P) : y= x2 đường thẳng (d): y=mx-2 (m tham số m a/ Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng toạ độ Oxy b/ Khi m = 3, tìm toạ độ giao điểm (p) ( d) c/ Gọi A(xA;yA), B(xA;yB) hai giao điểm phân biệt (P) ( d) Tìm gia trị cuûa m cho : yA + yB = 2(xA + xB )-1 0) Bài 3: (1.5 điểm) Cho mảnh đất hình chữ nhật có chiểu dai chiều rộng m bình phương độ dài đường chéo gấp lần chu vi Xác định chiều dài rộng mảnh đất hình chữ nhật Bài 4: ( điểm) Cho đường tròn(O; R) từ điểm M đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến A, B lấy C cung nhỏ AB Gọi D, E, F hình chiếu vuông góc C tên AB, AM, BM a/ cm AECD Nội tiếp đường tròn ^A D E=C B b/ cm: C ^ c/ cm : Gọi I trung điểm AC ED, K giao điểm CB , DF Cm IK// AB d/ Xác định vị trí c cung nhỏ AB dể (AC2 + CB2 )nhỏ tính giá trị nhỏ OM =2R -Hết - Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG Đáp án câu 4c,d: Đề thi 2009 – 2010 : 4c)Chứng minh : IK//AB Gợi ý: Chứng minh tổng số đo hai góc ICK IDK 1800 4d)Xác định vị trí điểm C cung nhỏ AB để CA2 + CB2 đạt GTNN Gợi ý : Xây dựng công thức đường trung tuyến tam giác Gọi N trung điểm AB Ta có: AC2 + CB2 = 2CD2 + AD2 + DB2 =2(CN2 – ND2) + (AN+ND)2 + (AN – ND)2 = 2CN2 – 2ND2 + AN2 + 2AN.ND + ND2 + AN2 – 2AN.ND + ND2 = 2CN2 + 2AN2 = 2CN2 + AB2/2 AB /2 ko đổi nên CA2 + CB2 đạt GTNN CN đạt GTNN C giao điểm ON cung nhỏ AB => C điểm cung nhỏ AB Khi OM = 2R OC = R hay C trung điểm OM => CB = CA = MO/2 = R Do đó: Min (CA2 + CB2 ) = 2R2 A E I N O D C K F B Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sở gd đt hoá §Ị chÝnh thøc Sưu tầm: ĐỒN TIẾN TRUNG Kú thi tuyển sinh thpt chuyên lam sơn năm học: 2009 - 2010 Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) Cho số x ( x R ; x >0 ) thoả mÃn điều kiƯn: x2 + vµ B = x5 + x 1 2 y x 2 y x Tính giá trị biểu thức: A = x3 + Giải hệ phương trình: x2 =7 x5 Câu 2: (2,0 điểm) Cho phơng trình: ax bx c ( a 0 ) cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n điều kiện: x1 x2 Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: 2a 3ab b Q 2a ab ac C©u 3: (2,0 điểm) Giải phơng trình: x + √ y+ 2009 + √ z −2010 = ( x + y + z) 2 Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2 +1 số nguyên tố Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có hai đờng chéo cắt E Một đờng thẳng qua A , cắt cạnh BC M cắt đờng thẳng CD N Gọi K giao điểm đờng thẳng EM BN Chứng minh rằng: CK BN Cho đường trịn (O) bán kính R=1 điểm A cho OA= √ Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C ti ếp điểm).Một góc xOy có số đo 45 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng minh rằng: √ −2 DE 0) x x 1 1 21 = (x + x )(x2 + ) = (x3 + ) + (x + x ) A = x3 + x x =18 x3 1 1 7.18 = (x2 + )(x3 + ) = (x5 + ) + (x + x ) x x x B = x5+ = 7.18 - = 123 x 1 1 + 2− = + 2− Từ hệ suy (2) y √y x √x 1 > Nếu 2− > 2− nên (2) xảy x y y x √ √ √ √ √ √ §iĨm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 x=y vào hệ ta giải x=1, y=1 0.5 b c x1.x2 a , a Theo ViÐt, ta cã: b b a a 2 2a 3ab b b c Q 2 2a ab ac = a a ( V× a 0) Khi ®ã 3( x1 x2 ) ( x1 x2 ) = ( x1 x2 ) x1 x2 0.25 x1 x2 2 x x x x 4 x x 1 2 Vì nên 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 3( x1 x2 ) x1 x2 Q 3 ( x x ) x x 2 Do ®ã Đẳng thức xảy x1 x2 2 hc x1 0, x2 2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG 0.25 b a 4 c 4 c b 4a a b 2a b 2 c 0 a c 0 Tøc lµ a VËy max Q =3 §K: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Ph¬ng trình đà cho tơng đơng với: x + y + z = √ x −2 +2 √ y+ 2009 +2 √ z −2010 ( √ x −2 - 1)2 + ( √ y+ 2009 - 1)2 + ( √ z −2010 - 1)2 = x=3 √ x −2 - = √ y+ 2009 - = y = - 2008 z = 2011 √ z −2010 - = NhËn xÐt: p số nguyên tố 4p2 + > 6p2 + > Đặt x = 4p2 + = 5p2- (p - 1)(p + 1) 0.25 0.25 0.25 0.25 y = 6p2 + 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) Khi ®ã: - NÕu p chia cho d hc d th× (p - 1)(p + 1) chia hÕt cho 0.25 x chia hÕt cho mµ x > x không số nguyên tố 0.25 - NÕu p chia cho d hc d th× (p - 2)(p + 2) chia hÕt cho 4y chia hÕt cho mµ UCLN(4, 5) = y chia hÕt cho mµ y>5 y không số nguyên tố Vậy p chia hết cho 5, mà p số nguyên tố p = Thư víi p =5 th× x =101, y =151 số nguyên tố Đáp số: p =5 0.25 0.25 Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG 0.25 0.25 Trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = CM Ta cã Δ IBE = Δ MCE (c.g.c) Suy EI = EM , ∠ MEC=∠BEI Δ MEI vuông cân E Suy EMI=45 = BCE Mặt khác: IB =CM =MN IM // BN AB CB AN ∠ BCE =∠EMI =∠BKE tø gi¸c BECK néi tiÕp ∠ BEC +∠BKC=1800 0 ∠ BEC=90 ⇒∠ BKC=90 VËy CK BN L¹i cã: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Vì AO = √ , OB=OC=1 ABO=ACO=900 suy OBAC hình vuông Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho DOM = DOB MOE=COE Suy Δ MOD= Δ BOD DME=900 Δ MOE= Δ COE EMO=900 suy D,M,E thẳng hàng, suy DE tiếp tuyến (O) Vì DE tiếp tuyến suy DM=DB, EM=EC Ta có DE 2a + - n nên phải có: 2a + + n 2a + - n 2a + + n 2a + - n = 167 = = -1 = -167 4a + = 168 4a + = -168 a = 40 a = -44 với a = 40 đựơc PT: x2 - 83x = cã nghiƯm nguyªn x = 0, x = 83 víi a = - 44 PT có nghiệm nguyên x= -1, x = - 84 ' ' Ta cã: 1 a (2 6bc ) ; b(2 19ac) ' ' Suy 1 a(2 6bc) b(2 19ac) Tõ gi¶ thiÕt 19a 6b 9c 12 , ta cã tæng 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG 0,25 (2 6bc ) (2 19ac) 4 c(19a 6b) 4 c(12 9c) 2 c 12c 3c 0 = Do ®ã Ýt nhÊt mét hai sè (2 6bc) ;(2 19 ac) không âm Mặt khác, theo giả thiết ta có a ; b 0 Tõ ®ã suy Ýt nhÊt 0,25 ' ' mét hai sè 1 ; kh«ng âm, suy hai phơng trình ®· cho cã nghiÖm ( ®pcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì H trực tâm tam giác ABC nên BH AC (1) Mặt khác AD đờng kính đờng tròn tâm O nên DC AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy BH // DC Hoàn toàn tơng tự, suy BD // HC 0,25 Tổng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 Sưu tầm: ĐỒN TIẾN TRUNG Suy tø gi¸c BHCD hình bình hành ( Vì có cặp cạnh ®èi song 0,25 song) Theo gi¶ thiÕt, ta cã: P ®èi xøng víi E qua AB suy AP=AE ∠PAB=∠ EAB ( c.g c ) ⇒ ∠ APB=∠ AEB L¹i cã ∠ AEB =∠ACB ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) Δ PAB= Δ EAB ⇒ ∠ APB= ACB Mặt khác AHB +ACB=180 APB +AHB=180 tứ giác APHB tứ giác nội tiÕp ∠ PAB=∠PHB ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung) Mµ ∠ PAB=∠EAB ⇒∠ PHB =∠EAB Hoµn toµn tơng tự, ta có: CHQ =EAC Do đó: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ∠ PHQ =∠PHB +∠EHC +∠CHQ =∠BAE+∠ EAC+∠BHC=¿ =BAC+BHC=1800 Suy ba điểm P, H, Q thẳng hàng Vì P, Q lần lợt điểm đối xứng E qua AB AC nên ta có AP = AE = AQ suy tam giác APQ tam giác cân đỉnh A Mặt khác, tính đối xứng ta có PAQ=2 BAC ( không đổi) Do cạnh đáy PQ tam giác cân APQ lớn vµ chØ AP, AQ lín nhÊt AE lớn Điều xảy AE đờng kính đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC E D Tng hợp đề thi THPT 2009 - 2010 V× a2 +b 2+ c 2>0 ta cã: Sưu tầm: ĐOÀN TIẾN TRUNG 2 2 2 2 2 2 ( a 2+b 2+ c ) x + y + z =¿ x2 2+ b + c 2− a + y 2+ a +c 2− b + z 2+ a +b 2− c ( a b ¿ x +2 y 2+ z + x2 c ( ) ( a ) ( ) ( b 2 2 2 b 2+ c2 − a2 a +c − b a +b − c + y + z 2 a b c ) ( ) ( ) c (*) Gi¶ sư a ≤ b ≤ c th× c − a2 ≥0 ; c2 −b ≥ Víi c¹nh c lín nhÊt ) 0,25 0,25 ACB nhọn (gt) kẻ đờng cao BH ta cã 2 2 2 c =BH +HA ≤ BC +CA =a +b tõ suy biểu thức (*) không âm suy điều phải chứng minh 0,5