SO HUU TI VA SO VO TI

Một số tính chất của số hữu tỉ và số vô tỉ tưởng như tầm thường, thế nhưng nó đã ẩn chứa nhiều điều thú vị. Trong bài viết này, tôi sẽ giới thiệu đến các bạn một số bài toán đã sử dụng đ[r]

SỐ HỮU TỈ VÀ SỐ VÔ TỈ

Một số tính chất số hữu tỉ số vô tỉ tưởng tầm thường, ẩn chứa nhiều điều thú vị Trong viết này, giới thiệu đến bạn số tốn sử dụng đến tính hữu tỉ tính vơ tỉ số để giải.Trước hết, ta biết rằng: Nếu x số hữu tỉ x khơng phải số vơ tỉ ngược lại, x số vơ tỉ x số hữu tỉ Chúng ta nhắc lại vài tính chất

1) Tổng, hiệu, tích, thương (nếu có) hai số hữu tỉ số hữu tỉ Lũy thừa bậc n (n ) của số hữu tỉ số hữu tỉ (Hiển nhiên).

2) Tổng (hiệu) số hữu tỉ với số vô tỉ số vơ tỉ. 3) Tích số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ.

( Bằng phản chứng ta dễ dàng chứng minh tính chất trên).

Bây vận dụng tính chất để giải số tốn liên quan

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ cho nghiệm bằng

2   Giải:

 Phương trình bậc hai cần tìm có dạng : x2 + px + q = , ( p,q ) Theo giả thiết thì:

2 3



 = 2 5 nghiệm phương trình , nên ta có:

   

2

2 5 a 5  b

 5a b 49  2a 20 0 (1)

 Do số vô tỉ, nên từ (1) ta suy : – 5a + b +49 = 2a – 20 =

 a = 10  b = Do phương trình cần tìm là: x2 + 10x + = 

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x2  y z (2) Hướng dẫn :

 Vì vai trị y, z nên giả sử y z  Từ PT (2), ta suy :x2 3  y z yz

 (x y z  )24 3(x y z  ) 4 yz12 (*)

 Vì số vơ tỉ nên từ (*) ta suy : x – y – z = 4yz – 12 =

 y = 3; z = x = y + z = 4.

 Từ ta dễ dàng tìm nghiệm ngun dương (x;y;z) (4;3;1) (4;1;3) 

Bài 3: Cho a, b, c số hữu tỉ thõa mãn a b 2c3 0 (3) Chứng minh : a = b = c = 0.

Giải:

 Nếu c = từ (3), ta có: a + b32 =  a = b = (vì số vô tỉ )  Nếu c0 từ (3), ta có:

3 4 a b3 2

c c

 

=p q 32 (với

a p

c

  

;

b q

c

  

 2p3 2q34   

3

2p 2q p q

    

2

2

pq  p q 

 pq – = p + q2 =  q3 + =  q 32 số vô tỉ Mâu thuẫn, q số vơ tỉ.

 Vậy : a = b = c = 

Bài 4: Cho a,b hai số hữu tỉ Xác định đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + (4) Biết đa thức này có nghiệm + √3 .

Giải:

 Vì x = + √3 nghiệm (4), nên ta có phương trình:

     

3

2 a 2 b 2  1

 4a b 15 37a2b270  4a b 15 7 a2b27 0 (vì a, b hai số hữu tỉ và √3 số vô tỉ )  a b 3.

 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x3 – 3x2 – 3x +1 

Bài 5: Chứng minh biểu diễn số

√2 dạng p+q √r , p,q,r  r >0

Giải:

 Dễ thấy √32 số vô tỉ, giả sử tồn số p,q,r  với r >0 thõa mãn:

√2 = p+q √r Thế p q khơng đồng thời ta có: = (p+q √r )3  2 – p3 – 3pq2r = q(3p2 +q2r) r (5)

 Nếu q(3p2 +q2r) = q =  p = √32 Vơ lí, p số hữu tỉ

 Nếu q(3p2 +q2r)  từ (5) 

√r  

3 2

2

3

p pq r

q p q r

 



  

 p+q √r   

√2  .Vơ lí,

√2 số vơ tỉ  Tóm lại, ta có đpcm 

Bài 6: Chứng minh rằng: không tồn hai số a, b  cho:  

2

2 2008 2009

a b  

Giải:

 Giả sử tồn hai số a, b  cho:  

2

2 2008 2009

a b  



 

2 2 2008 2009 2 2

a  b    ab  a2 2b2 2008 2009 2ab 0

     (vì a, b hai số hữu tỉ và số vô tỉ )

 Từ: 2009 – 2ab =  2ab = 2009 Vơ lí, 2ab số chẵn mà 2009 số lẻ

 Vậy không tồn hai số a, b  cho:  

2

2 2008 2009

a b  



Như vậy, khơng có kiến thức tầm thường Chúng ta phải ln tìm tịi, ngun cứu, ln phát huy tính sáng tạo để đáp ứng tốt cho việc dạy học Sau số tập kiểm tra.

1) Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ cho nghiệm bằng:2 5 14 5 2) Tìm hai số hữu tỉ a, b Biết phương trình : x4 +ax3 +bx2 + 6x +2 = có nghiệm 1 3. 3) Tìm đa thức với hệ số hữu tỉ, khác đa thức có bậc nhỏ mà nhận x 233 nghiệm 4) Cho a b số hữu tỉ, c d số hữu tỉ dương, khơng phải bình phương số hữu tỉ

nào khác.Chứng minh : a + √c = b + √d a=b c=d