chuyen de lop 7 suu tam

+ Đối với học sinh lớp 7 mới được tập dượt chứng minh hình học, nhất là với kiến thức ở chương I - Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng song song, thì đây là một bài toán khá hay.. Khai[r]

XOAY QUANH MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC

Bài toán : Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy hai điểm D, E cho BD = CE Chứng minh Đ BAD = Đ CAE tam giác ABC tam giác cân

Cách : (Vũ Cao Ân)

Từ D vẽ DF // AC, từ E vẽ EG // AB ta chứng minh DF/EG = AC/AB (1) ; ΔADF đồng dạng với ΔAEG (g g) => DF/EG = AD/AE (2)

Từ (1) (2) có AC/AB = AD/AE => ΔADC đồng dạng với ΔAEB (c g c) => Đ ABC = Đ ACB

Cách : (Trương Sơn Ca)

Giả sử Đ B > Đ C => AC > AB => AC/AB > Vẽ M thuộc AD cho Đ ABM = Đ ACE Có Đ M1 = góc E1 => Đ M2 = Đ E2 ; góc D1 > Đ E2 = Đ M2 => BM > BD => BD/BM <

(1)

ΔABM đồng dạng với ΔACE => AB/AC = BM/EC => EC/BM = BD/BM = AC/AB > (2)

Từ D E vẽ DF vng góc với AB ; EG vng góc với AC BD = CE => SABD = SACE => AB.DF = AC.EG => DF/EG = AC/AB (1)

ΔADF đồng dạng với ΔAEG => DF/EG = AD/AE (2)

Từ (1) (2) => AC/AB = AD/AE , cho ta ΔABE đồng dạng với ΔACD => Đ ABE = Đ ACD

Cách : (Minh Quân)

Vẽ hình bình hành ABEF => BE = AF Chứng minh tứ giác ADCF hình bình hành => Đ EFC = Đ BAD = Đ EAC (gt)

ΔAEG đồng dạng với ΔFCG (g g) => AG/FG = EG/CG (1) Do AG/GC = FG/GE (AF // EC) => AG/FG = EG/CG (2)

Từ (1) (2) có EG = GC cân G => ΔGEC cân G => Đ FEC = Đ ACE => Đ ABC = Đ ACB

Vẽ BH, CK đường cao tam giác ABD, ACE BD = CE => SABD = SACE =>

BH/CK = AE/AD

ΔABH đồng dạng với ΔACK => BH/CK = AB/AC

ΔABE đồng dạng với ΔACD ( Đ BAE = Đ CAD , AB/AC = AE/AD) => Đ ABE = Đ ACD => Δ ABC cân A

Cách : (Bảo Linh)

Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD M, qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt AE N

ΔABM đồng dạng với ΔACN (g g) => AB/AC = BM/CN (1) ΔADC có BM // AC => AC/BM = BE/BD

ΔABE có CN // AB => AB/CN = BE/EC

Do có AB/AC = CN/BM (2) Từ (1) (2) có AB/AC.AB/AC = BM/CN.CN/BM => AB2/AC2 = => AB = AC

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM ĐỒNG QUY Các bạn học qua lớp chắn biết đường đồng quy tam giác :

Định lí : Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm ;

Định lí : Ba đường phân giác tam giác qua điểm ;

Định lí : Ba đường trung trực tam giác qua điểm ;

Định lí : Ba đường cao tam giác qua điểm

SGK Toán tập sử dụng phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy để chứng minh định lí 2, định lí

Phương pháp chứng minh mơ tả khái quát sau :

Ba đường thẳng a, b, c đồng quy :

- Mọi điểm thuộc c có tính chất C ngược lại - Chứng tỏ giao điểm a b thỏa mãn tính chất C.

Nếu ta phát nhiều tính chất đường thẳng c có nghĩa có nhiều cách chứng minh a, b, c đồng quy

Ta áp dụng phương pháp để chứng minh định lí * Chứng minh định lí :

Cách : - Bổ đề : Trong tam giác, quỹ tích trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai cạnh khác nhau, song song với cạnh thứ ba trung tuyến thuộc cạnh thứ ba

- Gọi AM, BN, CK trung tuyến ∆ABC ; G = BN ∩ CK Qua G dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC (hình 1)

Theo bổ đề 1 ta có GF = GR ; GP = GQ Từ dễ thấy ∆DQG = ∆FGP ; ∆FGP = ∆GRE (g.c.g) => ∆DQG = ∆GRE => DG = GE=> G Є AM (theo bổ đề 1)

Vậy AM, BN, CK đồng quy G Định lí chứng minh Cách : (hướng dẫn)

- Bổ đề : Quỹ tích điểm nằm tam giác với cạnh a, b, c, có tỉ số khoảng cách tới hai cạnh b, c c/b trung tuyến thuộc cạnh a

- Gọi AM, BN, CK trung tuyến ∆ABC ; G = BN ∩ CK Dựng GD  AB, GE  AC, GF  BC

Theo bổ đề suy :

GD/GF = BC/AB ; GF/GE = AC/BC ;

=> GD/GE = GD/GF GF/GE = BC/AC AC/BC = AC/BC ; * Chứng minh định lí : (sử dụng kết khác với SGK)

- Bổ đề : Trong ∆ABC, DE // BC (D Є AB, E Є AC), quỹ tích điểm I thuộc DE cho ID/IE = AB/AC đường phân giác AA1

- Gọi AA1, BB1, CC1 phân giác ∆ABC ; I = BB1 ∩CC1 Qua I dựng DE

// BC, FR // AB, PQ // AC (hình 2) Từ bổ đề 3 suy :

Mặt khác, ta nhận thấy tam giác IFP, RIE, QDI đôi đồng dạng => ID/IE = ID/FP FP/IE = IQ/IP IF/IR = AB/BC BC/AC = AB/AC => ID/IE = AB/AC => I Є AA1 (theo bổ đề 3)

Vậy AA1, BB1, CC1 đồng quy I Định lí chứng minh

* Chứng minh định lí :

- Bổ đề : Cho ∆ABC, N thuộc đường cao BB’ K thuộc đường cao CC’ cho DE // BC (D Є AB, E Є AC) Quỹ tích điểm H thuộc DE cho HD/DE = BK2/CN2 đường

cao AA’

Hướng dẫn : (hình 3)

Hai tam giác vng ANC AKB có NB’ ∩ AC ; KC’ ∩ AB => AN2 = AB’.AC ; AK2 = AC’.AB (1)

Hai tam giác vng AB’B AC’C đồng dạng có chung  BAC => AB’.AC = AC’.AB (2)

Từ (1) (2) => AN = AK

Gọi M Є AA’ cho  BMC = 90o tương tự ta có : AN = AK ; BM = BK ; CM = CN

(3)

Xét tam giác vuông BMC, MA’  BC => BM2 = BA’.BC CM2 = CA’.BC

=> BA'/CA' = BM2/CM2 = BK2/CN2 = HD/HE (theo bổ đề 3)

=> H’ = DE ∩ AA’ H'D/H'E = BA'/CA' = HD/HE => H’ ≡ H

- Gọi M, N, K nằm đường cao AA’, BB’, CC’ ∆ABC cho  BMC =  ANC =  AKB = 90o, H = BB’ ∩ CC’

Qua H dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC

Từ bổ đề suy :

HQ/HP = AK2/CM2 ; HF/HR = BN2/AN2

Mặt khác, ta nhận thấy tam giác HFP, RHE, QDH đôi đồng dạng nên : HD/HE = HD/FP FP/HE = HQ/HF HF/HR = AK2/CM2 BM2/AN2

=> HD/HE = BM2/CM2 (Do AK = AN) => H Є AA’ (theo bổ đề 4)

Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy H Định lí chứng minh

* Đề nghị bạn đọc chứng minh bổ đề ; ; làm tập sau

Bài tập : Trong tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường phân giác xuất phát từ đỉnh gọi đường đối trung đỉnh Chứng minh tam giác, ba đường đối trung đồng quy

Như thơng qua hai chứng minh định lí SGK, ta rút phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy hiệu Tôi hi vọng bạn thành công nhiều trường hợp khác

TẬP "LỘI NGƯỢC" KHI GIẢI TOÁN

“Lội ngược dòng” cụm từ quen thuộc thể thao, dùng để cố gắng đảo ngược kết trận đấu Còn “lội ngược dòng” giải tốn q trình phân tích lên từ kết để tìm lời giải Với hướng “lội ngược dịng” ta tìm cách giải

Ta xét toán sau :

Bài tốn : (định lí Py-ta-go) Cho ∆ABC vng A, BC = a, AC = b, AB = c Chứng ming : a2 = b2 + c2 (*)

Hướng : Từ a2, b2, c2 ta liên hệ đến diện tích hình vng có cạnh a, b, c Nếu

Ta tiếp tục đặt vấn đề : liệu chia hình vng cạnh BC thành hai hình chữ nhật có diện tích diện tích hai hình vng cịn lại khơng

Từ ta phát đường HH’, H chân đường vng góc hạ từ A ABC

⇼

Cách : Dựng phía ngồi ∆ABC hình vng AEFB, BMNC, CPQA (hình 1) Đường cao AH  BC cắt MN H’ (H Є BC) Đặt BH = c’ CH = b’ Ta cần chứng minh : SCNH’H = SCPQA ; SBMH’H = SAEFB hay a.b’ = b2 ; a.c’ = c2 (**)

Thật vậy, hai tam giác vng ABC HBA có chung nên ∆ABC đồng dạng với ∆HBA suy :

AB/HB = BC/AB => AB2 = HB.BC => c2 = a.c'

Tương tự ta có b2 = ab’

Định lí chứng minh biết trước (**) ta khơng cần vẽ thêm hình vng phụ

Hướng : Ta có :

a2 = b2 + c2 = (b + c)2 - 2bc

<=> a2 + 1/2 bc = (b + c)2 : (1)

Liên hệ với cơng thức tính diện tích, ta nhận thấy a2 (b + c)2 diện tích hình

vng có cạnh a b + c ; 1/2 bc diện tích tam giác có hai cạnh bên b c Từ ta thử tìm cách dựng hình phụ chứng minh

Cách :

Dựng hình vng ADEF có độ dài cạnh b + c ; B Є AD ; C Є AF (hình 2) Lấy I Є EF ; K Є DE cho IF = KE = b

BCIK hình vng

=> SBCIK + SABC + SDKB + SEIK + SFCI = SADEF

<=> SBCIK + 4.SABC = SADEF

<=> a2 + 1/2 bc = (b + c)2

<=> a2 = b2 + c2

Hướng : Thay đổi cách nhìn chút so với cách 2, ta thấy :

(*) <=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a2 + 1/2bc , vế trái diện tích hình thang

có hai đáy b, c có đường cao b + c

Cách : Trên tia đối tia CA, lấy điểm F cho CF = c ; Dựng điểm D thuộc nửa mặt phẳng có bờ AE, chứa điểm B, DE  AE, DE = b (hình 3)

Ta nhận thấy ABDE hình thang vng có hai đáy AB = c, DE = b, đường cao AE = b + c ; ∆ABC = ∆ECD ; ∆BCD vuông cân C có cạnh a

=> SABDE = SBCD + SABC + SECD

<=> SABDE = SBCD + 2.SABC

<=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a2 + 1/2bc

<=> a2 = b2 + c2

Hướng : Tiếp tục biến đổi (*) theo hướng khác, a2 = b2 + c2 = (b - c)2 + 2bc <=> a2 = (b

- c)2 + 1/2bc

Ta chứng minh kết sau :

∆ABC = ∆A’CB = ∆B’BD = ∆C’DE = ∆D’EC A’B’C’D’ hình vng có cạnh b -c

=> SBCED = SA’B’C’D’ + SA’BC + SB’BD + SC’DE + SD’EC

<=> SBCED = SA’B’C’D’ + 4.SABC

<=> SBCDE = SA'B'C'D' + 4.SABC

<=> a2 = (b - c)2 + 1/2bc <=> a2 = b2 + c2

Việc tập “lội ngược dòng” giúp bạn tập giải tốn Các bạn thử tìm lời giải tập :

Bài tập : Cho tứ giác ABCD Chứng minh : SSABCD ≤ 1/2.AC.BD

Bài tập : Cho a, b, c ba cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác Chứng minh :

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trong chương trình mơn Tốn THCS, bạn học làm quen với phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Bài viết giúp bạn có số phương pháp để xét phương trình loại

Phương pháp :1 Phương pháp chia khoảng trục số.

Ta xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối Thí dụ : Giải phương trình :

|2x - 1| + |2x - 5| = (1)

Từ ta xét trường hợp sau : - Xét x< 1/2 : (1) trở thành - 4x + = <=> x < 1/2 không phụ thuộc khoảng xét - Xét :

(1) trở thành = với x thuộc khoảng xét, tức - Xét

(1) trở thành 4x - = <=> x = 5/2 thuộc khoảng xét Kết luận : Nghiệm phương trình (1)

Phương pháp :

Phương pháp biến đổi tương đương Ta áp dụng hai phép biến đổi sau :

Thí dụ : Giải phương trình : |x - 1| = |3x - 5| (2)

Lời giải : áp dụng phép biến đổi thứ hai ta có :

Kết luận : Phương trình (2) có hai nghiệm : x1 = ; x2 = 3/2

Nhận xét : Ta sử dụng phương pháp để giải phương trình (2). Phương pháp :

Phương pháp đặt ẩn số phụ. Thí dụ : Giải phương trình : |x2 - 5x + 5| = -2x2 + 10x - 11 (3)

Lời giải : (3) tương đương với : |x2 - 5x + 5| = -2(x2 - 5x + 5) -

Phương pháp : Sử dụng đồ thị.

Nguyên tắc : Nghiệm phương trình f(x) = g(x) hồnh độ điểm chung hai đồ thị y = f(x) y = g(x)

Thí dụ : Biện luận số nghiệm phương trình : |x - 1| + |x + 1| + |x| = m

Lời giải : Trước hết vẽ đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x + 1| + |x|

+ Lập bảng khử dấu trị tuyệt đối :

+ Vẽ đồ thị khoảng, ý điểm đặc biệt A (-1 ; 3) ; B (0 ; 2) ; C (1 ; 3) Số nghiệm phương trình số điểm chung đường thẳng y = m với đồ thị vừa vẽ

Từ đồ thị ta có :

Nếu m < phương trình vơ nghiệm

Nếu m > phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương pháp : Sử dụng bất đẳng thức.

Nguyên tắc : Sử dụng bất đẳng thức để so sánh f(x) g(x) Từ tìm nghiệm phương trình f(x) = g(x)

Thí dụ : Giải phương trình : |x - 2003|5 + |x - 2004|,sup>7 =

Lời giải : Kiểm tra x = 2003 x = 2004 nghiệm phương trình.

Nếu x > 2004 x - 2003 > nên |x - 2003| > => |x - 2003|5 > => |x - 2003|5 + |x -

2004|7 > Chứng tỏ phương trình khơng có nghiệm thỏa mãn x > 2004

Nếu x < 2003 x - 2004 < - nên |x - 2004| > => |x - 2004|7 > 1

=> |x - 2003|5 + |x - 2004|7 > Chứng tỏ x < 2003 không nghiệm.

Nếu 2003 < x < 2004 : x - 2003 < - < x < 2004

nên : | x - 2003|5 < |x - 2003| = x - 2003 | x - 2004|7 < |x - 2004| = 2004 - x

Do |x - 2003|5 + |x - 2004|7 < (x - 2003) + (2004 - x) = Chứng tỏ 2003 < x < 2004

cũng không thỏa mãn phương trình

Tóm lại phương trình có hai nghiệm kiểm tra Chú ý : Thí dụ giải sau :

|2x - 1| + |2x - 5| = |2x - 1| + |5 - 2x| |2x - + - 2x| =

Đẳng thức xảy tương đương với (2x - 1)(5 - 2x) tương đương với 1/2 < x< 5/2 Dưới xin gửi tới bạn số tập :

Bài : Giải phương trình :

1) 3|x - 1| - 2|x - 2| - |x| + |x + 1| = |x + 2| 2) |x + 1| = |x2 + x|

3) |x - 2| / (|x - 1| - 1) =

Bài : Tìm m để phương trình : x2 - 2x - m|x - 1| + m2 = có nghiệm

Bài : Với giá trị tham số m, phương trình sau có nghiệm : |x + 3| - |2x - m| =

CHỦ ĐỘNG SÁNG TẠO KHI GIẢI TỐN HÌNH HỌC

Một vấn đề đặt nên cấu tạo đề tập toán (với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm tra lực toán học v.v ) để phù hợp phương pháp dạy học đổi theo định hướng tích cực, độc lập, sáng tạo

Câu trả lời trở nên rõ ràng ý nhận xét tính đa dạng phong phú hệ thống tập sách giáo khoa Trong khuôn khổ báo, phân tích hết ưu nhược điểm thể loại tập toán nhằm giúp học sinh học tập chủ động, sáng tạo, tác giả xin trao đổi với bạn đồng nghiệp vấn đề thông qua số ví dụ tập hình học

Cho điểm M trang giấy hai đường thẳng d, d’ cắt nhau trang giấy Hãy vẽ đường thẳng d’’ qua điểm M giao điểm d, d’ Nói cách vẽ giải thích vẽ

Tình tập : Học sinh phải vẽ đường thẳng qua hai điểm, điểm cho trước, cịn điểm thứ hai chưa xác định

Hướng giải tốn khơng phải vẽ giao điểm hai đường thẳng d d’ mà tìm quan hệ đường thẳng phải vẽ (đường thẳng d’’ qua điểm M) với đường thẳng khác vẽ trang giấy

Q trình mị mẫm dẫn đến cấu hình ba đường cao đồng quy tam giác, từ => cách vẽ

Lời giải (tóm tắt) mong đợi sau :

Cách vẽ : Vẽ đường thẳng a qua M vng góc với d’, a cắt d A Vẽ đường thẳng b qua M vng góc với d, b cắt d’ B Vẽ đường thẳng d’’ qua M vuông góc với AB, d’’ đường thẳng phải vẽ, qua giao điểm d d’ (giao điểm nằm ngồi trang giấy) ba đường cao d, d’, d’’ tam giác MAB đồng quy

Cũng giải thích sau :

Giả sử giao điểm d d’ C (nằm trang giấy) Trong tam giác ABC, hai đường cao a b cắt M Thế đường thẳng d’’ qua M (trực tâm tam giác ABC) vng góc với AB phải đường cao thứ ba, d’’ qua C

Thí dụ : Ta xét tập sau (lớp 8).

Cho hình vng ABCD, I trung điểm AB, J trung điểm BC K trung điểm IB Gọi H chân đường vng góc hạ từ B xuống IC Chứng minh hai đường thẳng HJ HK vng góc với

Tình đặt học sinh tập : Với kiến thức học, nên chọn phương pháp để chứng minh hai đường thẳng HJ HK vng góc với Học sinh nghĩ tới hướng chứng minh sau :

Đ HKJ = 90o (?)

Δ KHJ = Δ KBJ (?)

Định lí Py-ta-go thuận đảo (?) v.v

Học sinh loại dần hướng chứng minh sai, thử hướng chứng minh có triển vọng Lời giải (tóm tắt) mong đợi sau :

Tính HJ2 : Trong tam giác vuông BHC, HJ trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

Gọi cạnh hình vng a, ta có : HJ = BC/2 = a / 2, từ HJ2 = a2 /

HK = IB/2 = a / , từ HK2 = a2 / 16

Tính HK 2 : Trong tam giác vng BHI :

Tính JK2 : Trong tam giác vuông BJK :

JK2 = BJ2 + BK<SUP.2< sup> , từ JK2 = a2/4 + a2

Từ kết => JK2 = HJ2 + HK2 theo định lí Py-ta-go đảo tam giácJHK

vng góc H, tức HJ vng góc với HK

Cũng chứng minh theo hướng : Δ KHJ = Δ KBJ (vì HK = HB, HJ = BJ, KJ chung) => Đ H = Đ B 90o, tức HJ vng góc với HK.

Chú ý rằng, theo chương trình mới, học sinh lớp chưa học định lí : Trong tam giác vng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền.

Thí dụ : Ta xét tập sau (lớp 7).

Trên hình vẽ, người ta cho biết : AE = CE, BE // CD, Đ ABC = 88o, Đ BCE = 31o

a) Tính Đ ECD b) Tính Đ EDC

c) Trong tam giác CDE cạnh lớn ?

Đây tập dễ, vận dụng nhiều kiến thức có nhiều cách giải khác Nếu đề kiểm tra cuối năm phần hình học lớp theo kiểu chắn học sinh bộc lộ rõ ràng mức độ nắm vững kiến thức bản, kĩ học sinh trung bình, yếu hi vọng giải hầu hết câu hỏi tốn Lời giải (tóm tắt) :

a) Đ BCD = Đ ABE = 88o (hai góc đồng vị).

Đ ECD = Đ BCD - Đ BCE = 88o - 31o = 57o

b) Vì tam giác EAC cân nên Đ EAB = Đ ECB = 31o Trong tam giác ABE :

Đ AEB = 180o - 88o + 31o = 61o

Đ EDC = Đ AEB - 61o (hai góc đồng vị)

c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62

Vậy cạnh CD lớn Cách giải khác :

a) Vì tam giác EAC cân nên Đ EAB = Đ ECB = 31o Trong tam giác AEB : Đ ABE = 61o.

Với tam giác BEC : góc ABE = 88o góc ngồi đỉnh B nên góc BEC = 88o - 31o = 57o

Vì BE // CD nên Đ ECD = Đ BEC = 57o (hai góc so le trong)

c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62o

Vậy cạnh CD lớn

BÀI TOÁN CON CÁ

Theo tác giả SGK, nội dung SGK quan tâm tới yếu tố vui học, gắn học với thực tế, đưa vào mẩu chuyện lịch sử Toán học nhằm tạo gần gũi, thân thiết, gây hứng thú học tập, từ giúp học sinh đạt kết học tập cao Việc tạo niềm say mê, hứng thú học tập, cách hay cách khác chắn đem lại kết học tập tốt nhiều cho bạn Các bạn tự tạo hứng thú từ nhận xét, phát “nho nhỏ” q trình học tốn Bài tốn “con cá” ví dụ

Trong sách Bài tập tốn (tập 1, trang 99) có tập số 13, nội dung sau : “Trên hình vẽ có Ax song song với By,  CAx = 50o,  CBy = 40o Tính  ACB cách

xem góc ngồi tam giác.” (xem hình 1) Lời giải tốn xin nhường cho bạn đọc muốn trao đổi với bạn toán tổng quát mà tơi thường gọi tốn “đầu cá”

Bài tốn (bài tốn “đầu cá”) : Hình 2 cho biết  CAB >  CAx, Ax // By Chứng minh :  ACB =  CAx +   CBy

Lời giải : Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa tia CB, vẽ tia Cm // Ax Vì Ax // By => Cm // By =>  CAx =  C1 ;  CBy =  C2 (so le trong) Vậy :  CAx +  CBy =  C1 + 

C2 (1)

Theo giả thiết,  ACB >  CAx =>  ACB >  C1 hay tia Cm nằm hai tia CA

CB, :  ACB =  C1 +  C2 (2)

Từ (1) (2) suy  ACB =  ACx +  CBy

Lời bình : + Bài tốn cho biết mối quan hệ hai góc  CAx,  CBy với  ACB, không phụ thuộc vào số đo góc tốn đặt vấn đề

+ Mấu chốt lời giải việc kẻ thêm đường phụ Cm song song với Ax

+ Đối với học sinh lớp tập dượt chứng minh hình học, với kiến thức chương I - Đường thẳng vng góc - Đường thẳng song song, tốn hay Khai thác tốn, ta có nhiều tốn tương tự thú vị

Gợi ý : Sử dụng kết toán “đầu cá”, ta cần tính  OBb Từ dễ dàng giải toán sau :

Bài toán (bài 3, trang 91, SGK Toán 7, tập 2) : Xem hình 4, cho a // b,  C = 44o,  D

= 132o Tính số đo góc  COD

Chú ý : Tương tự bạn giải toán 5, trang 92, SGK Toán 7, tập

Bài toán (bài toán “thân cá”) : Cho hình 5, biết Ax // By  CAx +  ACB > 180o

Chứng minh :  CAx +  ACB +  CBy = 360o

Gợi ý : + Kẻ tia đối Ax’ tia Ax tia đối By’ tia By Sử dụng kết toán “đầu cá”

+ Cách khác : Kẻ Cm // Ax chứng minh tương tự toán “đầu cá” Bài tốn : Cho hình 6, biết Ax // By  CBy >  ACB

Gợi ý : Kẻ tia Cm // Ax chứng minh tương tự toán “đầu cá”

Bài tốn : Cho hình 7, biết Ax // By  CBy >  ACB Chứng minh :  CAx +  CBy -  CAB = 180o

Gợi ý : Kẻ Cm // Ax

* Từ toán đến toán có tốn đảo thú vị chờ bạn tiếp tục khám phá Sau học “Tổng ba góc tam giác” chương II, thay đổi giả thiết toán “đầu cá” : Ax khơng song song với By ta có tốn sau Bài tốn (bài tốn “đi cá”) :

Cho hình Chứng minh :  ACB =  MAC +  MBC +  AMB

Gợi ý : Nối MC kéo dài phía C, sử dụng tính chất góc ngồi tam giác Kết hợp toán trên, ta tốn “con cá” hồn chỉnh

Bài tốn (bài tốn “con cá”) : Cho hình 9 Tính góc x, y, z

Con đường đến toán “con cá” thật đơn giản lí thú phải khơng bạn ? LTS : Xuất phát từ 57 trang 104 SGK Toán 7, tập 1), thầy giáo Nguyễn Đức Tấn (TP HCM) tổng quát mối liên hệ ba góc  OAa,  AOB,  OBb (xem hình 3) Từ hình thành loạt tốn tính số đo góc biết số đo hai góc cịn lại toán đảo

MỘT PHƯƠNG PHÁP THÚ VỊ GIẢI BÀI TỐN TÍNH GĨC

Các tốn tính số đo góc đa dạng, xuất nhiều kì thi Để giải tốt dạng tốn có phải vẽ hình phụ Trong viết này, xin giới thiệu với em phương pháp vẽ thêm hình phụ tam giác tốn tính số đo góc

Bài tốn : Cho tam giác ABC cân A,  A = 200 Trên AB lấy điểm D cho AD =

BC Tính  BDC Lời giải :

Cách : Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác BCE (hình 1)

Vì tam giác ABC cân A,  A = 200 nên  ABC =  ACB = 800 Vậy E thuộc miền

trong tam giác ABC, suy  ACE = 200 (1)

Dễ thấy ∆ABE = ∆ACE (c.c.c) nên  BAE =  CAE =  A / = 100 (2)

Từ (1) suy  A =  ACE = 200 suy ∆DAC = ∆ECA (c.g.c), kết hợp với (2) suy ta 

ACD =  CAE = 1010

Ta có  BDC góc ngồi ∆DAC nên  BDC =  DAC +  DCA = 200 + 100 =

300

Vì ∆ABC cân A,  A = 200 nên AI = AB = AC ;  CAI = 400 ;  IBC = 200 suy 

ACI = 700(∆ACI cân A) suy  BCI = 1500

Lại có ∆ADC = ∆BCI (c.g.c)

Suy  ADC =  BCI = 1500 suy  BDC = 300

Bài toán 2 (đề thi vơ định tốn Nam Tư năm 1983) : Cho tam giác ABC cân A,  A = 800 Ở miền tam giác lấy điểm I cho  IBC = 100 ;  ICB = 300 Tính  AIB

Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác BCE (hình 3)

Vì ∆ABC cân A, nên  A = 800 nên  ABC =  ACB = 500 suy  ABE =  ACE

= 100 ; điểm A thuộc miền tam giác BCE

Dễ dàng chứng minh ∆AEB = ∆ICB (g.c.g) suy BA = BI suy ∆ ABI cân B, có  ABI = 500 - 100 = 400 suy  AIB = 700

Bài toán : Cho tam giác ABC cân A,  A = 1000 Trên cạnh AB kéo dài phía B,

lấy điểm E cho AE = BC Tính  AEC

Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AE, chứa điểm C, dựng tam giác AEF (hình 4)

Vì ∆ABC cân A,  A = 1000 nên  ABC = 400 ; tia AF nằm hai tia AE, AC

Suy  CAF = 400 suy ∆ABC = ∆CAF (c.g.c)

Suy AC = FC suy ∆AEC = ∆FEC (c.c.c)

Suy  AEC =  FEC = /  AEF = 600 / = 300

Qua số toán nêu thấy, việc vẽ thêm hình phụ tam giác tỏ hiệu tốn tính số đo góc tạo góc 60o ; tạo nhiều mối quan hệ cạnh, góc, tam giác,

Bài toán : Cho tam giác ABC cân A,  A = 800 Trên AC lấy điểm E, BC lấy

điểm F cho  ABE =  CAF = 300 Tính  BEF

ĐỊNH LÍ PY - TA - GO MANG ĐẾN NHIỀU BÀI TOÁN THÚ VỊ

Khi hỏi bạn học sinh lớp năm học 2003-2004 : “Nếu tam giác vuông cân có cạnh góc vng cạnh huyền ?”, bạn lúng túng Điều dễ hiểu chương trình mơn tốn năm học 2003-2004 trở trước, học sinh lớp chưa học bậc hai

Nhưng đặt câu hỏi cho học sinh lớp vào cuối học kì I năm học 2003-2004 bạn trả lời :

- Quá dễ ! 12 + 12 = 2, đáp số chứ !

Định lí Py-ta-go bậc hai sách giáo khoa Toán giúp ta có thêm nhiều khả tiếp cận tốn thú vị

1 Bài tốn tính độ dài đoạn thẳng Ví dụ : Tính độ dài x, y hình 1

Lời giải : áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng AHC, AHB ta có : x2 = 162 + AH2 ; y2 = 92 + AH2 Do : x2 - y2 = (162+ AH2) - (92 + AH2) = 175 (1)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông BAC : x2 + y2 = (9 + 16)2 = 625 (2)

Từ (1) (2) suy x2 = 400 ; y2 = 225

Do : x = 20 ; y = 15

Ví dụ : Một tam giác có độ dài hai cạnh 8, góc xen 60o Tính độ

dài cạnh cịn lại

Lời giải : (hình 2) Xét tam giác ABC có AB = ; AC = Kẻ đường cao AH Tam giác vuông AHB có ĐA = 60o nên AH = AB : = : =

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng CHB, AHB ta có : BC2 = BH2 + CH2 =

(AB2 - AH2 ) + CH2 = 82 - 42 + 12 = 49

Vậy BC =

Ví dụ : Tính chu vi đường gấp khúc ABCDEA hình

Hướng dẫn : Hãy kéo dài AB ED cho cắt I.Ááp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng AIE, ta tính AE = 5, chu vi đường gấp khúc ABCDEA 12

2 Bài tốn tính diện tích tam giác

Ví dụ : Cho tam giác ABC có cạnh 1dm Số số sau cho giá trị sát với diện tích tam giác ABC : 0,4 dm2 ; 0,5 dm2 ; 0,6 dm2 ?

Lời giải : (hình 4) Kẻ đường cao AH Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng AHC ta có : AH2 = AC2 - HC2 = 12 - 0,52 = 0,75

Hướng dẫn : Chú ý 10 = 32 + 12 ; 20 = 22 + 42 ; 50 = (3 + 2)2 + (1 + 4)2

Lời giải : Vẽ thêm điểm D, H, E hình 5 Ta tính SADB = 1,5 ; SBHC = ;

SBDEH = ; SAEC = 12,5 Do : SABC = 12,5 - 1,5 - - =

Mời bạn tự giải tập sau :

Bài : Một tam giác vuông cân có cạnh góc vng Cạnh huyền tam giác có giá trị sát với số số sau : 2,6 ; 2,7 ; 2,8 ;

Bài : Một tam giác có độ dài hai cạnh 5, góc xen 60o Tính độ dài

cạnh thứ ba

Bài : Một tam giác có độ dài hai cạnh 6, góc xen 120o Tính độ dài

cạnh thứ ba

Bảng quảng cáo khơng nói rõ diện tích hồ làm nhiều người thắc mắc khơng rõ diện tích lớn hay nhỏ Bạn tìm diện tích hồ

Hướng dẫn : 74 = 72 + 52 ; 116 = 102 + 42.

Các bạn học sinh lớp thân mến ! Trong TTT2 số số 16 đề cập đến việc sử dụng diện tích chứng minh hình học số tốn diện tích Trong viết tơi xin nêu thêm số ứng dụng khác diện tích tam giác vào việc chứng minh số dạng tập

1 Quan hệ đoạn thẳng

S(DBM) = S(ECM) (đường cao nhau, hai đáy nhau)

Suy S(DAM) = S(ABM) - S(DBM) = S(ACM) - S(ECM) = S(EAM)

Hai tam giác DAM EAM lại có chung đáy AM nên đường cao hạ xuống AM hay DK = EH Từ ta có

∆KDF = ∆HEF (g.c.g) suy FD = FE

Lời bình : Bài tốn khơng có khó khăn ta dùng định lí Ta-lét, nhiên kiến thức diện tích kiến thức hình học lớp toán chứng minh gọn gàng đẹp đẽ

Bài toán : Cho tam giác ABC, N trung điểm trung tuyến AM Tia BN cắt cạnh AC K Chứng minh :

AK = 1/2 CK, NK = 1/3 NB

Mặt khác cặp tam giác NAK NCK ; BAK BCK có chung đường cao tương ứng với hai đáy AK, CK nên

Suy AK = 1/2 CK Từ

S(ANK) = 1/2S(CNK) = 1/3 S(NAC) = 1/3 S(ABN)

Lời bình : Nếu sử dụng kiến thức đường trung bình tam giác tốn quen thuộc Đáng tiếc lớp chưa học đường trung bình

2 Chứng minh đồng quy, thẳng hàng

Bài toán : Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Chứng minh BE CD cắt AM

Lời giải : Gọi giao điểm DE AM F, theo toán ta có FD = FE, suy S(BDFM) = S(BFD) + S(BFM) = S(CFE) + + S(CFM) = S(CEFM) (1)

Gọi giao điểm BE CD O, nối OF, OM ta có S(DOF) = S(EOF) (do FD = FE) ; S(BOM) = S(COM) ; S(BDO) = S(CEO) (do S(BDC) = S(BEC))

Suy S(BDFOM) = S(CEFOM) hay đường gấp khúc FOM chia đơi diện tích hình thang BDEC (2)

Từ (1) (2) suy S(FOM) = ị F, O, M thẳng hàng ị O thuộc FM (đpcm)

Lời bình : 1) Đôi để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta phải chứng minh tam giác có ba đỉnh ba điểm có diện tích

2) Kết hợp kết toán toán ta có tốn sau : “Trong hình thang, giao điểm hai cạnh bên kéo dài, giao điểm hai đường chéo hai trung điểm hai đáy bốn điểm thẳng hàng” (Bổ đề hình thang)

Bài tốn : (tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Trong tam giác, ba đường trung tuyến đồng quy điểm đồng quy chia trung tuyến theo tỉ số 2/3 kể từ đỉnh

Lời giải : Vẽ trung tuyến BE CF cắt G Nối AG cắt BC M Ta chứng minh MB = MC

Ta có S(ABE) = S(ACF) = 1/2 S(ABC)

suy S(BGF) = S(CGE) => S(AGF) = S(BGF) = S(CGE) = S(AGE) => S(ABG) = S(ACG) (*)

Hạ đường vng góc BH, CK tới AM Do (*) nên BH = CK, suy S(GBM) = S(GCM) => BM = CM Mặt khác, S(ABG) = 2S(AGE) suy BG = 2GE hay BG/BE = 2/3

Tương tự ta có :AG/AM = CG/CF = 2/3