chuyen de lop 7 suu tam.doc

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM ĐỒNG QUY Các bạn đã học qua lớp 7 chắc chắn đều biết về các đường đồng quy của tam giác : Định lí 1 : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một

XOAY QUANH MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Bài toán : Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD = CE Chứng

minh rằng nếu Đ BAD = Đ CAE thì tam giác ABC là tam giác cân

Cách 2 : (Trương Sơn Ca)

Giả sử Đ B > Đ C => AC > AB => AC/AB > 1 Vẽ M thuộc AD sao cho Đ ABM = Đ ACE

Có Đ M1 = góc E1 => Đ M2 = Đ E2 ; góc D1 > Đ E2 = Đ M2 => BM > BD => BD/BM < 1 (1)

ΔADF ABM đồng dạng với ΔADF ACE => AB/AC = BM/EC

=> EC/BM = BD/BM = AC/AB > 1 (2)

(1) và (2) mâu thuẫn Từ đó ta có đpcm

Cách 3 : (Nguyễn Quang Hùng)

Từ D và E lần lượt vẽ DF vuông góc với AB ; EG vuông góc với AC.

BD = CE => SABD = SACE => AB.DF = AC.EG => DF/EG = AC/AB (1)

ΔADF ADF đồng dạng với ΔADF AEG => DF/EG = AD/AE (2)

Từ (1) và (2) => AC/AB = AD/AE , cho ta ΔADF ABE đồng dạng với ΔADF ACD => Đ ABE = Đ ACD

Cách 4 : (Minh Quân)

Vẽ hình bình hành ABEF => BE = AF Chứng minh được tứ giác ADCF là hình bình hành => Đ EFC = Đ BAD = Đ EAC (gt)

ΔADF AEG đồng dạng với ΔADF FCG (g g) => AG/FG = EG/CG (1)

Do AG/GC = FG/GE (AF // EC) => AG/FG = EG/CG (2)

Từ (1) và (2) có EG = GC cân tại G => ΔADF GEC cân tại G => Đ FEC = Đ ACE => Đ ABC = ĐACB

Cách 5 : (Đỗ Đăng Trí)

Vẽ BH, CK là các đường cao của các tam giác ABD, ACE BD = CE => SABD = SACE => BH/CK = AE/AD

ΔADF ABH đồng dạng với ΔADF ACK => BH/CK = AB/AC

ΔADF ABE đồng dạng với ΔADF ACD ( Đ BAE = Đ CAD , AB/AC = AE/AD)

=> Đ ABE = Đ ACD => ΔADF ABC cân tại A

Cách 6 : (Bảo Linh)

Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD tại M, qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt AE tại N

ΔADF ABM đồng dạng với ΔADF ACN (g g) => AB/AC = BM/CN (1)

ΔADF ADC có BM // AC => AC/BM = BE/BD

ΔADF ABE có CN // AB => AB/CN = BE/EC

Do đó có AB/AC = CN/BM (2) Từ (1) và (2) có AB/AC.AB/AC = BM/CN.CN/BM

=> AB2/AC2 = 1 => AB = AC

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM ĐỒNG QUY

Các bạn đã học qua lớp 7 chắc chắn đều biết về các đường đồng quy của tam giác :

Định lí 1 : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm ;

Định lí 2 : Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm ;

Định lí 3 : Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm ;

Định lí 4 : Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm

SGK Toán 7 tập 2 đã sử dụng cùng một phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy để chứng minh định lí 2, định lí 3

Phương pháp chứng minh này có thể mô tả khái quát như sau :

Ba đường thẳng a, b, c đồng quy nếu :

- Mọi điểm thuộc c đều có tính chất C và ngược lại

- Chứng tỏ giao điểm của a và b thỏa mãn tính chất C

Các bạn cần lưu ý, quỹ tích các điểm thỏa mãn tính chất C chính là đường thẳng c Như vậy mấu chốt của phương pháp này chính là việc phát hiện ra tính chất C

Nếu ta phát hiện ra nhiều tính chất của đường thẳng c thì cũng có nghĩa là sẽ có nhiều cách chứng minh a, b, c đồng quy

Ta sẽ áp dụng phương pháp này để chứng minh các định lí trên

* Chứng minh định lí 1 :

Cách 1 : - Bổ đề 1 : Trong một tam giác, quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai

điểm lần lượt nằm trên hai cạnh khác nhau, song song với cạnh thứ ba là trung tuyến thuộc cạnh thứ ba đó

- Gọi AM, BN, CK lần lượt là các trung tuyến của ∆ABC ; G = BN ∩ CK Qua G dựng

- Bổ đề 2 : Quỹ tích các điểm nằm trong một tam giác với các cạnh a, b, c, có tỉ số

khoảng cách tới hai cạnh b, c là c/b là trung tuyến thuộc cạnh a

- Gọi AM, BN, CK lần lượt là các trung tuyến của ∆ABC ; G = BN ∩ CK Dựng GD 

AB, GE  AC, GF  BC

Theo bổ đề 2 suy ra :

GD/GF = BC/AB ; GF/GE = AC/BC ;

=> GD/GE = GD/GF GF/GE = BC/AC AC/BC = AC/BC ;

* Chứng minh định lí 2 : (sử dụng kết quả khác với SGK)

- Bổ đề 3 : Trong ∆ABC, DE // BC (D Є AB, E Є AC), quỹ tích điểm I thuộc DE sao cho

ID/IE = AB/AC là đường phân giác AA1

- Gọi AA1, BB1, CC1 lần lượt là các phân giác của ∆ABC ; I = BB1 ∩CC1 Qua I dựng DE

// BC, FR // AB, PQ // AC (hình 2)

Từ bổ đề 3 suy ra :

IF/IR = BC/AC ; IQ/IP = AB/BC ;

Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác IFP, RIE, QDI đôi một đồng dạng

=> ID/IE = ID/FP FP/IE = IQ/IP IF/IR = AB/BC BC/AC = AB/AC

=> ID/IE = AB/AC => I Є AA1 (theo bổ đề 3)

Vậy AA1, BB1, CC1 đồng quy tại I Định lí 2 được chứng minh

* Chứng minh định lí 4 :

- Bổ đề 4 : Cho ∆ABC, N thuộc đường cao BB’ và K thuộc đường cao CC’ sao cho DE //

BC (D Є AB, E Є AC) Quỹ tích điểm H thuộc DE sao cho HD/DE = BK2/CN2 là đường cao AA’

Xét tam giác vuông BMC, MA’  BC => BM2 = BA’.BC và CM2 = CA’.BC

=> BA'/CA' = BM2/CM2 = BK2/CN2 = HD/HE (theo bổ đề 3)

=> nếu H’ = DE ∩ AA’ thì H'D/H'E = BA'/CA' = HD/HE

=> H’ ≡ H

Trở lại định lí 4 (hình 4)

- Gọi M, N, K lần lượt nằm trên các đường cao AA’, BB’, CC’ của ∆ABC sao cho  BMC =  ANC =  AKB = 90o, H = BB’ ∩ CC’

Qua H dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC

Từ bổ đề 4 suy ra :

HQ/HP = AK2/CM2 ; HF/HR = BN2/AN2

Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác HFP, RHE, QDH đôi một đồng dạng nên :

HD/HE = HD/FP FP/HE = HQ/HF HF/HR = AK2/CM2 BM2/AN2

=> HD/HE = BM2/CM2 (Do AK = AN) => H Є AA’ (theo bổ đề 4)

Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy tại H

Định lí 4 được chứng minh

* Đề nghị bạn đọc chứng minh các bổ đề 1 ; 2 ; 3 và làm bài tập sau

Bài tập : Trong một tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường

phân giác cùng xuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của đỉnh đó Chứng minh rằng trong tam giác, ba đường đối trung đồng quy

Như vậy thông qua hai chứng minh định lí của SGK, ta đã rút ra được một phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy rất hiệu quả Tôi hi vọng các bạn sẽ thành công trong nhiều trường hợp khác

TẬP "LỘI NGƯỢC" KHI GIẢI TOÁN

“Lội ngược dòng” là một cụm từ quen thuộc trong thể thao, dùng để chỉ những cố gắng đảo ngược kết quả của một trận đấu Còn “lội ngược dòng” khi giải toán là quá trình

phân tích đi lên từ kết quả để tìm ra lời giải Với mỗi hướng “lội ngược dòng” ta sẽ có thểtìm ra một cách giải

Ta xét bài toán sau :

Bài toán : (định lí Py-ta-go) Cho ∆ABC vuông tại A, BC = a, AC = b, AB = c

Chứng ming rằng : a2 = b2 + c2 (*)

Hướng 1 : Từ a2, b2, c2 ta liên hệ đến diện tích của các hình vuông có cạnh là a, b, c Nếu dựng về phía ngoài của ∆ABC các hình vuông có cạnh lần lượt là BC, CA, AB thì (*) tương đương với diện tích hình vuông cạnh BC bằng tổng diện tích của hai hình vuông cócạnh CA, AB

Ta tiếp tục đặt vấn đề : liệu có thể chia hình vuông cạnh BC thành hai hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích của hai hình vuông còn lại không

Từ đó ta phát hiện ra đường HH’, trong đó H là chân đường vuông góc hạ từ A của ABC

⇼ABC

Cách 1 : Dựng về phía ngoài của ∆ABC các hình vuông AEFB, BMNC, CPQA (hình 1)

Đường cao AH  BC cắt MN tại H’ (H Є BC) Đặt BH = c’ và CH = b’ Ta cần chứng minh : SCNH’H = SCPQA ; SBMH’H = SAEFB hay a.b’ = b2 ; a.c’ = c2 (**)

Thật vậy, vì hai tam giác vuông ABC và HBA có chung nên ∆ABC đồng dạng với

Dựng hình vuông ADEF có độ dài cạnh là b + c ; B Є AD ; C Є AF (hình 2)

Lấy I Є EF ; K Є DE sao cho IF = KE = b

Ta nhận thấy ∆ABC = ∆DKB = ∆EIK = ∆FCI ;

BCIK là hình vuông

=> SBCIK + SABC + SDKB + SEIK + SFCI = SADEF

<=> SBCIK + 4.SABC = SADEF

<=> a2 + 4 1/2 bc = (b + c)2

<=> a2 = b2 + c2

Hướng 3 : Thay đổi cách nhìn một chút so với cách 2, ta thấy :

(*) <=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a2 + 2 1/2bc , trong đó vế trái là diện tích của hình thang

có hai đáy là b, c và có đường cao là b + c

Cách 3 : Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = c ; Dựng điểm D thuộc nửa

mặt phẳng có bờ AE, chứa điểm B, DE  AE, DE = b (hình 3)

Ta nhận thấy ABDE là hình thang vuông có hai đáy AB = c, DE = b, đường cao AE = b +

c ; ∆ABC = ∆ECD ; ∆BCD vuông cân tại C có cạnh là a

=> SABDE = SBCD + SABC + SECD

Cách 4 : Không mất tính tổng quát, giả sử b > c Dựng hình chữ nhật ABA’C ; hình

vuông BCED (chứa A’) ; trên BA’ lấy điểm B’ sao cho BB’ = c ; trên DB’ lấy điểm C’

sao cho DC’ = c ; CA’ ∩ EC’ = D’ (hình 4)

Ta chứng minh được những kết quả sau :

∆ABC = ∆A’CB = ∆B’BD = ∆C’DE = ∆D’EC và A’B’C’D’ là hình vuông có cạnh là b

-c

=> SBCED = SA’B’C’D’ + SA’BC + SB’BD + SC’DE + SD’EC

<=> SBCED = SA’B’C’D’ + 4.SABC

<=> SBCDE = SA'B'C'D' + 4.SABC

<=> a2 = (b - c)2 + 4 1/2bc <=> a2 = b2 + c2

Việc tập “lội ngược dòng” sẽ giúp các bạn tập giải quyết được các bài toán Các bạn thử

tìm lời giải của các bài tập :

Bài tập 1 : Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng :

để xét phương trình loại này

Phương pháp 1 :1 Phương pháp chia khoảng trên trục số.

Ta xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối

Thí dụ 1 : Giải phương trình :

|2x - 1| + |2x - 5| = 4 (1)

Lời giải : Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối :

Từ đó ta xét 3 trường hợp sau : - Xét x< 1/2 : (1) trở thành - 4x + 6 = 4 <=> x < 1/2 không phụ thuộc khoảng đang xét - Xét :

(1) trở thành 4 = 4 đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét, tức là

- Xét

(1) trở thành 4x - 6 = 4 <=> x = 5/2 thuộc khoảng đang xét

Kết luận : Nghiệm của phương trình (1) là

Phương pháp 2 :

Phương pháp biến đổi tương đương Ta áp dụng hai phép biến đổi cơ bản sau :

Thí dụ 2 : Giải phương trình :

|x - 1| = |3x - 5| (2)

Lời giải : áp dụng phép biến đổi thứ hai ta có :

Kết luận : Phương trình (2) có hai nghiệm : x1 = 2 ; x2 = 3/2

Nhận xét : Ta có thể sử dụng phương pháp 1 để giải phương trình (2).

+ Lập bảng khử dấu trị tuyệt đối :

+ Vẽ đồ thị trên từng khoảng, chú ý các điểm đặc biệt A (-1 ; 3) ; B (0 ; 2) ; C (1 ; 3)

Số nghiệm của phương trình đúng bằng số điểm chung của đường thẳng y = m với đồ thị vừa vẽ

Từ đồ thị ta có :

Nếu m < 2 thì phương trình vô nghiệm

Nếu m = 2 thì phương trình có một nghiệm duy nhất

Nếu m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tóm lại phương trình chỉ có hai nghiệm đã kiểm tra

Chú ý : Thí dụ 1 có thể giải như sau :

Bài 2 : Tìm m để phương trình : x2 - 2x - m|x - 1| + m2 = 0 có nghiệm

Bài 3 : Với giá trị nào của tham số m, phương trình sau có nghiệm duy nhất :

|x + 3| - |2x - m| = 1

CHỦ ĐỘNG SÁNG TẠO

KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

Một vấn đề đặt ra là nên cấu tạo đề bài tập toán như thế nào (với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm tra năng lực toán học v.v ) để phù hợp phương pháp dạy học đổi mới theo định hướng tích cực, độc lập, sáng tạo

Câu trả lời đã trở nên rõ ràng nếu chú ý nhận xét tính đa dạng và phong phú của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa mới Trong khuôn khổ một bài báo, do không thể phân tích hết ưu nhược điểm của từng thể loại bài tập toán nhằm giúp học sinh học tập chủ động, sáng tạo, tác giả xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp về vấn đề này thông qua một số ví

dụ về bài tập hình học

Thí dụ 1 : Bài tập kích thích mạnh mẽ tư duy học sinh là loại bài tập tình huống Ta hãy

xét bài tập sau (lớp 7).

Cho điểm M trên trang giấy và hai đường thẳng d, d’ cắt nhau nhau ngoài trang giấy Hãy

vẽ đường thẳng d’’ đi qua điểm M và giao điểm của d, d’ Nói cách vẽ và giải thích vì sao

vẽ được như vậy

Tình huống của bài tập này là : Học sinh phải vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm, trong

đó một điểm đã cho trước, còn điểm thứ hai thì chưa xác định được

Hướng giải quyết bài toán không phải là vẽ giao điểm của hai đường thẳng d và d’ mà là tìm quan hệ giữa đường thẳng phải vẽ (đường thẳng d’’ đi qua điểm M) với những đườngthẳng khác có thể vẽ được trên trang giấy

Quá trình mò mẫm dẫn đến cấu hình ba đường cao đồng quy trong tam giác, từ đó => cách vẽ

Lời giải (tóm tắt) mong đợi là như sau :

Cách vẽ : Vẽ đường thẳng a đi qua M và vuông góc với d’, a cắt d tại A Vẽ đường thẳng

b đi qua M và vuông góc với d, b cắt d’ tại B Vẽ đường thẳng d’’ đi qua M và vuông gócvới AB, d’’ là đường thẳng phải vẽ, nó đi qua giao điểm của d và d’ (giao điểm này nằm ngoài trang giấy) vì ba đường cao d, d’, d’’ của tam giác MAB đồng quy

Cũng có thể giải thích như sau :

Giả sử giao điểm của d và d’ là C (nằm ngoài trang giấy) Trong tam giác ABC, hai đường cao a và b cắt nhau tại M Thế thì đường thẳng d’’ đi qua M (trực tâm của tam giác ABC) và vuông góc với AB phải là đường cao thứ ba, vậy d’’ đi qua C

Thí dụ 2 : Ta hãy xét bài tập sau (lớp 8).

Cho hình vuông ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểm của BC và K là trung điểm của IB Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống IC Chứng minh rằng hai đường thẳng HJ và HK vuông góc với nhau

Tình huống đặt ra đối với học sinh ở bài tập này là : Với kiến thức đã học, nên chọn phương pháp nào để chứng minh hai đường thẳng HJ và HK vuông góc với nhau Học sinh có thể nghĩ tới các hướng chứng minh sau :

Đ HKJ = 90o (?)

HK và HJ là hai tia phân giác của hai góc kề bù (không thể được !)

ΔADF KHJ = ΔADF KBJ (?)

Định lí Py-ta-go thuận và đảo (?)

v.v

Học sinh loại dần hướng chứng minh sai, và thử các hướng chứng minh có triển vọng

Lời giải (tóm tắt) mong đợi là như sau :

Tính HJ2 : Trong tam giác vuông BHC, HJ là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

Gọi cạnh hình vuông là a, ta có :

HJ = BC/2 = a / 2, từ đó HJ2 = a2 / 4

HK = IB/2 = a / 4 , từ đó HK2 = a2 / 16

Tính HK 2 : Trong tam giác vuông BHI :

Tính JK2 : Trong tam giác vuông BJK :

Thí dụ 3 : Ta hãy xét bài tập sau (lớp 7)

Trên hình vẽ, người ta đã cho biết : AE = CE, BE // CD, Đ ABC = 88o, Đ BCE = 31o a) Tính Đ ECD

b) Tính Đ EDC

c) Trong tam giác CDE thì cạnh nào lớn nhất ?

Đây là một bài tập dễ, vận dụng nhiều kiến thức và có nhiều cách giải khác nhau Nếu đề kiểm tra cuối năm phần hình học lớp 7 được ra theo kiểu này thì chắc chắn học sinh sẽ bộc lộ rõ ràng mức độ nắm vững kiến thức cơ bản, kĩ năng cơ bản của mình và ngay cả học sinh trung bình, yếu cũng hi vọng giải được hầu hết các câu hỏi của bài toán

Đ EDC = Đ AEB - 61o (hai góc đồng vị)

c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62

Vậy cạnh CD lớn nhất Cách giải khác :

a) Vì tam giác EAC cân nên Đ EAB = Đ ECB = 31o Trong tam giác AEB : Đ ABE = 61o.Với tam giác BEC : góc ABE = 88o là góc ngoài ở đỉnh B nên góc BEC = 88o - 31o = 57o

Vì BE // CD nên Đ ECD = Đ BEC = 57o (hai góc so le trong)

b) Vì BE // CD nên Đ EDC = Đ AEB = 61o (hai góc đồng vị)

c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62o

Vậy cạnh CD lớn nhất

BÀI TOÁN CON CÁ

Theo các tác giả SGK, nội dung SGK mới rất quan tâm tới yếu tố vui học, gắn bài học với thực tế, đưa vào các mẩu chuyện về lịch sử Toán học nhằm tạo ra sự gần gũi, thân thiết, gây hứng thú học tập, từ đó giúp học sinh đạt kết quả học tập cao nhất Việc tạo được niềm say mê, hứng thú trong học tập, bằng cách này hay cách khác chắc chắn sẽ đem lại kết quả học tập tốt hơn nhiều cho mỗi bạn Các bạn có thể tự tạo hứng thú từ những nhận xét, phát hiện “nho nhỏ” trong quá trình học toán Bài toán “con cá” là một

ví dụ như vậy

Trong sách Bài tập toán 7 (tập 1, trang 99) có bài tập số 13, nội dung như sau : “Trên hình vẽ có Ax song song với By,  CAx = 50o,  CBy = 40o Tính  ACB bằng cách

xem nó là góc ngoài của một tam giác.” (xem hình 1) Lời giải của bài toán này xin

nhường cho bạn đọc ở đây tôi muốn trao đổi với các bạn một bài toán tổng quát hơn mà tôi thường gọi là bài toán “đầu cá”

Bài toán 1 (bài toán “đầu cá”) : Hình 2 cho biết  CAB >  CAx, Ax // By

Chứng minh rằng :  ACB =  CAx +   CBy

Lời giải : Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa tia CB, vẽ tia Cm // Ax Vì Ax // By => Cm //

By =>  CAx =  C1 ;  CBy =  C2 (so le trong) Vậy :  CAx +  CBy =  C1 + 

C2 (1)

Theo giả thiết,  ACB >  CAx =>  ACB >  C1 hay tia Cm nằm giữa hai tia CA và

CB, do đó :  ACB =  C1 +  C2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra  ACB =  ACx +  CBy

Lời bình : + Bài toán 1 cho biết mối quan hệ giữa hai góc  CAx,  CBy với  ACB,

không phụ thuộc vào số đo của các góc như ở bài toán đặt vấn đề

+ Mấu chốt của lời giải là việc kẻ thêm đường phụ Cm song song với Ax

+ Đối với học sinh lớp 7 mới được tập dượt chứng minh hình học, nhất là với kiến thức ở chương I - Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng song song, thì đây là một bài toán khá hay Khai thác bài toán, ta có nhiều bài toán tương tự khá thú vị

Bài toán 2 (bài 57 trang 104 SGK Toán 7, tập 1) : Cho hình vẽ (a // b), hãy tính số đo x

của góc O (xem hình 3)