Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến này cắt trục hoàng và trục tung tại hai điểm AB sao cho tam giác OAB cân.. HD: 1..[r]
(1)GỢI Ý GIẢI ĐỀ TOÁN KHỐI A NĂM 2009 GV: Phạm Quốc Khánh
Trường THPT Lê Q Đơn - Thái Bình Câu 1:
Cho hàm số:
2
x y
x
Khảo sát vẽ đồ thị
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoàng trục tung hai điểm AB cho tam giác OAB cân
HD: Tự giải
2 Ta có
1 '
(2 3)
y
x
-=
+
Giả sử điểm M a b( ; ) điểm nằm đồ thị hàm số
2
2
a b
a
+
Þ =
+ Vậy phương trình tiếp tuyến M d có phương trình:
2
1
( )
(2 3)
a
y x a
a a
+
=- - +
+ +
* A= Çd 0x Vậy toạ độ A thoả mãn hệ: 2
1
( ) 2 8 6
(2 3)
0
a
y x a x a a
a a
y y
ì +
ïï =- - + ìï = + +
ïï + + Û ï
í í
ï ï =
ï = ïỵ
ïïỵ
2
(2 6;0)
A a a
Þ + + Þ OA= 2a2+8a+6 * B= Çd 0y Vậy toạ độ B thoả mãn hệ:
( )
2
2
2
1
( )
(2 3) 3
0 0
a a
a y
y x a
a a a
x x
ì
ì + ï + +
ï ï
ï =- - + ï =
ïï + + Û ï +
í í
ï ï
ï = ï
ï ï =
ïỵ ïỵ
( )
2
2
2
0;
2
a a
B
a
ổ + + ữử
ỗ ữ
ỗ
ị ỗ ữữ
ỗ ữ
ỗ +
è ø
2
2
2
(2 3)
a a
OB
a
+ +
Þ =
+ Vì tam giác OAB cân O nên OA=OB
2
2
2
2
2 (2 3)
(2 3)
2
a a
a a a
a a
a
+ +
Û + + = Û + =
+ é
=-ê Û
ê =-ë
Với a=-1 ta có OA=OB=0 (loại) Với a=-2 ta có OA=OB=2 (t/m) Vậy a=-2
(2)1
(1 2sinx).cosx
3 (1 2sinx)(1-sinx)
-= +
2 33 x- 2+3 5- x- =8 Giải:
1 Điều kiện:
2
sinx -
2
6 sinx
2
x k
x k
x k
ì p
ïï ¹ - + p ïï
ï
ìï ï
ï ¹ ï p
ï Û ï ¹ + p
í í
ï ï
ï ¹ ï
ï ï
ợ ù p
ù + p ùùùợ
2 osx-sin2x= 3sinx-2 3sin
osx- 3sinx=sin2x+ 3(1 os2x) cosx- 3sinx=sin2x+ os2x
cos x+ os
2x-3
2 2
6 ( )
2
2
18
6
c x
c c
c c
x x k x k
k Z
x k
x x k
Û +
Û -
-Û
ỉ pư÷ ổ pửữ
ỗ ỗ
ỗỗ ữữ= ỗỗ ÷÷
è ø è ø
é p p é p
- = + + p
ê ê = + p
ê ê
Û ê Û ê Ỵ
p p
p p
ê - =- - + p ê =- +
ê ê
ë ë
2 ĐK:
x£
Đặt:
3
2 15 10
3
18 15
6 0
x a
a x
x b
b x b
ìï - = ï
ìï = - ï
ï Þ ï - =
í í
ï = - ï
ï ï
ỵ ïïỵ ³
Vậy ta có hệ phương trình:
2
5
a b
a b
ì + =
ïï
íï + =
ïỵ
3
2
8
3
5 15 32 40
8
( 2)(15 26 20) 0(1)
a a
b b
a b a a a
a b
a a a
ì - ì
-ï ï
ï = ï =
ï ï
Û íï Û íï
ï + = ï + - + =
ï ï
ỵ ỵ
ì
-ïï = ï Û í
ïï + - + =
ïỵ
Xét 15a2- 26a+20=0 có D =' 132- 15.20=- 131 0<
15a 26a 20
(3)Vậy
8 2
( / )
4
a a
b
t m b
a
ì
-ï ì
ï = ï
=-ï ï
Û íï Û í
ï =ïỵ ï
=-ïỵ
Vậy ta có: 5- x = Û -4 5x=16Û =-x Vậy phương trình có nghiệm x=-2
Câu 3: Tính
3
0
( os 1) os
I c x c xdx
p
=ò
-Ta có
2 2
3
0 0
(cos 1)cos cos cos
I x xdx xdx xdx
p p p
=ò - =ò - ò
2
2
0
2
2
0
2
3
0
1 cos2x (1-sin x) cos
2
(1-2sin x+sin x) (sin ) (1 cos2x)
2 1
sinx- sin sin sin
3 2
2 1
1
3 2 15
xdx dx
d x dx
x x x x
p p
p p
p p
+
=
-= - +
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
=ỗỗ + ữữ - ỗỗ + ữữ
ố ứ ố ứ
ổ ửpữ p ỗ
= - + - ỗ ữữ= -ỗố ứ
ũ ũ
ũ ị
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D AB=AD=2a, CD=a Góc mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 I trung
(4)K I
A
B
D
C S
H
Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SBI ABCD
SCI ABCD SI ABCD
SBI SCI SI
ì ^
ïï
ùù ^ ị ^
ớù
ù ầ =
ïïỵ
Ta có:
2
2
2 5
2
BC a
IB a
IC a
ìï = ïï
ï =
íï
ïï =
ïỵ ·
2 2
2
8
cosIBC
2 10
IB BC IC a
IB BC a
+
-Þ = = =
Hạ IH ^BC
·
·
16
sin
25 60
SH BC
IH IB IBC a a
SHI
ì ^
ïï ïï ïï
Þ íï = = - =
ïï
ï =
ïïỵ
0 15 tan 60
5
a
SI HI
Þ = =
Và
2
( )
2
ABCD
SW = AB CD AD+ = a
3
1 15
3
S ABCD ABCD
a
V S SI
Þ = W =
(đvtt) Câu 5:
Chứng minh với số thực x,y,z dương thoả mãn x(x+y+z)=3yz, ta có:
3 3
(x+y) + +(x z) +3(x+y x)( +z y)( + £z) 5(y+z) HD:
2
( ) x
(5)( ) ( )
x x y z x y yz
Û + + + =
(x y y)( z) 4yz
Û + + =
Đặt
u x y
v x z
ì = + ïï
íï = + ïỵ
u v yz
u v y z
ì =
ïï Þ í
ï = -ïỵ
Ta có: (x+y)3+ +(x z)3 =u3+ = +v3 (u v u)( 2- uv v+ 2) Áp dụng BDT Bunhiacopsky ta có: ( )
2 2 2
(1 1)( )
u+v £ + u +v
Vậy :
2 2 2
(u+v u)( - uv v+ )£ 2(u +v ) (ëéu v- ) +uvùû
( )
2
2
2
2 ( ) ( )
2 ( )
2 ( ) ( )
u v uv u v uv
y z yz y z yz
y z yz y z
é ùé ù
£ ë - + ûë - + û
é ù
é ù
£ ë - + ûëê - + ú
û
é ù
£ ë + + û +
Ta có: 2yz£ (y+z)2 (Bất đẳng thức Côsi)
( )2
2 2
(u+v u)( - uv v+ )£ y+z (y+z) £ 2(y+z)3
Vậy (x+y)3+ +(x z)3=2(y+z)3
( )3
2
3(x+y x)( +z y)( + =z) 3.4 (yz y+ £z) 3.(y+z) (y+ =z) y+z
Vậy (x+y)3+ +(x z)3+3(x+y x)( +z y)( + £z) 5(y+z)3 Phần tự chọn:
Câu 6A
1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x+y-5=0 Viết phương trình đường thẳng AB
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 mặt cầu (S): x2 +y2+ -z2 2x- 4y- 6z- 11 0= Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm bán kính đường trũn ú
Vỡ Eẻ D:x+ - = ịy E a( ;5- a) Gọi F điểm đối xứng E qua I ta có:
2 12
(12 ; 1)
2
F I E
F I E
x x x a
F a a
y x x a
ì = - =
-ïï Þ -
íï = = -ïỵ
Vậy ta có:
( 11;6 ) ( 6;3 )
FM a a
FI a a
ìï = -
-ïïí
ï = -
-ïïỵ uuur uur
Ta có: FM ^FI Û FM FIuuur uur =0
E I
C D
(6)( 11)( 6) ( 6)( 3) ( 6)(2 14)
6
a a a a
a a
a a
Û - - + - - =
Û - - =
é = ê Û
ê = ë
Với a=6 ta có: FM = -( 5,0)Þ AB y: - 0= uuur
Với a=7 ta có: FM = -( 4, 1)- Þ AB x: - -1 4(y- 5)= Û -0 x 4y+ =19 uuur
2 Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=5 Và khoảng cách từ tâm I đến (P) là: d=
2.1 2.2
3 R
-
-= <
Vậy (P) cắt (S) theo thiết diện hình trịn có tâm H hình chiếu I (P) bán kính r= R2- d2 = 25 9- =4
Gọi ∆ đường thẳng qua I vng góc với (P)
1
:
2
2
x y
x y z
x z
ì + - = ï
- - - ï
Þ D = = Û í
ï + - =
- - ïỵ
-2x+2=2y-4 -x+1=2z-6
Tâm
2
( ) 0
2
x y z x
H P x y y
x z z
ì - - - = ì =
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
=D Ç Û íï + - = Û íï =
ï + - = ï =
ï ï
ï ï
ợ ợ ị H(3;0;2)
Cõu 7a Gi z1; z2 hai nghiệm phức phương trình
2 2 10 0
z + z+ = Tính giá trị biểu thức
2
1
A= z + z .
Ta có D =-
Vậy phương trình có nghiệm là:
2 2 2
2
1
1
2 2 2
2 2
( 1) ( ) 10
20
1 ( 1) (3 ) 10
z i
z i
z z
z i z i
ìï
ì =- - = - + - =
ï ï
ï Þ ï Þ + =
í í
ï =- + ï = - + =
ïỵ ïïỵ
Câu 6b
1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ 0xy, cho đường tròn (C):
2 4 4 6 0
x +y + x+ y+ = đường thẳng D:x+my- 2m+ =3 0, với m số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt AB cho diện tích tam giác IAB lớn
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ 0xyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-1=0 hai
đường thẳng
1
: , :
1 2
x+ y z+ x- y- z+
D = = D = =
- Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến
(7)H I
B A
1
Đường trịn (C) có tâm I(-2;-2) bán kính
R=
Gọi H hình chiếu I AB Khi ta có
1
2
IAB
SD = AB IH =HI HA
2 2
1
2 2
HI +HA IB R
£ = = =
IAB axS =1
R
HI=HA=
2
M D
Þ
Û =
[ ; ]
d I
Þ D =
2
2
2
2 2
1 16 1
1
0
15 8
15
m m
m m m
m
m
m m
m
- - - +
Û = Û - + = +
+
é = ê
Û - = Û ê
ê = ê ë
2 M Ỵ D Þ1 M( 1- +t t; ; )- + t
[ ;( )] 11 20
3
t
d M P
-Þ =
Ta có
( )
2
2
(1;3; 1) ;3 ;8
(2;1; 2)
N MN t t t
vtcpuD
ìï - Ỵ D Þ = - -
-ïï
íï =
-ïïỵ
uuur uur
2
3 8 2
; ;
1 2 2
t t t t t t
MN uD æ- - - ữử
ộ ự ỗ ữ
ị ờở ỳ ỗỷ=ỗỗ ữữ
-
-ố ứ
uuur uur
= -( 14 ;20 14 ; 4+ t - t - +t)
[ ]
2
2 2
2
(8 14) (20 14 ) (4 ) ;
3
MN u t t t
d M
u
D D
é ù
ê ú - + - +
-ë û
Þ D = =
uuur uur uur
=
2
261 792 612
t - t+
Theo ta có:
2
11 20 261 792 612
3
t- t - t+
(8)2
140t 352t 212
Û - + =
1 (0;1; 3) 53 18 53
; ; 35 35 35 35
t M
t M
ộ= ị
-ờ
ổỗ ửữ
ờ= ị ỗỗ ữữ
ờ ố ứ
ë
Câu 7b: Giải hệ phương trình:
2
2
2
log ( ) log ( ) 3x xy y 81
x y xy
- +
ìï + = +
ïí
ï =
ïỵ
ĐK:
;
0
x y xy
ỡ
ùù ớù > ùợ
2
2
2
2
2
x y xy
x xy y
x y x y
x y
x
ìï + = ï
Û íï
- + =
ïỵ
ì = é = =
ïï ê
Û í Þ
ê
ï = ë =